《对数的概念》PPT课件 (2)

（1）54 625；（2）26 1 ；（3） 1 m 5.73；
64
3
（4）log 116 4；（5）lg0.01 2；（6）lg10 2.303.
2
教材习题
例2求下列各式中x的值：
（1）log
64 x
2 3
；（2）log
x
8
6；
（3）lg100 x；（4） lne2 x.
例题巩固
例题巩固
探究点四 对数式的实际应用
[例 4] 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来 描述声音的大小：把一很小的声压 P0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量 的声压 P 与参考声压 P0 的比值取常用对数后乘 20 得到的数值称为声压级．声 压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在 60 以下为无害 区，说明声音环境优良，60～110 为过渡区，110 以上为有害区．
x=logaN 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
对数的概念
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系: 当a>0，a≠1时，ax=N⇔x=logaN
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论: （1）负数和0没有对数; （2）loga1=0，logaa=1
教材练习 例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
由已知条件知 40 分贝小于 60 分贝，
所以此地为噪音无害区，环境优良．
例题巩固
关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数 据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为 对数运算，从而简化复杂的指数运算．

在社会科学中的应用
统计学
在统计学中，对数被广泛应用于 概率和统计模型的构建，例如泊
松分布、二项分布等。
经济学
在经济学中，对数被用于描述货 币的交换和增长，例如复利计算
和汇率换算。
计算机科学
在计算机科学中，对数的概念被 用于数据压缩、加密解密等领域 ，例如哈夫曼编码和RSA算法。
04
对数的运算技巧
应用场景
在解决与对数相关的问题时，如比较大小、求解未知数等，可以利用对数的运 算法则简化计算过程。
对数函数的图像和性质
01
对数函数的图像是单调递增的，随着自变量x的增大，函数值y也相应增大。此外 ，对数函数具有一些基本性质，如定义域为正实数集，值域为全体实数等。这些 性质在对数函数的图像和性质中都有所体现。
注意事项
在进行负数对数运算时，需要注意负数的绝对值不能为零，且负数的值必须在合理的范围内（通常为 正数）。同时，对于一些特殊的负数形式，如自然对数的底数e的负次幂，需要特别注意运算的技巧 和准确性。
乘除法运算
乘除法运算
在对数的乘除法运算中，需要注意运算法则和运算顺序。例 如，在进行乘法运算时，需要将底数相乘后再取对数值；在 进行除法运算时，需要将底数取倒数后再取对数值。同时， 需要注意运算的优先级和括号的使用。
注意事项
在进行分数对数运算时，需要注意分母不能为零，且分数的值必须在合理的范围内（通常为正数）。同时，对于 一些特殊的分数形式，如自然对数的底数e的分数次幂，需要特别注意运算的技巧和准确性。
负数对数运算
负数对数运算
在处理负数的对数时，需要注意负数的对数值是复数。因此，在进行负数对数运算时，需要特别注意 运算的规则和技巧。例如，计算以负数为底数的对数时，可以将负数取绝对值后再进行对数运算；计 算以负数为真数的对数时，可以先将负数转换为正数，再取该正数的对数值。

3x2＋2x－1＞0， 2x2－1＞0且2x2－1≠1， 解得 x＝－2.
(2)由 log2[log3(log4x)]＝0， 可得 log3(log4x)＝1， 故 log4x＝3， 所以 x＝43＝64.
1．(多选)下列说法正确的有
()
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以 10 为底的对数叫做常用对数
答案：B
()
3．把对数式 loga49＝2 写成指数式为
A．a49＝2
B．2a＝49
C．492＝a
D．a2＝49
答案：D 4．log32x5－1＝0，则 x＝________． 答案：3
()
探究点 1 指数式与对数式的互化 将下列指数式与对数式互化：
(1)ea＝16; (2)64－13＝14； (3)log39＝2; (4)logxy＝z(x＞0 且 x≠1，y＞0)．
【解】 (1)因为 log27x＝－23， 所以 x＝27－23＝(33) －23＝3－2＝19. (2)因为 logx16＝－4， 所以 x－4＝16， 即 x－4＝24. 所以1x4＝24， 所以1x＝2，即 x＝12.
(3)因为 lg 1 0100＝x， 所以 10x＝10－3， 所以 x＝－3. (4)因为－ln e－3＝x， 所以－x＝ln e－3， 即 e－x＝e－3， 所以 x＝3.
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对 数 4.3.1 对数的概念数学源自01预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
测评案 达标反馈
04
应用案 巩固提升
教材考点 对数
对数的 基本性质
学习目标 了解对数、常用对数、自然对数的概念， 会用对数的定义进行对数式与指数式的互化

教材
目标

教学 反思
教学流程
过程设计
创设情境
给出对数的概念
分析指数式与对数
式中 a, x, N 各自的
名称、位置和范围
给出常用对数 与自然对数的
概念和记法
例题与练习处理
课堂小结
创设情境
过程设计
请学生每人拿出一张纸，将其对折几次。
问题1：折叠次数 x和层数
N间有什么关系？
问题2：如果已知有64层，
目标分析
1.学情分析
2.教学目标
3.教学重难点
情
知过感
识 与
程 与
态 度
技方与
能
法
价 值
观
教
教
学
学
重
难
点
点
目标分析
１．学情分析
通过指数函数一节的学习，学生已具备 所需的知识基础，且多次体会了对立统一、 相互联系、相互转化的思想，具有了一定的 探究、发现、研究对数定义的能力。但学生 学习的自主性、主动性欠缺，学习有依赖性。 因此需要合理引导调动。
教材
目标
分析
分析
教学
方法
过程
设计
教学 反思
２．地位与作用
教材分析
本节对加深指数的理解并为后面对数函 数的学习做了充分准备，起到了承上启下的 作用，它是架起指数函数与对数函数间联系 的桥梁。同时，对数的学习在解决日常生活 问题和科学研究中有着十分重要的作用。
教材
目标
分析
分析
教学
方法
过程
设计
教学 反思
教材
目标
分析
分析
教学
方法
过程
设计

(2)由
26 1 , 可得
64
log2 64 6;
(3)由
(1)m 5.73, 3
可得 log1 5.73 m;
3
(4)由
log1 16
4,
可得 (1)4 2
16;
2
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
指数式与对数式互化的方法 1.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数 不变，写出对数式； 2.将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 将下列指数情势化为对数情势,对数情势化为指数情势：
（1）54 625;
（2）26
1 64
;
（3）(13)m 5.73;
（4）log1 16 4; （5）lg 0.01 2; （6）ln10 2.303;
2
解：(1) 由54＝625，可得log5625＝4； (5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数， 以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即
loge N ln N
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：对数与指数的关系
指数和对数之间有什么关系？
对数由指数变换而来
指数 幂
对数 真数
ax=N
logaN=x
底数 故a>0，且a≠1，ax＝N⇔x=logaN.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： 1.对数怎么表示？ 2.对数和指数之间有着怎样的关系，如何相互转换？

初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形

log₁1 有无数个值，不能确定 . 为了避免 logaN 不存在或者不唯—确定的
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式

NO.3 当堂达标·夯基础
1．(多选)下列说法正确的有( ) A．只有正数有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以 5 为底 25 的对数等于 2 D．3log3a＝a(a>0)成立 ACD [ACD均正确．(－2)3＝－8不能化成对数式．]
12345
2．2－3＝81化为对数式为( A．log1 2＝－3
对数运算是指数运算的逆运算
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)logaN 是 loga 与 N 的乘积．( ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) (4)在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．指数式与对数式存在怎样的关系？ [提示] (1)若ab＝N⇔logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)． (2)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果 已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同， 互为逆运算．
9 592
8 686
9.45%
500 000
41 538
38 103
8.27%
1 000 000
78 498
72 382
7.79%
5 000 000
348 513
324 150
6.99%
注：如果A的近似值为a，那么相对误差指的是|A－A a|×100%.
谢谢观看 THANK YOU!
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 指数式与对数式的互化 类型2 利用指数式与对数式的关系求值 类型3 应用对数的基本性质求值

ln e 1
（5）从（4）中你发现有什么规律？
1的对数等于0， 底的.对数等于1
5
(5)如果把式子 ab N 中的b用 bloga N 代换，
把式子 loga N b 中的N用 N a b 代换，
会得到什么样的式子？
从而得到： aloga N N, loga ab b
这两个式子，我们叫对数恒等式
对数恒等式
aloga N N,
loga ab b
.
11
2 （3） log64 x 3
解：因为
log 64
x
2 3
所以
2
x643
(43)23
421
16
（4） logx 8 6
解: 因为 logx 8 6 所以
x6 8
1
1
1
又因 x 0 所以 x86 (23)622 2
.
12
例3计算： （5） lg100 x
引例:
2004年我国的国民生产总值为a亿元，
如果按平均每年增长8%估算，那么经过多
少年国民经济生产总值是2004年的2倍？
假设经过x年国民经济生产总值是2004
年的2倍，依题意得，1.08xa=2a
即1.08x=2
指数x取何值时满足这个等式呢？
这就是本节课要学习的对数问题：
已知底数和幂的值，求指数的问题。
.
6
对数的基本性质：
（1） 零和负数没有对数
（2） 1的对数等于0，即
loga 1 0.
（3） 底的对数等于1，即 （4） 对数恒等式
loga a 1.
aloga N N, loga ab b
说明：（1）在对数式 lo g a N 中，要注意各量的取值范围

解 23l： o23 g35lo39 g
232lo23 g353lo39 g
83353l1og39 2 427 51
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巩固练习
金版P86-88
P87跟踪训练5
P123练习
1.把下列指数式写成式对，数对数式写成指：数式
（1）23 8 (4)log3 92
（2）e 3 m (5)lgn 2.3
（3）2713 1
3
(6)log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
（ 1） lo52 g5 (2)lo0.4g 1
(3)ln1 e
(4)lg 0.00
3 .求下 x 的 列 值 各 ： 式中
log
1
x
( 21) 21
( 21)x 1 1 2 1 21 2 1 2 1
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2 1 x1
( 1 )lo 1x g 3 (2 )lo x4 g 9 4 (3 )l0 g .00 x 00 (4 )l1 n e x
3
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知识拓展
对数 : 恒 a lo aN g 等 N(a 式 0 ， a 且 1 ,N 0 )
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