工程力学第9章 应力状态与强度理论

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根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
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9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
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（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
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（3）第三强度理论———最大切应力理论
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（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
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（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
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（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
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思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
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9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
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9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
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式中，E为弹性模量，μ为泊松比，G为切变模量。E，μ 及 G均为与材料有关的弹性常数。对理想弹性体，3个常数之 间存在如下关系
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例9.5 图9.13（a）所示边长为15mm 的正方体混凝 土块，很紧密地放在绝对刚性的槽内，刚槽的高、宽均 为150mm，混凝土块的顶面上作用有q=20MPa的均布压 力，已知混凝土的泊松比μ=0.2。当不计混凝土与槽间的 摩擦时，试求混凝土块中沿x，y，z三方向的正应力σx， σy及σz。
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（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个主应 力不为零，如图9.4（a）所示。 （2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力 不为零，如图9.4（b）所示。 （3）三向应力状态：三个主应力均不为零，如图 9.4（c）所示。
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9.2 平面应力状态分析
在平面应力状态下，当单元体两对应力作用面上的 应力确定时，求任一斜截面上的应力，可采用解析法或 图解法。解析法是用一假想截面将单元体从所考虑的斜 截面处截成两部分，考虑其中任意一部分的平衡，即可 由平衡条件求得该截面上的正应力和切应力。这是分析 单元体斜截面上应力的基本方法。下面以一般平面应力 状态为例，说明这一方法的具体应用。
9.5.2 常用的强度理论 1.材料破坏的主要形式 实践表明，尽管各类材料的破坏现象比较复杂，但 就其破坏形式来说，大体可分为两大类：一类为屈服破 坏，另一类为脆性断裂。 塑性破坏（plastic failure）一般是对塑性材料而言的。 脆性断裂（brittle fracture）一般是对脆性材料而言。 2.常用的强度理论 （1）第一强度理论———最大拉应力理论 该理论认为，材料发生脆性断裂的主要因素是该点 的最大拉应力。
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（1）α 角——从 x轴逆时针转至 α 面外法线 n者为 正，反之为负。 （2）正应力———拉应力为正，压应力为负。 （3）切应力———τxy，τα以使绕微元内任意点产生 顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。τyx由切应力互 等定理确定其具体指向。
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9.2.2 平面应力状态下任意斜截面上的应力 为确定平面应力状态下任意斜截面上的应力，将单 元体从任意方向面处截为两部分。考察其中任一部分， 其受力如图9.5（b）所示。该部分沿α面法向及切向的平 衡方程分别为：
第9章 应力状态与强度理论
前面研究杆件的基本变形下的应力时，主要是研究 横截面上的应力，并根据横截面上的应力以及相应的实 验结果，建立了只有正应力或切应力作用时的强度条件。 但对某些杆件来说，仅研究横截面上的应力是不够的， 有些杆件破坏时并非沿着横截面。例如，铸铁圆杆，其 受压破坏时，将沿与轴线成一定角度的斜截面破坏，这 就必然与斜截面上的应力有关，因此，还需要进一步研 究斜截面上的应力。一般情况下杆件横截面上不同点的 应力是不相同的；过同一点不同方向面上的应力也是不 相同的。因此，当提及应力时，必须指明“哪一个面上， 哪一点，沿什么方向”的应力。
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9.1 应力状态的概念
应力状态（stressstate）又称为一点处的应力状态， 是指过一点所有不同方向面上应力的集合。 应力状态分析（analysisofstress-state）是用平衡的方 法，分析过一点不同方向面上应力情况及其变化规律， 确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。
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Hale Waihona Puke 0应用式（9.5）和式（9.7），可以得出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 组方向面内的极值正应力和极值切应力，通过比较可得 三向应力状态下任一点的最大应力分别为：
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9.4 广义胡克定律
在第7章中已经介绍，杆件轴向拉伸（压缩）时， 在横截面上产生正应力的同时，沿纵向与横向分别产生 纵向线应变ε与横向线应变ε′。对于理想弹性材料，当正 应力不超过材料的比例极限时，正应力σ与纵向线应变ε 之间存在下列关系
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9.3 空间应力状态下的最大应力
组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学 方法进行受力分析的，只是一般三维结构的特殊情况。 既然这样，在建立强度条件时，必须按三维问题考虑才 符合实际。因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情 况——平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状 态，作进一步的分析，才能符合工程实际。另外，在工 程中还存在许多三向应力状态的问题。例如，处于液体 中一定深度的单元体，在液体压力作用下便处于三向应 力状态；火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态。