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行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用及其在MATLAB中的实现_杜美华

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MATLAB软件在线性代数教学中的应用

MATLAB软件在线性代数教学中的应用

MATLAB软件在线性代数教学中的应用【摘要】MATLAB软件在线性代数教学中的应用日益重要。

本文从向量和矩阵运算、线性方程组求解、特征值和特征向量计算、线性代数可视化教学以及矩阵分解和奇异值分解等方面探讨了MATLAB的应用。

通过实际案例展示了MATLAB在教学中的实际应用，有助于学生更好地理解线性代数的概念和应用。

结合结论部分讨论了MATLAB在线性代数教学中的重要性以及未来的发展方向，强调了MATLAB在提升学生学习效果和培养解决实际问题能力方面的巨大潜力。

MATLAB在线性代数教学中的应用有着广阔的发展前景，为教学提供了更加丰富和多样化的教学手段。

【关键词】MATLAB, 线性代数, 教学应用, 向量, 矩阵运算, 线性方程组, 特征值, 特征向量, 可视化教学, 矩阵分解, 奇异值分解, 重要性, 发展方向1. 引言1.1 MATLAB软件在线性代数教学中的应用概述MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于高等教育领域，尤其在线性代数教学中发挥着重要作用。

在在线性代数教学中，MATLAB可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高他们的数学建模和问题求解能力。

通过MATLAB软件，学生可以直观地进行向量和矩阵运算，求解线性方程组，计算特征值和特征向量，进行矩阵分解和奇异值分解等操作。

MATLAB软件提供了丰富的数学函数和工具箱，使得学生可以方便地进行各种数学计算和仿真实验。

通过MATLAB的可视化功能，学生可以直观地观察数学概念的几何意义，加深对数学知识的理解。

MATLAB还支持编程功能，学生可以通过编写脚本和函数来实现复杂的数学运算和算法，培养他们的编程能力。

在线性代数教学中，MATLAB软件的应用不仅可以帮助学生更好地掌握数学知识，提高数学建模和问题求解能力，还可以激发学生的学习兴趣，培养他们的创新思维和实践能力。

MATLAB软件在线性代数教学中的应用具有重要意义，对提升教学效果和培养学生的数学素养具有积极作用。

Matlab在线性代数中的应用

Matlab在线性代数中的应用
控制设计
利用Matlab的控制设计方法，如PID控制、状态反馈控制等，可以 设计出有效的控制系统。
THANKS
感谢观看
利用Matlab的图像处理函数，可以从图像中提取 特征，如边缘、角点等，用于目标检测和识别。
在控制系统中的应用
系统建模
使用Matlab的控制系统工具箱，可以对系统进行建模，如线性时 不变系统、非线性系统等。
系统分析和仿真
通过Matlab的控制系统函数，可以对系统进行稳定性分析、控制 性能分析和仿真测试。
向量运算
向量的基本运算
包括向量的加法、减法、数乘、向量的模等。
向量的内积和外积
内积和外积是描述向量之间关系的运算，用于计算向量的长度、角 度等。
向量运算的实际应用
向量运算在物理、工程等领域有广泛应用，如描述物体运动轨迹、计 算力的合成等。
特征值与特征向量
01
特征值和特征向量 的定义
特征值和特征向量是描述矩阵特 性的重要概念，用于描述矩阵变 换的性质。
04
Matlab在线性代数中的优势与 局限性
优势
高效计算能力
Matlab提供了强大的矩阵运算 和数值计算功能，使得线性代
数问题的求解更加高效。
可视化工具
Matlab内置了丰富的可视化工 具，可以直观地展示线性代数 中的向量、矩阵和线性变换等 概念。
易于学习和使用
Matlab的语法相对简单，使得 线性代数运算变得容易理解和 实现。
解的精度和稳定性
Matlab在线性方程组求解过程中考虑了精 度和稳定性问题，能够提供可靠的解。
向量运算和特征值问题
向量运算
Matlab支持向量的基本运算 ，如加法、减法、数乘、点 积等。

应用matlab实现线性代数的现代化教学

应用matlab实现线性代数的现代化教学

应用matlab实现线性代数的现代化教学作者：胡剑来源：《东方教育》2018年第18期MATLAB是用Fortran语言编写的工程计算分析软件，matlab的核心理念是矩阵计算，其中的计算对象都是以矩阵的形式呈现的。

现在的matlab拥有强大的程序包用来处理各个领域的问题，比如仿真计算，原型开发，数据可视化等。

因此matlab目前是最广泛应用的数学软件，在发达国家大学中是必须掌握的基本数理工具，更是一般研究设计和工程单位的标准软件。

无论是学术，还是工业应用，matlab都具有无法或缺的地位。

线性代数主要是研究线性变换的学科，大学阶段的线性代数，主要讨论和矩阵相结合的有限维线性空间的理论。

主要涉及线性方程组，矩阵运算，线性空间与线性变换，正交性，二次型，向量空间等内容，是一般大学的公共基础课，是现代数学理论的重要基石之一。

目前在网络运算，优化，系统工程等多方面有深入而广泛的应用。

线性代数的教学存在以下弊端：1.枯燥抽象，线性代数是第二代数学模型，是先建立抽象的公理系统，再讨论运算的。

所以对于学生来说一下子难以接受如此抽象的课程。

我们的教材的安排上也是遵循学科发展的时间顺序编排，并没有考虑学生的接受次序，往往线性代数成了很多学生的发懵课。

2.计算大而繁琐，现代大量应用中的线性代数都是大规模的，反应到教学中。

过于簡单的算例，学生领会不到计算的技巧，过于复杂的算例，有让学生浪费时间在枯燥无趣的加减乘除中，对于真正线性代数理念的理解毫无进益，此舍本求末。

3.线性代数本身涉及抽象空间的对象的变换，如果没有图形的辅助对学生来说没办法建立抽象空间的概念。

往往线性代数最后都是为学而学，对真正抽象空间的理解仅停留在几个字面意思，脱离了线性代数教学本身的初衷。

新教学改革计划将matlab融入线性代数的教学中，基本安排如下：1.教材选择，我们选用了Steven J. Leon的第九版的线性代数中文版。

它详细的讲解了每个公式的来龙去脉和其中的代数和几何意义，使得读者对于那些公式的理解可以提高一个档次。

matlab在线性代数中的应用

matlab在线性代数中的应用

A(2,:) = -A(2,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(2,:); A1=A, A(3,:) = -A(3,1)/A(1,1)*A(1,:)+A(3,:); A2=A, A(3,:) = -A(3,2)/A(2,2)*A(2,:)+A(3,:); A3=A,
得 A1 =
A2=
A3=
1 0 2 1 0 0 1 0 0
0 1 -1 0 1 -1 0 1 0
7 -23 9 7 -23 -5 7 -23 -28
B1= 1 -4 0 B2 = 1 0 -2 B3 = 1 0 0 B0 = 1 -4 -6
0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
请读者从三次消元中归纳出消元法的语法规则.如果选第i 行为基准行,其第k列的元素为基准元素,则要把第j行第k列的 元素消元为零,应该执行下列程序: A(j,:)=-A(j,k)/A(i,k)*A(i,:)+A(j,:) 可以专门编成一个消元子程序. 读者还可以观察这几个初等变换矩阵的构成特点.不难验证 B0=B3*B2*B1.要注意,这几个乘子相乘的次序是不能颠倒的.
解这个矩阵方程可以用下列几种方法.
方法一: 用消元法将其增广矩阵[A,b]化为最简行阶梯形 式(Reduced Row Echelon Form) .MATLAB用它第一个字母的缩 写rref作为命令.程序如下: A=[6,1,6,-6; 1,-1,9,9; -2,4,0,-4; 4,2,7,-5]; b=[7; 5; -7; -9] U=rref([A,b]) 程序运行的结果为: 1.00
0 3 0 1 0 2 0 0 1 8 (柠檬酸) , (小苏打) , (碳酸钠) , (水) , (二氧化碳) 6 0 1 6 1 2 7 1 3 8

MatLab在线性代数中的应用

MatLab在线性代数中的应用

例 1 定义多项式 p 4x4 2x3 x2 5.
输入语句:
在上面表达中, a 可以是一个向量.
继续输入
⑵多项式的复数根
格式： roots( p)
使用举例：
p 4x4 2x3 x2 5.
（3）其它关于多项式的函数
polyr 返回由根决定的多项式的系数
使用举例：设有一多项式的根为-1,2,3
1
0

5 / 4 1/ 2 1
则有
2 2 3
MA


0
2
1/
2

.
0 0 5 / 4
记
1 0 0
L M 1 1/ 2
1
0

,
1 1/ 2 1
则
A LU. 这样的分解称为 LU分解. 其中L为下三角阵, U为上三
结果为
可解 唯一解
若将常数列修改为 b 2,1, 1,1, 则结果为
例 求解方程组
结果为:
x1 x2 x3 x4 1, x1 x2 x3 x4 1, 2x1 2x2 x3 x4 1.
四、特征值与特征多项式
1.相关函数
trace(A) 求方阵的迹

2 x2

1 2
x3

3 2
,

5
5
4 x3 4 .

2x1 2x2 3x3 9,

13 2x2 2 x3 2 ,

5 4
x3


5 4
.
2
x1


2x2 2x2

Matlab在线性代数中的应用

Matlab在线性代数中的应用
2017年4月6日星期四
Matlab 软件在线性代数的应用
11
（3）矩阵的输入 A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4] %行之间要用分号隔开 A= 2 3 5 1 3 5 6 9 4 m=input('请输入初始量，m=')； 请输入初始量，m= 问题：输入A(2,3)，结果如何？输入A(7)又如何？ 注意：变量名开头必须是英文字母，变量名对字母 大小写是区分的.
环境中。在这里可以实现工程计算、算法研究、符
号运算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视
化、科学和工程绘图、应用程序设计(包括图形用户
界面设计)等等功能。
2017年4月6日星期四
Matl出的优势，它现在已 成为世界上应用最广泛的工程计算软件。在美国等发 达国家的大学里MATLAB是一种必须掌握的基本工具， 而在国外的研究设计单位和工业部门，更是研究和解
2017年4月6日星期四
Matlab 软件在线性代数的应用
19
7.联机求助 例： help sqrt %将显示出平方根sqrt 命令的功能和使用方式
2017年4月6日星期四
Matlab 软件在线性代数的应用
20
8. 数据格式命令说明
format short 1.4142 短格式，显示5位 format long 1.41421356237310 长格式，显示15位 format short e 1.4142e+000 最优化短格式，5位加指数 format long e 1.41421356237310 e+000 最优化长格式，15 位加指数 format hex 3ff6a09e667f3bed 十六进制,货币银行格式， 小数点后2位 format bank 1.41 货币银行格式，小数点后2位 format rat 1395/985 有理格式 format + + 紧密格式，显示数据+，－，

第六章 线性代数的应用以及Matlab实现


解最多有m个非0元素.
线性代数
6.1.3 向量组和线性方程组
第三步 解相应的齐次方程组AX=0，求的基础解，可以 使用函数null()求的基础解，null（A）返回齐次方程组 的一个基础解系.
第四步
非齐次线性方程组的通解等于相应的齐次线性
方程组的通解和非齐次线性方程组的一个特解的和.
线性代数
6.1.3 向量组和线性方程组
6.1.1 行列式
例3 解线性方程组
x1 x 2 x3 x 4 5 x 2 x x 4 x 2 1 2 3 4 2 x1 3x 2 x3 5 x 4 2 3x1 x 2 2 x3 11x 4 0
线性代数
6.1.1 行列式
线性代数
6.1.2 矩阵和矩阵计算
例4
1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 1 B 2 3 1 3 4 0 1 1
求A*B和A.*B
线性代数
6.1.2 矩阵和矩阵计算
Matlab 求解 >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> B=[1 -1 0;2 3 1; 3 4 1];
Matlab 求解 >> A= [1 -2 -1 0 2; -2 4 2 6 -6; 2 -1 0 2 3;3 3 3 3 4];
>> rank(A)
ans =3
线性代数
6.1.3 向量组和线性方程组
例8 求下列矩阵列向量组的一个最大无关组
1 2 4 2 A 2 1 3 3 1 2 0 3 2 6 6 2 3 3 4 0
>> A*B

Matlab在线性代数中的应用


(2) [L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵 U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P， 使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后，线性方程组Ax=b 的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以 大大提高运算速度。
例:用LU分解求解例AX=b中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)
函数 svd 格式 s = svd (X) %返回矩阵X 的奇异值向量 [U,S,V] = svd (X) %返回一个与X 同大 小的对角矩阵S，两个酉矩阵U 和V，且满足 X= U*S*V'。若A 为m×n 阵，则U 为m×m 阵，V为n×n 阵。奇异值在S 的对角线上，非 负且按降序排列。 [U,S,V] = svd (X,0) %得到一个“有效大 小”的分解，只计算出矩阵U 的前n列，矩阵S 的大小为n×n。
Ax=b 其解为：x=A-1b
2．矩阵的伪逆
如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个 非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以 找到一个与A的转置矩阵A‘同型的矩阵B，使 得： A· A=A B· B· B=B A· 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆 矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函 数是pinv(A)。
数学实验
Matlab 在线性代数 中的应用
矩阵分析
对角阵与三角阵 1．对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩 阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量 矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为 单位矩阵。

在线性代数中的Matlab简单应用


1
6
2
5
17
5.0000 -7.5000 （2） 向量的点积 >>x*y’ %向量的点积 ans = -12
2.5000
12.5000
17.5000
20.0000
(3)向量组的规范正交化 利用施密特正交化过程可以对向量组规范正交化，在 MATLAB 中，利用 qr 函数： 例：将向量组 a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0) 规范正交化 >> A=[1,-1,4; 2,3,-1;-1,1,0] A= 1 -1 4 2 3 -1 -1 1 0 >>[Q,R]=qr(A); >>Q %矩阵 Q 的列向量组就是所求的规范正交化向量组 Q= -0.4082 0.5774 0.7071 -0.8165 -0.5774 0.0000 0.4082 -0.5774 0.7071 即 q1=（-0.4082，-0.8165，0.4082） ，q2=（0.5774，0.5774，-0.5774） ，q3=（0.7071，0.0000， 0.7071） 为所求的规范正交向量组。 我们还可以用下述命令验证 q1， q2， q3 的规范正交性。 >>Q’*Q %验证规范正交性，应得到 E，说明 Q 是正交矩阵。 ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
（4） 向量组的线性相关性 利用向量组构成的矩阵的秩 rank(A)，判定该向量组是否线性相关。 判定向量组 a1=（1,2,-1,4） ，a2=（9,100,10,4） ，a3=（-2，-4,2，-8） ，a4=（3,1,2,0）的线性 相关性。 >>A=[1,9,-2,3;2,100,-4,1;-1,10,2,2;4,4,-8,0]; >> rank(A) ans = 3 因为 rank（A）<4，所以该向量组线性相关。 (5) 向量组的秩与最大无关组 向量组的秩等于它构成矩阵 A 的秩，再利用 rref(A)函数将 A 化成行最简型，即可求得 向量组的最大无关组。 >> rref(A) ans = 1 0 -2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 即 a1，a2，a4 构成了向量组的一个最大无关组，且 a3 = -2a1

基础篇-第9章-Matlab在线性代数中的应用



9.1.4 混合积
定义： 三个向量 a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0。 混合积的性质：
(1) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b) = - (b,a,c) = - (a,c,b) = - (c,b,a)。
(2) (a×b)c=a(b×c)。 定义：设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a*b)*c 称为三个向量 a ，b ，c 的 混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。 【例9-9】 向量a=(1,2,3),b=(2,3,4),c=(5,2,1),求a·(b×c)的混合积。 a=[1 2 3] a=1 b=2 c =5 v = -2 2 3 2 3 4 1 >> b=[2 3 4] >> c=[5 2 1]
2
-2 1 0
5/3
-4/3 0 1
写出通解： syms k1 k2 x=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) x= [ 2*k1+5/3*k2] [ -2*k1-4/3*k2] [ k1] %写出方程组的通解
[
k2]
%让通解表达式更加精美 [2 k1 + 5/3 k2 ] [ [ [ [ [ k2 k1 ] ] ] ] ] [-9.3.3
因此步骤为：
求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。 第一步：判断AX = b是否有解，若有解则进行第二步； 第二步：求AX = b的一个特解；
第三步：求AX = 0的通解；
第四步：AX = b的通解 = AX = 0的通解+AX = b的一个特解。 【例9-20】 求解方程组的解。
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3 4 2 0
3 行阶梯形矩阵的 MATLAB 实现
线性方程组是线性代数教学的核心内容，在实际中具有重大的作用，而化行阶梯形矩阵是解决线性方 程组解的基本方法，学会应用计算机软件化行阶梯形矩阵非常有必要，行最简形矩阵可以说是行阶梯形矩 阵的一种标准形式，下面以一个应用 MATLAB 软件 化行最简形矩阵的例子来说明其过程。 例 3 设 1 2 1 4 3 ， 2 1 1 6 6 ， 3 1 2 2 9 ， 4 1 1 2 7 ， 5 2 4 4 9 ，则以 1 , 2 , 3 , 4 , 5 作为列组成矩阵 A ，在 MATLAB 软件中，输入以下程序：
3 1 0 0
4 3 1 0
5 1 4 ， A 0 2 0 2 0 0
0 1 0 0
2 4 0 0
0 0 1 0
4 2 3 0
其中， A2 称为行最简矩阵，其特点是 （1）非零行首非零元是 1； （2）1 所在列的其余元素为 0。
2 行阶梯矩阵与行最简形矩阵的应用
的同解方程组，从而得到方程组的全部解。 同理，求解齐次线性方程组 Ax 0 ，其求解过程实际上就是将 A 通过初等行变换化为行阶梯形矩阵进 而化成行最简形矩阵的过程。还有矩阵的特征向量的求解其实也是求解齐次线性方程组，因而也是化行阶 梯与化行最简的过程。 2.4 判断向量组的线性相关性、求向量组的极大无关组与向量的线性表示 定义 2 给定向量组 1 , 2 , , n ，若存在不全为零的常数 k1 , k2 , , kn ，使得 k11 k2 2 kn n 0 [3] 则称向量组 1 , 2 , , n 线性相关，否则称向量组 1 , 2 , , n 线性无关 。 向量组的线性相关性，即为齐次线性方程组 x11 x2 2 xn n 0 （1） 是否有非零解的问题，故只需要对矩阵 A (1 , 2 , , n ) 进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，看此行 阶梯形矩阵的非零行数 r 与 n 的关系，若 r n ,则线性相关，若 r n ，则线性无关。 同时可以求得 1 , 2 , , n 的一个极大线 当 A (1 , 2 , , n ) 的行阶梯形矩阵的非零行的行数 r n 时， 性无关组，因为初等行变换不改变方程组（1）的解，从而也就保持了各列 A 的列向量组 1 , 2 , , n 的线 性相关性。非零行首非零元所在的列（即为主元列）必定线性无关，从而对应于矩阵 A 中各列向量即为向 量组 1 , 2 , , n 的极大无关组，并且进一步将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵，就可以将向量 组 1 , 2 , , n 中不属于极大无关组的向量用极大无关组来线性表示。例如：
线性代数作为一门基础实用课程在现实生活中的应用越来越广泛，尤其是在计算机广泛使用的现代社 会，线性代数在我们的社会实践应用中扮演了越来越重要的角色。矩阵是线性代数的一个重要工具，而矩 阵的行阶梯形矩阵与行最简矩阵在线性代数中解决一些基本问题中起了关键的作用，因而有必要对行阶梯 形矩阵与行最简矩阵在线性代数中的应用进行深入而全面的探讨。线性代数的概念理论较多，对于初学者 来说是一门较为抽象的学科，其实线性代数在理解了其本质内容之后，线性代数中的那些基本问题都可以 归结为矩阵的行阶梯形矩阵与行最简矩阵的求解，这也是线性代数学习的重点与难点。本文主要从两者在 线性代数中的应用进行全面深入的探讨，并结合实际案例给出了行最简形矩阵的 MATLAB 实现过程。
第 31 卷第 3 期 2015 年 5 月
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 Journal of Qiqihar University
Vol.31,No.3 May,2015
行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用 及其在MATLAB中的实现
杜美华
（青岛理工大学琴岛学院 基础部，山东 青岛 266106） 摘要：线性代数是一门很有实用价值的学科，矩阵是线性代数中的一个基础性工具，矩阵的行阶梯形矩阵与行最 简矩阵在解决线性代数的基本问题中起了关键的作用。本文中讨论了两者在线性代数中的应用，并且展示了其使 用 MATLAB 软件在计算机上实现的过程。 关键词：行阶梯形矩阵；行最简形矩阵；应用；MATLAB 中图分类号：O151 文献标志码：A 文章编号：1007-984X(2015)03-0090-05
2 2 的可逆性，若可逆求出逆矩阵。 3 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 ， 0 1 0 1 1 0 ( B, C ) 0 1 0 3 1 2 0 1 0 0 1 5 3 1
梯的过程。
1 0 2 0 0 1 1 0 A (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , 2 , 4 为向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的极大无关组，并且 3 21 2， 5 31 4 2 2 4
1 2 0 9 6 2 1 0 0 7 4 2 ( B, C ) 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 ( E , A1 ) 0 0 1 5 3 1 0 0 1 5 3 1 7 4 2 故 A1 1 1 0 5 3 1 ，求出 A 的逆矩阵就可以利用矩阵的乘法求出其解，实 对于矩阵方程 AX B, XA C （ A 为可逆矩阵）
1 2 r
t1 t2 tr ；则称 A 为行阶梯形矩阵。
[1]
行阶梯形矩阵的特点：可以画出一条阶梯线，此线的下方和左方元素全为零；每个台阶只有一行，台 阶数即为非零行的行数，阶梯线的竖线后面第一个元素即为首非零元 。 例如
[2]

1 0 A1 0 0
2 2 0 0
收稿日期：2014-12-29 作者简介：杜美华（1981-） ，女，山东高密人，讲师，硕士，主要从事数学教育方面的研究，meihua0815@。
第3期
行阶梯与行最简形矩阵在线性代数中的应用及其在 MATLAB 中的实现
1 行阶梯形矩阵
定义 1 设 A 为 m n 矩阵， A 中的任一非零行中的第一个非零元素称为首非零元，若矩阵 A 满足： （1）每个零行（如果有的话）位于任一非零行的下方； ，则首非零元所在的列满足 （2）若 A 的非零行的首非零元分别为 a1t , a2t , , art （设 A 有 r 个非零行）
际上利用化行阶梯与行最简形矩阵的过程，就可以快速而准确的求出其解。
初等行变换 初等行变换 ( A，B) ( E , X ) ， ( AT , BT ) ( E , X T )
，以这样的过程实现，可以先 而对于解矩阵方程 AXB C （ A 与 B 为可逆矩阵）
初等行变换 初等行变换 ( A, C ) ( E , XB) ( E , D) ，然后 ( BT , DT ) ( E , X T )
初等行变换 如讨论非齐次线性方程组 Ax b ，若 ( A, b ) 行阶梯形矩阵( A1 , b1 ) ①若 A1 的非零行数小于 ( A1 , b1 ) 的非零行数，则会产生矛盾方程 0 c 0 ，此时方程组无解，即 R( A) R( A, b ) ； ②若 A1 的非零行数等于 ( A1 , b1 ) 的非零行数，设 R( A) R( A, b ) r ，则不会产生矛盾方程，方程组有解。 当 r n 时有唯一解；当 r n 时有无穷多解，在有解时，可进一步将 ( A1 , b1 ) 化为行最简形矩阵，求出等价
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2.1 求矩阵的秩 由初等行变换及矩阵的秩的定义，容易证明 定理 1 若矩阵 A 与矩阵 B 等价，则 R( A) R( B) 。 定理 2 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。 由定理 1 与定理 2 知，要求出矩阵 A 的秩，只需将 A 经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后数一下 其非零行的行数即可。 1 2 2 1 例 1 设 A 2 1 2 2 ，求 A 的秩。 1 1 4 3 1 2 2 1 1 2 2 1 解： A 0 3 6 4 0 3 6 4 0 3 6 4 0 0 0 0 故 R( A) 2 。 2.2 判断矩阵的可逆性及求矩阵的逆矩阵 矩阵的初等行变换，不会改变方阵的奇异性，即若原方阵为非奇异矩阵，则初等行变换后的矩阵也是 非奇异的矩阵，因而有如下结论 定理 3 方阵 A 可逆的充分必要条件是 A E 。 此定理说明，如果矩阵 A 经过初等行变换后，化为的行阶梯形矩阵出现零行，则此矩阵必不可逆。由 初等矩阵的性质及定理 3，如下结论是成立的。
但是需要注意的是，在利用初等行变换化矩阵 A 为行阶梯形矩阵的过程中，如果前 n 列的行阶梯形矩 阵中出现零行，则说明 A 是不可逆的。这种化行阶梯形矩阵的方法省去了求方阵 A 的行列式的值来判断可 逆性的繁琐， 并且在可逆时， 再利用初等行变换将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵即可求出方阵的逆矩阵。
1 2 例 2 判断矩阵 A 1 3 2 1 1 2 2 1 解： ( A, E ) 1 3 2 0 2 1 3 0 由于 B 1 0 ，故 A 可逆。
就可以解出此矩阵方程的解。
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齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
2015 年
2.3 求解线性方程组的解
a11 a12 a1n b x x1 b1 a a22 a2 n 21 2 设A ， x ， b 2 ，对于非齐次线性方程组 Ax b 与齐次线性方程 a b x m n m1 am 2 amn 组 Ax 0 而言，判断解的情况的高斯消元过程，实际上就是分别将增广矩阵 ( A, b ) 与系数矩阵 A 化为行阶