系统辨识习题解答

系统辨识练习题
一、简述下列各题
1. 什么是系统辨识？系统辨识的组成要素有哪些？系统辨识的基本步骤有哪些？把
系统辨识的基本环节用框图表示出来。

2. 阐述辨识的原理，并以单输入单输出系统为例，画出辨识原理图。

3. 什么是最小二乘参数辨识问题，简单阐述它的基本原理。

4. 基本最小二乘算法有何优缺点？克服基本最小二乘算法的缺陷的方法有哪些？
5. 递推辨识算法的基本格式是什么？构成递推辨识算法的基本条件是什么？
6. 阐述极大似然原理。

7. 现代辨识方法大体上可以分成哪几类？ 8. 何谓白噪声？
9. 简述表示定理，并简单说明其意义。

10. 简述巴塞伐尔定理。

二、如下图所示，信号以1/2的概率在固定的时间间隔上改变极性，而且在持续时间区间内
信号幅度保持不变，求其自相关函数)(τx R 和谱密度函数)(ωx S 。

三、完成下面关于参数估计的统计性质的表格（在符合条件的栏内打√）
四、根据热力学原理，对于给定质量的气体，压力P 与体积V 之间的关系为βα
=PV
，其
中α和β为待定参数。

经实验获得如下一批数据，V 单位为立方英寸，P 的单位为巴每平方英寸
试用一次完成的最小二乘算法确定参数α和β（只要求写出计算过程，不要求计算结果）。

五、 写出加权最小二乘算法的递推公式，并解释如何进行递推计算（包括初始条件如何
确定）？ 六、
考虑一个独立同分布的随机过程)}({t x ，在参数θ条件下随机变量x 的概率密度为
0,)|(2>=-θθθθx xe x P
求参数θ的极大似然估计。

2009级本科生 系统辨识及自适应控制 考试题一、 概述系统辨识与自适应控制的关系，以及自适应控制的研究对象和系统辨识的定义?（10分）关系：PPT 1.4图及说明。

自适应控制的研究对象：是具有一定程度不确定性的系统。

系统辨识：就是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型。

二、描述随机过程统计特性的确定性时间函数有哪些？什么是白噪声，它有哪些特性，有何用途？在系统参数辨识实验中为什么常用M 序列或逆M 序列作为被辨识对象的输入信号？（20分）确定性时间函数有：均值函数、方差函数、均方值函数、相关函数等白噪声：一种均值为零，谱密度为非零常数的平衡随机过程白噪声特性：（1）是一种随机过程信号（2）没有记忆性，任意两时刻之间的值不相关（3）均值为零，方差为常数（4）功率谱密度函数为常数用途：（1）作为系统输入时，为系统的单位脉冲响应（2）作为被辨识系统输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励（3）作为被辨识系统输入时，可防止数据病态，保证辨识精度（4）产生有色噪声原因：白噪声是一种理想的随机过程，若做为系统辨识的输入信号，则过程的辨识精度将大大提高，但是白噪声在工程上难以实现，因为工业设备无法按白噪声的变化特性运行。

M 序列与白噪声性质相近，保留了其优点，工业上可以接受。

但是M 序列含有直流成分，将造成对辨识系统的“净扰动”，而逆M 序列将克服这一缺点，是一种比M 序列更为理想的伪随机码序列。

三、简述在下列参数辨识公式中：111111ˆˆˆ[(1)()]()[()()]1[()]T N N N N T N N N T N N N K y N N K P N N P N P I K N P θθϕθϕλϕϕϕλ++-+++⎧⎪=++-⎪=+⎨⎪⎪=-⎩（1）系数λ的作用（10分）；（2）初始值P0如何设定？说明理由（10分）。

（1）加权系数，削弱旧数据产生的误差，对新数据的误差乘以大的加权，其值愈小，跟随时变参数的能力就愈强，但参数估计精度愈低。

襄樊学院2008-2009学年度上学期《系统辨识》试题A卷参考答案及评分标准一、选择题：（从下列各题的备选答案中选出一个或几个正确答案，并将其代号写在题干后面的括号内。

答案选错或未选全者，该题不得分。

每空2分，共12分）1、（C）2、（D）3、（ACD）4、（D）5、（A）6、（ABC）二、填空题：（每空2分，共14分）1、计算。

2、阶次和时滞3、极大似然法和预报误差法4、渐消记忆的最小二乘递推算法和限定记忆的最小二乘递推算法三、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”；错误的打“×”并改正；每小题2分，共20分）（注：正确的题目括号内打“√”得2分，打“×”得0分；错误的题目括号内打“×”得1分，改正正确再得1分，错误的题目括号内打“√”得0分；）1、（√）2、（×）参数型→非参数型3、（√）4、（×）没有→有5、（√）6、（×）考虑→基本不考虑7、（√）8、（√）9、（×）完全相同→不完全相同 10、（×）不需要→需要四、简答题：（回答要点，并简明扼要作解释，每小题6分，共18分）1、答：相关分析法的主要优点是由于M序列信号近似于白噪声，噪声功率均匀分布于整个频带，从而对系统的扰动甚微，保证系统能正常工作（1.5分）。

此外。

因为相关函数的计算是一种统计平均的方法，具有信息滤波的功能，因此，在有噪声污染下，仍可提取有用信息，准确地求出系统的脉冲响应（1.5分）。

相关辨识技术在工程中的应用、可归结为下述几个方面：（1）系统动态特性的在线测试。

包括机、炉、电等一次设备，风机、水泵等辅机以及二次自动控制系统；（1分）（2）对控制系统进行在线调试，使调节系统参数优化；（1分）（3）自适应控制中的非参数型模型辨识等。

（1分）2、答：计算中用一个数值来表示对观测数据的相对的“信任程度”，这就是权。

（2分）对于时变参数系统，其当前的观测数据最能反映被识对象当前的动态特性，数据愈“老”，它偏离当前对象特性的可能性愈大。

系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。

提示：①提示：① MA MA 模型z k D z u k ()()()=-1②定义tt q )](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中n n z d z d d z D ---+++= 1101)(，从而)()1()()(10n k u d k u d k u d k z n -++-+= 所以当定义t t q )](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h ，则有最小二乘格式：)()()()()(0k e k h k e k h d k z ni i i +=+=å=q t，其中e(k)e(k)是误差项。

是误差项。

2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。

请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。

解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成)()()(111---=z C z D z H 即)()()()(11k v z D k e z C --=其中cc n n zc z c z C ---+++= 1111)(dd nn zd z d z D ---+++= 1111)(根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：自回归模型（自回归模型（AR AR 模型）： )()()(1k v k e z C =- 平均滑动模型（平均滑动模型（MA MA 模型）： )()()(1k v z D k e -= 自回归平均滑去模型（自回归平均滑去模型（ARMA ARMA 模型）： )()()()(11k v z D k e z C --=3－4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明å-=D -D +=10221P N j P P P Mz j g N t a k g N t a N k R )(ˆ)(ˆ)()(解：由于M 序列是循环周期为t N P D ，12-=PP N ，t D 为M 序列移位脉冲周期，自相关函数近似于d 函数，a 为M 序列的幅度。

1、系统辨识——连续系统传递函数——脉冲传递函数function h=Continuous_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(1:N)';a=inv(g_NN)*g_N;%% x的求解syms xfor i=1:NX(i)=x^i;endf=X*a+1;x=double(solve(f));%%极点的求解p=log(x)/dt;c_NN=zeros(N,N);for i=1:Nc_NN(i,:)=x.^(i-1);endc_N=G(1:N)';%%增益求解k=inv(c_NN)*c_N;pkz=zeros(1,N);p=p';k=k';Continuous_TransferFcn=0;for i=1:NContinuous_TransferFcn=Continuous_TransferFcn+zpk(z(i),p(i),k(i)); endContinuous_TransferFcnendend例题 3.1(P32)>>G=[0 0.1924 0.2122 0.1762];>> N=2;>> dt=1;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.4934-0.7085k =1.6280-1.6280Continuous_TransferFcn =0.35024 s---------------------(s+0.4934) (s+0.7085)Continuous-time zero/pole/gain model.习题3.2(P34)>> G=[0 0.196 0.443 0.624 0.748 0.831]; >> N=3;>> dt=0.2;>> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p =-0.0633-1.7846-11.1860k =1.1249-1.33990.2150Continuous_TransferFcn =-0.08507 s (s-253.1)-------------------------------(s+0.06329) (s+1.785) (s+11.19) Continuous-time zero/pole/gain model.2 系统辨识——离散系统传递函数——脉冲传递函数function h=Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)% N——系统阶数% G——采样数据（个数大于等于2N+1）% G为一维行向量% dt——采样间隔if nargin<3errordlg('not enough input varibles','error hint');elseg_NN=zeros(N,N);for i=1:Ng_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1);endg_N=-G(N+2:2*N+1)';a1=inv(g_NN)*g_N;a=zeros(N,1);for j=1:Na(j,1)=a1(N+1-j,1);endB=zeros(N+1,N+1);B=diag(linspace(1,1,N+1));for i=1:N+1for j=1:N+1if (i==j)&(i<N+1)&(j<N+1)B(i+1:N+1,j)=a(1:N+1-i,1);endendendg__N=G(1:N+1)';b=B*g__N;abnum=b';den=[1 a'];Discrete_TransferFcn=tf(num,den,dt);Discrete_TransferFcnendend例题 3.2(P33)>> G=[0 7.157039 9.491077 8.563839 5.930506 2.845972 0.144611]; >> N=3;>> dt=0.05;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.23001.7606-0.4950b =7.1570-6.4691-0.0009Discrete_TransferFcn =7.157 z^2 - 6.469 z - 0.0008933--------------------------------z^3 - 2.23 z^2 + 1.761 z - 0.495Sample time: 0.05 secondsDiscrete-time transfer function.习题3.3(P34)>> G=[10 6.989 4.711 3.136 2.137 1.559 1.252 1.096 0.938 0.860]; >> N=3;>> dt=0.1;>> Discrete_system_transferFcn(N,G,dt)a =-2.19191.7166-0.4794b =10.0000-14.92956.55810.0139Discrete_TransferFcn =10 z^3 - 14.93 z^2 + 6.558 z + 0.01389--------------------------------------z^3 - 2.192 z^2 + 1.717 z - 0.4794Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.。

一． 问答题1. 介绍系统辨识的步骤。

答：（1）先验知识和建模目的的依据；（2）实验设计；（3）结构辨识；（4）参数估计；（5）模型适用性检验。

2. 考虑单输入单输出随机系统，状态空间模型[])()(11)()(11)(0201)1(k v k x k y k u k x k x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+ 转换成ARMA 模型。

答：ARMA 模型的特点是u(k)=0,[])()(11)()(0201)1(k v k x k y k x k x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+3. 设有一个五级移位寄存器，反馈取自第2级和第3级输出的模2加法和。

试说明：（1） 其输出序列是什么？ （2） 是否是M 序列？（3） 它与反馈取自第4级与第3级输出模2加法和所得的序列有何不同？ （4） 其逆M 序列是什么？ 答：（1）设设输入序列1 1 1 1 1111018110107101006010015100114001113011112111111）（）（）（）（）（）（）（）（()()()()()()()01110161110115110101410100)13(010011210011110011110011109()()()()()()()001112401110)23(111012211010211010020010011910011180011117()()()()()()()()10011320011131011103000111291101028101002701001261001125 其输出序列为：1 1 1 1 1 0 0 1 0 1⑵不是M 序列⑶第4级与第3级模2相加结果100108001007010006100015000114001113011112111111）（）（）（）（）（）（）（）（()()()()()()()11110161110115110101410101)13(010111210110110110010110019()()()()()()()110012410010)23(001002201000211000120000111900111180111117()()()()()()()()01111321111031111013011010291010128010112710110260110025 不同点：第2级和第3级模二相加产生的序列，是从第4时刻开始，每隔7个时刻重复一次；第4级与第3级模2相加产生的,序列，是从第2时刻开始每隔15个时刻重复一次。

系统辨识大作业
一.设SlSO系统差分方程为
y(k)=—α1y(k-1)-a2y(k-2)+bλu(k-1)+b2u(k-2)+ξ{k)
辨识参数向量为θ=[q a2b l b2]r,输入输出数据详见数据文件UyLtXt—uy3.txtoξ(k)为噪声方差各异的白噪声或有色噪声。

试求解：
1)用n元一次方程解析法，再求其平均值方法估计。

2)用最小二乘及递推最小二乘法估计。

；
3)用辅助变量法及其递推算法估计
4)用广义最小二乘法及其递推算法估计
5)用夏氏偏差修正法、夏氏改良法及其递推算法估计
6)用增广矩阵法估计
7)分析噪声父攵)特性；
二.用极大似然法估计6。

三.以上题的结果为例，进行：
1.分析比较各种方法估计的精度；
2.分析其计算量；
3.分析噪声方差的影响；
4.比较白噪声和有色噪声对辨识的影响。

四.系统模型阶次的辨识：
1.用三种方法确定系统的阶次并辨识；
2.分析噪声对定阶的影响；
3.比较所用三种方法的优劣及有效性；
五.给出由正弦输入求取系统开环频率响应特性曲线的辨识方法。

六.提出一种自己创造的辨识新方法，并用所给数据进行辨识验证。

注：闭卷考试时提交大作业报告。

系统辨识例题注：红色标出的不太确定；本答案仅供参考。

一、选择题1、下面哪个数学模型属于非参数型（D ）A 、微分方程B 、状态方程C 、传递函数D 、脉冲响应函数2、频谱覆盖宽、能量均匀分布是下面哪种信号的特点（D ）A 、脉冲信号B 、斜坡信号C 、阶跃信号D 、白噪声信号3、下面哪些辨识方法属于系统辨识的经典方法（ACD ）A 、阶跃响应法B 、最小二乘法C 、相关分析法D 、频率响应法二、填空题1. SISO 系统的结构辨识可归结为确定（阶次）和（时滞）2. 通过图解和（计算）方法，可以由阶跃响应求出系统的传递函数3. 多变量线性系统辨识的步骤是（）4. （渐消记忆）的最小二乘递归算法和（限定记忆）的最小二乘递推算法都成为实时辨识算法5. 遗传算法中变异概率选取的原则是（变异概率一般取得比较小，在0.001~0.01之间，变异概率越大，搜索到全局最优的可能性越大，但收敛速度越慢）6. 模型中含有色噪声时可采用（增广最小二乘）和（广义最小二乘）辨识方法7. 最小二乘法是（极大似然法）和（预报误差法）的特殊情况三、判断题1. 机理建模这种建模方法也称为“白箱问题”。

（√）2. 频率响应模型属于参数模型。

（×）非参数3. 白噪声和M 序列是两个完全相同的概念。

（×）不完全相同4. 渐消记忆法适合有记忆系统。

（×）5. 增长记忆估计算法给予新、老数据相同的信度。

（√）6. 最小二乘法考虑参数估计过程中所处理的各类数据的概率统计特性。

（×）基本不考虑7. 系统辨识不需要知道系统的阶次。

（×）需要8. 自变量是可控变量时，对变量间关系的分析称为回归分析。

（√）9. Newton-Raphson 方法就是随机梯度法。

（×）10. 模型验证属于系统辨识的基本内容。

（√）四、简答题1. 举例说明数学模型的定义及用途。

数学模型：以数学结构的形式反映过程的行为特性（代数方程、微分方程、差分方程、状态方程等参数模型）。

系统辨识复习提纲1． 什么是系统？什么是系统辨识？答：系统泛指由一群有关联的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元 件不能单独完成的工作的群体。

即一群有相互关联的个体组成的集合称为系统。

系统辩识就是：利用对未知系统的试验数据或在线运行数据（输入/输出数据）以及原理和原则建立系统的（数学）模型的科学。

2． 什么是宽平稳随机过程，其遍历定理内容是什么？答：在数学中，平稳随机过程或者严平稳随机过程，又称狭义平稳过程，是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程：即随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。

这样，数学期望和方差这些参数也不随时间和位置变化。

如果平稳随机过程()t x de 各集和平均值等于相对应的时间平均值 x =μx ，()()+t x t x =Rx ()τ,式中x 伪随机过程()t x 的时间平均值；x μ为与以为 概率密度有关的数字特征量集合均值；Rx ()τ为自相关函数。

则称()t x 是各态遍历的平稳随机过程。

3． 简述噪声模型及其分类。

P130噪声模型：)()()(111---=z C z D z H 分类：1) 自回归模型，简称AR 模型，其模型结构为 )()()(1k v k e z C =- 2) 平均滑动模型，简称MA 模型，其模型结构为)()()(1k v z D k e -=3)自回归平均滑动模型，简称ARMA 模型，其模型结构为))()()()(11k v z D k e z C --=4． 白噪声与有色噪声的区别是什么？答：辨识所用的数据通常含有噪声。

如果这种噪声相关性较弱或者强度很小，则可近似将其视为白噪声。

白噪声过程是一种最简单的随机过程。

严格地说，它是一种均值为零、谱密度为非零常数的平稳随机过程，或者说它是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程。

白噪声过程没有“记忆性”，也就是说t 时刻的数值与t 时刻以前的过去值无关，也不影响t 时刻以后的将来值。

一、概念题1. 请给系统辨识下个定义。

2. 如何获得适合辨识的观测数据？3. 系统辨识有哪些应用？4. 为何要将辨识数据标准化？如何标准化？5. 白噪声的定义是什么?6. 什么是M 序列?7. 线性系统的结构由哪些参量来描述? 8. 什么是预报误差模型? 二、计算与问答题9. 请用双线性变换将连续传递函数)2(1)(++=s s s s W 转换为离散传递函数(T=0.5s)。

10. 一被识系统的观测数据含有有色噪声E(k)。

拟选的参考模型为A(q -1)y(k)=B(q -1)u(k)+E(k)请问：1)用LS 能否得到A(q -1)和B(q -1)的无偏估计？为什么？2)如果将)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11k u q Aq Bk y LSLS --=作为辅助变量，能否得到A(q -1)和B(q -1)的无偏估计？写出此时的计算公式。

11. 试述相关最小二乘二步法的适用条件和计算过程。

12. 已选择被识系统的参考模型为)()(1)()()()(111k w q C k u q A q B k y ---+=，其中w(k)为白色噪声。

为了进行递推辨识，请将模型改写为伪线性回归形式，并给出其中所有估计量的表达式。

13. 试述一种多步最小二乘法的适用条件和计算过程。

14. 已选择被识系统的参考模型为)()()()()()(111k w q D k u q A q B k y ---+=，其中w(k)为白色噪声。

为了进行递推辨识，请将模型改写为伪线性回归形式，并给出其中所有估计量的表达式。

15. 如果一个系统的部分参数已知（例如，A(q-1)y(k)=B(q-1)u(k)+w(k)中，A(q-1)已知，B(q-1)未知），你怎么去辨识其他未知参数？写出你的计算公式。

16. Matlab 中Rand 函数产生的随机数是不是白噪声?说出你的理由。

17. 逐步回归法辨识模型结构的原理是什么？18. 结构判断准则FPE 和AIC 的共同特点是什么？ 三、选择题1）要辨识一个实际系统，正确的获得辨识数据的过程是：A 在实验室做模拟仿真B 在被辨识系统处于正常工况时采集数据C 通过施加激励信号，使被辨识系统处于非正常工况时采集数据D 在实验室做数字仿真2）过滤观测数据中的噪声，正确的方法是：A 对系统输出数据做低通滤波B 对系统输入数据做低通滤波C 对系统输入、输出数据做不同的滤波D 对系统输入、输出数据做相同的滤波3) 最小二乘法的适用模型是：A 带白色噪声的线性回归模型；B 带白色噪声的连续传递函数模型；C 带白色噪声的离散传递函数模型；D 带白色噪声的伪线性回归模型；4)辨识结果是否好的标准是：A 模型阶次是小的；B 参数估计误差是小的；C 输出估计误差是小的；D 模型是稳定的；5)对于模型A(q -1)y(k)=B(q -1)u(k)+E(q -1)w(k)，A(q -1)、B(q -1)、E(q -1)均是多项式。