变量间的相关关系教学设计(广东深圳第二高级中学董正林)

高一数学必修3导学案(教师版)〖复习回顾〗标准差的公式为：______________________________________________________〖创设情境〗1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。

”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3、“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？〖新知探究〗思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？一、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。

【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。

思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。

吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。

你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。

上面提到了很多相关关系，那它们之间的相关关系强还是弱？我们下面来研究一下。

2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重点难点教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?的,物理也好；数学差的,物理也差,但又不全对.）物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.）为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？推进新课新知探究提出问题（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断.讨论结果：（1）粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高；教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）(3)两个变量间的相关关系的判断：①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.①教学散点图分析数据：大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图，如下图.从散点图我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）应用示例思路1例1 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系解析：两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案：②④例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?分析：学生思考,然后讨论交流,教师及时评价.解：从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评：在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解：(1)散点图如下：(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例2 案例分析：一般说来,一个人的身高越高,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学（1）根据上表中的数据,制成散点图.你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.（3）如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据,制成的散点图如下.从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点,例如（153,16）,（191,23）两点确定一条直线.同学2：在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3：多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4：从左端点开始,取两条直线,如下图.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.同学5：先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如下图,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.同学6：先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的；然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即（164,19）,（177,21）；最后,将这两点连接成一条直线.同学7：先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为（161.3,18.2）,中间的点为（170.5,20.1）,最大的点为（179.2,21.3）.求出这三个点的“平均点”为（170.3,19.9）.我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点（170.3,19.9）的直线.同学8：取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长，这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下：画出散点图；关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？答案：（1）散点图如下：（2）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系．拓展提升（1）画出数据对应的散点图；（2）指出是正相关还是负相关;（3）关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论？解：（1）数据对应的散点图如下图所示：（2）散点图中的点散分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.（3）关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.作业习题2.3A组3、4(1).设计感想本节课学习了变量之间的相关关系和两个变量的线性相关的部分内容,通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系的种类,为下一节课作了铺垫,思路1和思路2的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度和学习方法,树立时间观,培养勤奋、刻苦耐劳的精神.第2课时导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.推进新课新知探究提出问题（1）作散点图的步骤和方法？（2）正、负相关的概念？（3）什么是线性相关？（4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫做回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？（7）利用计算机如何求回归直线的方程？（8）利用计算器如何求回归直线的方程？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系）（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）如下图：从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?（学生讨论：1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.）教师：分别分析各方法的可靠性.如下图：上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.)1(,)())((2121121x b y a x n x yx n yx x x y y x x b n i ini ii ni i ni i i其中，b 是回归方程的斜率，a 是截距.推导公式①的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )， 且所求回归方程是^y =bx+a,其中a 、b 是待定参数.当变量x 取x i (i=1,2,…,n)时可以得到^y =bx i +a(i=1,2,…,n),它与实际收集到的y i 之间的偏差是y i -^y =y i -(bx i +a)(i=1,2,…,n).这样，用这n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i -^y ）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-ni i iy y1^||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y 1-bx 1-a)2+(y 2-bx 2-a)2+…+(y n -bx n -a)2 ②来刻画n 个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为:当a,b 取什么值时Q 最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b 的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square ）. （7）利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式①，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程. 以Excel 软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤如下：①在Excel 中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图（如下图）,在菜单中选定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框.②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线.③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归直线的回归方程^y=0.577x-0.448.（8）利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下：所以回归方程为^y=0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.直线回归方程的应用:①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系.②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计,即可得到个体Y值的容许区间.③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度.应用示例思路1例1 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程^y =-2.352x+147.767.(4)当x=2时，^y =143.063.因此，某天的气温为2 ℃时，这天大约可以卖出143杯热饮. 思考气温为2 ℃时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？ 这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.2.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x 的预报值，能够与实际值y 很接近.我们不能保证点（x,y ）落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近，事实上，y=bx+a+e=^y +e.这里e 是随机变量，预报值^y 与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差所决定. 一些学生可能会提出问题：既然不一定能够卖出143杯左右热饮，那么为什么我们还以“这天大约可以卖出143杯热饮”作为结论呢？这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说，假如我们规定可以选择连续的3个非负整数作为可能的预测结果，则我们选择142，143和144能够保证预测成功（即实际卖出的杯数是这3个数之一）的概率最大. 例2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由；(2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 解：（1）在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.。

变量间的相关关系教案一、教学目标1. 让学生理解变量间的相关关系的概念。

2. 让学生掌握如何判断两个变量之间的相关关系。

3. 让学生学会如何绘制相关系数图。

4. 让学生能够运用相关关系解决实际问题。

二、教学内容1. 变量间的相关关系定义。

2. 相关关系的判断方法。

3. 相关系数图的绘制。

4. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：变量间的相关关系概念，判断方法，相关系数图的绘制。

2. 教学难点：相关系数图的绘制，实际问题中的应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解变量间的相关关系定义、判断方法和绘制相关系数图的步骤。

2. 案例分析法：分析实际问题，让学生学会运用相关关系解决问题。

3. 互动教学法：引导学生提问、讨论，提高学生的参与度。

五、教学过程1. 导入：通过一个实例引入变量间的相关关系概念。

2. 讲解：讲解变量间的相关关系定义、判断方法，并进行相关系数图的绘制演示。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用相关关系解决问题。

4. 练习：让学生独立完成相关系数图的绘制，并分析实际问题。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、练习完成情况和课后作业三种方式进行评价。

2. 评价内容：（1）课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。

（2）练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，包括相关系数图的绘制和实际问题的分析。

（3）课后作业：评估学生作业的完成情况，巩固所学知识。

七、教学反思1. 反思内容：（1）教学内容：回顾本节课的教学内容，确认是否全面覆盖了变量间的相关关系概念、判断方法和实际应用。

（3）课堂互动：评估学生的参与程度，思考如何提高学生的积极性和主动性。

（4）作业布置：检查作业的难度和量，确保学生能够通过作业巩固所学知识。

八、拓展与延伸1. 相关研究：介绍变量间相关关系在学术研究中的应用，如心理学、经济学等领域。

2. 实际案例：分析更多实际问题，让学生了解相关关系在生活中的重要作用。

《变量间相关关系》教学设计一、教学内容分析《变量间相关关系》是高中新教材人教A版必修3第二章2.3的内容，本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。

为以后更好地研究选修部分统计案例中的回归分析思想的应用奠定基础。

二、学生学习情况分析我校是省级示范性高中，匹配多媒体设备，学生的学习习惯较好，有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。

高二的同学已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，并且有一定的计算机基础，主要是电子表格的应用。

我所上的班级是文科班，可以说文科班同学最害怕的就是数学学科，所以我在整节课的设计上更多的体现了文科中文学、历史文化等知识与数学的联系，这样一可以拉近数学与文科学生的距离，二可以利用文科学生的学科特点进行教学，加强对知识点的理解和认识。

比如教材上本节课采用的例子是让学生观察物理成绩和数学成绩之间的关系，而文科班的孩子早已不学物理，对该例子的理解程度和感兴趣程度均不大，因此，我在教学设计上未采用书上的例子，而是利用文科学生感兴趣的孔子结合文学历史等知识进行引入。

三、教学目标1、理解相关关系的定义；2、利用散点图判断线性相关关系；3、了解用计算机做散点图的方法4、通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法5、通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计算机等现代化教学工具的必要性；6、课堂渗透历史文学等知识，通过“教体验教表达教思考”的三教思想从而达到发展学生的数学核心素养。

四、教学重点和难点教学重点: 理解相关关系的定义；能利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系；教学难点：对相关关系的理解五、教学准备把握数学内容的本质，创设合适的教学情境，提出合理的问题。

启发学生独立思考，分组讨论，鼓励学生与他人交流合作。

让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质。

让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。

1、多媒体课件（文庙孔子等图片、史实）2、搜集数据（提前搜集了30位2岁到50岁人的手距数据，绘制成表）3、安装excel软件（在以往的教学中，书上课后介绍的软件作图，往往因为教学时间、教学内容、教学进度等因素的影响，通常让学生课后自己看，但我利用这一节的内容，引用了书上介绍的Excel软件作图，一是让同学们了解多媒体在数学中的应用；二是可以让同学们直观感受图像的形成过程，提高学习兴趣；三是可以节约手工绘图的时间，也大大提高了绘图的精确性）。

课题：变量间的相关关系（第2课时）授课教师：深圳市第二高级中学董正林教材：数学·人教社A版·必修三·第二章第三节一、教学内容解析本课作为“变量间的相关关系”第2课时，主要内容是探究如何用一条直线来近似刻画两个变量之间的相关关系，并且能用所得的直线方程进行预测，在这个过程中渗透多个重要的数理统计思想——最小二乘思想、随机思想与用样本估计总体的思想．通过第1课时的学习，学生已经能够理解相关关系这一概念，能通过绘制散点图对相关关系进行直观、定性的描述，比如根据散点图判断两个变量间是否存在相关关系，是正相关还是负相关等．本课内容是上节课内容的延续与深入，通过用一条直线来近似代表变量间的线性相关关系，从而实现对相关关系进行定量研究．显然，在整体上与样本点最接近的直线能最大程度地近似代表真实关系．为此我们需要建立一个量化标准，也就是对“从整体上看，直线最接近样本点”进行精准的数学语言刻画．这样量化标准有很多，最经典、最常采用的就是最小二乘思想．以最小二乘法建立起线性回归方程后，我们就能对所研究的总体情况进行预测．将解释变量代入回归方程计算得到一个数值并不难，更重要地是学生需要正确理解预测值的含义，明确预测值只是实际值的一个近似，是对总体情况的一种估计．基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解回归直线只是对相关关系的一种近似描述，最小二乘法只是确定回归直线的一种方法，理解回归方程的含义以及背后蕴含的统计思想．教学难点则是对“从整体上看，直线与样本点最接近”进行数学刻画，并在这个过程中引出最小二乘法这一重要数学思想．二、教学目标设置1、知识与技能：了解线性相关关系、回归直线、回归方程等基本概念，能熟练操作图形计算器进行绘图、计算，认识最小二乘法．2、过程与方法：在探究如何用一条直线去很好地近似变量间线性相关关系的过程中，学习如何用数学知识去定量刻画实际问题，掌握线性回归的基本方法．3、情感、态度与价值观：通过合作探究、类比思考，理解回归方程的随机性以及用样本估计总体的思想，感受“见微知著”、“一叶知秋”的哲学原理以及认识客观事物的一种角度．三、学生学情分析本课纯粹知识层面的内容并不多，但涉及许多重要且新颖的数学思想方法，有些思想方法与学生已有的认知基础偏离较远，比如学生已经习惯了一个问题无论有多少种解法，答案都是唯一确定的，但本课需要学生实现由确定性思维向统计思维的转变，因此学生要真正做到建构知识体系、抓住本质问题、理解核心概念不是一件容易的事情．此外，学生对大量的样本数据、复杂的公式结构以及代数运算可能心存畏惧，这些都会影响到课堂教学．有利的地方在于学生已经学习过方差的概念，能够理解用平均数去估计总体数字特征，以此作为其思维的“最近发展区”，便于其更好地认识最小二乘思想．同时，学生对新知识的旺盛求解欲望、对问题进行积极思考的态度也是顺利完成本课的重要保证．四、教学策略分析根据学生情况，为了更好地达成教学重点、突破教学难点，本课采用如下教学策略：1、注重由特殊到一般的思维引导．本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学．问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律——学生先判定有限个方程中哪个方程的拟合效果更好，然后再推广到一般情形，探究如何在所有直线中寻找“最佳”直线．2、强调实验探究，主张在学生自主活动的基础上进行思考、领悟．比如让学生在散点图中任意添加直线并求其方程，经过实验，就会发现每个人求得的直线都不一样，从而很自然地触发讨论——如何建立起量化标准，用数学知识来度量到底哪一条直线才是最接近样本点的，最终获得最小二乘思想．3、采用类比思考法．将最小二乘法与方差的概念进行类比，将“用最小二乘意义下的回归直线来近似代表两个变量间的线性相关关系”这一原理与“以多个测量值的平均值作为某物理量真实值的估计”进行类比．通过类比帮助学生更好地理解数学思想，提升思维品质．4、注意几何直观与代数运算的相互转化．比如将“回归直线并不经过所有的样本点”这个几何问题代数化为“由回归方程计算出来的值与实际值存在偏差”，将“比较各点偏差的绝对值之和”这个代数问题几何化为“样本点与直线间的斜线段的长度和最小”等．5、应用现代教育技术手段．本课内容涉及大量的图形绘制与复杂的数据运算，用传统教学手段既耗时费力，又难以有效推进教学．TI-图形计算器的强大功能为数据的快捷处理提供了技术支持，让学生有更多的时间来探究、交流，便于达成教学目标．图形计算器在本课的应用包括如下几个地方：（1）搭建无线网络平台，实现数据的实时上传与共享——借助图形计算器的“即时调查”功能，现场收集学生的身高、体重数据，并将汇总后的数据实时下发给学生，一方面为本课学习营造一个真实的案例，另一方面也避免了大量数据的手工逐一输入．（2）运用图形计算器的“图形”功能，快速绘制散点图，从散点图中发现样本点大致分布在一条直线附近．在此基础上，请学生凭直观感觉，在散点图中任作一条与样本点整体上最接近的直线，并通过“坐标与方程”功能得到该直线的方程．经过操作学生自会发现，每个人眼中的直线都不一样，到底哪一条直线才是最接近的需要建立起量化标准，用数学语言来精准度量，从而很自然地触发讨论，最终引出最小二乘思想．（3）利用图形计算器，进行快速计算．包括：在“列表与电子表格”中调用sum()函数求和；利用“统计计算/线性回归”功能直接求出一组数据的线性回归方程；尤其值得一提的是，在“计算器”页面中调用completesquare()函数可以实现对多项式的快速配方，这样我们就可以选取三个特殊样本点，对目标函数进行配方，帮助学生更好地认识系数公式的来历．五、教学过程与设计（1）从整体上看，随着身体增高，体重如何变化？[答]从整体上看，随着身体增高，体重越重．（2）根据样本数据如何推断某一特定身高如175cm）的人的大致体重？每增加一定高度（比如直线附近．[引题]直线l1和l2中，哪一条能更好地近似变量x，y之间线性关系？[答]l1，因为它与各样本点在整体上最接近．【实验】请根据自己的直觉，在散点图中作一条你认为在整体上最接近样本点的直线，并求出该直线方程．[问题1]能否在散点图中作一条直线，使其经过每个样本点？反映到代数计算，由直线方程所计算的值与实际值是否存在差异？[答]不能．反映到代数计算，说明由直线方程计算出来的值（即估计值）与实际值存在差异．[问题2]能否将各点偏差直接相加，然后通过比较和值的大小来判定“最佳”方程？你认为比较合理的方案是什么？[答]不能，因为直接相加会导致正负抵消，不能反映真实的差异情况．一个比较合理的方案学生绘图、计算，教师随机展示几个同学的结果．学生观察后发现每个同学眼中最接近样本点的直线都不一样．教方程标准，教师提问引导，学生思考作答．方程偏差绝对值之和1112944125.68=-..y x=-11614392145.9y x..11313489127.05=-y x..方程偏差平方和11129441347.87 =-..y x=-116143921825.72 y x..113134891330.93 =-y x..（1）绘制样本数据的散点图；（2）计算海拔与大气压之间的回归方程；[问题8] 那曲的大气压值一定是57.85Kpa？。

变量间的相关关系教案教学目标：1. 了解相关关系的概念和特点；2. 掌握散点图的绘制和解读；3. 学会判断变量间的线性相关关系；4. 能够应用相关关系解决实际问题。

教学重点：1. 相关关系的概念和特点；2. 散点图的绘制和解读；3. 判断变量间的线性相关关系。

教学难点：1. 相关系数的计算和解读；2. 实际问题的解决。

教学准备：1. 计算机和投影仪；2. 相关关系的数据集；3. 散点图的绘制工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入相关关系的概念；2. 举例说明相关关系在实际生活中的应用。

二、相关关系的概念和特点（10分钟）1. 讲解相关关系的定义；2. 阐述相关关系的特点；3. 引导学生通过实例判断相关关系。

三、散点图的绘制和解读（10分钟）1. 介绍散点图的概念；2. 演示如何绘制散点图；3. 教授如何解读散点图；4. 学生分组练习绘制和解读散点图。

四、判断变量间的线性相关关系（10分钟）1. 讲解线性相关的概念；2. 介绍线性相关的判断方法；3. 学生分组练习判断变量间的线性相关关系。

五、实际问题的解决（10分钟）1. 提供实际问题情境；2. 引导学生应用相关关系解决问题；3. 学生展示解题过程和结果。

教学反思：本节课通过讲解相关关系的概念和特点，让学生了解变量间的关系。

通过绘制和解读散点图，培养学生对数据的观察和分析能力。

通过判断变量间的线性相关关系，使学生掌握线性相关的判断方法。

通过实际问题的解决，让学生学会应用相关关系解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生积极参与，分组练习，提高学生的动手能力和合作意识。

六、相关系数的计算和解读（10分钟）1. 介绍相关系数的概念；2. 演示如何计算相关系数；3. 教授如何解读相关系数；4. 学生分组练习计算和解读相关系数。

七、非线性相关关系的判断（10分钟）1. 讲解非线性相关的概念；2. 介绍非线性相关的判断方法；3. 学生分组练习判断非线性相关关系。

一、教案基本信息1. 教学科目：数学2. 教学年级：八年级3. 教学课时：2课时4. 教学目标：(1) 理解变量间的相关关系的概念(2) 学会判断变量间的正相关、负相关和无关关系(3) 能够运用相关关系解决问题二、教学重点与难点1. 教学重点：(1) 变量间的相关关系概念(2) 判断变量间的正相关、负相关和无关关系的方法2. 教学难点：(1) 相关系数的概念及其计算方法(2) 运用相关关系解决实际问题三、教学方法与手段1. 教学方法：(1) 讲授法：讲解变量间的相关关系概念及判断方法(2) 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相关关系解决问题(3) 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作与交流能力2. 教学手段：(1) 投影仪：展示相关关系图像和实际问题案例(2) 计算机软件：运用数学软件进行相关系数的计算和分析四、教学内容与步骤1. 第一课时(1) 导入新课：介绍变量间的相关关系概念(2) 讲解相关关系：阐述正相关、负相关和无关关系的定义及特点(3) 案例分析：分析实际问题，引导学生运用相关关系解决问题(4) 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学内容2. 第二课时(1) 复习导入：回顾上节课的内容，引入新的知识点(2) 讲解相关系数：介绍相关系数的概念及其计算方法(3) 运用相关关系解决实际问题：通过案例分析，引导学生运用相关关系解决实际问题(4) 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学内容五、课后作业与评价1. 课后作业：(1) 完成课后练习题，巩固所学知识(2) 选取一个实际问题，运用相关关系进行分析和解决2. 评价方法：(1) 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况(2) 课后作业：检查学生作业完成情况，评估其对知识的掌握程度(3) 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作与交流能力六、教学拓展与延伸1. 介绍其他衡量变量间关系的方法，如散点图、回归直线等。

2. 探讨相关关系在实际生活中的应用，如经济学、生物学、社会学等领域。

变量间的相关关系优秀教案一、教学目标：1. 让学生理解相关关系的概念，能够识别和描述两种变量之间的相关关系。

2. 学生能够运用相关系数来衡量两个变量之间的相关程度。

3. 学生能够运用图表和数学模型来分析变量之间的相关关系。

4. 培养学生的数据分析能力和问题解决能力。

二、教学内容：1. 相关关系的概念和类型。

2. 相关系数的计算和解读。

3. 散点图在分析相关关系中的应用。

4. 线性回归方程的构建和应用。

5. 实际案例分析，运用相关关系解决实际问题。

三、教学重点与难点：重点：相关关系的概念和类型，相关系数的计算和解读，散点图在分析相关关系中的应用。

难点：线性回归方程的构建和应用，实际案例分析。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际案例来理解和应用相关关系。

2. 使用多媒体教学资源，如图表和数学软件，辅助学生直观地理解相关关系。

3. 组织小组讨论和合作活动，培养学生的团队合作能力和问题解决能力。

4. 提供充足的练习机会，让学生通过实践来巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入：通过一个简单的实际案例，引导学生思考两种变量之间的关系。

2. 讲解相关关系的概念和类型，解释相关系数的意义。

3. 演示如何通过散点图来分析两种变量之间的相关关系。

4. 讲解线性回归方程的构建过程，并演示如何应用线性回归方程来预测未知数据。

5. 提供实际案例分析，让学生运用相关关系来解决实际问题。

7. 布置作业，让学生通过练习来巩固所学知识。

六、教学评估与反馈：1. 通过课堂练习和作业，评估学生对相关关系概念的理解程度。

2. 通过小组讨论和案例分析，评估学生在实际问题中运用相关关系的能力。

3. 收集学生的疑问和困难，及时给予反馈和解答。

4. 鼓励学生提出自己的观点和思考，促进学生的主动学习。

七、拓展与深化：1. 介绍相关关系在社会科学、自然科学和工程科学中的应用。

2. 探讨非线性相关关系和多变量相关关系的研究方法。

人教版高中必修32.3.1 变量之间的相关关系教学设计一、教学目标1.理解什么是相关关系；2.掌握如何用散点图和相关系数来表示相关关系；3.能够根据给定的数据计算出相关系数。

二、教学重点1.相关关系的概念；2.散点图的绘制；3.相关系数的计算方法。

三、教学难点1.相关系数的实际含义的解释；2.相关系数的计算过程。

四、教学方法1.案例分析法：通过生动的案例进行讲解，让学生深刻理解相关关系的概念和图形的含义；2.互动探究法：让学生自己探索如何绘制散点图和计算相关系数；3.讲授法：讲授相关关系的计算方法和公式。

五、教学过程1. 导入新知识（5分钟）通过导入案例，引导学生了解相关关系的概念和意义，并介绍散点图的绘制。

2. 绘制散点图（25分钟）1.向学生展示如何绘制散点图，并让学生自己练习；2.反复强调散点图的含义和作用。

3. 计算相关系数（25分钟）通过一组数据进行实践操作，让学生自己计算相关系数，并解释相关系数的含义。

4. 应用实例（20分钟）通过进行实际问题的解决，让学生掌握应用相关关系数的方法。

5. 归纳总结（5分钟）通过总结本课所学内容，让学生巩固所学知识点。

六、教学评价1.绘制散点图的准确性；2.计算相关系数的正确性；3.对相关系数含义的解释的准确性和全面性；4.对实际问题的应用能力。

七、板书设计相关关系：散点图：相关系数：八、教学资源1.课本；2.PPT；3.画笔、散点图绘制工具。

九、教学延伸1.学生可以通过查找相关资料，并结合实例进行进一步研究；2.学生可以通过编写程序来实现相关系数的计算和散点图的绘制。