北京大学：电磁学--6.4 阅读：电磁场的能量和动量的推导

电磁能动张量推导电磁能动张量是描述电磁场的能量和动量分布的物理量。

它可以通过从麦克斯韦方程组出发进行推导。

首先，我们回顾一下麦克斯韦方程组：1. 麦克斯韦第一方程（高斯定律）：∇·E = ρ/ε₀2. 麦克斯韦第二方程（法拉第电磁感应定律）：∇×E = -∂B/∂t3. 麦克斯韦第三方程（高斯磁定律）：∇·B = 04. 麦克斯韦第四方程（安培环路定理）：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t其中，E是电场强度，B是磁感应强度，ρ是电荷密度，J是电流密度，ε₀是真空介电常数，μ₀是真空磁导率。

接下来，我们可以利用麦克斯韦方程组推导电磁能动张量。

首先考虑电磁场的能量密度，可以定义为：u = (ε₀/2)(E² + c²B²)其中，c是光速。

然后，我们考虑电磁场的动量密度，可以定义为：S = ε₀c²E×B根据能量和动量密度的定义，我们可以得到电磁能动张量的各个分量。

能量-能量分量（T00）：T00 = u = (ε₀/2)(E² + c²B²)能量-动量分量（T0i）：T0i = Sᵢ = ε₀c²(E×B)ᵢ动量-能量分量（Tj0）：Tj0 = S_j = ε₀c²(E×B)ⱼ动量-动量分量（Tij）：Tij = - (ε₀/2)(E² + c²B²)δij + ε₀c²EᵢEⱼ + ε₀c⁴BᵢBⱼ其中，δij是克罗内克δ符号。

通过以上推导，我们得到了完整的电磁能动张量的表达式。

这个张量描述了电磁场的能量和动量在空间中的分布情况。

第二讲：电磁感应中的动力学问题、能量问题、动量问题2019年03月16日23:45:31写在前面的话在解决运动学问题时，我们有三种思路即动力学观点、能量观点、动量观点。

这三个观点在解决物理问题时，互有优势，地位相同，在同学们心中总是倾向于认为动量要“低一等”这是完全错误的。

动力学的核心公式是F=ma，主要用于解决匀变速（直线和曲线）问题、瞬时加速度问题；能量观点核心是能量守恒和功能关系，可以解决匀变速问题也可以解决变加速问题，相对于动力学观点更加简单，但一般不涉及时间，不能用于求瞬时加速度等问题，这就是能量观点解决问题的劣势；动量观点相对于动力学观点和能量观点，其优势在于可以在不涉及位移和加速度的情况下解决问题，主要用于解决不涉及位移又涉及时间的问题，相对于动力学方法，可以省去计算加速度的过程，相对于能量观点，动量观点可以解决涉及时间的问题，动量守恒与能量守恒相互独立，在有些情况下需要能量守恒和动量守恒联合运用，特别是在求解冲击力和碰撞的情形中，动量观点有无可替代的作用。

当然这些都不是绝对的（例如在给出牵引力恒定功率的条件下，运用能量观点是涉及时间的），同学们在学习过程中需要不断自我总结，慢慢体会。

一、电磁感应中的动力学问题电磁感应中，由于导体运动切割磁感线，产生电动势（E=nBlv），进而在导体中形成电流(I=nBlvR+r )，从而受到安培力(F=nBIL=nB2L2vR+r)，可以看出这里的安培力和速度成正比，可以理解为，在动生电动势中，安培力与速度密切相关。

例1、如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m。

整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。

质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。

金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。

电磁场的能量和动量电磁场是一种广泛存在于自然界中的物理现象，它的能量和动量具有重要的意义。

本文将从理论和实际应用两个方面，探讨电磁场的能量和动量。

首先，我们来探讨电磁场的能量。

电磁场的能量来源于电磁波，它们是通过电场和磁场的相互作用而产生的能量传播。

根据麦克斯韦方程组，电场和磁场的变化会相互产生，形成电磁波。

电磁波在空间中传播，携带着能量。

这种能量传播的速度被称为光速，是自然界中最快的速度。

电磁波的能量密度表示了单位体积内所携带的能量。

根据电磁波的性质，能量密度与电场强度的平方成正比。

这意味着电磁波的能量与电场的强度相关，电场越强，能量越大。

这一特性在实际应用中有着广泛的运用，比如无线通信技术中的信号强度。

在电磁场能量的应用中，光电效应是一个突出的例子。

根据爱因斯坦的光电效应理论，当高能光子照射到金属表面时，光子的能量可以被金属吸收，电子从金属中释放出来。

这种通过光子的能量来释放电子的现象，对于发展光电子学和太阳能技术都具有重要的意义。

接下来，让我们关注电磁场的动量。

根据电磁波的特性，它们不仅携带能量，还携带动量。

电磁波的动量可以通过它们的波长和频率来计算。

波长越短，频率越高的电磁波，其动量越大。

这一特性在光压实验中得到了验证。

光压是指光对物体施加的压力，也就是光的动量传递给物体。

这种现象在光学器件和光操控技术中得到了广泛的应用。

除了光压，电磁场动量在天体物理学中也发挥着重要作用。

特别是在星际空间的星际风和恒星的大气层中，电磁场动量的传递对于恒星的演化和星际物质的运动起到了关键的作用。

通过观测和理论模拟，科学家们可以更好地了解电磁场动量对于星系的形成和演化的影响。

总之，电磁场的能量和动量在物理学和应用领域都具有重要的地位。

电磁波作为一种特殊的现象，携带着能量和动量，在自然界中以光速传播。

电磁场能量的密度与电场强度的平方成正比，而电磁场的动量与波长和频率相关。

这些特性在科学研究和实际应用中都扮演着重要角色，影响着我们的生活和技术发展。

电磁场的能量与动量电磁场是我们日常生活中非常常见的一种物理现象。

它是由电荷之间的相互作用而产生的，并且具有能量与动量。

本文将从电磁场的能量起源、能量守恒、电磁场的动量以及动量守恒等方面进行论述，探讨电磁场的本质以及其在物理学中的重要性。

首先，我们来探讨电磁场的能量起源。

根据电磁场的本质，电磁场的能量主要来源于电荷的运动。

在电磁场中，电荷通过与电场和磁场的相互作用来获得能量并进行运动。

这种相互作用可以将电荷周围的能量转化为电磁场的能量。

例如，当一个电荷在电场中受力运动时，它将从电场中获得能量。

这种能量可以通过电流传输到其他位置，并且在传输过程中会形成磁场。

这样，我们可以看到电磁场的能量来源于电荷的运动和与电场、磁场的相互作用。

其次，电磁场的能量守恒是一个重要的物理学原理。

根据能量守恒定律，能量在一个系统中是不会凭空消失或者产生的，而是会以不同形式进行转化。

在电磁场中，能量转化显得尤为重要。

当电磁场中的电荷运动时，其周围的电磁场会随着电荷的运动而发生变化。

这种变化会导致能量的转化。

例如，在一个电磁波传播的过程中，电磁波在空间中会携带有电场能量和磁场能量。

在传播的过程中，电场能量和磁场能量之间会相互转化。

这样，在整个过程中，能量的总量保持不变。

接着，我们来讨论电磁场的动量。

与能量一样，动量也是一个重要的物理学量。

在电磁场中，电荷运动会导致电磁场的变化，进而产生动量。

首先，电荷本身具有动量。

当电荷在电磁场中运动时，由于电场和磁场的相互作用，电荷会发生受力并加速运动。

根据牛顿第二定律，电荷的加速度与作用力成正比，并且与电荷的质量反比。

因此，可以说电荷在电磁场中具有动量，并且动量的变化与作用力的大小和方向有关。

同时，电磁场本身也具有动量。

当电磁波在空间中传播时，它们会携带有动量。

由于电磁波是电场和磁场在空间中以波动形式传播的结果，因此它们携带有电场动量和磁场动量。

电场动量和磁场动量的大小与电磁波的振幅有关。

§5-1 电磁场的矢势和标势§5-2 推迟势Chap.5 电磁波的辐射Radiation of ElectromagnticWaves§5-3 电偶极辐射§5-7电磁场的动量电磁场与带电物质之间存在相互作用电磁场与带电物质之间存在相互作用，，带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化。

由于动量守恒由于动量守恒，，电磁场必然也具有动量电磁场必然也具有动量。

带电物体受到的电磁力BJ E f ×+=ρ洛仑兹力密度∫∫×+=dVB J dV E r r r ρm dG fdV dt=∫r r 用代表带电物体的动量代表带电物体的动量，，根据牛顿第二定律m G r §5-7 电磁场的动量∫=dV f F r rF dtP d r r =有m edG d G dt dt=−r r全空间动量守恒要求电磁场动量若对有限区域V ，考虑电磁场通过界面发生动量转移考虑电磁场通过界面发生动量转移，，则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率。

m e dG dG =+r r 即单位时间流入V 内的动量电磁场的动量守恒定律用场量表示洛仑兹力公式B ∇⋅=r B E t∂∇×=−∂r r ()()()()D B D E E D B H H B B Dt t∂∂=∇⋅+∇××+∇⋅+∇××−×+×∂∂r rr r r r r r r r r r 考虑均匀介质])()([2E E E E r r r r ∇⋅+×∇×=ε])()([2E D E D r r r r ∇⋅+×∇×=1()()()2E D D E E D ∇××=⋅∇−∇⋅r r r r r v 1()()()2D E D E E D =∇⋅+⋅∇−∇⋅r r r r r r1()[()]DE I E D =∇⋅−∇⋅⋅r r t r r1[()]DE I E D =∇⋅−⋅r r t r r )(D E rr ⋅∇)(D E r r ⋅∇用场量表示洛仑兹力公式()()()()D B DE E D B H H B B Dt t∂∂=∇⋅+∇××+∇⋅+∇××−×+×∂∂r rr r r r r r r r r r 1[()]2DE I E D =∇⋅−⋅r r t r r同理()D B t ∂=−×∂r r 1()[()()]2f D B DE BH I E D B H t ∂=−×+∇⋅+−⋅+⋅∂r r rr r r r t r r r r 是单位张量I tA I I A A⋅=⋅=t t v v v对任一对任一矢量有矢量有()()2T DE BH I E D B H =+−⋅+⋅r B D g ×=令⋅∇−=+V V V dV T dV g dt d dV f t 对空间体积V 积分T g t f t r r ⋅−∇=∂∂+∫∫∫⋅−=+V S V S d T dV g dt d dV f r t r r 电磁场的应力张量i. V 受到V 面S 对它作用力ii. V =单位时间流出V 的动量流∫∫∫−=+VS VdV g dt d dV f rr V e G g dV ′=∫r r 当时V →∞∫∫=′+′V V V d g dt d V d f 0r r 全空间的动量守恒定律0→⋅∫SS d T r t 证明了电磁场物质性,它满足动量守恒定律，能流密度以及能量密度之间的关系g v S vw∫平面波平均动量密度传播方向单位矢量221w E Bεµ==S cwn=v v因为电磁场具有动量因为电磁场具有动量，，电磁波入射到物体上电磁波入射到物体上，，必然对物体有作用力必然对物体有作用力，，这种力被称为辐射压力这种力被称为辐射压力。

电磁场的能量和动量黄辉;涂泓;朱炯明【摘要】通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动,把电磁场的能量和动量这两个较为抽象的概念具体化.运用这一简单的模型分析并论证了电磁场具有能量和动量,且可与机械动能和动量相互转换,在转换过程中遵循守恒定律.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2006(035)006【总页数】4页(P49-52)【关键词】电磁场;能量;动量;平行板电容器【作者】黄辉;涂泓;朱炯明【作者单位】上海师范大学,数理信息学院,上海,200234;上海师范大学,数理信息学院,上海,200234;上海师范大学,数理信息学院,上海,200234【正文语种】中文【中图分类】O441.30 引言天线辐射电磁波，电磁能量随着电磁波的传播不断地从天线传向远方.电磁场作用于接收天线的自由电荷，引起天线上的电流，电磁波的一部分能量即转化为接收系统上的电磁能量.在空间各点上，用接收器都可以接收到电磁波的能量.电磁场具有能量，而且可以和其他形式的能量相互转换[1,2].那电磁场有没有动量？是否也可以互相转化？不同于一般的实物，由于电磁场的概念比较抽象，初学者对于电磁场的能量理解不深，对于电磁场的动量更是难理解.物理工作者对此的相关研究见文[3，4].世界是客观存在的物质世界，作为物质的一种特殊形态----电磁场，它当然也应该遵循自然界一切物质运动的普遍法则----能量守恒和动量守恒定律[5].本文即研究一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一非常简单常见的物理模型.通过定性分析和较简单的定量计算，论证电磁场具有能量和动量，它们不仅可以与机械动能和动量相互转换，而且在转换过程中确实满足能量守恒和动量守恒定律.这一模型让初学者对电磁场的能量和动量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性.图 1 匀强磁场中的平行板电容器1 匀强磁场中的平行板电容器一个电容量为C，两导体板相距为L的平行板电容器，处在匀强磁场中.磁场的方向与导体板平行，大小为B.将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 Q0.然后将一质量为m，电阻为R，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间(如图1).开始的瞬间，导体棒中有电流受到安培力的作用开始加速运动，初始加速度为但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反.所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小.然而在加速度减小为零之前，导体棒的速度还在变大，感应电动势继续变大，电流继续变小，直到电容器极板上的剩余电量产生的电压与感应电动势相等，彼此平衡.此时，导体棒上的电流为零，电容器极板上的电量为Qmin，不再改变，板间电场也不再变化，导体棒所受的安培力和导体棒的加速度均为零，导体棒的速度达到最大，并以此速度vmax作匀速运动.即：(1)由导体棒的运动方程(2)可知：速度的变化率直接正比于电荷的变化率，因此mvmax = BL(Q0 - Qmin ).(3)联立式(1)和式(3)可求出(4)和(5)开始时，导体棒是静止的，没有动量，也没有动能；最后，电容器的电量变为Qmin，导体棒获得的速度为vmax，导体棒作匀速直线运动，动量是mvmax，动能是2 电磁场的能量和动量导体棒的动能和动量是哪里来的？当我们把导体棒作为研究对象时，我们会说，是磁场作用于导体棒的安培力的冲量改变了导体棒的动量，安培力作的功改变了导体棒的动能.但当我们把导体棒和电容器以及磁场看作一个整体系统时，我们发现，并没有任何外力作用于这个系统，而导体棒却获得了动能和动量.唯一可能的解释就是，在系统内一定有另一个对象，它失去了相等数量的能量和动量.电容器的极板始终未动，所以，失去能量和动量的就只能是电磁场.由(4)式得，导体棒最后获得的动量是(6)电容器极板的电量减少了，板间的电场也发生了变化(7)利用平行板电容器公式：C =ε0 S/L，对比(5)式和(6)式，不难发现p = ΔE · BCL2 = - Δ (ε0 EB SL).(8)式中SL = V是电场所在区域的体积.等式的左边是导体棒获得的动量，等式右边自然应该是电磁场动量的减少.由此不难得出，在电场强度为E，磁感应强度为B的电磁场中单位体积电磁场的动量为ε0 EB, 由图1所示各物理量的方向可以确定电磁场动量的方向，即ε0 E×B.再来看电磁场的能量，由(4)式得，导体棒最后获得的动能是(9)另外，由于导体棒在加速运动过程中一直流有电流，从而不断产生焦耳热.回路中的电流遵从欧姆定律(10)两边取微分，得(11)将(2)式代入上式，可得(12)由得(13)分离变量得(14)积分得整个过程中产生的焦耳热(15)将(9)式和(15)式相加，并对照(7)式，不难得出(16)等式左边是导体棒获得的动能与整个过程的焦耳热之和，右边是电磁场能量的减少.由于在整个过程中，磁场未发生变化，所以只有电场的能量减少了.考虑到等式右边SL = V是电场所在区域的体积，所以单位体积电场的能量为这是我们很熟悉的结果.3 对电磁场的能量和动量的进一步分析从以上分析可以看出电磁场确实具有动能和动量，而且可以转化为机械动能和动量.我们还可以进一步分析，电磁场的动能和动量又是哪里来的呢？是不是可以在电磁场的建立过程中由其他形式的动量和动能转化而来呢？可以设想这样一个过程：开始时，在磁场中的平行板电容器的两块极板是重合在一起的，正负电荷抵消，因而没有电场，也就没有动能和动量.然后以垂直于极板方向的外力，缓慢地将一个极板拉开到L的距离，同时保持另一个极板不动.在此过程中，极板受到洛沦兹力的作用fL = Q0v×B,(17)式中Q0为极板所带的电量，v为极板的运动速度，洛沦兹力的方向垂直于v，为了不让极板侧向移动，在拉开极板过程中必须施加一个与洛沦兹力方向相反的外力.拉开极板过程中，这一外力作用于电容器系统的冲量为I = fdt = - Q0 Bvdt = - Q0 = - Q0 BL = Δ pem.(18)负号表示冲量方向与洛沦兹力相反.外力冲量的作用并没有使得系统内任何物体获得机械动量，而是将动量储存在电磁场中了.电磁场的动量Δ pem = Q0 BL = = (ε0 E0 B)SL.(19)在拉开极板的过程中，拉力做的功为W = = dx = Q0 L = = )SL(20)由此可见，在建立电磁场的过程中，外力作用于电容器的冲量转化为电磁场的动量；外力做的功转化为电场的能量.而放入导体棒使之运动后这些能量和动量的一部分又转化为导体棒的机械动能和动量及焦耳热.这又一次说明电磁场确实具有能量和动量.4 结论通过分析处于匀强电磁场中的平行板电容器中导体棒的运动，从一个侧面论证了电磁场的确具有能量和动量，并且可以与其他形式的能量和动量相互转换，在转换过程中遵循能量守恒和动量守恒定律.这一简单的模型使得原本抽象的概念变得具体化，有利于初学者对电磁场的这一重要属性的理解.进一步分析这个模型发现，电磁场的能量不可能全部转化为导体棒的动能，一部分要转化为焦耳热，一部分仍留在电磁场中.电磁场的能量转化为导体棒的动能的部分所占的比例为(21)当m=B2L2C时，可见导体棒获得的动能最多为电场能量的1/4，此时 Qmin = Q0/2，即电容器极板剩余电量为原来的1/2，而剩余的电场能量为原来的1/4，其余的1/2能量则以焦耳热的形式损耗了.参考文献:[1] 郭硕鸿．电动力学(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1997.[2] 程守诛，江之永．普通物理学2(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，1998.[3] 刘艳秋,朱炯明．从一个实例分析电磁场的角动量[J]．上海师范大学学报(自然科学板)，2002,31:94-97.[4] 王忠亮，封小超．电磁学讨论[M]．成都：四川教育出版社，1988.[5] 马西奎．电磁场理论与应用[M]. 西安：西安交通大学出版社，2000.。