几何画板与椭圆曲线教学整合案例

活用几何画板优化高中数学圆锥曲线定义的教学——以椭圆定义及其定义法求椭圆为例摘要在高中数学教学中，灵活地合理运用几何画板这一辅助教学工具，不仅有助于形象地展示数量、图形的变化过程和理解概念的生成过程，还有助于培养学生的发散思维、创新思维等能力。

本文以椭圆定义及定义法求椭圆为例，突显几何画板在圆锥曲线教学中的应用价值。

关键词：几何画板；定义；椭圆；数学概念；应用价值理解数学概念是学习数学的基本要求，也是学生进一步解决数学问题的基础知识。

数学概念往往有一个核心概念，再由核心概念演绎而成的子概念，核心概念和子概念组成一个知识体系。

解题运用过程中，往往运用核心概念将数学知识有效的整合，形成系统的知识网络，不仅更有效快速地解决问题，而且有助于学生思维能力的发展和核心素养的内化。

圆锥曲线是高考考查的热点，考题以中、高难度为主，题型涵盖选择题、填空题和解答题，解答题中的求解圆锥曲线方程时，待定系数法与定义法求轨迹是常见方法，我们知道，圆锥曲线这一模块知识，主要考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理。

然而，以历年的教学经验看来，在圆锥曲线的解答题中，第一问的求解曲线方程的运算出错的学生都不在少数，特别是题干中可以用定义法快速求解的，由于学生未能抓住题目关键条件，对圆锥曲线定义的理解只停留在表面，反而用了直译法列出方程，却又由于计算不到位，未能化简出结果，最终导致整道题丢分。

因此，若要突破解决这一问题，根源在于让学生理解圆锥曲线的定义。

一、几何画板在椭圆定义教学中的意义对于椭圆的定义，如果只是按照传统的理论传授教学方式进行授课的话，那么作为接收理解知识的学生来讲，概念的理解可能更多的只是停留在概念中文字的描述，而至于椭圆的生成过程的动态过程，在他们脑海里显得淡化甚至是没有。

因此，在传统的教学过程，如果我们教师本身能恰当地利用多媒体技术，借助几何画板的图形界面和简单的操作，把曲线轨迹的形成过程用动态的过程展示，并且最后让学生看到直观图形。

《数学实验——探究轨迹：椭圆》教学设计教学流程合作探究学习实验报告单小组名称：小组奖金：小组成员：A组长B记录员C管理员D报信员一、实验课题：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆（选修2-1课本P50）二、实验准备:根据学生对电脑使用的熟练程度按4人一组,分成16个实验小组，对每个成员进行分工（操作、观察、记录数据）.学生根据老师提供的素材，事先用几何画板软件画出满足条件的动点。

三、实验目标：借助几何画板，观察动点轨迹，探究动点轨迹为什么是椭圆，同时结合具体图象变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的思想，从而熟练求轨迹方程的方法——定义法。

同时，也为后面双曲线与抛物线的学习奠定基础。

四、实验过程：环节一：复习定义合作策略：轮流说+随机抽问。

奖励：50班币操作：（1）打开名为《椭圆第一定义》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？（2）椭圆的第一定义概念：时间：3分钟【设计意图】利用几何画板演示椭圆轨迹的形成过程，让学生一边观察，一边回忆椭圆的定义。

一方面强化“动点到两定点的距离和为定值”这一认识，另一方面提醒学生注意2a>2c是一重要条件,为这节课的探究奠定基础。

环节二实例引入例1 已知M(0,6)是圆22+=100x y内的一个定点, 求经过M且与已知圆内切的动圆圆心p的轨迹。

操作：（1）打开名为《例1》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是（2）怎么证明你的猜想？（老师讲解）时间：7分钟【设计意图】通过例题，先让学生拖动点，利用已有经验去猜测轨迹的图象，再用所学知识去验证，使得数学经验得以提升。

我选取的这道例题，椭圆的中心不在原点，即两定点不关于原点对称，打破学生的思维定势，引导学生通过“内切”这一关键条件得出“动点到两定点的距离各为定值”这一结论。

学生无须求写曲线方程。

整个教学过程中，充分体现了学生的主体地位，教师只是教学的组织者和引导者。

环节三：变式练习合作策略：思对论。

奖励：100班币已知圆O的半径为4，A是圆O内一个定点，且OA=2，点P是圆上的动点，若线段AP的中垂线L交半径OP于Q，当P在圆上运动时，求动点Q的轨迹方程？操作：（1）打开名为《练习》这个文件，拖动点M，猜想轨迹是什么图象？答：轨迹是(2)点击《运动对象》，验证轨迹图像；（3）怎么证明？并求出轨迹方程。

几何画板与椭圆曲线教学整合案例摘要：几何画板是理科教学比较成熟的教育软件平台，为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境，能把比较抽象的几何图形形象化，使静态图形动态化、抽象的概念形象化、枯燥的内容趣味化，促进学生发现、提出、探究和解决问题的能力，提高学生表达、交流及使用信息技术的能力。

关键词：几何画板圆锥曲线整合【案例叙述】圆锥曲线的知识点是高考中的重中之重，考点主要放在圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和求解轨迹方程等。

同时，圆锥曲线的考查也是高中教学的一个难点，原因是圆锥曲线研究的主要对象是图象与方程之间的关系，我们既可以通过方程来研究图象的性质，又可以通过图象来研究方程。

对于圆锥曲线知识，我们应采用什么样的教学方式，才能让学生学好和掌握这一知识？对于圆锥曲线的教学，老师们都有这样的共识，利用传统教学方式存在以下问题：（1）在讲解过程中，教师只能通过一系列枯燥无味的推导、论证然后给出结论；面对这一系列的推导、证明，学生既难理解，又很容易遗忘。

（2）仅仅利用粉笔和黑板，教师既不能呈现出圆锥曲线的整个生成过程，又很难用数形结合的思想帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质。

（3）面对大量圆锥曲线的作图及知识点的机械验证，教师既费时、费力，又难以用图象的动态模拟去直接验证每一个结论的正确性。

运用几何画板，可以将圆锥曲线的生成过程直观地呈现出来，有利于学生用数形结合的思想进行学习。

同时，也可以让他们观察图形的变化过程，提出猜想，并在老师的指导下给出证明，然后运用几何画板直接验证结论的正确性。

这个过程，一方面可以帮助学生从本质上正确、全面、深刻地理解圆锥曲线的相关性质，体现出了新课改下探究式学习的原则；另一方面又能很好地激发学生的学习兴趣及积极性。

【实例制作及应用】题目：椭圆及其性质课件使用方法：（1）利用课件1，如图（1）所示，双击a=3.00及b=2.00输入椭圆的长半轴及短半轴的值，可以得到我们想要的椭圆，同时也可以看到相应椭圆的离心率及准线方程的值。

导学案：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆反思【学习目标】（1）理解椭圆的第二定义，体验椭圆的另外几种生成形式；（2）通过渗透数形结合、转化等思想方法培养学生的直观想象能力；（3）培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。

【重点难点】：重点：1.体验椭圆的生成过程；理解椭圆的第二定义。

2.培养学生利用信息技术解决数学问题的能力。

难点：培养探索问题、解决问题的核心素养【自主探究】【教材助读】（阅读书本P41/例6, 完成书本P43/B组第2题）B组/ 2、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【疑惑记录】【合作探究】知识探究（一）【动手实验】例1.点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.【试一试】（小组合作，用几何画板动手实验）思考1、改变定点F的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考2、改变定直线的位置，其他的都不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？思考3、比值改变，定点和定直线的位置不变，点P的轨迹还会是椭圆吗？由此，你有什么发现？（请一个小组派代表上台展示小组成果，请其他小组的同学补充）结论1：知识探究（二）【猜想证明】猜想：若动点M ()y x ,和定点F ()0,c 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(a c ace <<=，则动点M 的轨迹方程是椭圆. （你能证明你的猜想吗？这个椭圆的长轴长、短轴长、离心率分别是什么？）结论2：定点F ()0,c 是椭圆的一个焦点，直线ca x l 2:=称为相应于焦点F 的准线.相应于焦点F ()0,-c ，椭圆的准线是 .当焦点在y 轴上时，准线方程是知识探究（三）【再体验】任务一：用《几何画板》探究书本P 35/例3点M 的轨迹，并试着改变点A 、B 的位置，乘积的大小、符号，思考满足点M 的轨迹是椭圆的条件.任务二：用《几何画板》探究书本P 34/例2点M 的轨迹，完成书本P 43/B 组第1题.【归纳反思】谈谈本节课你的收获（基本知识、基本方法、数学思想）.【课堂延伸】1、椭圆的第二定义中，如果比值大于1，轨迹会发生变化吗？为什么？2、书本P 35/例3中，若乘积的符号发生改变，点M 的轨迹又会发生怎样的变化呢？反思。

几何画板制作椭圆教案教案标题：几何画板制作椭圆教学目标：1. 了解椭圆的定义和性质。

2. 学习使用简易工具制作椭圆。

3. 掌握椭圆的基本绘制方法。

教学准备：1. 准备一块大白纸板作为画板。

2. 准备一根针、一根细线、一支铅笔和一个固定点。

教学过程：引入活动：1. 向学生展示一张椭圆的图片，并询问学生对椭圆的了解程度。

2. 引导学生思考椭圆的定义和性质，例如：椭圆是一个平面上到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。

步骤一：制作椭圆的简易工具1. 向学生展示一根针和一根细线，并解释它们的作用。

2. 将细线的一端系在针的尖端，另一端系在固定点上。

3. 将针插入白纸板上的一个点，使细线保持紧绷状态。

步骤二：绘制椭圆1. 将铅笔握住，使其与细线的张力保持垂直。

2. 保持细线的张力不变，用铅笔沿着细线的张力方向移动，同时绕着固定点画出一个闭合曲线。

3. 继续移动铅笔，绘制出整个椭圆。

步骤三：椭圆的性质1. 解释椭圆的性质，如两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数。

2. 引导学生观察和探究椭圆的其他性质，如长轴、短轴、焦距等。

总结：1. 回顾椭圆的定义和性质。

2. 强调学生通过制作简易工具和绘制椭圆的实践活动，加深对椭圆的理解和记忆。

3. 鼓励学生在日常生活中观察和应用椭圆的知识。

拓展活动：1. 学生可以尝试使用其他方法制作椭圆，如使用两个针和两根细线的方法。

2. 学生可以进一步研究椭圆的性质，如离心率和焦半径的计算等。

评估方式：1. 观察学生在制作椭圆过程中的操作是否正确。

2. 提问学生关于椭圆的定义和性质的问题，检查他们的理解程度。

3. 可以布置一道绘制椭圆的作业题目，以检验学生对椭圆的掌握情况。

教学反思：1. 在制作椭圆的过程中，需要确保细线保持紧绷状态，否则绘制出的图形可能会失真。

2. 需要提前准备好足够数量的针和细线，以便每个学生都能参与到实践活动中。

3. 在教学过程中，要注重引导学生观察和思考，培养他们的探究能力和创造力。