2018年考研管理类联考之数学基础知识点汇总

管综数学笔记数学是一门精密、严谨的学科，广泛应用于各个领域。

作为管综考试的必考科目之一，数学的重要性不言而喻。

本文将从基础概念、常见题型以及解题技巧等方面，为大家提供一份全面而简洁的《管综数学笔记》。

一、基础概念首先，我们来回顾一些管综数学中的基础概念。

在数学中，我们要了解和掌握各种数学符号的含义，例如加减乘除、等于号、大于小于号等。

此外，我们还需熟悉数学中的常见术语，如整数、分数、百分数、正负数等。

掌握这些基础概念是解题的基础，也是提高数学能力的关键。

二、常见题型管综数学考试中常见的题型包括代数、几何、函数、概率、统计等。

下面我们来简要介绍一下这些题型。

1. 代数题型：代数题型是数学考试中常见且重要的题型之一。

其中包括等式与方程、函数与方程组、不等式、比例与相似等内容。

掌握代数的基本运算法则和常用的解题方法可以帮助我们迅速解答代数题。

2. 几何题型：几何题型主要涉及图形的性质、图形的计算以及平面与空间的几何关系等。

在解几何题时，我们需熟悉各种图形的特征和性质，并善于应用几何定理和公式进行推导和计算。

3. 函数题型：函数题型是管综数学考试中的重点和难点。

其中包括函数的性质、函数的图像与性态、函数的运算与复合以及函数方程等。

理解函数的概念和性质，并掌握函数的运算法则和解题技巧是解答函数题的关键。

4. 概率与统计题型：概率与统计题型主要涉及到概率与统计的基本概念、常用方法和推断分析等内容。

我们需要掌握统计图表的分析和读取技巧，熟悉概率计算的方法和应用，才能在概率与统计题中得心应手。

三、解题技巧在做管综数学题时，掌握一些解题技巧可以帮助我们提高解题效率和准确性。

下面列举一些常用的解题技巧：1. 分类讨论法：对于一些复杂的问题，我们可以将其情况进行分类讨论，然后针对每种情况分别解答，最后得出综合答案。

2. 倒推法：对于一些问题，我们可以从结果出发，逆向思维，倒推出解题过程，从而得到正确的答案。

3. 反证法：对于一些命题，我们可以通过反设假设，然后推导出矛盾结论，从而证明原命题的正确性或错误性。

管理类联考综合—数学知识点汇总完整版第一篇：概率论与数理统计概率论与数理统计是管理类联考中数学部分的重要内容，覆盖面广、难度大，考生需要认真掌握其中的知识点。

本篇将对概率论和数理统计的基础知识、常见分布、假设检验、方差分析等内容进行汇总整理。

一、基础知识1. 随机事件：指在一定条件下，可能产生多种不同结果的现象。

2. 随机变量：随机事件的结果可以用数值来表示，称为随机变量。

3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用概率表示。

4. 条件概率：在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率称为条件概率。

5. 独立事件：相互之间不会影响发生概率的两个或两个以上事件称为独立事件。

二、常见概率分布1. 正态分布：以均值为中心，标准差为分散程度的分布，常用于描述和推测大量数据的分布情况。

2. 二项分布：描述在n次试验中，成功的次数符合的概率分布。

3. 泊松分布：描述单位时间或单位面积内随机事件发生次数的分布。

4. 均匀分布：每一个数据出现的概率是等概率的。

5. 指数分布：记录一些事件发生所需要的时间的分布。

三、假设检验假设检验是用来判断统计样本是否符合总体总体假设的方法。

1. 假设：有一个总体在某些方面具有某种规律性，这种规律性称为原假设。

2. 零假设：原假设通常都是虚假的，它不成立的反假设称为空假设。

3. 显著性水平：指进行检验所容忍的犯错的概率，包括α错误和β错误两种类别。

4. P值：在假设检验过程中，p值越小说明样本越不符合原假设，若p值小于显著性水平，则拒绝原假设。

四、方差分析又称为ANOVA分析，是一种多个样本数据分析的方法。

1. 单因素方差分析：分析的是同一处理因素水平的多个样本间差异性的情况。

2. 二因素方差分析：分析的是两个处理因素及其交互作用对不同样本变量均值之差的影响。

3. 多因素方差分析：将数据按照多个不同的因素分组，比较不同因素的变化如何影响样本。

以上就是概率论与数理统计的基础知识、常见分布、假设检验、方差分析等内容的汇总整理，考生们在备考过程中应该加强对这些知识点的学习，扎实掌握这一部分的考试内容。

⎨ ⎩ ⎪⎪ ⎩第一章 实数1、实数的分类（1）按定义分类：⎧ ⎧ ⎧奇数 ⎪ ⎪整数⎨ ⎪⎪ ⎩偶数 ⎪有理数⎪ ⎧真分数（分子 < 分母） 实数⎪ ⎨ ⎪分数⎪> 分母） ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩无理数⎨假分数（分子 ⎪带分数 （2）按正负分类：⎧ ⎧ ⎧ ⎧1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪正有理数⎪正整数⎨质数 正实数⎪⎨ ⎪合数 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩正无理数⎪ ⎨零⎪ ⎧负有理数⎪⎩ ⎪⎩正分数⎪负实数⎨ ⎪ 负无理数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2、有理数、无理数2.1 ：定义 1：有理数：整数和分数（有限小数、无限循环小数）无理数：无限不循环小数2.2 ：定义 2：在于能否写成两个整数比的形式 2.3 ：有理数的四则运算结果皆为有理数 无理数的四则运算结果皆为无理数或有理数 有理数与无理数的加减运算结果必为无理数有理数乘以无理数结果为有理数则有理数必为 0. 【例 1】、下列说法正确的是（ ）．（A ）小数都是有理数 （B ）无限小数都是无理数 （C ）无理数是开方开不尽的数 （D ）零的平方根和立方根都是零 （E ）对数是无理数实数【例2】、已知x是无理数，且(x +1)(x +3)是有理数，则下列叙述有（）个正确：（1）(x-1)(x-3)是无理数；（3）(x+2)2是有理数；（4）(x-1)2是无理数．x 2 是有理数；（2）（A）2 （B）3 （C）4 （D）1 （E）0【例3】、化简(3 + 2 )2019 (3 - 2 )2021 的结果为（）．（A） 5 - 2 3 （B）5 - 6 （C） 6 - 2 6（D）5 + 2 6 （E） 5 - 2 63、奇数、偶数3.1：奇数、偶数的概念：两两一组无剩余，偶数；两两一组有剩余，奇数3.2：奇数：末位为1、3、5、7、9偶数：末位为0、2、4、6、83.3：间隔式排布3.4：运算【例4】：在1、2、3⋯2020 数字前任意添加+、—，其结果为（奇数/偶数）4、质数、合数4.1：质数：一个数的约数只有1 和它本身合数：一个数的约数除了1 和它本身外，还有其他的约数4.2：1 既不是质数也不是合数【例5】、记不超过15的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）．（A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）6【例6】、20 以内的质数中，两个质数之和还是质数的共有（）种．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6【例7】、某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3 加上右手中石子数乘4 之和为29，则右手中石子数为（）．（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数（E）以上结论均不正确5、约数、倍数【例8】、三个质数的积是其和的7 倍，求这三个质数6、互质数：如果两个数的公约数只有 1，则称这两个数为互质数。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==考研数学复习都有哪些知识点我们在进行考研数学的复习时，有很多的知识点需要我们去掌握。

小编为大家精心准备了考研数学复习要点，欢迎大家前来阅读。

考研数学复习重点高等数学：构建模型系统规划高等数学是一门很抽象的学科，理解的时候，不要纠结于表面的概念，要在思考的时候，在脑中构建一个模型，这个很像编程时，思考内存模型。

或者构建自己的复习思路，当复习到高数后面的知识点事，要结合前面的知识点，最后把学到的知识整体联系起来。

数学的复习是一项长期工程，关键在于恒心和坚持，只有如此，才能取得最后的成功，因此，希望你能严格要求自己，能够保证每天都完成相应的学习任务。

在寒假结束的时候，如果你都在稳扎稳打的看书了，高等数学的复习应该已经告一段落，考研数学复习的任务也就完成了三分之一。

线性代数：夯实知识点少量做题线性代数在考研数学中难度较高等数学来说要简单得多，但是考试题通常需要结合很多知识点才能解答出来。

所以考生要抓住寒假这段时间踏踏实实看一遍线性代数的参考书，然后自己做出总结，并将各知识点串联在一起，结合少量习题理解知识点考核重点即可。

概率论与数理统计：对照往年考纲少量题型概率论与数理统计在考研数学初试中题型比较固定，一般情况下难度中等，所以，虽然寒假难免有游玩的计划，同学们在复习这门课程时完全不必太过焦急。

花一周左右的时间对照往年考纲，安心看参考书，做少量题型就可以对后期的复习有很大帮助。

考研数学答题的技巧一、踩点得分对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅，有的人解答得多，有的人解答得少。

为了区分这种情况，阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。

也叫踩点给分，即踩上知识点就得分，踩得多就多得分。

因此，对于难度较大的题目可以采用这一策略，其基本精神就是会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。

管理类联考综合—数学知识点汇总(完整版)
管理类联考综合—数学知识点汇总(完整版)
管理类联考是国家教育部主管的研究生入学考试，涉及
到数学、英语、逻辑等多个科目。

其中，数学是考查学生数学能力和数学思维的重要科目，占据了考试总分的三分之一以上。

以下是管理类联考数学知识点汇总的完整版。

1. 数学符号：加减乘除符号、等于符号、大于、小于、
不等于符号、集合符号等。

2. 代数部分：基本代数运算、方程、函数、不等式、绝
对值、指数、对数、排列和组合、进制转换等。

3. 几何部分：基础几何概念、图形的性质、平行和垂直、圆的性质、三角形和四边形的性质、相似和全等、解析几何等。

4. 概率统计部分：概率基础、随机变量和分布、统计基础、假设检验、相关和回归分析等。

5. 线性代数：线性代数中向量、矩阵、行列式和线性方
程组的解法。

6. 微积分：求导和积分等，包括一元函数微积分和多元
函数微积分。

7. 数列与级数：数列的收敛、级数的求和等。

8. 计算机科学：计算机网络、数据结构和算法、计算机
体系结构等。

以上是数学知识点汇总的完整版，管理类联考数学考试
复杂多样，需要考生扎实的数学基础和良好的数学思维能力，希望考生能够认真学习和练习，顺利通过考试。

管理类联考综合—数学知识点汇总完整版一、微积分微积分是运用无限小量的方法研究函数和曲线变化的一门学科，主要包括导数、积分和微分方程三个部分。

许多问题可以通过微积分的方法求解，如求极值、最值、曲线的斜率、曲率等。

1. 导数导数是反映函数变化率和斜率的概念，用符号“f'(x)”表示。

导数的意义在于描述函数在某一点的变化情况，对于一条曲线而言，导数表示该点处的切线斜率。

(1) 导数的定义：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$(2) 导数的性质：- 可导函数的导数连续。

- f'(x)存在的充分必要条件是函数f(x)在该点的左右导数相等。

左导数定义为$$ \lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$右导数定义为$$ \lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$如果两者相等，则该函数在该点可导。

- 导函数的几何意义：导数表示曲线在某一点处的切线斜率，也表示函数的瞬时变化率。

2. 积分积分是导数的逆运算，求解函数与坐标轴之间的面积或者是求函数的定积分值。

积分有两种形式，一种是定积分，另一种是不定积分。

(1) 定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将[a,b]划分为n个小区间，其长度分别为$\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Deltax_n$，则小区间上的面积为$$ S=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i $$当n趋近于无穷大，区间[a,b]上的面积为$$ S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i $$(2) 不定积分：设函数F(x)在区间I上有导数，则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==考研数学必考知识点总结我们在进行考研数学的复习准备时，要知道必考的知识点有哪些，才能更好的提高自己的复习效率。

小编为大家精心准备了考研数学重要知识点汇总，欢迎大家前来阅读。

考研数学重要知识点高等数学：构建模型系统规划高等数学是一门很抽象的学科，理解的时候，不要纠结于表面的概念，要在思考的时候，在脑中构建一个模型，这个很像编程时，思考内存模型。

或者构建自己的复习思路，当复习到高数后面的知识点事，要结合前面的知识点，最后把学到的知识整体联系起来。

数学的复习是一项长期工程，关键在于恒心和坚持，只有如此，才能取得最后的成功，因此，希望你能严格要求自己，能够保证每天都完成相应的学习任务。

在寒假结束的时候，如果你都在稳扎稳打的看书了，高等数学的复习应该已经告一段落，考研数学复习的任务也就完成了三分之一。

线性代数：夯实知识点少量做题线性代数在考研数学中难度较高等数学来说要简单得多，但是考试题通常需要结合很多知识点才能解答出来。

所以考生要抓住寒假这段时间踏踏实实看一遍线性代数的参考书，然后自己做出总结，并将各知识点串联在一起，结合少量习题理解知识点考核重点即可。

概率论与数理统计：对照往年考纲少量题型概率论与数理统计在考研数学初试中题型比较固定，一般情况下难度中等，所以，虽然寒假难免有游玩的计划，同学们在复习这门课程时完全不必太过焦急。

花一周左右的时间对照往年考纲，安心看参考书，做少量题型就可以对后期的复习有很大帮助。

考研数学高分刷题技巧(一)单选题单选题的解题方法总结一下，也就下面这几种。

1.代入法也就是说将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。

2.演算法它适用于题干中给出的条件是解析式子。

3.图形法它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力.综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试.数学部分试题涉及的数学知识范围有：(一)算术1．整数(1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数2. 分数、小数、百分数3．比与比例4．数轴与绝对值(二)代数1．整式(1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数(1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数4．代数方程(1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组5．不等式(1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式.6. 数列、等差数列、等比数列(三)几何1．平面图形(1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形2．空间几何体(1)长方体(2)柱体(3)球体3．平面解析几何(1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理(1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述(1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率(1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下：1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案.该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是().(A)5x =-或1x =(B)5x =或1x =-(C)3x =或53x =-(D)3x =-或53x =(E) 不存在 【答案】C2. 条件充分性判断题型说明这类问题是结论明确，反问需要什么数学条件可以推出已给的结论，进一步说明：1)充分性逻辑角度:如果条件A 成立,能推出结论B 成立,即A B ⇒,称A 是B 的充分条件. 集合角度: B A ⊆ (A 是B 的子集)，则A 是B 的充分条件. 2)题目的设计：【题例】 题干(结论) (1)条件一 (2)条件二 3)选项设置【考题范例1】(2012)直线b x y +=是抛物线a x y +=2的切线．(1)b x y +=与a x y +=2有且仅有一个交点．(2)).(2R x a b x x ∈-≥-【答案】A【考题范例2】(2013)某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、二等奖1万元、三等奖0.5万元，则该单位至少有100人．(1)得二等奖的人数最多．(2)得三等奖的人数最多． 【答案】B【考题范例3】(2010) 设a 、b 为非负实数,则a b +≤54. (1)ab ≤116. (2)221a b +≤. 【答案】C【考题范例4】(2012)已知,m n 是正整数，则m 是偶数．(1)n m 23+是偶数． (2)2223n m +是偶数． 【答案】D【考题范例5】(2013)1+=mq p 为质数．(1)m 为正整数，q 为质数． (2),m q 均为质数． 【答案】E4)解题策略永远是从条件推结论，但可以将条件或者结论做等价化简. 解题策略1：如果条件是等号，则直接代入结论判断是否成立; 解题策略2：如果条件是范围，则看条件范围是否落入结论的范围; 解题策略3：可找特殊值证伪，一点即可说明不充分.考点精讲第一章 算术第一节整数一、 整数及其除法整数包括正整数、负整数和零.两个整数的和、差、积是整数，但两个整数的商不一定是整数. 1、 带余除法,使得,0||r b ≤<成立,且唯一,则称为被除所得的商叫做被除所得的余数.2、整除且,使得成立,则称整除,此时称为的约数(因数),称为的倍数，记为|b a . 3、整除的性质(1)|,||c b b a c a ⇒(2)|,||(),(,)c b c a c ma nb m n Z ⇒+∀∈ 4、整数的分类由带余除法，可根据余数将整数进行分类.例如，整数被2除的余数是0,1，从而可将整数分为两类：2,21()n n n Z +∈，即偶数和奇数；类似的，整数被3除的余数是0,1,2，从而可将整数分为三类：31,31,32()n n n n Z +++∈.5、整除数的特征被2整除的数的特征： 被5整除的数的特征： 被4,25整除的数的特征： 被8,125整除的数的特征： 被3,9整除的数的特征： 被6整除的数的特征： 被10整除的数的特征：,,a b Z ∀∈0,b ≠,p r Z ∃∈a pb r =+,p r p a b ,r a b ,,a b Z ∀∈0,b ≠p Z ∃∈a pb =b a b a a b被12整除的数的特征：【例1】当整数n 被6除时，余数为3，则下列哪项不是6的倍数？（ ）A.3n -B.3n +C.2nD.3nE.4n【例2】如果是一个正整数,那么一定有约数( ).A.4B.5C.6D.8E.9【例3】有一个四位数,它被131除余13,被132除余130,则此数的各位数字和为( ).A.22B.23C.24D.25E.26 二、 质数与合数 1、 定义质数：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称这个数是质数（素数）. 合数：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有别的正因数，则称这个数是合数.注：由定义知，1既不是质数也不是合数. 2、 质数的性质（1） 最小的质数是2；质数中只有2是偶数，其它都是奇数.（2） 若p 为质数，a 是任一整数，则|p a 或a 与p 互质（a 与p 的最大公因数是1） （3） 设12,,,n a a a 是n 个整数，p 为质数，若12|(,,,)n p a a a ，则p 至少能整除其中一个k a .3、 质数分解定理任何一个大于1的整数，都能分解成若干个质数的乘积，且分解形式是唯一的，即12n a p p p =⋅⋅⋅，其中1a >的整数，12,,,n p p p 均为质数【例4】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁，他们的年龄之和为( )岁.A ．21B ．27C ．33D ．39E ．51n 3n n -【例5】设是小于12的不同质数(素数),且,则( ).A. 10B.12C. 14D.15E. 19 【例6】如果,,a b c 为3个连续的奇数，则30a b +=．(1)1020a b c <<<<.(2)b c ,均为质数． 三、 最大公因数与最小公倍数 1、 定义（1） 公因数、最大公因数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|d a d b ，则称d 为,a b 的一个公因数（公约数），其中最大的公因数称为,a b 的最大公因数，记为(,)a b .注：若1(,)a b =，则称,a b 是互质的.（2） 公倍数、最小公倍数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|a d b d ，则称d 为,a b 的一个公倍数，其中最小的公倍数称为,a b 的最小公倍数，记为[,]a b .2、 性质（1） 若|,|a d b d ，则[,]|a b d . （2） (,)[,]a b a b a b ⋅=⋅（3） 若|a bc ，且1(,)a b =，则|a c .【例7】3018900(,),[,]a b a b ==（1）2100270,a b ==（2）140810,a b ==【例8】两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的正整数共有（ ）,,a b c 8a b b c c a -+-+-=a b c ++=对.A ．1B ．2C ．3D ．4E ．5第二节 实数及其运算一、 实数的分类整数有理数实数 分数（有限小数、无限循环小数）无理数（无限不循环小数）1、 实数的运算（1） 加、减、乘、除 （2） 乘方运算n na a a a =⋅⋅⋅，1n n a a -=，01a = （3） 开方运算n ma =1n mn maa-==2、 实数的整数部分和小数部分(1) 定义：,[]x R x ∀∈表示不超过x 的最大整数，令{}[]x x x =-，称[]x 是x 的整数部分，{}x 是x 的小数部分. (2) 性质：{}[]x x x =+01{}x ≤< 3、 有理数（1） 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成0,(,,)mm n Z n n∈≠的形式.最简分数：若1(,)m n =，称mn为最简分数或既约分数. （2）有理数之间的相互转化分数 小数 小数 分数4、无理数无限不循环小数称为无理数. （1） 无理数与有理数的运算“有”＋、－、×、÷“有”= “有”＋、－“无”= “有”×、÷“无”=注：若是有理,a b 00a a b +=⇒== (2)处理无理数的方法：乘方、配方、有理化【例9】若是最简分数,其中取19~中的整数,,则( ) A. B. C. D.24E.以上结果均不正确【例10】已知为无理数,为有理数,则下列正确的有( )个. ①必为无理数. ②必为无理数.③必为有理数. ④可能为有理数. A. 0 B.1 C. 2 D.3 E. 4a b ,a b 1192b a b +=+a b=675645a (1)(3)a a ++2a 2(1)a +2(2)a +(2)(2)a a +-【例11】已知为有理数,c =则( ).A. 2B.3C. 4D.5E. 7 【例12的整数部分为,小数部分为,则( ).11第三节 比和比例一、比、比例的定义 若或,则和为比例外项,和为比例内项,当时,称为和的比例中项,即2b ad =.二、比例的性质 1、比例的基本性质（1）ak a b k b=⇒=⋅（2）,(0)a mam b mb =≠ （3）a cad bc b d=⇒=2、更比定理a c ab b dc d=⇒= 3、 合、分比定理,,a b c 222a b c ++=αβαβ=::a b c d =a cb d=a d b c ::a b b d =b a da c a mbc md b d b na d nc++=⇒=++ 4、 等比定理,(0)a c e a c e k k b d f b d f b d f++===⇒=++≠++【例13】已知非零实数,满足,则( ).A. 0B. 0或8-C. 2-或1D. 1或8-E. 8-【例14】设0a b m >>>,在有意义的条件下则的大小关系为( ).A. B. C.D. E.三、百分比问题1、定义：,即,则称为是的.2、增长率注：a 比b 大%100%%(1%)a b p p a b p b-⇔⨯=⇔=⋅+ b 比a 小%100%%(1%)a b p p b a p a-⇔⨯=⇔=⋅- 3、增加并存的恢复问题(1) 设价格为的商品,先提价,在降价后,则变化后的价格为.,,a b c b c a c a b b a c x a b c+-+-+-===3x =123,,a m a a m I I I b m b b m-+===-+321I I I <<213I I I <<123I I I <<231I I I <<132I I I <<100%%a r b⨯=%a b r =⋅a b %r 100%⨯后来值-原来值增长的百分比=原来值100%⨯原来值-后来值减少的百分比=原来值p %r %r(2) 设价格为的商品,先提价,则降价%,恢复原价.(3) 设价格为的商品,先降价,则提价%,恢复原价.【例15】某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%.二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份的进价是一月份进价的（ ）（A ）92% （B ）90% （C ）85% （D ）80% （E ）75%【例16】企业的职工人数今年比前年增加了20℅.(1)企业的职工人数去年比前年减少了20℅.(2)企业的职工人数今年比去年增加了50℅【例17】第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%；第二季度，甲公司的产值比第一季度增长了20%，乙公司的产值比第一季度增长了10%；第二季度甲、乙公司的产值之比是（ ）.A.96：115B.92:115C.48:55D.24:25E.10:11p %r p %r A A A【例18】甲、乙、丙三种物品，已知甲与乙的价格之和与丙的价格之比是7:2；乙与丙的价格之和与甲的价格之比为8:3，则甲与丙的价格之和与乙的价格之比是（ ）.A.49:50B.37:50C.37:40D.47:60E.49:60第四节 绝对值一、 绝对值的定义和性质1、 定义和几何意义（1）定义：0||000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩||0x a x a x a x a a x x a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩（2）几何意义||a 表示点a 到原点的距离.||x a -表示点x 到a 的距离.2、 绝对值的性质（1）非负性：||0a ≥注：非负性的和为零，则每项均为零.（2）对称性：||||,||||a a a b b a =--=- （3）自比性：||||a a a -≤≤-1010||a a a a >⎧=⎨-<⎩，20,000||||20,0a b a b ab a b a b >>⎧⎪+=<⎨⎪-<<⎩ （4）平方、开方性222||||,||a a a a ===（5） 三角不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意：取等号的条件.||||||0a b a b ab +=+⇔≥||||||||0a b a b ab +=-⇔≤||||||0a b a b ab -=+⇔≤||||||||0a b a b ab -=-⇔≥【例19】已知2|1|(2)0x y x y -++-=，则log y x =（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2E. -2【例20】(410)z x y -=(1) 实数,,x y z满足2(21)20x y x y z -+-+=(2) 实数,,x y z满足224521x xy y y +++=--【例21】若2112||33x x--=成立，则x 的取值范围是（ ）. A. 12x > B. 12x = C. 12x < D. 12x ≥ E.12x ≤【例22】成立.(1)(2)321x x +-+=-4.5x <-4.53x -≤≤-【例23】等式|27||2||5|m m m -=-+-成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 25m ≤≤B. 2x ≤-或5x ≥C. 25m -<<D. 2x ≤或5x ≥E. 5x ≤-或2x ≥-二、绝对值等式和不等式方法：（1）公式法；（2）零点分段讨论法；（3）平方1、绝对值等式.求解：①方程无解.②方程有唯一解.③方程有两个解.注：保证绝对值的非负性.2、绝对值不等式（1）解集为：,0,0b a b x a b b ∅≤⎧⎨-<<+>⎩(2)解集为：,0,0,0R b x a b x a b x a b b <⎧⎪≠=⎨⎪>+<->⎩或【例24】方程216x x --=的根为( ).A.或B.或73x =C.73x =或5x =-D.或E.5x =【例25】方程213x x ++-=无根.(1)1x >. (2)2x ≤-x a b -=0b <⇒0b =⇒x a =0b >⇒x a b =±x a b -<x a b ->5x =-1x =5x =3x =3x =-53x =【例26】可以确定||2x y x y+=-. (1)3x y =； （2）13x y =【例27=-x 的取值范围是（ ）A. 0x <B. 2x ≥-C. 20x -≤≤D. 20x -<<E. 20x -≤<【例28】方程2x x a -=有三个不同的解,则实数a 的取值范围是( ).(A) 0a = (B) 0a >或1a <- (C) 1a <- (D) 10a -<< (E) 0a >【例29】实数x 满足13||||222x x -+-<. (1)21||13x -< (2)21||11x x -≤+三、绝对值最值问题1、绝对值函数取最值的结论（1）()||||f x x a x b =-+-（2）()||||f x x a x b =---（3）()||||||f x x a x b x c =-+-+-【例30】的最小值为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） （E ）【例31】若关于x 的不等式32x x a -+-<的解集是空集,则实数a 的取值范围是( ).(A) 1a < (B) 1a ≤ (C) 1a > (D) 1a ≥ (E) 1a ≠2、含有绝对值的确定取值范围的问题（1）恒成立、无解()f x a ≥恒成立()f x a ⇔<无解min ()f x a ⇔≥()f x a ≤恒成立()f x a ⇔>无解max ()f x a ⇔≤()f x a >恒成立()f x a ⇔≤无解min ()f x a ⇔>31()||||44f x x x =---1212-0114()f x a <恒成立()f x a ⇔≥无解max ()f x a ⇔<（2）有解设()f x 是绝对值的和或差构成的函数（连续），则()f x a =有解min ()f x a ⇔≤()f x a =无解min ()f x a ⇔>【例32】方程|1||1|x x a -++=无解.(1)1a = (2)2a <【例33】不等式24x x S -+-<无解.(1)2S ≤(2)2S >【例34】方程|4||1|x x a --+=有无穷多解.(1)5a =(2)5a =-【例35】|53||32|3x x ---=的解集是空集.(1)53x >(2)7563x <<第二章 代数式和函数第一节 整式一、 基本概念1、 代数式的分类单项式 整式有理式 多项式代数式 分式无理式2、一元n 次多项式1110()(0)n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠称为关于x 的一元n 次多项式.多项式相等定理：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，1110()nn n n g x b x b x b x b --=++++，则111100()(),,,n n n n f x g x a b a b a b a b --=⇔====二、 整式的运算1、乘法公式①②③④⑤注：2222221[()()()]2x y z xy yz xz x y y z z x ++---=-+-+-【例1】对任意实数x ，等式450ax x b -++=恒成立，则2015()a b +=（ ）A.0B.1C. 1-D. 20152E. 10072222()2x y x xy y ±=±+22()()x y x y x y -=+-2222()222x y z x y z xy yz xz ++=+++++3322()()x y x y x xy y ±=±+33223()33x y x x y xy y ±=±+±【例2】已知，则（ ）（A ）83 （B ）84 （C ）85 （D ）86 （E ）87【例3】实数,,a b c 中至少有一个大于零.(1) ,,,x y z R ∈22,2a x y π=-+22,3b y z π=-+226c z x π=-+(2) x R ∈且1,x ≠1,a x =-1,b x =+21c x =-2、整式除法（1）竖式除法（2）带余除法任意多项式(),()(()0)f x g x g x ≠，则存在唯一的(),()p x r x ，使得()()()()f x g x p x r x =⋅+,其中()r x 的次数比()g x 的低，则称多项式()f x 除以()g x 商式为()p x ,余式为.3、整除（1）定义：当时，()()()f x g x p x =⋅，称整式()f x 能被整式()g x 整除，称()g x 为()f x 的一个因式，记为()|()g x f x .（2）性质：若,且,则.若,且,则.4、因式定理f x ()含有ax b -()因式⇔f x ()能被ax b -()整除⇔0b f a =().注：一次因式的零点恰为对应多项式方程的根.5、 余式定理239x x -=433275x x x --+=()r x ()0r x =()|()h x g x ()|()g x f x ()|()h x f x ()|()h x g x ()|()h x f x ()()|()()()()h x u x f x v x g x ±多项式f x ()除以ax b -()的余式为().b r f a=【例4】若多项式3223()f x x a x x a =++-能被1x -整除，则实数a =（ ）A.0B. 1C. 0或1D. 2或-1E. 2或1【例5】二次三项式26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的一个因式. （1）16a =（2）2b =【例6】若2x x m ++被5x +除，余式为3-，则m =（ ）A.21B.22C.-22D.23E.-23【例7】若f x ()被1x -除，余式为9；若f x ()被2x -除，余式为16，则f x ()被12x x --()()除的余式为（ ）A.72x +B.73x +C.74x +D.75x +E.27x +【例8】 若三次多项式g x ()满足1020324g g g g -====-()()(),()，多项式421f x x x =-+()，则34g x f x -()()被1x -除的余式为（ ）A.3B.5C.8D.9E.11三、 整式的因式分解把一个整式化为若干个其他的整式乘积的运算称为整式的因式分解. 常用的因式分解的方法： 1、 公式法2、 十字相乘法3、 待定系数法【例9】多项式326x ax bx ++-的两个因式是2x +和3x -，则第三个一次因式是（ ）A.6x -B.3x -C.1x +D.2x +E.3x +【例10】若12x y -+()是2244xy x y m ---的一个因式，则m =（ ）A.4B.1C.-1D.2E.0第二节 分式一、 分式的基本概念1、 定义(1)0AB B≠()称为分式，其中A 称为分子，B 称为分母. （2）最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式. 2、分式的基本性质（1）分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变. (2)约分：把分式的分子与分母的公因式约去.(3)通分：把异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式. 3、分式的运算（1） 分式的加减运算（2） 分式的乘除运算（3）分式的乘方运算【例11】当20051949x y ==,时，代数式4422222x y y xx xy y x y --⋅-++的值为（ ）A.-3954B.3954C.-56D.56E.128【例12】已知0a b c ++=，则111111a b c b c a c a b+++++=()()()的值为（ ）A.0B.1C.2D.-2E.-3 二、1nnx x +类型 解题方法：递推公式222112k kk k x x x x +=+-() 2112111111k k k k k k x x x x x x x x+++++=++-+()()()【例13】若2510x x -+=，则441x x+的值为（ ） A.527 B.257 C.526 D.256 E.356【例14】若正实数满足2421124a a a =++，则21a a a ++的值为（ ）A.12B.14 C.16D.112E.124三、分式方程1、 分式方程0A B =的解为0A B =⎧⎨≠⎩2、 增根：使得0A B =⎧⎨=⎩成立的根称为方程0A B =的增根【例15】若关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（ ） A.0 B.3 C.-1 D.-2 E.-3【例16】42233402445815x x x x x --+=-+成立.(1)x =(2)x =第三节 函数一、 函数的基本属性1、 函数的三要素：定义域、对应法则、值域 注：常用的函数定义域的基本原则 （1） 分母不能为零；（2） 偶次根式中被开方数不能小于零；（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4） 零指数幂的底数不等于零； （5） 实际问题要考虑实际意义等 2、 单调性设函数f x ()在区间a b [,]有定义，对于任意的12x x a b ∈,[,]，（1） 单调增加：若12x x <，有12f x f x <()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调增加； （2） 单调减少：若12x x <，有12f x f x >()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调减少.(3)复合函数的单调性法则：单调性相同的两个函数复合，得到的新函数是单调增加的；单调性不同的两个函数复合，得到的新函数是单调减少的. 3、 奇偶性（1） 偶函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=()()，则称f x ()为偶函数； （2） 奇函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=-()()，则称f x ()为奇函数； （3） 性质：偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 二、一元二次函数1、一元二次函数的解析式（1）一般式：20f x ax bx c a =++≠()() （2）零点式：120f x a x x x x a =--≠()()()()（3）顶点式：224024b ac b f x a x a a a-=++≠()()() 2、一元二次函数的图像及其性质（1）图像：抛物线 开口 判别式 对称轴 零点 顶点（2）单调性：当0a >时，在2b a -∞-(,]上是单调减少的，在2ba -+∞[,)上是单调增加的； 当0a <时，在2b a -∞-(,]上是单调增加的，在2ba-+∞[,)上是单调减少的.（3）最值：一元二次函数在对称轴处取到最值当0a >时，开口向上，有最小值；当0a <时，开口向下，有最大值.注：限定区间的最值问题，有时还需要结合单调性来求出最值. （4）零点与韦达定理设12x x ,是一元二次函数20f x ax bx c a =++≠()()与x 轴的两个交点的横坐标（称为零点），则：12b x x a +=-12c x x a⋅=【例17】函数112x y -=在定义域上的单调性为（ ）A ．在1-∞(,)上是增函数，在1+∞(,)上是增函数 B.减函数C ．在1-∞(,)上是减函数，在1+∞(,)上是减函数 D.增函数 E ．以上结论都不正确【例18】一元二次函数1y x x =-()的最大值是（ ）A.0．05B.0.1C.0.15D.0.2E.0.25【例19】设实数x y ,满足23x y +=，则222x y y ++的最小值是（ ）A.4B.5C.611【例20】若不等式210x ax ++≥对一切102x ∈(,)都成立，则a 的取值范围是（ ）A.0a ≥B.10a -<<C.512a -≤≤-D.52a ≥- E.1a ≤-三、指数函数和对数函数1、指数函数 （1）定义01x y a a a =>≠,(,)，定义域为R ，值域为0+∞(,).（2）图像（3）单调性当1a >，xy a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）底数与图像的关系当1a >，a 值逆时针变大；当01a <<，a 值也是逆时针变大的. 2、对数函数（1）定义01a y x a a =>≠log ,(,)，定义域为0+∞(,)，值域为R .（2）图像（3）单调性当1a >，x y a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）对数与指数的关系：对数运算与指数运算是互逆运算ba a Nb N =⇔=log3、指数与对数的运算性质：，，，，，，，，，，， ，，，，，.【例21】若，则有（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）（E ）以上均不正确 b a N =01a =1a a =()nm mn a a =m n m n a a a +⋅=()nn n ab a b =⋅m n m n a a a -÷=mn a =1n na a-=log N a a N =1log 0a =log 1a a =loglog log M N M N aa a=+loglog log M M N N aa a =-log log nM Ma a n =log log logb bcaa c=1log log b a a b =log log m n b b a am n =32a -<<-13()0.32aa a >>10.3()32aa a>>1()0.332a a a>>130.3()2a aa >>【例22】744855285,,377a b c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是( ). (A) a b c >> (B) a c b >> (C) b a c >> (D) c a b >> (E) 以上均不正确【例23】若330m n <<log log ，则m n ,满足条件（ ）A.1m n >>B.1n m >>C.01m n <<<D.01n m <<<E.无法判断【例24】函数223a f x x x =+-()log ()，若20f >()，则f x ()的单调递减区间为（ ）A.1+∞(,)B.1-∞-(,)C.3-∞-(,)D.1-+∞(,)E.-∞+∞(,)【例25】已知函数2234x x f x +=-⨯()，且20x x -≤，则f x ()的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3E.4【例26】设164x ≤≤，函数42222812y x x x=+⋅(log )(log )log 的最大值和最小值分别是（ ）A.54,2B.81,9C.81,0D.54,0E.以上都不正确第三章方程和不等式函数、方程、不等式、平面解析几何等方面的问题本质上是同一个问题，只是研究的角度不同.【主要考点】1. 代数方程：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组.2. 其他类型的方程：绝对值方程，分式方程，根式方程，对数方程，指数方程.3. 不等式：不等式的性质，一元一次不等式，一元二次不等式，简单的一元高次不等式.4. 不等式组：由一元一次不等式和一元二次不等式等组成的不等式组.5. 其他类型的不等式：绝对值不等式，分式不等式，根式不等式，指数不等式，对数不等式.6. 均值不等式，三角不等式.7. 线性规划问题：不等式组约束下的最值问题. 8. 应用问题.第一节方程一、基本概念1.方程、解（根）含有未知数的等式称为方程.能使方程左右两端相等的未知数的值，称为方程的解或根.考试只要求方程的实根，即方程在实数域内的解.2.方程的元和次“元”指的是方程中不同未知数的个数，“次”指的是方程中未知数的最高次数.二、一元一次方程1.方程的形式：ax b =2.解方程（1）若方程中的所有系数均为已知的实数，可利用代数式运算的法则求解方程； 实例：325x +=，解得1x =.（2）若方程中含有参数，特别是未知数的系数中含有参数，通常需要分情况讨论.3.分情况讨论：①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0,0a b ==时，方程有无穷多解，x R ∈；③当0,0a b =≠时，方程无解.4.解析几何中的直观解释：【例 3.1】能够推出x 的方程22()0a b x a b -++=有无穷多解，下列说法中正确的个数为（）①0a b +=；②0a b +≠；③220a b -=；④0a b -=.(A)0(B)1 (C)2 (D)3(E)4【例 3.2】直线2(1)y a x a a =+-+与直线2y =-有且只有一个交点，则交点的坐标为（）(A)(1,1)a + (B)(1,2),1a a +-≠- (C)(2,1),1a a --≠-(D)(1,2)a +- (E) (2,2),1a a --≠-三、一元二次方程1.形式：20(0)ax bx c a ++=≠注：如果0a =，则退化为前一种情况.2.等价形式：220(0)0b c x x a x px q a a++=≠⇔++= 3.配方形式：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程的判别式：24b ac ∆=-5.讨论：①0∆>，方程有两个不相等的实根.②0∆=，方程有两个相等的实根.③0∆<，方程无实根.6.求根公式：1,2,02b x a-±=∆≥ 7.因式分解形式（十字相乘）：若12,x x 为方程的两个实根，则212()()0ax bx c a x x x x ++=--=.反之成立.8.韦达定理或根与系数关系：1212,b c x x x x a a+=-=. （1）为什么？（2）推广到一元三次方程20(0)ax bx c d a +++=≠，假定123,,x x x 为三个实根，则 123123,x x x x x x ++==（3）与韦达定理有关的代数式运算1211x x +=，2212x x +=3312x x +=，4412x x +=12x x -=，3312x x -= 【例 3.3】设12,x x 是方程250x px +-=的两个实根，若1211x x +的算术平均数为6，则p 的值为（）(A)50- (B)60- (C)50(D)60(E)30【例3.4】方程2780x x -+=的两个实根为121,1x x ++.（1）方程2520x x -+=的两个实根为12,x x（2）方程2520x x ++=的两个实根为12,x x【例3.5】已知方程220x ax x a +-+=有实根，则两根之积的最大值与最小值之差为（）(A)1 (B)89 (C)29 (D)19(E)无法确定【例3.6】已知一元三次方程32210x x -+=的根为1231,,x x x =，则2223x x +=（） (A)1- (B)12 (C)1 (D)2(E)3【例 3.7】设一元三次方程320x bx cx d +++=的三个实根为123,,x x x ，则22212311x x x ++=.（1）1,5,6b c d =-=-=（2）1,5,6b c d ==-=-【例3.8】方程210x ax ++=与210x x a ++-=有一公共实根.（1）2a =（2）1a =四、二元一次方程组1.形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 2.求解（1）当1110a b c ≠时，几何解释 ①2211a b a b ≠，方程有唯一解. ②222111a b c a b c =≠，方程无解. ③222111a b c a b c ==，方程有无穷多组解. （2）其他情况，针对具体问题具体分析.3.重点：利用方程组解决应用问题，包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等.【例3.9】一列火车驶过铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥公用1分25秒，随后列车又穿过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，能确定火车的速度及车身的长度（假定火车始终匀速行驶）.（1）铁路桥长为900米.（2）隧道长为1800米.五、其他类型的方程1.分式方程（1）形式：()()f x ag x = （2）求解方法①去分母，验增根：先求方程()()0f x ag x -=的根，再验证()0g x ≠是否成立. ②()()0()()0()f x ag x f x a g x g x -=⎧=⇔⎨≠⎩【例3.10】方程213111x x x x x ++=+--的所有根之和为（） (A)1(B)1- (C)2 (D)2-(E)0【例3.11】一满桶纯酒精倒出10升后，加满水搅匀，再倒出4升后，再加满水.此时，桶中的纯酒精与水的体积之比是2:3，则桶的体积是（）升(A)15 (B)18 (C)20 (D)22(E)252.绝对值方程（1）形式：含有绝对值的方程.（2）一般形式：①直接取正负去掉绝对值，注意检验增根. 实例：1x =-②讨论范围去掉绝对值.（3）特殊形式：通常与绝对值函数有关.【例3.12】方程214x x -+=的所有根之积为（）(A)3(B)5 (C)3- (D)5-(E)6【例3.13】方程1222x x x a -+-+-=无实根.（1）1a ≤（2）0.5a =3.根式方程（1）形式：含有根式的方程.（2）求解：平方去根式，检验增根.【例3.14】2=的所有根之积为（）(A)56 (B)48 (C)36 (D)28(E)244.指数方程和对数方程（1）形式：含有指数或对数的方程.（2）求解：只考查简单的指数方程和对数方程，通常利用换元法进行化简.【例3.15】方程1332x x --=的所有根之积为（）(A)1- (B)0 (C)13 (D)1(E)3【例3.16】方程11442x x a -----⨯=有实根，则a 的取值范围是（）(A)30a -<< (B)3a ≤-或0a ≥ (C)30a -≤<(D)3a ≤-或0a > (E) 以上答案都不对第二节不等式一、基本概念1.不等号≥等价于>或=，例11≥.2.不等式的性质①a b b a >⇔<②,a b b c a c >>⇒>③,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<二、一元一次不等式1.形式：ax b >或0ax b ->2.分情况讨论：几何解释①当0a >时，b x a>； ②当0a <时，b x a <； ③当0,0a b =≥时，无解；④当0,0a b =<时，x R ∈.【例3.17】1211x -<<-. （1）0x <（2）32x >三、一元二次不等式1.形式：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<.2.解集：注：只讨论0a >的情况.若0a <，既可不等式两边乘以1-后转化为正系数的情况，也可做类似的分析.【例3.18】已知不等式220ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +=（） (A)12- (B)10- (C)6-(D)4-(E)6【例3.19】关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立.（1）1a ≤（2）35a >-【例3.20】若不等式2210x ax -+≥对于一切()0,1x ∈成立，则a 的取值范围是（）(A)11a -<≤ (B)2a < (C)12a -≤≤ (D)1a ≤(E)2a ≤ 四、一元高次不等式1.形式：通常为几个因式乘积的形式.2.解法：穿线法.①去掉恒正或恒负的项，调整最高次幂的系数为正，写出等价形式.②在数轴上标出零点，判断实心或空心.③从右向左依次穿线.④奇穿偶不穿.【例3.21】不等式22(28)(2)(226)0x x x x x ----->恒成立.（1）(2,1]x ∈--（2）4x >或2x <【例3.22】不等式(2)ln 0(1)(3)x e x x x x -≥--恒成立. （1）(0,1)(1,2](3,)x ∈+∞（2）[2,3)x ∈五、不等式组1.形式：若干个不等式联立组成不等式组.2.解法：取各个不等式解集的交集.【例3.23】方程2(2)0x a x a +-+=的两个实根均在(1,1)-内，则a 的取值范围是（）(A)142a -<≤+ (B)142a -≤≤- (C)142a <≤+(D)142a <≤- (E)142a <<+【例3.24】某单位年终共发50万元奖金，奖金金额分别为一等奖4万元，二等奖2万元，三等奖1万元，则该单位至少有25人.（1）得二等奖的人数最多（2）得三等奖的人数最多六、其他类型的不等式1.分式不等式：移项，通分，穿线.【例3.25】0x << （1）223211x x ->- （2）当01x <<时，223211x x ->-2.绝对值不等式：讨论法，两侧法，图像法.【例3.26】123x x +<+.（1）1x <-（2）54x >-【例3.27】2521x x x -->-（1）4x >（2）1x <-3.根式不等式：讨论法，图像法.【例3.28】x a -≥对于1x ≥恒成立. （1）34a <（2）34a =4.对数不等式和指数不等式：结合图像进行讨论.【例3.29】不等式221log ()2x x <-≤（11x ≤<-（2）2x <≤六、均值不等式和三角不等式1.均值不等式（1）2a b +≥(0,0)a b ≥≥，当且仅当a b =时等号成立. 等价表述：两个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.两个非负实数的等差中项大于等于它们的等比中项.222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. （2）适用范围：①乘积为定值时，可求和的最小值.②和为定值时，可求乘积的最大值.（3）注意事项：一定要判断取等条件.如果不满足取等条件，则无法取得相应的最值.（4）3a b c ++≥(0,0,0)a b c ≥≥≥，当且仅当a b c ==时等号成立. 实例：对号函数1y x x =+【例3.30】已知0x >，函数223y x x=+的最小值是（）(A)((C) (D)5(E)【例3.31】若40y x x --<对一切正实数x 均成立，则y 的取值范围是（） (A)2y = (B)2y < (C)2y ≤ (D)4y ≤(E)4y <2.三角不等式（1）a b a b a b -≤+≤+，当且仅当0ab ≥时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≤时左侧的等号成立.（2）()a b a b a b a b a b a b -≤-≤+⇔--≤+-≤+-， 当且仅当0ab ≤时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≥时左侧的等号成立.【例3.32】a b a b a b -=-=+（1）0ab ≥（2）0ab ≤七、线性规划1.解法①根据约束条件即不等式组画出可行域.②求出可行域的所有“尖点”，注意题目中是否有整数的要求.③代入目标函数，比较函数值得出结论.【例3.33】,x y 满足236x y +≤且24x y +≤，则x y +的最大值为52（1）,x y R ∈（2）,x y N ∈第一章例题答案1-5 DCDCD 6-10 EABAD 11-15 AEDAB 16-20 CCAAB 21-25 EDDEA 26-30 ECAEB 31-35 BDADE第二章例题答案1-5 CDDEE 6-10 EACCC 11-15 AEBCD 16-20 DBEAD 21-25 BADCB 26 C第三章例题答案1-5 CEDAA 6-10 EDECC 11-15 CDBBD 16-20 CDBCD 21-25 ABDEB 26-30 BADDA 31-33 ECA。