微积分期末复习指导

大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。

期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。

以下是大学微积分期末复习的重点内容。

一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。

熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

掌握函数的四则运算和复合函数的求法。

2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。

掌握极限的四则运算法则和存在准则。

熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。

3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。

掌握无穷小的比较和运算。

二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。

掌握导数的物理意义和经济意义。

2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。

掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。

会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。

3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。

掌握微分的计算方法和应用。

三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。

2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。

求函数的极值和最值。

3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。

求函数的拐点。

4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。

四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。

掌握不定积分的基本性质。

2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。

掌握换元积分法和分部积分法。

五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。

掌握定积分的基本性质。

2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。

会用换元积分法和分部积分法计算定积分。

3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。

六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。

（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。

()()'F x dx F x C =+? 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

“微积分”期末复习指导第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。

二．复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。

其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、 知道分段函数，隐函数的概念。

. 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e =⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。

解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知c o t y a rc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14arc π=四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；3()2f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3ln(1)y x =- 答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ .3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶； 习题一.（B ）.11.第二章 极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。

《微积分》复习参考资料第一章 函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：设函数f(x-1)=x 2,则f(x+1)=（x+2）2 ； 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式： 自变量 ≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。

例1：求y=x x 212-+的定义域。

（答案：212<≤-x ） 三、判断函数的奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x),偶函授：f(-x)=f(x); 四、反函数 五、初等函授1.基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

2.复合函数3.初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

注：分段函数一般不是初等函数。

特例：,0,0x x y x x ≥⎧==⎨-<⎩为初等函数。

例2：设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，则函数)]([x g f 是（ A ）.A. 偶函数B. 奇函数C. 非奇非偶函数D.以上均不对.例3：设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为__)100,10(_____.A. )100,10(B. )2,1(C. )2lg ,0(D. ]2lg ,0[第二章 极限与连续1、极限定义：n lim n a a →∞=⇔对任给0ε>，存在,N 当n N >时，有||n a a ε-<.（等价定义）2、无穷小的定义与性质：1）若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数. （2）零是常数中唯一的无穷小量。

微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。

在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。

其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。

详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。

复习小结了然于心，然后再复习。

第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。

学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。

第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。

从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。

第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。

数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。

比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。

第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。

另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。

其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。

微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。

第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。

2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。

二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。

显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。

当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。

第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。

假设B中的元素为y。

则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。

我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。

符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。

微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。

6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。

必考。

第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。

必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。

（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。

（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。

09-10年微积分高数三下期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质,定积分的计算,变上限定积分的求导法;二．复习要求1. 理解定积分的概念,知道定积分与不定积分的区别;函数()f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算;函数()f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限,是一个确定的数,这个数只与被积函数()f x及积分区间[],a b有关;2. 理解并记住定积分的基本性质;3. 理解变上限定积分的概念,熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法;牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来,求定积分的值,只需求出被积函数()f x的一个原函数()F x,再应用牛—莱公式即可;因而计算定积分也与求不定积分类似,有直接积分法,换元积分法,分部积分法;5. 熟练掌握定积分的换元积分法,分部积分法;注意：用换元法求定积分时,换元必换限,无需还元；若是凑微分而不显示“换元”,则积分限不作变换;定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似,唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限,而且为了减少出错,要及时计算出auvb的值;6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质; 7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积; 三．例题选解例1.求极限limx+→46arcsinxx⎰解: 这是型不定式,应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法,有原式＝35(arcsinlim6xxx+→＝23524lim6xx xx+→⋅无穷小代换＝43例2. 求定积分：⑴11x-⎰⑵dxxx⎰+411321exdx⎰.解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性质,有：11x-=⎰⑵．本题被积函数含一次函数的根式,且不能用直接积分法和凑微分求解,适用第二类换元法;令t=则2,2x t dx tdt==；当1=x时,1=t,当4x=时2t=.dxxx⎰+411=tdttt21212⋅+⎰=dttt⎰+212212=dttt⎰+-+21221222=dtt⎰+-212122=21)arctan 22(t t -3显然本题积分21e xdx ⎰ 属适用分步积分的类型.,根据)11(1++=αααx d dx x ,可得25552444(41)525251e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积;解：由所给曲线方程解得交点：1,1, 2,12,2,2 .画出平面图形如下: 1求平面图形的面积.视平面图形为X 形区域,得平面图形面积为：＝223(ln )ln 2122x x -=-2求旋转体的体积.视平面图形为X 形区域,有： 四．练习题及参考答案1、求极限34limx x x →⎰2、求积分⑴35-⎰⑵3⎰34cos 2x xdx π⎰.3、求由曲线sin y x =,直线2y x =以及2x π=围成的平面区域D 的面积,及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积;参考答案：1、3.42、⑴ 0；⑵ 11615；31.84π- 3、⑴21;4π-⑵4264ππ-.自我复习习题六 A 4. 3、5. 5.3、6、8、10 .6.1、3 . 12.1 、3、 5 . 14.1、2 .21. 2、5. 25.1、2.第七章 无穷级数一．本章重点数项级数收敛性的判定包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定;幂级数的收敛域的确定;利用幂级数的性质求幂级数的和函数; 二．复习要求1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质,特别是：若级数1n n u ∞=∑收敛,则必有lim 0n n u →∞=,但lim 0n n u →∞=时,级数1n n u ∞=∑未必收敛;2. 熟记等比级数 1n n aq ∞=∑ 的敛散性：当|q|<1时,等比级数1n n aq ∞=∑收敛到1aqq-； 当|q|≥1时,等比级数1n n aq ∞=∑发散;3. 熟记p 级数 11pn n∞=∑的敛散性： 当p>1时,p 级数11p n n ∞=∑收敛； 当p ≤1时,p 级数11pn n∞=∑发散; 4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定;1首先考察是否有lim 0n n u →∞≠,若有则1nn u ∞=∑必发散；2通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的1nn u∞=∑收敛性,特别是n u 中含!n 或na 的情形;3考虑用比较判别法时,应先对通项n u 作初步估计,再用适合的p 级数的通项与之比较作出判定;5.熟练掌握交错级数1(1)(0)nnn n u u ∞=->∑绝对收敛还是条件收敛的判定;1先考查1n n u ∞=∑是否收敛,若1n n u ∞=∑收敛,则1(1)nnn u∞=-∑ 是绝对收敛；2若1n n u ∞=∑ 发散,则用莱布尼兹判别法判定1(1)nn n u ∞=-∑ 是否收敛,若收敛,则为条件收敛;6. 会求幂级数的收敛域;1 对不缺项的幂级数0n n n a x ∞=∑允许缺有限项,取其后项与前项系数之比的绝对值取极限：1lim n n na l a +→∞= 确定收敛半径1R l=及收敛区间(,)R R -;对有缺项的幂级数指缺无限多项,则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限：1()lim ()n n nu x l u x +→∞= 然后根据定理确定收敛半径R 及收敛区间(,)R R -;2 讨论-R , R 的端点x R =- 及x R =处级数0n n n a x ∞=∑的收敛性,并写出收敛域收敛区间加收敛的端点;7. 熟记幂级数的性质,特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质,并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数; 101111n n x x x∞==-<<-∑2 101(1)111n n n x x x∞-=-=-<<+∑三.例题选讲例1．判定下列级数的敛散性,对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛 1. 11(1cos )n n∞=-∑2 11(1)n n ∞-=-∑3 1(1)(1)3nnn n n ∞=+-∑ 解：1令11cosn u n=- 当n →+∞时,2)1(21~nu n , 显然 2112n n∞=∑收敛,故原级数收敛; 小结：利用p 级数作比较标准,用比较判别法来判别正项级数的敛散性时,用等价无穷小代换是一个简便实用的方法,常用的等价无穷小代换还有：n →+∞时, n n 1~1sin,nn 1~)11ln(+ ……参见教材P79;2 132132)1(111+∑=+-∑∞=-∞=n n n n n ,事实上 ,根据正项级数的比较判别法的极限形式,因为1233lim 233lim 32232lim=+=+=+∞→∞→∞→n n n n nn n n n 又因为nnn n 1323211∞=∞=∑=∑=发散,所以11(1)n n ∞-=-∑发散；但有:记132+=n u n1n n u u +=>=,lim 0n n u →∞=,所以交错级数11(1)n n ∞-=-∑条件收敛; 3. n n n n n n n n n 3)1(3)1()1(111+∑=+-∑∞=-∞=, 根据正项级数的比值判别法,由13132lim 3)1(3)2)(1(lim1<=+=+++∞→+∞→n n n n n n n nn n nn n n 3)1(1+∑∴∞=收敛 ∴1(1)(1)3nnn n n ∞=+-∑绝对收敛; 例2 求幂级数 21112n nn x ∞-=∑的收敛半径和收敛区间.解：所给幂级数为缺项情形,由2(1)1121211()12lim lim 1()22n n n n n n n nx u x x u x x+-++→∞→∞-==根据定理7-12,当2112x <即x <,所给幂级数绝对收敛; 当2112x >即x >,所给幂级数发散.所以幂级数的收敛半径R =收敛区间为(.例3.求0(2)n n n x ∞=+∑的收敛半径,收敛区间及和函数,解: 记2n a n =+,则幂级数收敛半径为:12limlim 13n n n n a n R a n →∞→∞++===+,收敛区间为 (1,1)-.且当1x =±时,幂级数为(2)(1)nn n ∞=+±∑,其通项求极限∴幂级数的收敛域也是(1,1).-记幂级数和函数为()f x .即 (1)当0x ≠时,=)1(1)(1)(122020'-='∑='∑+∞=+∞=xx x x x x x n n n n =222)1(2)1(21x x x x x x --=--⋅ 2当0=x 时,=)(x f 2 综上: 22()11(1)xf x x x -=-<<-四．练习题及参考答案 1. 判定下列级数的敛散性; 1111(1)3n n n n ∞--=-∑2 111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑3 11(1)31n n n -∞=-+∑4 111(1)41n n n n ∞-=--+∑ 2. 求幂级数21(1)5n n n n x ∞=-∑的收敛半径和收敛区间. 3. 求21n n nx ∞+=∑的收敛半径,收敛区间及和函数; 参考答案：1.1.绝对收敛 ；2.绝对收敛； 3条件收敛 ; 4 发散.2.(R =-收敛区间 3 32(1,1),()(1)x f x x -=-. 自我复习： 习题七A4. 7 ,8 ；5,4; 7.1,3;8. 1,3; 9. 5,12; 10. 2.第八章 多元函数一．本章重点多元函数的偏导数及全微分；多元函数的极值与条件极值；二重积分在直角坐标系下的计算; 二．复习要求1.理解多元函数的概念,会求二元函数的定义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算,会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法,特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =则 ,y x z z F F zz x F y F ''∂∂=-=-''∂∂ 求 ,,x y z F F F ''' 时,均视,,x y z 为地位平等的自变量;即求x F '时,视,y z 为常数,其余类似;5.掌握二元函数极值的概念及判断法,能熟练用拉格朗日乘数法求多元二, 三元函数的条件极值. 6. 理解二重积分的概念,掌握并理解二重积分的基本性质；7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二次积分进行计算的方法,并能熟练把一种次序的二次积分交换为另一种次序的二次积分;8.会用二重积分求平面区域的面积; 三．例题选解：例1.求下列函数的全微分或偏导数.1.22ln(1)z x y =+-,求dz ;2. arctan x yz x= 确定z 是,x y 的函数,求z x∂∂; 解: 1 2221z x x x y ∂=∂+-, 2221z yy x y ∂-=∂+- ∴222()1x y dz z dx z dy xdx ydy x y =+=-+-2.本题函数为隐函数.令(,,)arctan x yF x y z z x=-, 则有 ∴2222()()x z F z z x y z x F x x y ∂++=-=∂+ 例2.设[]221,()2z f xy x y =-,其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂分析：显然f 是一个复合函数,记221,()2u xy v x y ==-,则),(v u f z =其中,x y 为自变量,,u v 为中间变量,由复合函数链式求导法,注意到,u v f f ''要看成是),(),,(v u f v u f v u '',所以有：例3将二次积分100(,)dy f x y dx ⎰ 交换积分次序.解：由已知,原积分区域为Y 型区域：010y x ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩画出积分区域D 的略图如下所示：视D 为X 型区域：3011x x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ ,得原式3110(,)x dx f x y dy =⎰⎰例4 计算 (4)Dx y dxdy --⎰⎰,其中区域D 由曲线2y x =,直线3y x =及1x =所围成. 解：画出区域D 略图如下：视区域D 为X 型,则:2013x x y x≤≤⎧⎨≤≤⎩14320123(12)22x x x x dx =+-+⎰31260=. 例 5.要造一个容积等于定数(0)a a >的长方体无盖水池应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小.分析与解:设长方体的长, 宽, 高分别为,,x y z 则水池表面积22s xy yz xz =++本问题归结为求三元函数22s xy yz xz =++在约束条件xyz a =下的最小值点.有两种解法:法1. 用拉格朗日乘数法. 令22()F xy yz xz xyz a λ=+++-解方程组:2020220Fy z yz x F x z xz x Fy x xy x xyz a λλλ∂⎧=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎪∂⎨⎪∂=++=⎪∂⎪⎪=⎩得唯一可疑点:2x y z ===因本问题存在最小值点,故唯一的可疑点即所求.即当水池长,时,水池表面积最小.法2 由约束方程xyz a =解得:az xy=代入22s xy yz xz =++得:22a a s xy x y=++ 于是求条件极值转化为求上面得到的二元函数的无条件极值.解方程组:得x y ==,经检验自己可用极值的充分条件检验就是唯一的极小值点,也就是最小值点,即当水池长,高a z xy===时, 水池表面积最小.四．练习题及参考答案1. 求下列函数的全微分或偏导数.1.z x y =+,求dz ;2. 2222y z y x z += 确定z 是,x y 的函数 ,求z y∂∂. 2. 求例2所示函数的二阶导数22zx∂∂.3.交换二次积分1(,)dx f x y dy ⎰的积分次序;4. 计算2()Dx y dxdy +⎰⎰ , 其中D 是由曲线2y x =与2y x =围成的平面区域.5. 求三元函数8V xyz =在约束条件2222x y z a ++=下的最大值.参考答案：1.(1(1dz dx dy =+-2. 22222v uu uv vv z f y f xyf x f x∂'''''''=+++∂ 3. 2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰4.33;1405.x y z ===3max V =自我复习： 习题八A8.3,5, 14.2. 16.2, 3. 19.3, 27.2. 29. 3,4,5.30.1.第九章 常微分方程简介一．本章重点求解一阶线性微分方程; 二．复习要求1. 知道微分方程的定义、阶、通解、特解等概念；2. 熟练掌握可分离变量的微分方程的解法；3. 知道可化为形如()dy yf dx x=的齐次微分方程的解法:4. 掌握一阶线性微分方程的特点齐次、非齐次,熟练掌握用常数变易法或公式法求解一阶线性非齐次微分方程; 三．例题选解例.求微分方程2x y xy xe -'+=的通解; 解：直接用公式由于原方程已是标准式,其中()p x x =, 2()x q x xe -=利用非齐次方程通解公式： 四.练习题及参考答案 1.求xxy y e '+=的通解2.求111y y x x'-=+的通解答案：1.1()xy e c x=+2. (ln)1xy x c x=++ 自我复习： 习题九A2.3, 6 . 4.1, 3,5.。

微积分期末复习指导一、复习要求和重点函数1•理解函数概念，了解函数的两要素——定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。

2.掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。

3•了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的儿何特点。

4.了解复合两数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。

5•了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。

6.知道初等函数的概念，理解常数函数、帚函数、指数函数、对数函数和三如函数(正弦、余弦、正切和余切)。

7.了解需求、供给、成木、平均成木、收入和利润等经济分析屮常见的函数。

&会列简单应用问题的两数关系式。

本章重点：函数概念，函数的奇偶性，儿类基木初等函数。

一元函数微分学1•知道极限概念(数列极限、函数极限、左右极限)，知道极限存在的充分必要条件：lim/(x) = A o lim f(x)二A 且lim /(x) = AXT%2•了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即limxsin- = 0。

3.掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。

两个重要极限的一般形式是：sincr(x) ,lim ------------ = 1a(x)T() cr(x)1 丄lim (1 + ------- y(x) = e, lim (l + a(x))a(x) = e0(X)T8 (p(X)a(・Y)T()4.了解函数在一点连续的概念，知道左连续利右连续的概念。

知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。

5•理解导数定义，会求曲线的切线。

知道可导与连续的关系。

6.熟练拿握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，拿握求简单隐函数的导数。

7.了解微分概念，即dy = y f dx o会求函数的微分。

8.知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。

本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。

基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。

实用标准文档微积分（II ）复习要点（共11页）（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）Ch6+Ch7两章第一部分计算偏导与全微分（以二元函数为主）或偏导函数 解法：求具体点偏导 —x 0y 0步骤如下：X1代入y y °,则原二元函数变为一元 函数f x,y ° , 2利用上学期方法求上述 一元函数的导数 dz,dx求偏导函数—步骤如下：x 1）将f x,y 中的y 视为常数，2利用上学期方法求z 对x 的导数,所得结果即为—x *类似，将f x,y 中的x 视为常数，对y 求导即得二.y配套练习） 强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提一一熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64 复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2） 1） 4）, Ex9 3） 2）问题2.已知z f x,y ,求全微分dz.问题1.已知初等函数z f x,y 具体形式，求解偏导数zx o ,y oXx o ,y oy3最后代入x x o ,即得所求x o ，y° -*类似，可求出-yx o ,y o -解法：利用全微分与偏导的关系一一先分别求出二，二的具体结果x y则dz — dx — dy为所求.x y配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)问题3•已知初等函数z f x,y具体形式，求解二阶偏导数2 2z z， 2 .y x y*务必准确识别以上四个二阶偏导的含义，参见P225相关定义和记号求法按照符号的定义逐阶求偏导2比如——:首先针对z f x,y求出-^,然后针对求出的结果(即—x y x x再求此新函数关于y的偏导.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P253 Ex12 1) 2)问题4.复合函数求导(偏导).要点：借助“路线图”，根据题目实际情况熟练写出链式法则(如P219 公式(7 10),再进一步具体算出各部分结果.配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练!P254 Ex16 1) 4)问题5.隐函数求导(偏导或全微分).要点：熟记P223一元隐函数导数公式 (7 15), P224二元隐函数偏导公式(7 16),套用即可.学会P223〜P224两例的法一即可！配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值问题1.求二元初等函数z f x,y的极值解法步骤：Z x 01）求出Z x,Z y,并令，解此方程组得所有驻点，如x i ,y i , , X k ,y kzy2 求出 Z xx , Z xy , Z yx , Z yy3）针对以上各驻点，逐个利用P229定理7.8结论判定极值与否、极大/极小.*学会P230例2、例3解答过程.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1） 4）问题2.求具有实际背景（尤其经济背景）二元初等函数Z f x,y 在条件 x,y 0下的条件最值.解法步骤：1）令F x,y, f x,y x,y2）求F的驻点，即解下列方程组：令F x f x x 0令F y f y y 0令F x,y 03）若以上驻点x°,y°, 0唯一，则x°,y°为所求条件最值点.该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：例）某公司通过电台、报纸两种方式做销售某商品的广告.据统计资料，销售收入R 万元与电台广告费用x万元及报纸广告费用y万元之间的关系如下经验公式：2 2R 15 14x 32y 8xy 2x 10y若提供的广告费用为1.5万元且用尽，求相应的最优广告策略.Key : x 0, y 1.5第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！b问题1.已知f x 具体形式，求解定积分 f x dx.a主要方法)牛顿一莱布尼兹公式：1)利用求不定积分的方法，求出f x 的一个原函数F x , bb2 从而 fxdx F x b F b Fa.a*重点：若f X 是a,b 上的分段函数，比如以C 为分段点，则需利用—I-定积分的“拆区间”性质f f f,使得右端每个被积函数 a a c 1均取明确形式，再进行计算.配套练习)强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)a特殊方法)当积分区间关于原点对 称时,定积分f 有公式如下: -a0, f 为奇函数a20f, f 为偶函数1 ; -------------------------------例.求解 x 2sinx x£1 x 2x dx.1解：（务必注意积分区间的特点！） x 2sinx, x . 1 X 2均有奇函数，x 2sin xdxxl1 x 2dx 0. 1 111 1x 为偶函数，xdx 2 xdx 2 xdx1.'10 I从而原式 0 0 11.问题2.变限积分的求导及应用要点)x1)熟记函数 x f t dt 的求导公式：x f x .au xf t dt f u x u x进一步有公式：au xa -af t dt f u x u x f v x v xv x2利用以上求导公式，结合L' Hospital法则,可求解某些极限配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练!P186 Ex5 1）, Ex4 1） 2）问题3.定积分的几何应用与经济应用要点）1）几何应用一 --- 求平面图形面积）典型例P162例1 P163例4:注意针对不同的区域形状选择适当的积分变量.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1） 3） 4）2）几何应用二-- 求旋转体体积）熟记P166公式（6 22及其适用的图6 19,熟记公式（6 24及其适用的图6 21.运用以上两公式求解旋转体体积.*注意：以上两公式只能直接用于求解具有“实心”特征的旋转体体积若考察空心旋转体体积，则只能间接利用公式将所求体积转化为若干实心体积.例如P166式（6 23即运用了此原理.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3） 5）3）经济应用 -- 已知边际求总量）原理：若已知F x ,则由牛顿一莱布尼兹公式可得xF x F a F t dt,其中a为选定的常数.熟记 P168 〜169公式（6 26）~（6 28 .典型例：P169例8, P170例9.配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点问题1.已知区域D具体形式，将二重积分 f x,y dxdy表达为两种D累次积分次序.解法步骤）1）在平面直角坐标系中画出D的草图2判断D的形状：若D为P239图7 27（a）之“x型”区域，则运用公式（7 21）写出“外x内y”形式的累次积分；若D为P239图7 27（b）之“y 型”区域，则运用公式（7 22写出“外y内x”形式的累次积分3）若D并非标准的“x型”或“y 型”,则需利用分块积分法则（P238性质7.7）,将D划分为若干标准的“x型”或“y型”区域，再分别写出累次积分结果.典型例：P241例2配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3） 1）问题2.将给定的累次积分交换积分次序.要点）1）根据题目形式写出积分区域D的形状，2）对于f x,y dxdy ,按要求写出另一种累次积分,方法同“问题1D典型例：P241例3配套练习）强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1） 3） 4） 2）问题3.已知f x,y和积分区域D的具体形式，计算f x,y dxdy.D要点)1)画出积分区域D的草图，2根据D的形状及f x,y的形式选择适当的累次积分次序表达，3)由内层至外层逐层计算上述累次积分，最终求出原二重积分.*若区域形状为圆、环、扇形等,且f x,y为关于x2y2或y的形式，x则上述过程宜采用极坐标系计算,即令x rcos ,y rsin ,将原积分化为frcos ,rsin rdrd ,再将此新二重积分化为外层关于、内层关于r的累次积分，具体结果见P244 ~ P245公式(7 24) ~ (7 26),重点熟记(7 25)即可.典型例(建议按以下顺序复习)：P242例4,例6,例5,P246例8配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)问题4.求以非负曲面z f x,y为顶，xy平面上某区域D为底的曲顶柱体体积.要点：由题意准确识别出作为“顶”的函数z f x,y及作为“底”的平面区域D.则V f x,y dxdy .再利用问题3中方法求此二重积分.D配套练习) 强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录1. 理清z f x,y 偏导函数连续、可微、偏导存在、连续的关系，理清 f x,y 的极值点、驻点的关系.2. 熟用 P147性质 6.3并练习 P186Ex21）2）4）.3. 熟记概率积分 e"dx 「. 02+a4.按定义判定无穷限积分 f x dx, f x dx, f x dx 的敛散性；a-能识别瑕积分，并按定义判定瑕积分bf x dx （三类：分别a 、b c a,b 为瑕点）的敛散性。

《微积分》（下）复习大纲第六章定积分教学目的和要求：1、了解定积分的概念及存在定理，理解定积分的基本性质和中值定理2、掌握牛顿-莱布尼兹公式，掌握定积分的换元法和分部积分法3、理解两种广义积分的概念并掌握它们的求法4、理解定积分的应用并掌握它们的求法重点：1、牛顿-莱布尼兹公式2、定积分的换元法和分部积分法难点：1、定积分的概念2、积分上限函数的概念与应用3、定积分的换元法和分部积分法中的技巧第一节定积分的概念和性质教学目的和要求：1、通过曲边梯形的面积以及变速直线运动的路程实例引入定积分的概念，从中领会从有限到无限、特殊到一般的数学思想，从而培养学生的数学意识和利用数学解决实际问题的能力。

2、使学生掌握定积分的概念和存在定理，并通过例题使学生学会如何处理和解决相应的数学问题。

3、理解定积分的基本性质和中值定理重点：定积分的概念教学过程：一、问题的提出1、几何上，曲边梯形的面积2、物理上，变速直线运动的路程二、定积分的定义1、定积分的定义2、定积分存在的条件3、定积分的几何意义三、定积分的性质1、线性性质（1）2、线性性质（2）3、区间可加性4、用定积分求矩行面积的公式5、定积分的不等式性质6、定积分的估值不等式7、定积分的中值定理第二节微积分基本定理教学目的和要求：1、掌握积分上限函数的定义及其性质2、掌握微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），会用这个公式求一些函数的定积分重点：1、积分上限函数的定义及其性质2、牛顿--莱布尼茨公式教学过程：一、积分上限函数的定义及其性质1、积分上限函数的定义2、积分上限函数的性质3、原函数存在定理二、牛顿--莱布尼茨公式第三节定积分的积分法教学目的和要求：1、使学生掌握定积分的换元积分法、分部积分法。

重点：定积分的换元积分法、分部积分法。

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法第四节定积分的应用教学目的和要求：1.理解定积分的应用于求面积、体积。

重点：在直角坐标系中列出所求问题的积分式一、平面图形的面积二、体积1.平行截面面积为已知的立体的体积2.旋转体的体积一般情况，闭区间[a,b]上连续曲线)(xf构成的曲边梯形绕X轴旋转一周而成的立体，闭区间[c,d]上连续曲线()x g y=构成的曲边梯形绕Y轴旋转一周而成的立体，叫旋转体。

经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。

求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。

Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6x y z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 yx z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 22y z ∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解xEg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8答案中2221222221222P P P Q P P P Q -=∂∂-=∂∂应改为wvx zy y参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。

参考资料：练习册19-20页 四.二重积分类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。

微积分复习要点第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。

当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。

（2）定义中两要素：定义域与对应法则。

定义域：自变量x的取值范围。

对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。

（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。

分段函数是一个函数而不是几个函数。

2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x 当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。

（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。

3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。

4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。

5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x 的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。

（2）几个注意的问题：①复合函数可以简单地理解为函数的函数。

有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。

例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。

②要使复合函数y=f[ϕ(x)]有意义，必须满足函数u=ϕ(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。

6、基本初等函数与初等函数（1）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。

（2）初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。