角动量守恒定律在物理竞赛中应用

高中物理竞赛讲义-角动量角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r F τ=?r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=?=?=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =?=?u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==?r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。

二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。

l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。

“角动量及角动量守恒定律的应用角动量（angular momentum) 在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量。

概念：转动物体的转动惯量(rotational inertia) 和角速度(angular velocity) 的乘积叫做它的角动量。

L = IωI 是转动惯量，ω（欧米伽）是角速度。

角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。

角动量是矢量。

L= r×p其中，r表示质点到旋转中心（轴心）的距离（可以理解为半径），L表示角动量。

p 表示动量。

角动量的方向：角动量是r（参考点到质点的距离矢量）叉乘动量，是两个矢量的叉乘，在右手坐标系里遵循右手螺旋法，即右手四指指向r的方向，转过一个小于180度的平面角后四指指向动量的方向，则大拇指所指的方向就是角动量的方向。

在不受外力矩作用时，体系的角动量是守恒的。

角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。

角动量是一种特殊的动量，它的大小取决于转动的速率和转动物体的质量分布。

角动量守恒定律（conservation of angular momentum,law of）物理学的普遍定律之一。

反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律。

反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。

例如一个在有心力场中运动的质点，始终受到一个通过力心的有心力作用，因有心力对力心的力矩为零，所以根据角动量定理，该质点对力心的角动量守恒。

因此，质点轨迹是平面曲线，且质点对力心的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

如果把太阳看成力心，行星看成质点，则上述结论就是开普勒行星运动三定律之一。

一个不受外力或外界场作用的质点系，其质点之间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零，从而导出质点系的角动量守恒。

如质点系受到的外力系对某一固定轴之矩的代数和为零，则质点系对该轴的角动量守恒。

从一道竞赛试题的错解谈及角动量守恒效用技巧吴泽亮【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)002【总页数】1页(P26)【作者】吴泽亮【作者单位】江苏省泰兴中学【正文语种】中文高中物理竞赛涉及角动量守恒应用问题时,学生经常会出现对概念理解不清、应用条件想当然等现象.本文以一道刚体转动问题为载体,由错误解答引发思考,重点阐述角动量守恒定律在实际应用中的注意点和效用技巧,以飨读者．例1 如图1所示,质量为m0,长为L的均匀细杆静止于光滑的水平桌面上,现有一质量为m的小球(可视为质点)以水平初速度v0与杆的右端B发生完全非弹性碰撞,试求:(1)碰后系统质心的速度及绕质心的角速度.(2)静止点(实际转轴)的位置.错解由于小球与细杆碰撞过程中系统合力为0,则系统对任意定轴的合力矩为0，合角动量守恒，若以细杆几何中心O为定轴，则)2]ω，即;若以细杆的左端A为定轴，即有m0L2+m·L2)ω，即辨析上述处理中以不同的定轴,运用角动量守恒得出的结论不同,显然是错误的,学生出现错误的主要原因在于:角动量概念模糊不清,忽视物理定律的使用条件,“想当然”地死套公式,从而造成错误.上述解法忽视了刚体定轴转动动量表达式Lz=Izω的适用条件.若以过细杆A或O点为z轴(定轴),则又没有注意到角动量守恒定律条件的限制范围(角动量守恒定律适用于惯性参考系).本题中小球与细杆碰撞后点A和点O做变速运动,此时以过A和O点的轴为定轴z则为非惯性参考系,系统对定轴z角动量并不守恒,显然在此情形下列出的角动量守恒的表达式是不正确的．正解1 (1)根据质心定理可知mL，即;小球与细杆碰后的系统质心位置为(右移),在碰撞的过程中系统质心动量守恒，则mv0=(m0+m)vc，即.在碰后的系统中,杆对质心的转动惯量为I1=I0+m0·d2,系统对质心的转动惯量为-d)2,根据角动量守恒定律可得可得系统绕其质心的转动角速度.(2) 静止点(实际转轴)距质心左边距离L，则静止点(实际转轴)与细杆中心O之间的距离Δx=x-d=L/6.正解2 小球m与细杆相碰的过程中,由质心定理可得相互作用力F=m0ac,根据刚体转动定理可得，其中x为静止点距离细杆中心O左侧距离，解得;小球与细杆组成的系统相互作用中,根据角动量守恒定律可得即辨析角动量守恒定律只适用于惯性系和质心系,对于非惯性系通常情况下是不适用的.对于刚体绕定轴转动角动量表达式为Lz=Izω,而刚体对任意定轴角动量表达式为Lz=Lc+rc×mvc，其中m为相互作用的系统的总质量、rc为系统质心相对定轴z的位移、vc为质心相对定轴z的速度,所以在处理刚体转动问题时,不能“盲目的、想当然”套用公式与定律．总之,刚体转动问题是高中物理竞赛题中的典型问题之一,在对学生进行竞赛辅导时,物理教师应该注重培养学生对物理概念和定律适用条件的理解,不断提升学生利用物理知识和规律处理实际问题的能力,这也是新课改对物理教学提出的基本要求．。

第一节力矩和角动量【知识要点】 一、力矩的定义 1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P 和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量F φ成正比，因为力在ρ方向上的分量F ρ对物体的绕轴转动无作用，于是有 τ=ρF φ=F ρsin θ （5. 1-1)式中θ是F 与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P 点的矢量，由于在力矩作 用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsin θ=d 就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a) d 常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F ∥和垂直于轴的分量F ⊥两部分，其中F //对物体绕轴转动不起作用，而F ⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F 对轴的力矩可写成τ=ρF ⊥sin θ （5. 1-1b) 这里的θ是F ⊥与ρ的夹角（图5-1-2). 2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0 指向力的作用点P 的矢量r 与作用力F 的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r ×F (5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。

二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F N N 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3) 2.作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩 (1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==iii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=iiC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质. (2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即 因而内力的总力矩为零0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同. 三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。

“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。

“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。

从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。

帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。

1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值αsin p r L ⋅=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。

其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩t M ∆⋅（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L ∆⋅=∆。

若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。

1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t M i ∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M L i ∆⋅=∆∑。

同样当0=∑i M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。

如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。

1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即0=∑i M 时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。

有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。

②所有外力通过参考点。

③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。

甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。

④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。

2 角动量守恒定律的应用 例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。