高中物理竞赛辅导讲义-5.3角动量例题

高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量一、知识点击1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则：t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。

即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量 2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变． ⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。

系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。

或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。

质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。

质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。

定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。

3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。

角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。

“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。

从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。

帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。

1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考αsin p r L ⋅=点0的位置矢量r 的夹角。

其角动量的变化量等于外力的冲量L ∆矩（M 为外力对参考点O 的力矩），即。

若t M ∆⋅t M L ∆⋅=∆M=0，得=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。

L ∆1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M i ∆⋅∑。

同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。

t M L i ∆⋅=∆∑0=∑i M 如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。

1．3角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守0=∑i M 恒。

有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。

②所有外力通过参考点。

③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。

甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。

④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。

2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。

高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。

二、知识体系....................................................错误!未定义书签。

第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。

竞赛题汇编5 动量 能量 角动量 质心系1、 角动量定理2、 角动量守恒定律3、 质心系①质心加速度②质心系中动量③质心系中动能 一、（23届）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。

桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。

求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

参考解答：1． 求刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度设刚碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，并设它们的方向都与0v 的方向相同．由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有0A C 3M M m =+v v v（1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有C D 02ml ml =+v v（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （3）因为杆是刚性杆，小球B 和D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有B C C D --v v =v v（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 C v =0（5）和C 0456MM m=+v v（6）因为C v 也是刚碰撞后由B 、C 、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A 、B 、D 三球的速度 A 05656M mM m -=+v v（7）B 01056M M m =+v v（8）D 0256MM m =-+v v（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B 、C 、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C 0456MM m=+v v 沿0v 方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为656B M l M m ω-==+C v v v l（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，下面就M 、m 取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i ）A 0v =，即碰撞后小球A 停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 560M m -=即65M m = （11）（ii ）A 0v <，即碰撞后小球A 反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65M m < （12）（iii ）A 0v >但A C <v v ，即碰撞后小球A 沿0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C 的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 560M m ->和m M M 654->即665m M m << （13）（iv ）A C >v v ，即碰撞后小球A 仍沿0v 方向运动，且其速度大于小球C 的速度，发生这种运动的条件是6M m >（14）（v ）A C =v v ，即碰撞后小球A 和小球C 以相同的速度一起沿0v 方向运动，发生这种运动的条件是6M m = （15）在这种情形下，由于小球B 、D 绕小球C 作圆周运动，当细杆转过180 时，小球D 将从小球A 的后面与小球A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿0v 方向运动．根据质心运动定理，C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是()056πππ6M m l l t Mω+===v v（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C 走过的路程C 2π3ld t ==v （17）3．求第二次碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为D v ，小球D 的速度为B v ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A 'v 、B 'v 、C 'v 和D 'v ，并假定它们的方向都与0v 的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0A C 3M M m ''=+v v v （18） CB 02ml ml ''=+v v （19）222220A B C D 11111+22222M M m m ''''=++v v mv v v（20）由杆的刚性条件有D C C B''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0'=v （22） 和C0456MM m'=+v v（23）对于由B 、C 、D 三小球组成的系统，在受到A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A 0'=v v（24）B 0'=v （25）D 0'=v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A 以速度0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B 、C 、D 则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld =，而且小球D 和B 换了位置．评分标准： 本题25分．二、（29届）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。

5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。

然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。

开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。

求杆摆动的最大高度。

例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。

两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。

试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。

例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。

开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。

突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。

在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。

在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。

打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。

设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。

*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。

5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。

然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。

开始时，轻杆静止，一质量为m 的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。

求杆摆动的最大高度。

例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。

两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。

试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。

例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。

开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。

突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。

在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。

在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。

打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。

设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。

*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。

第六讲 角动量及综合知识概要一、力矩 冲量矩1．力矩：M r F =⨯ （r ：转轴到力的作用点的位矢）方向：右手螺旋定则判定物理意义：产生转动效果● sin M rF θ= （自招只研究二维平面力）⏹ 力与位矢垂直：M Fr =⏹ 力与轴平行，或力的作用线过转轴时：0M =⏹ 可以推广到力对一个点的力矩，方法一致⏹ 对不同的轴或点，力矩一般不同特别的：质点系中各质点的重力对重心（质心）的力矩矢量和始终为02．冲量矩：力矩和时间的乘积 （产生转动的累积效果） L M t =∆ （大小 L M t =∆）二、角动量定义：质点动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。

矢量式：J r mv =⨯ 方向：右手螺旋● sin J rmv θ= （简化方向：顺逆时针）⏹ 速度与位矢垂直：J mvr =⏹ 速度与位矢平行或共线，0J =⏹ 对不同的轴或点，角动量一般不同 三、角动量定理外力对某点或某轴线的冲量矩等于质点（或质点系）对该点或该轴线的角动量的变化量。

J L ∆= 或者 21M t J J ∆=-外（显然，系统内力矩并不改变系统角动量）四、角动量守恒定律如果所有外力对某点（或轴）的合力矩为零，则质点（或质点系）对该点（或轴）的角动量不变，这个关系叫做角动量守恒定律。

J r mv=⨯=恒矢量守恒条件有三种情况：（1）系统不受外力；（2）所有外力均过该点（或轴）；（3）每个外力有力矩，但合力矩为零。

可以选择合适的参考点或轴，比如选较多的力通过的点或轴，使得计算简单。

特别的：物体若在受到有心力作用下运动，通常选择该心为参考点，这样对该心（点）角动量守恒，再结合能量关系共同求解。

例如天体运动等。

典型例题例1. 如图所示,质量为m 的小球自由落下,某时刻具有速度v,此时小球与图中的A,B.C 三点恰好位于某长方形的四个顶点且小球与A,C 点的距离分别为l 1、l 2。

试求：(1)小球所受重力相对A 、B 、C 三点的力矩M 1,M 2,M 3(2)小球相对A 、B 、C 三点的角动量J 1,J 2,J 3答案：（1）11M mgl = 方向向内 21M mgl = 方向向内 30M =（2）11J mvl = 方向向内 21J mgl = 方向向内 30J =例2. 一质量m=2kg 的质点由静止开始作半径R=5m 的圆周运动，其相对圆心的角动量随时间的变化关系为23J t = （国际单位制kg •m 2/s ），试求 (1)质点受到的相对于圆心的力矩(2)质点运动角速度随时间的变化关系答案：（1）6t （2）20.06t例3. 对于圆锥摆,试问：(1)摆球相对圆运动中心点O 1的角动量J 1是否守恒?(2)摆球相对悬挂点O 2的角动量J 2是否守恒?答案：（1）J 守恒 （2）不守恒例4. 如图所示,两个质量都为m 的滑冰者,在冰场两条相距L 0的平直跑道上均以v 速率迎面匀速滑行。

角动量1．一质量为m的粒子位于（x，y）处，速度v=v x e x+v y e y，并受到一个沿-x方向的力。

求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。

2．电子的质量为9.1×10-31kg，设其在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。

已知电子的角动量为h/2π（h为普朗克常量，h=6.63×10-34J·s），求其角速度。

3．一质量为m、长为l的均匀细棒，在光滑水平面上以v匀速运动，如图。

求某时刻棒对端点O的角动量。

4．在光滑的水平桌上，用一根长为l的绳子把一质量为m联结到一固定点O。

起初，绳子是松驰的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。

质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。

（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。

能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？5．一质量为m的物体，绕一空过光滑桌面上极小的圆孔的细绳旋转，如图。

开始时物体到中心的距离为r0，旋转角速度为ω0。

若在t=0时，开始以固定的速度v拉绳子，于是物体到中心的距离不断减小。

求（1）ω（t）；（2）拉绳子的力F；6．如图所示，两个质量很小的小球m与M，位于一很大的摩擦的半径为R的水平圆周轨道上，它们可在这轨道上自由运动。

现在将一弹簧压强在两球之间，但弹簧两端并不固定在m与M上，再用一根线将两个小球紧缚起来。

（1）如果这根线断了，则被压缩的弹簧（假设无质量）就将两球沿相反方向射出去，而弹簧本身仍留在原处。

问这两个球将在轨道上何处发生碰撞（用M所经过的角度θ表求）？（2）假设原先贮藏在被压缩的的弹簧中的势能为U0，问线断后经过多少时间发生碰撞？7．质量都是m的两个质点，中间用长为l的绳子连在一起，以角速度ω绕绳子的中点转动（设绳的质量可以略去不计）。

“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。

“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。

从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。

帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。

及其应用作一些简单探讨。

1 角动量守恒定律角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值a sin p r L ×=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。

其角动量的变化量L D 等于外力的冲量矩t M D ×（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L D ×=D 。

若M=0，得L D =0，即质点对参考点O 的角动量守恒。

的角动量守恒。

1．2质点系对参考点的角动量守恒定律质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t MiD ×å，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t ML iD ×=D å。

同样当0=åi M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。

时，质点系对该参考点的角动量守恒。

如果n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，处于非惯性系中，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，只要把质点系的质心取作参考点，上上述结论仍成立。

述结论仍成立。

1．3角动量守恒的判断角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零，即0=åiM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。

有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。

角动量定理角动量守恒习题我国第- •颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点•己知地球半径R=6378 km,卫星与地|fli的最近距离/|=439 km, 与地Ifli的最远距离Z2=2384 km・若卫星在近地点A\的速度“=&1 km's,则卫星在远地点的速度3= .1.如本题图，一质量为m的质点B由降落，在某时刻具有速度V。

此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d ［、d?、d?。

求（1）质点对三个点的角动量；（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。

2.两个质量都是m的滑雪者，在冰场两条相距为Lo的平直跑道上均以速度Vo迎而匀速滑行, 当两者之间的距离等于5时，分别抓住一根长为Lo的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向口己一边拉绳了，知道二者和距L （小于Lo）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。

3.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，O我们可将它逐渐拉短。

设摆长为厶时摆锤的线速度为"且与竖直方向的夹角为环、、摆长拉倒厶时，与竖直方向的夹角为&2,求摆锤的速度冬为多少4.在光滑的水平面上市一根原长Lo=0.6m,劲度系数k=8N/m的弹性细，绳的一端系着一个质量m=0.2kg 的小球B,另一端固定在水平而上的A点.最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度,AB的间距d=().4m。

如图所示，在以后的运动中当小球B的速率为v吋，它与A点的距离最大，且弹性绳长L=0.8m,求B的速率v及初速率v()5.在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质最为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求：1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，其初速度V。

为多少？2、若初速度V L2V(),求小球在运动过程中的最人髙度和最小高度。

6.小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌而上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为L,不可仲长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A, B的间距为L/2,A,B间的连线与小槽垂直, 今给滑块A—冲击，使其获得平行于槽的速度V。