高中物理竞赛辅导 动量 角动量和能量

物理竞赛辅导资料：力学三把“金钥匙”解决动力学问题，一般有三种途径：①牛顿第二定律和运动学公式(力的观点)；②动量定理和动量守恒定律(动量观点)；③动能定理、机械能守恒定律、功能关系、能的转化和守恒定律(能量观点)。

——以上这三种观点俗称求解力学问题的三把“金钥匙”。

三把“金钥匙”的合理选取：研究某一物体所受力的瞬时作用与物体运动状态的关系(或涉及加速度)时，一般用力的观点解决问题；研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般选用动量定理；涉及功和位移时优先考虑动能定理；若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用时，优先考虑两大守恒定律，特别是出现相对路程的则优先考虑能量守恒定律。

一般来说，用动量观点和能量观点比用力的观点解题简便，因此在解题时优先选用这两种观点；但在涉及加速度问题时就必须用力的观点。

有些问题，用到的观点不只一个，特别像高考中的一些综合题，常用动量观点和能量观点联合求解，或用动量观点与力的观点联合求解，有时甚至三种观点都采用才能求解，因此，三种观点不要绝对化。

下面通过历年高考题说明各个观点的应用。

〖典型例题透析〗力学观点与能量观点的综合〖例1〗(1991年上海高考)如图所示，长为l 的轻绳一端系于固定点O ，另一端系质量为m 的小球。

将小球从O 点正下方4l 处，以一定初速度水平向右抛出，经一定时间绳被拉直，以后小球将以O 为支点在竖直平面内摆动。

已知绳刚被拉直时，绳与竖直线成600角，求：⑴小球水平抛出时的初速度v 0；⑵在绳被拉紧的瞬间，支点O 受到的冲量I ；⑶小球摆到最低点时，绳所受的拉力T 。

〖命题意图〗考查平抛运动、运动合成、冲量、机械能守恒定律及其应用、牛顿第二定律。

〖解题思路〗⑴小球在绳拉直前做平抛运动，令做平抛运动的时间为t ，则有：水平方向：lsin 600=v 0t …………①竖直方向：0260214cos l gt l =+…………② 由①、②式解得：g l t 2=，gl v 6210= ⑵在绳拉直前瞬时，小球速度的水平分量为v o ，竖直分量为gt ，如图所示。

高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量一、知识点击1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则：t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。

即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量 2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变． ⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。

系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。

或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。

质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。

质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。

定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。

3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。

角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。

求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。

（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。

1.如图所示，质量为m 的木块和质量为M 的铁块用细线系在一起浸没在水中，从静止开始以加速度a 加速下沉，经过时间t 1细线断了，再经过一段时间t 2木块停止下降，此时铁块M 的速度v M =？2.甲、乙两球在光滑的水平面上沿同一直线同一方向运动，它们的动量分别为p 甲 = 5kgm/s, p 乙= 7 Kgm/s ，已知甲的速度大于乙的速度，当甲球与乙球碰撞后乙球的动量变为p乙′=10kgm/s,则甲、乙两球的质量m 甲、m 乙的关系可能是（ ）A.m 甲=m 乙B.m 甲=12m 乙 C.m 甲 =15m 乙 D.m 甲=110m 乙3.如图所示，在光滑水平地面上有A 、B 两个小物块，其中物块A 的左侧连接一轻质弹簧。

物块A 处于静止状态，物块B 以一定的初速度向物块A 运动，并通过弹簧与物块A 发生弹性正碰。

对于该作用过程，两物块的速度变化可用速度—时间图像进行描述，在图所示的图像中，图线1表示物块A 的速度变化情况，图线2表示物块B 的速度变化情况。

则在这四个图像中可能正确的是 （ ）1v24.随着科幻电影《流浪地球》的热映，“引力弹弓效应”进入了公众的视野。

“引力弹弓效应”是指在太空运动的探测器，借助行星的引力来改变自己的速度。

为了分析这个过程，可以提出以下两种模式：探测器分别从行星运动的反方向或同方向接近行星，分别因相互作用改变了速度。

如图所示,以太阳为参考系，设行星运动的速度为u ，探测器的初速度大小为v 0，在图示的两种情况下，探测器在远离行星后速度大小分别为v 1和v 2。

探测器和行星虽然没有发生直接的碰撞，但是在行星的运动方向上，其运动规律可以与两个质量不同的钢球在同一条直线上发生的弹性碰撞规律作类比．．。

那么下列判断中正确的是（ ） A ．v 1 > v 0 B ．v 1= v 0 C ．v 2 > v 0 D ．v 2 =v 05.如图所示，质量为M 、倾角为θ的斜面小车，带着质量为m 的木块以一定速度向右做匀速运动。

动量守恒定律。

动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒
定律
动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它陈述了在一个封闭系统中，当没有外力作用于系统时，系统的总动量保持不变。

具体来说，如果在一个封闭系统中，几个物体之间相互作用，总动量的大小和方向在作用前后保持不变。

这意味着，在没有外力作用的情况下，一个物体的动量增加，必然伴随着另一个物体的动量减少，它们的相对变化之和为零。

能量守恒定律是指在一个封闭系统中，当没有外力做功和能量转化为其他形式时，系统的总能量保持不变。

这意味着能量既不能被创造也不能被毁灭，只能在不同形式之间转换。

角动量守恒定律是指在一个封闭系统中，当没有外力矩作用于系统时，系统的总角动量保持不变。

角动量的大小和方向在作用前后保持不变。

这意味着在没有扭矩作用的情况下，物体的角动量增加，必然伴随着其他物体的角动量减少，它们的相对变化之和为零。

总之，动量守恒定律、能量守恒定律和角动量守恒定律是自然界中普遍存在的基本定律，它们揭示了物质在运动和相互作用过程中的重要规律。

高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1．力矩（1）力对轴的力矩 力矩=力×力臂（2）力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。

大小 sin M Fr α=；方向 由右手螺旋定则确定。

2．角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。

从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。

L r p =⨯，大小 sin L pr θ=，方向 由右手螺旋定则确定。

动量矩又称角动量。

角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。

3．冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。

力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。

4．质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。

21M t L L ⋅∆=- 。

质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。

L M t∆=∆。

5．角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。

6．转动惯量 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J 表示，SI 单位为kg·m 2。

对于一个质点，I =mr 2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。

转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。

7．描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量（动量矩）L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1．如图所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。

高中物理竞赛辅导动量角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立往常，人们为了量度物体作机械运动的〝运动量〞，引入了动量的概念。

当时在研究碰撞和打击咨询题时认识到：物体的质量和速度越大，其〝运动量〞就越大。

物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必定是数值相等、方向相反。

在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的〝运动量〞，称之为动量。

4．1．2．冲量要使原先静止的物体获得某一速度，能够用较大的力作用较短的时刻或用较小的力作用较长的时刻，只要力F 和力作用的时刻t ∆的乘积相同，所产生的改变那个物体的速度成效就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。

4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这确实是质点动量定理。

在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向能够在一条直线上，也能够不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，重量式为：x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 关于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。

对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t -第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=〔t v m 11+t v m 22+……+nt n v m 〕-〔101v m +202v m +……0n n v m 〕即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)一、力学部分1. 运动学- 基本概念：位移、速度、加速度。

位移是矢量，表示位置的变化；速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，加速度则反映速度变化的快慢。

- 匀变速直线运动公式：v = v_0+at，x=v_0t+(1)/(2)at^2，v^2-v_{0}^2 = 2ax。

这些公式在解决直线运动问题时非常关键，要注意各物理量的正负取值。

- 相对运动：要理解相对速度的概念，例如v_{AB}=v_{A}-v_{B}，在处理多个物体相对运动的问题时很有用。

- 曲线运动：重点掌握平抛运动和圆周运动。

平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；圆周运动中要理解向心加速度a =frac{v^2}{r}=ω^2r，向心力F = ma的来源和计算。

2. 牛顿运动定律- 牛顿第二定律F = ma是核心。

要学会对物体进行受力分析，正确画出受力图。

- 整体法和隔离法：在处理多个物体组成的系统时，整体法可以简化问题，求出系统的加速度；隔离法用于分析系统内单个物体的受力情况。

- 超重和失重：当物体具有向上的加速度时超重，具有向下的加速度时失重，加速度为g时完全失重。

3. 动量与能量- 动量定理I=Δ p，其中I是合外力的冲量，Δ p是动量的变化量。

- 动量守恒定律：对于一个系统，如果合外力为零，则系统的总动量守恒。

在碰撞、爆炸等问题中经常用到。

- 动能定理W=Δ E_{k}，要明确功是能量转化的量度。

- 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，机械能守恒。

要熟练掌握机械能守恒定律的表达式E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}。

二、电磁学部分1. 电场- 库仑定律F = kfrac{q_{1}q_{2}}{r^2}，描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。

- 电场强度E=(F)/(q)，电场线可以形象地描述电场的分布情况。

- 电势、电势差：U_{AB}=φ_{A}-φ_{B}，电场力做功与电势差的关系W = qU。

高中物理竞赛培训第十三讲 动量和能量一、冲量和动量1、冲力（F —t 图象特征）→ 冲量。

冲量定义、物理意义冲量在F —t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对t 的平均作用力）2、动量的定义 动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达 2、分方向的表达式：ΣI x =ΔP x ，ΣI y =ΔP y …3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。

即tP ∆∆=ΣF 外三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件 a 、原始条件与等效 b 、近似条件c 、某个方向上满足a 或b ，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能 1、功的定义、标量性，功在F —S 图象中的意义 2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a 、恒力的功：W = FScos α= FS F = F S Sb 、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F —S 图象（或先寻求F 对S 的平均作用力）c 、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理 1、动能（平动动能）2、动能定理a 、ΣW 的两种理解b 、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a 、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE p = －W 保）b 、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a 、定律内容 b 、条件与拓展条件（注意系统划分） c 、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。

七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a 、动量守恒；b 、位置不超越；c 、动能不膨胀。

2、三种典型的碰撞a 、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。

满足——m 1v 10 + m 2v 20 = m 1v 1 + m 2v 221 m 1210v + 21 m 2220v = 21 m 121v + 21 m 222v解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v 1 = 21201021m m v 2v )m m (++-， v 2 = 121020122)(m m v v m m ++-对于结果的讨论： ①当m 1 = m 2 时，v 1 = v 20 ，v 2 = v 10 ，称为“交换速度”；②当m 1 ＜＜ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ －v 10 ，v 2 ≈ 0 ，小物碰大物，原速率返回；③当m 1 ＞＞ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ v 10 ，v 2 ≈ 2v 10 ，b 、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c 、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有v 1 = v 2 = 21202101m m v m v m ++3、恢复系数：碰后分离速度（v 2 － v 1）与碰前接近速度（v 10 － v 20）的比值，即： e = 201012v v v v -- 。

动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。

当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。

物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。

在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。

4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。

4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。

在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。

对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - M M第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。