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1.如图所示，质量为m 的木块和质量为M 的铁块用细线系在一起浸没在水中，从静止开始以加速度a 加速下沉，经过时间t 1细线断了，再经过一段时间t 2木块停止下降，此时铁块M 的速度v M =？2.甲、乙两球在光滑的水平面上沿同一直线同一方向运动，它们的动量分别为p 甲 = 5kgm/s, p 乙= 7 Kgm/s ，已知甲的速度大于乙的速度，当甲球与乙球碰撞后乙球的动量变为p乙′=10kgm/s,则甲、乙两球的质量m 甲、m 乙的关系可能是（ ）A.m 甲=m 乙B.m 甲=12m 乙 C.m 甲 =15m 乙 D.m 甲=110m 乙3.如图所示，在光滑水平地面上有A 、B 两个小物块，其中物块A 的左侧连接一轻质弹簧。
物块A 处于静止状态，物块B 以一定的初速度向物块A 运动，并通过弹簧与物块A 发生弹性正碰。
对于该作用过程，两物块的速度变化可用速度—时间图像进行描述，在图所示的图像中，图线1表示物块A 的速度变化情况，图线2表示物块B 的速度变化情况。
则在这四个图像中可能正确的是 （ ）1v24.随着科幻电影《流浪地球》的热映，“引力弹弓效应”进入了公众的视野。
“引力弹弓效应”是指在太空运动的探测器，借助行星的引力来改变自己的速度。
为了分析这个过程，可以提出以下两种模式：探测器分别从行星运动的反方向或同方向接近行星，分别因相互作用改变了速度。
如图所示,以太阳为参考系，设行星运动的速度为u ，探测器的初速度大小为v 0，在图示的两种情况下，探测器在远离行星后速度大小分别为v 1和v 2。
探测器和行星虽然没有发生直接的碰撞，但是在行星的运动方向上，其运动规律可以与两个质量不同的钢球在同一条直线上发生的弹性碰撞规律作类比．．。
那么下列判断中正确的是（ ） A ．v 1 > v 0 B ．v 1= v 0 C ．v 2 > v 0 D ．v 2 =v 05.如图所示，质量为M 、倾角为θ的斜面小车，带着质量为m 的木块以一定速度向右做匀速运动。
竞赛题汇编5 动量 能量 角动量 质心系1、 角动量定理2、 角动量守恒定律3、 质心系①质心加速度②质心系中动量③质心系中动能 一、（23届）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度0v 沿垂直于杆DB 的方间与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
参考解答：1． 求刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度设刚碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A v 、B v 、C v 、D v ，并设它们的方向都与0v 的方向相同．由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的系统的质心处，所以小球C 的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有0A C 3M M m =+v v v（1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有C D 02ml ml =+v v（2）这里角动量的参考点设在与B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v （3）因为杆是刚性杆，小球B 和D 相对于小球C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有B C C D --v v =v v（4）解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解 C v =0（5）和C 0456MM m=+v v（6）因为C v 也是刚碰撞后由B 、C 、D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A 、B 、D 三球的速度 A 05656M mM m -=+v v（7）B 01056M M m =+v v（8）D 0256MM m =-+v v（9）2．讨论碰撞后各小球的运动碰撞后，由于B 、C 、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（6）式的速度即C 0456MM m=+v v 沿0v 方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为656B M l M m ω-==+C v v v l（10）方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，下面就M 、m 取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：（i ）A 0v =，即碰撞后小球A 停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是 560M m -=即65M m = （11）（ii ）A 0v <，即碰撞后小球A 反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是65M m < （12）（iii ）A 0v >但A C <v v ，即碰撞后小球A 沿0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C 的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是 560M m ->和m M M 654->即665m M m << （13）（iv ）A C >v v ，即碰撞后小球A 仍沿0v 方向运动，且其速度大于小球C 的速度，发生这种运动的条件是6M m >（14）（v ）A C =v v ，即碰撞后小球A 和小球C 以相同的速度一起沿0v 方向运动，发生这种运动的条件是6M m = （15）在这种情形下，由于小球B 、D 绕小球C 作圆周运动，当细杆转过180 时，小球D 将从小球A 的后面与小球A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A 继续沿0v 方向运动．根据质心运动定理，C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是()056πππ6M m l l t Mω+===v v（16）从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C 走过的路程C 2π3ld t ==v （17）3．求第二次碰撞后，小球A 、B 、C 、D 的速度刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180 ，这时，小球B 的速度为D v ，小球D 的速度为B v ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A 、B 、C 、D 的速度分别为A 'v 、B 'v 、C 'v 和D 'v ，并假定它们的方向都与0v 的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得0A C 3M M m ''=+v v v （18） CB 02ml ml ''=+v v （19）222220A B C D 11111+22222M M m m ''''=++v v mv v v（20）由杆的刚性条件有D C C B''''-=-v v v v （21）（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D 球重合的空间点．把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D 互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解C0'=v （22） 和C0456MM m'=+v v（23）对于由B 、C 、D 三小球组成的系统，在受到A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得A 0'=v v（24）B 0'=v （25）D 0'=v（26）（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A 以速度0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B 、C 、D 则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离2π3ld =，而且小球D 和B 换了位置．评分标准： 本题25分．二、（29届）如图所示，两根刚性轻杆AB 和BC 在B 段牢固粘接在一起，AB 延长线与BC 的夹角α为锐角，杆BC 长为l ，杆AB 长为αcos l 。
⾓动量⾓动量、刚体习题4-1 如本题图，⼀质量为m的质点⾃由降落，在某时刻具有速度v．此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。
求：(1)质点对三个点的⾓动量；(2)作⽤在质点上的重⼒对三个点的⼒矩。
4-2 ⼀质量为m的粒⼦位于(x，y)处，速度为v=v x i+ v y j，并受到⼀个沿-x⽅向的⼒f．求它相对于坐标原点的⾓动量和作⽤在其上的⼒矩。
4-3 电⼦的质量为9.1×10-31kg，在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。
已知电⼦的⾓动量为h/2π，(h为普朗克常量，等于6.63×10-34J?s)，求其⾓速度。
4-4 如本题图，圆锥摆的中央⽀柱是⼀个中空的管⼦，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。
设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，将摆长拉到l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶⾓有什么变化？4-5 如本题图，在⼀半径为R、质量为m的⽔平转台上有⼀质量是它⼀半的玩具汽车。
起初⼩汽车在转台边缘，转台以⾓速度ω绕中⼼轴旋转。
汽车相对转台沿径向向⾥开，当它⾛到R/2处时，转台的⾓速度变为多少，动能改变多少？能量从哪⾥来？4-6 在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？4-7 两质点的质量分别为m1、m2(m1> m2)，拴在⼀根不可伸长的绳⼦的两端，以⾓速度ω在光滑⽔平桌⾯上旋转。
它们之中哪个对质⼼的⾓动量⼤？⾓动量之⽐为多少？4-8 在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以⾓速度ω旋转。
然后突然将m2放开，求以后此系统质⼼的运动，绕质⼼的⾓动量和绳中的张⼒。
设绳长为l。
4-9 两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向⼀根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所⽰。
若将每个运动员看成⼀个质点，细扦的质量可以忽略不计。
(1)求他们抓住细杆前后相对于其中点的⾓动量；(2)他们每⼈都⽤⼒往⾃⼰⼀边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各⾃的速率是多少？(3)求此时细杆中的张⼒；(4)计算每个运动员在减少他们之间举例的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。
5.3角动量例题例1、在一根长为3l的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为l，再在杆的两端以及距另一端为l处各固定一个质量为M的小球。
然后通过此孔将杆悬挂于一光滑固定水平细轴O上。
开始时，轻杆静止，一质量为m的铅粒以v0的水平速度射入中间的小球，并留在其中。
求杆摆动的最大高度。
例2、质量m＝1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m1＝1.0 kg的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0＝0.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．例3、两个质量均为m的质点，用一根长为2L的轻杆相连。
两质点以角速度ω绕轴转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。
试求以O为参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
例4、小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均为m，并用长为L、不可伸长、无弹性的轻绳相连。
开始时，A、B之间的距离为L/2，A、B间的连线与小槽垂直。
突然给滑块A一个冲击，使其获得平行与槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度例5、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？例6、一质量为M a，半径为a的圆筒A，被另一质量为M b，半径为b的圆筒B同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。
在圆筒A的内表面上散布了薄薄的一层质量为M o的沙子，并在壁上开了许多小孔。
在t＝0时，圆筒A以角速度ω0绕轴匀速转动，而圆筒B静止。
打开小孔，沙子向外飞出并附着于B筒的内壁上。
设单位时间内喷出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
*例7、如图，CD、EF均为长为2L的轻杆，四个端点各有一个质量为m的质点，CE、DF为不可伸长的轻绳，CD的中点B处用一细线悬于天花板A点。
第 1 页习题4-1. 如下图的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。
在质点旋转一周的过程中，试求：〔1〕质点所受合外力的冲量I ；〔2〕质点所受张力T 的冲量I T 。
解：〔1〕根据冲量定理：⎰⎰∆==tt P P d dt 00P P F 其中动量的变化：0v v m m -在此题中，小球转动一周的过程中，速度没有变化，动量的变化就为0，冲量之和也为0，所以此题中质点所受合外力的冲量I 为零〔2〕该质点受的外力有重力和拉力，且两者产生的冲量大小相等，方向相反。
重力产生的冲量=mgT=2πmg /ω；所以拉力产生的冲量=2πmg /ω，方向为竖直向上。
4-2.一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度=4m/s 。
其中一力F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。
求：〔1〕力F 在1s 到3s 间所做的功；〔2〕其他力在1s 到s 间所做的功。
解：〔1〕由做功的定义可知：〔2〕由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力的功为-125.6J 。
4-3.质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为j i r t b t a ωωsin cos +=，求：〔1〕质点在任一时刻的动量；〔2〕从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。
解：〔1〕根据动量的定义：(sin cos )P mv m a t b t ωωωω==-+i j〔2〕从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动第 2 页量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-4.质量为M =2.0kg 的物体〔不考虑体积〕，用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。
今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的程度速度射穿物体。
刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。
角动量1．一质量为m的粒子位于（x，y）处，速度v=v x e x+v y e y，并受到一个沿-x方向的力。
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
2．电子的质量为9.1×10-31kg，设其在半径为5.3×10-11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。
已知电子的角动量为h/2π（h为普朗克常量，h=6.63×10-34J·s），求其角速度。
3．一质量为m、长为l的均匀细棒，在光滑水平面上以v匀速运动，如图。
求某时刻棒对端点O的角动量。
4．在光滑的水平桌上，用一根长为l的绳子把一质量为m联结到一固定点O。
起初，绳子是松驰的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。
质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。
（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。
能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？5．一质量为m的物体，绕一空过光滑桌面上极小的圆孔的细绳旋转，如图。
开始时物体到中心的距离为r0，旋转角速度为ω0。
若在t=0时，开始以固定的速度v拉绳子，于是物体到中心的距离不断减小。
求（1）ω（t）；（2）拉绳子的力F；6．如图所示，两个质量很小的小球m与M，位于一很大的摩擦的半径为R的水平圆周轨道上，它们可在这轨道上自由运动。
现在将一弹簧压强在两球之间，但弹簧两端并不固定在m与M上，再用一根线将两个小球紧缚起来。
（1）如果这根线断了，则被压缩的弹簧（假设无质量）就将两球沿相反方向射出去，而弹簧本身仍留在原处。
问这两个球将在轨道上何处发生碰撞（用M所经过的角度θ表求）？（2）假设原先贮藏在被压缩的的弹簧中的势能为U0，问线断后经过多少时间发生碰撞？7．质量都是m的两个质点，中间用长为l的绳子连在一起，以角速度ω绕绳子的中点转动（设绳的质量可以略去不计）。
“角动量守恒”及其应用
在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律
1．1质点对参考点的角动量守恒定律
如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动
量为L ，其值，其中α是质点的动量与质点相对参考
αsin p r L ⋅=点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量等于外力的冲量
L ∆矩（M 为外力对参考点O 的力矩），即。
若
t M ∆⋅t M L ∆⋅=∆M=0，得=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
L ∆1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量
，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t M i ∆⋅∑。
同样当时，质点系对该参考点的角动量守恒。
t M L i ∆⋅=∆∑0=∑i M 如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断
当外力对参考点的力矩为零，即时，质点或质点系对该参考点的角动量守0=∑i M 恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外
力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）
如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的
小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
桌面上另有一质量为M 的小球A ，以一给定速度v 0沿垂直于杆DB 的方向与右端小球B 作弹性碰撞。
求刚碰后小球
A 、
B 、
C 、
D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
本题粗看是一类弹性碰撞类问题，利用动量守恒、能量守恒及杆子牵连速度来求解。
但本题涉及4个物体组成的质点系，未知量多，利用上述关系还不能求解。
挖掘题中的守
M D B C
A V 0图2O
恒规律成为本题的难点，且守恒规律不易挖掘。
解析 ①小球A 、B 碰撞瞬间，球A 挤压B ，其作用力方向垂直于杆，使球B 获得沿方向的速度。
从而在碰撞瞬间使小球C 、D 的速度也沿方向。
对质点组B 、C 、D 0v B v 0v 与A 组成的系统，碰撞前后动量守恒。
由于小球C 位于由B 、C 、D 三球组成的质点组的质心处，所以小球C 的速度也就是质点组的质心速度。
可得： （1）
0A C 3M M m =+v v v ②质点组B 、C 、D 与A 是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等。
碰撞后
A 、
B 、
C 、
D 的速度分别为、、、，得
A v
B v
C v
D v （2）
222220A B C D 11111+22222M M m m =++v v mv v v ③对质点组B 、C 、D 在碰撞瞬间，在B 处受到A 球的作用力，若取B （与B 球重合的空间固定点）为参考点，则质点组B 、C 、D 在碰撞前后，外力矩等于零，所以质点组角动量守恒。
可得： （3）
C D 02ml ml =+v v ④由杆的刚性条件有：
（4）D c c B v v v v -=-由（1）、（2）、（3）、（4）式，可得
（5）C 0456M M m
=+v v （6）A 05656M m M m
-=+v v （7）B 01056M M m
=+v v （8）
D 0256M M m
=-+v v ⑤碰撞后各小球的运动碰撞后，质点组B 、C 、D 不受外力作用，其质心作匀速运动，即，C 0456M M m
=
+v v 碰撞后，B 、D 两小球将绕小球C 作匀角速度转动，角速度的大小为0656B M l M m ω-==+C v v v l
方向为逆时针方向。
由（6）式可知，碰后小球A 的速度的大小和方向与M 、m 的大小有关，由于M 、m 取值不同而导致运动情形比较复杂，即可以使；；且A 0v =A 0v <A 0v >；情景的出现，在此不作详细讨论。
A C <v v A C >v v 例题2 （第20届物理竞赛复赛第1题）如图3
所示，a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球
体，O 为其球心．己知取无限远处的电势为零时，
球表面处的电势为U =1000 V ．在离球心O 很远的
O ′点附近有一质子b ，它以 E k ＝2000 eV 的动能沿与O 'O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与
O 'O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把图3
质子换成电子，再求l 的最大值．解析 ①质子在运动过程中受到a 球对它的库仑力作用，且库仑力总是通过a 球的球心。
类似这样的力我们称之为有心力。
如取球心O 为参考点，则其作用力对O 的力矩始终为零，即质子在运动过程中对参考点的角动量守恒。
即在有心力作用下角动量守恒。
O 如图4所示，令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a 球球面处的速m 0v v 度，表示元电荷。
质子在b 处的角动量e 为；到达球a 表面时的max 0l mv L b
=角动量为R mv L a ⋅=所以得： （1） max 0mv l mvR =②质子从b 运动到a ，能量守恒，由于无穷远处电势能为零，故得： （2） 2201122mv mv eU =+由式（1）、（2）可得
max l =代入数据，可得
max l = ③若把质子换成电子，此时式（2）中改为。
同理可求得e e -
max l R =例题3 如图5所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同，均为M ，处于静止。
现有距盘底高为h 质量为m 的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。
不计滑轮与绳质量，及轴承摩擦和绳的伸长。
解析 ①对盘、重物、胶泥组成的质点系，在胶泥下落过程中，质点系对轴心O 的外力矩为胶泥的重力矩。
当胶泥与盘碰撞时，碰撞内力对O 的内力矩远大于胶泥的重力矩，从而得质点系对O 的角动量近似守恒。
②质点系碰撞前对O 的角动量 （1） （v 0为m 碰前的r mv L 01=速度，r 为滑轮的半径）；质点系碰撞后瞬间对O 的角动量 （2）()Mrv vr M m L ++=2③胶泥碰前作自由落体运动，所以 （3）gh v 20=图
4
v
图5
由（1）、（2）、（3）式可得gh m M m v 22+=。
