力矩做功与刚体平衡、经典与量子力学

§4－4 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理引言：从力矩对空间的累积作用出发，引入力矩的功的概念，并得到刚体的转动动能和转动动能定理。

一、力矩作功1．引入：质点在外力的作用下发生位移——力对质点作功 刚体在力矩的作用下发生转动——力矩对刚体作功 2．力矩所作的元功：刚体在外力F 的作用下，绕转轴转过的角位移为d θ，力F 的作用点位移的大小为ds=r d θ。

根据功的定义式，可知力F 在这段位移内所作的功为ϕθϕπθsin d 2cos d d d Fr Fr s F W =⎪⎭⎫⎝⎛-==由于力F转轴的力矩为ϕsin Fr M ＝，所以 θd d M W =即力矩所作的功等于力矩与角位移的乘积。

3．恒力矩所作的功当刚体转动θ时，力矩所作的功为d 0⎰=θθM W如果力矩的大小和方向不变，则当刚体转动θ时，力矩所作的功为θθθθθM M M W ＝＝⎰⎰=0d d即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度θ的乘积。

4．变力矩所作的功d 0⎰=θθM W说明：力矩作功的实质仍然是力作功。

只是对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来表示，而是用力矩的角位移来表示。

二、力矩的功率引入：力对质点作功的快慢可以用功率来表示，同样，力矩对刚体作功的快慢可以用力矩的功率来表示。

定义：单位时间内力矩对刚体所作的功tWP d d =对于刚体在恒力矩的作用下，力矩的功率为ωθM tM t W P ==d d d d ＝ 即力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。

当功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。

三、刚体的转动动能问题：质量为m ，速度为v 的质点的动能为mv 2/2，那么绕定轴转动的刚体的动能为多少呢？设刚体以角速度ω作定轴 转动，取一质元Δm i ，距转轴r i ，则此质元的速度为v i =m i ω，动能为 2222121ωi i i i ki r m v m E ∆=∆=整个刚体的动能就是各个质元的动能之和 ()22222121ωω∑∑∑∆∆=ii ii ki k r m r m E E ＝＝用转动惯量表示，则有 221ωJ E k ＝即刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。

四、刚体绕定轴转动的动能定理问题：力对质点作功使质点的动能发生变化，那么力矩对定轴转动的刚体作功会产生什么效果？设在合外力矩M 的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为d θ，合外力矩对刚体所作的元功为d W =M d θ由转动定律tJJ M d d ωβ== 得 ωωωθθωd J tJ t JW d d d d d d d ＝＝= 若在t 时间内，由于合外力矩对刚体作功，使得刚体的角速度从ω0变成ω，那么合外力矩对刚体所作的功为⎰⎰=ωωωω0d d J W W ＝即2022121ωωJ J W －＝转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。

例题：如图所示，一质量为M 、半径为R 的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。

圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m 的物体。

问物体由静止下落高度h 时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计。

解：圆盘和物体的受力如图，对于圆盘，根据转动动能定律 220 2121 ωωθJ J TR -∆＝ 式中Δθ为圆盘在力矩的作用下转过的角度，ω0与ω为圆盘在开始和终了时的角速度，J 为圆盘的转动惯量 221mR J ＝对于物体来说，由质点动量定理，得 2022121'mv mv h T mgh -=- 式中v 0与v 为物体在开始和终了时的速度。

由牛顿第三定律'T T =由于绳与圆盘之间无相对滑动，故有θ∆=R h和ωR v = 解上述方程，可得()gh mM mv 22/+=补充内容：1．刚体的重力势能：在重力场中，刚体也具有一定的重力势能，它等于刚体上各个质点的重力势能之和。

可以证明，刚体的重力势能为 c p mgh E = 其中m 为刚体的质量，h c 为刚体重心距势能零点的高度。

2．功能原理与机械能守恒定律：对于既有平动物体又有绕定轴转动物体组成的系统来说，上一章介绍的功能原理仍然成立。

如果在运动过程中，只有保守内力作功，那么机械能守恒定律同样适用。

需要注意的是，系统的动能应该包括系统内平动物体的平动动能和绕定轴转动物体的转动动能，势能是平动物体和转动物体的势能之和。

*§4－5 刚体的平面平行运动一、 基本概念（Plane-parallel Motion ）刚体的运动可以看作是质心的平动和刚体绕质心的转动。

如果质心被限制在同一平面上运动，则刚体的运动就被称为平面平行运动。

二、 基本方程1．质心的运动方程——满足牛顿第二定律tv m a m F c c d d==其中 F——作用在刚体上的合外力 m ——刚体的质量c v——质心的速度c a——质心的加速度2．刚体绕质心的转动——遵守转动定律 tJ J M cc czd d ωα== 其中 cz M ——对通过质心平面而垂直于运动平面的转轴的合外力矩 ω——刚体绕质心转动的角速度 α——刚体绕质心转动的角加速度 c J ——刚体绕质心转动的转动惯量 3．刚体的动能222121ωc c k J mv E += 其中221c mv ——质心的平动动能 221ωc J ——刚体绕质心转动的转动动能4．刚体的势能——质心的势能c p mgh E =其中 c h ——质心相对于重力势能零点的高度三、例题 例1．一绳索绕在半径为R 、质量为m 的均匀圆盘的圆周上，绳的另一端悬挂在天花板上，如图所示。

绳的质量忽略不计，求(1)圆盘质心的角速度；(2)绳的张力。

解：作用在圆盘上力有重力P 和绳索的张力T。

选竖直向下为y 轴的正方向。

对于质心的平动，由质心的运动方程得c ma T mg =-其中为质心相对于天花板的加速度。

以通过垂直圆盘质心的轴为转轴，由转动定律得αc c J M = 其中TR M c =，221mR J c =，α为绕通过圆盘质心的转轴的角加速度。

当圆盘转动时，绳索相对于圆盘质心的加速度为 αR a =此加速度与圆盘质心相对于天花板的加速度相等 c a a = 求解上述方程，可得g a c 32=mg T 31=例2．悬挂两重物的塔形滑轮的运动如图所示，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量M 1=6kg ，半径R =0.10m ，小盘质量M 2 = 4kg ，半径r =0.05m 。

两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端各悬挂质量m 1 = m 2 = 2 kg 的物体。

此物体由静止释放，求：(1)两物体m 1、m 2的加速度大小；(2)两绳中的张力。

思考与分析：这是一个由质点和刚体组成的系统，首先要明确，处理这类问题的基本方法是隔离体法。

对质点分析受力，应用牛顿定律。

对刚体要分析所受力矩和角加速度，应用转动定律。

然后通过角量与线量的关系，把质点的加速度与刚体的角加速度联系起来。

解：对质点m 1： m 1g -T 1= m 1a 1 (1)对质点m 2： T 2 - m 2g = m 2a 2 (2) 对于滑轮：画出受力图其中 G =(M 1+M 2)g1．四个力对转轴的力矩的大小和方向： M N = M G =0 理由：作用线通过转轴M T1= RT 1 方向 R×T 1，⊕ M T2= rT 2 方向 r×T 2，2．设⊕方向为正，由转动定律RT 1－rT 2 =(J 1 +J 2 )α=（M 1R 2/2+M 2r 2/2）α (3) 3．M1的加速度a 1，即为大盘边缘处的切向加速度：a 1=R α (4) 同样 a 2= r α (5) 由(1)式―(5)式解得：()2222121/5.2425s rad g r M R M grm Rm =='-'-=α 其中 M 1’= M 1+ M 1/2 M 2’= M 2+ M 2/2 a 1=R α=2.45 m/s 2 a 2= r α=1.23 m/s 2 T 1= M 1(g - a 1)=14.7 N T 2= M 2(g - a 2)=22.1 N思考与解答思考1：方程(3)是选两个固接圆盘的整体作为研究对象，能否分别选大盘和小盘作为研究对象？ 答：可以。

思考2：若分别选大盘和小盘作为研究对象，可否将转动定律写成： T 2R = J 1α (6) -T 2r = J 2α (7) 两式相加，不是与(3)式一样吗？答：不可以。

因为分别选大盘和小盘作为研究对象，两盘之间的相互作用力矩是外力矩，应当考虑，不能遗漏。

思考3：分别选大盘与小盘为研究对象时，转动定律应该怎样写才对？ 答：设大盘与小盘之间的相互作用力矩的大小为M ，则有 T 1R - M =J 1α M - r T 2 =J 2α例3．如图所示，一均匀细棒，长为l ，质量为m ，可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴O 在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为m 的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为μ，碰后滑块移动距离S 后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角。

求：碰撞后棒的中点C 离地面的最大高度h 。

分析：本题有三个物理过程：过程Ⅰ，棒由水平转到竖直的过程，这个过程中，对棒和地球系统，外力（轴对棒）不作功，仅有保守内力作功，机械能守恒。

过程Ⅱ：棒与滑块碰撞过程。

碰撞过程中棒与滑块的位移都可忽略不计；由于碰撞时间极短，并且外力为恒力，因此在碰撞过程中外力对轴O 的冲量矩可忽略，可近似地用对O 轴的角动量守恒定律求解。

过程Ⅲ：碰撞之后，棒继续上摆，棒地系统机械能守恒，滑块在水平面上运动。

解：过程Ⅰ：棒下落过程，棒、地球系统，机械能守恒 2212ωJ l mg= (1)其中 lg ml J 3 312=∴=ω 过程Ⅱ：棒与滑块系统碰撞过程中，对O 轴的角动量守恒 l mv J J 0='=ωω (2) 过程Ⅲ：对滑块由动量定理 20210mv mgS -=-μ (3) 对棒、地球系统，棒上升过程中，机械能守恒mgh mgl J =+21212ω (4) 由(1)、(2)、(3)、(4)式，并考虑到 312ml J =解得 Sl S l h μμ63-+=§4－6 经典力学的成就和局限性质点力学和刚体力学、以及流体力学和弹性力学等，都是在牛顿运动定律的基础上建立起来的，属于经典力学范围。

经典力学是理论严密、体系完整的一门学科，还是经典电磁理论和经典统计力学的基础。

经典力学的应用范围极为广泛。

但是经典力学也有一定的适用范围。