流体稳定流动时的能量衡算
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1.3 流动流体的物料衡算和能量衡算
20m
1.5m
2020/3/14
流体的基本性质及计算
Hale Waihona Puke 26解：取碱液池液面1-1’截面和塔顶喷嘴入口2-2’截面，以1-1’ 作为截面为基准水平面。在1-1’和2-2’截面之间列柏努利方程：
z
g 1 u2
p 1
W
z
g 1 u2
p 2
W
2
2’ 1
21
e
2
22
f
20m
1
m
z g 1 u 2 p z g 1 u 2 p
1
21
1
2
22
2
Pa
理想流体的机械能守恒。
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流体的基本性质及计算
18
2）若流体处于静止，u=0，ΣWf=0，We=0，则柏努利方程 变为
p
p
z g 1 z g 2
1
2
流体静力学方程
柏努利方程既表示流体的运动规律，也表示流体静止状态的规律。
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流体的基本性质及计算
1
学习目标：
1.掌握流体流动的流量和流速的计算方法； 2.理解定态流动与非定态流动的概念； 3.掌握定态流动系统的物料衡算——连续性方程。 4.掌握定态流动系统的能量衡算——柏努利方程。 5.掌握柏努利方程在工程上的应用。
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流体的基本性质及计算
s
11 1
22 2
——连续性方程
可见，在定态流动体系中，当质量流量ms恒定时，流速u随截 面积A和密度变化而变化。
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流体的基本性质及计算
8
流体流动基本规律
ρ
We
=ρ
gZ2+
ρ u22 2
+
p2
+
ρ
∑h
f
（ Pa ）
1.3 流体流动旳基本方程
1牛顿流体所具有旳能量称为压头head，单位为m。 Z-----位压头Potential head； u2/2g----动压头dynamic head； p/ρg-----静压头hydrostatic head。 He = We /g -----由泵对单位重量流体提供旳能量， 外加压头或泵旳扬程 Hf=∑hf / g——损失旳能量或称损失压头Hf
1.3 流体流动旳基本方程
∵ Vs = u A=
π 4
d2u
√ ∴ d= 4 Vs =0.0997m=99.7mm πu
查表选择：外径=108 mm，壁厚=4 mm旳管子 d=108-4×2=100 mm
将内径d=100 mm代入上式得到实际流速u=1.49 m/s。
1.3 流体流动旳基本方程
1.3.2 稳定流动与非稳定流动 steady flow and unsteady flow
1.3 流体流动旳基本方程
√ u2 =
2Rg ( ρ -ρ ) 0
ρ[1（- dd21 ）4 ]
则体积流量
Vs =
π d22 4
u2 =
π 4
2
d2
质量流量ws =ρ Vs
2R g
(
ρ
0
-
ρ)
ρ [1-
(
d2 d1
)4
]
=
π 4
ρ
2
d2
2R g (ρ - ρ )
0
ρ
[1 -
(
流体流动机械能衡算的不同方法
管截面上液体质点 的速度分布是均匀 的。流体 的压力 、 密度都取管 ｍ ／ ｇ其 位［＝ 。 ｋ ＝ ＝ ｋ ｇ Ｚ 单 ｇ ｍ ｇ Ｊ Ｚ ， ｍ＝ ｚ ＝詈 ］ ， ｇ 截面上的平均值 ， 流体质量流量为 ｑ ， 管道截面积为 Ａ。 ２１３动能 。流体 因运动而具有 的能量 ， 为流体 的动能 。在物 ．－ 称 在管道中取一微管段 ｄ ，段 中的流体质量为 ｄ ｘ ｍ。作用此微 管 理学 中已经说 明， 质量为 ｍ、 速度为 ｕ 的物体 的动能为 ｕ。 ｍ 因此单
需克服此截面静压力作用所做的功。 如 图 ２ 示的流道 中 ， 所 设截 面 ａ ａ的面 积为 Ａ、 — 压强 为 Ｐ 则 流 ， 另外 ， 流体流经管路 时， 不仅压力发生变化 ， 而且动量也要发 生 体在通过截面 ａ ａ时 ， — 受到 的上游 总压力为 Ｐ ｐ 。若 单位质量 流 ＝Ａ 变化 。 流体流进微管段 的流速为 Ｕ 流出的流速为 ｕ ＋ ｕ ， ＝ ｄ 。因此动量 体体积为 ｕ 那么通过该截面所走的 ， 距离为：＝ ， Ｌ ÷ 即可将单位质 的变化速率为 量流体看作为底 面积为 Ａ、 长为 Ｌ的直柱 体 ， 在总压力 Ｐ作用 下 ， 该
＝ｐ ｄ Ａｕ ｕ 流体柱移动距离 Ｌ后 ， 即通过截面 ａ ａ — 。所 以将单 位质量流体压过 根据动量原理 ， 作用 于微管段流体上力的合力等于液体 的动量 截面 ａ ａ — 所需 的功为 Ｐ Ｌ：ｐ Ａ旦：ｐ ，这种功 只有在流动时才体 现 ｖ 变化 的速率 出来 ， 称为流动功 。
・
２ ６・
科技 论坛
流体流动机械 能衡算 的不 同方法
郭海燕
（ 阳ｘ ￣ｚ 沈 － ｋ学石油化工学院 ， 辽宁 辽 阳 １１０ ） １０ ３ 摘 要： 流体流动机械能衡算方法有 多种 ， 主要介绍 了力 学推导法和直接能量形式分析法 两种 ， 两种方 法论 述较 简练浅显便 于理 这 解 掌握。谨供相 关人士参考。 关键词 ： 流体流动 ； 能 ； 机械 衡算式 当流体在系统 中作稳定流动 时 ， 其具有 能量守恒 性 ， 即输入系 统的能量等于输 出系统的能量 ，该能量守恒式称为柏努利方 程式 。 柏努利方 程是流体流动的基本方程式 ， 它的应用范 围很广 。就化工 生产过程来说 ，该方程式常用来确定高位槽供液系统的液面高度 ， Ｊ 确定系统 中指定位 置的压强 ， 求取 做功设备的功率 ， 定系统流量 确
聚酯工艺原理
1.1 装置概况1.1.1 装置简介1.1.2 工艺原理1.1.2.1 基本概念世界是物质的，存在于世界上的一切物体均由物质组成，物质可由分子、原子或离子构成。
1、分子组成物质的微粒有多种，其中保持物质化学性质的最小微粒叫做分子。
例如，水分子、二氧化碳分子等。
同种物质的分子化学性质相同，不同种物质的分子化学性质不同。
分子有大分子和小分子。
大分子是由大量的原子组成的，例如，淀粉、纤维素和聚酯等；水分子、二氧化碳分子、乙二醇分子、对苯二甲酸分子都是小分子。
分子很小，用肉眼是看不见的。
例如，一滴水里就有大约十五万亿亿个水分子。
分子有质量，总是不停地运动着。
分子之间有间隔，且相互作用，在不同的条件下，物质有气态、液态和固态三态的变化，主要是由于物质分子间间隔大小发生变化的缘故。
2、原子在化学反应中，分子可分成原子，而原子却不能再分。
在化学反应中不能再分的最小微粒叫做原子。
但在物理变化中原子是可分的，例如核裂变。
物质一般都是由分子组成，分子则由原子组成。
有些物质是由原子直接组成的，例如，镁是由镁原子组成的。
原子比分子更小，有一定质量并不停运动着。
原子中心部分带有正电荷的原子核是由质子和中子组成的，原子核的外围有带负电的电子。
3、离子在一定条件下，原子失去或得到电子，成为带有电荷的原子，这种带有电荷的原子或原子团叫做离子。
原子团是由几个原子结合而成的带有电荷的集团，常被称为“根”，如NH4=、OH -、CO32-等。
离子有阴阳离子之分，带有负电荷的原子或原子团叫做阴离子，如OH -、CO32-；带有正电荷的原子或原子团叫做阳离子，如NH4+、H+等。
4、元素具有相同核电荷数（相同质子数）的同一类原子（含简单离子）总称为元素。
现已发现109种元素。
自然界里多达1000万种物质，都是由为数不多的元素组成的。
例如，乙二醇、对苯二甲酸、聚对苯二甲酸乙二酯都是由C、H、O三种元素组成的。
核电荷数或质子数是划分元素的标准，核电荷数即质子数相同的原子、离子都属于同种元素，例如Cl、Cl-、Cl-5、Cl-7都是氯元素。
流体稳定流动时的能量衡算柏努利方程
四、流体稳定流动时的能量衡算——柏努利方程1．流体流动时所具有的机械能（1）位能：由于流体几何位置的高低而决定的能量。
位能是一个相对值，其大小随所选基准水平面的位置而定。
m kg 流体的位能mgz = J; 1kg 流体的位能zg = J/kg1N 流体的位能z = J/N（2）动能：由于流体有一定流速而具有的能量。
m kg 流体的动能221mu = J; 1kg 流体的动能22u = J/kg1N 流体的动能gu 22= J/N（3）静压能：流体克服截面上的压力而作的功，即由于流体有一定静压力而具有的能量。
m kg 流体的静压能ρmp=J; 1kg 流体的静压能ρp=J/kg1N 流体的静压能gpρ=J/N m kg 流体的总机械能为： ρmp mu mgz ++221 J; 1kg 流体的总机械能为： ρpu zg ++22 J/kg 1N 流体的总机械能为： gp g u z ρ++22 J/N （4）外加能量：1kg 流体从输送机械所获得的机械能。
用功W 表示，单位为J/kg 。
1N 流体的外加能量gW H 功功=J/N（5）损失能量（阻力损失）：1kg 流体克服两截面间各项阻力所消耗的能量。
用∑损h表示,单位为J/kg 。
1N 流体的损失能量ghH ∑=损损 J/N2．流体稳定流动时的能量衡算——柏努利方程 如图所示，按照能量守恒及转化定律，输入系统的总机械能必须等于由系统中输出的总能量。
以单位质量（1Kg ）流体为衡算基准:∑+++=+++损功h pu g z W p u g z ρρ22222211 J/kg 实际流体的柏努利方程式3.柏努利方程的分析及讨论（1）若输送无黏性、流动时不产生摩擦阻力的理想流体时，0=∑损h且 0=功W常数=++=++ρρ2222121122pu g z p u g z 理想流体的柏努利方程式理想流体进行稳定流动时，在管路任一截面的流体总机械能是一个常数，流体在不同截面间各种机械能的形式可以互相转化。
化工原理 第一章 管内流体流动的基本方程式
2019/11/12
二、稳定流动与不稳定流动
1、稳定流动 流体流动系统中，若各截面上的温度、压力、流
速等物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种 流动称之为稳定流动；
2019/11/12
2019/11/12
定常态流动.swf
2、不稳定流动 若流体在各截面上的有关物理量既随位置变化，也 随时间变化，则称为非稳定流动。 在化工厂中，连续生产的开、停车阶段，属于非稳 定流动，而正常连续生产时，均属于稳定流动。 本章重点讨论定态流动问题。 注意：定态与稳定态的区别
u qV A
单位为m/ s 。习惯上，平均流速简称为流速。
2019/11/12
（2）质量流速
单位时间内流经管道单位截面积的流体质量，称为质量流 速，以w表示，单位为kg/（m2·s）。
数学表达式为： w qm A
对于圆形管道： A d 2
4
质量流速与流速的关系为：
u 4qV
d 2
2019/11/12
2019/11/12
非定常态流动.swf
2019/11/12
三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算:
qm1
qm2
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段 衡算基准：1s
对于连续稳定系统： qm1 qm2
2019/11/12
qm uA
u1
4
d12
u2
4
d22
u1 u2
d2 d1
2
表明：当体积流量qV一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
2019/11/12
例 如附图所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一 段φ108×4mm的管2和两段φ57×3.5mm的分支管3a 及3b连接而成。若水以9×10－3m/s的体积流量流动 ，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管
二、稳定流动与不稳定流动
1、稳定流动 流体流动系统中，若各截面上的温度、压力、流
速等物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种 流动称之为稳定流动；
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2、不稳定流动 若流体在各截面上的有关物理量既随位置变化，也 随时间变化，则称为非稳定流动。 在化工厂中，连续生产的开、停车阶段，属于非稳 定流动，而正常连续生产时，均属于稳定流动。 本章重点讨论定态流动问题。 注意：定态与稳定态的区别
u qV A
单位为m/ s 。习惯上，平均流速简称为流速。
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（2）质量流速
单位时间内流经管道单位截面积的流体质量，称为质量流 速，以w表示，单位为kg/（m2·s）。
数学表达式为： w qm A
对于圆形管道： A d 2
4
质量流速与流速的关系为：
u 4qV
d 2
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非定常态流动.swf
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三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算:
qm1
qm2
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段 衡算基准：1s
对于连续稳定系统： qm1 qm2
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qm uA
u1
4
d12
u2
4
d22
u1 u2
d2 d1
2
表明：当体积流量qV一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
2019/11/12
例 如附图所示，管路由一段φ89×4mm的管1、一 段φ108×4mm的管2和两段φ57×3.5mm的分支管3a 及3b连接而成。若水以9×10－3m/s的体积流量流动 ，且在两段分支管内的流量相等，试求水在各段管
《化工原理》课件—01流体流动(连续性方程+能量衡算)
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
化工——第二章_3(衡算)
分析： 求流量qv 已知d 求u 直管
qv 3600u
判断能否应用？
4
d2
任取一截面
气体
柏努利方程
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’
截面1-1’处压强 ：
P1 Hg gR 13600 9.81 0.025 3335 Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
1.20kg / m
2
3
2
u1 3335 u 2 4905 2 1.20 2 1 .2
化简得：
u 2 u1 13733
由连续性方程有：
2
2
(a)
2
u1S1 u2 S 2
0.08 d1 u1 u 2 u1 d 0.02 2
求△Z
柏努利方程
并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利
方程式：
u p1 u2 p2 gZ1 H e gZ 2 hf 2 2
2 1
2
式中： Z2=0 ；Z1=?
P1=0(表压) ； P2=9.81×103Pa(表压）
qv qv 5 u2 1.62 m / s 2 S d 2 3600 0.033 4 4
④静压能（流动功）
1 2 单位质量流体所具有的动能 u ( J / kg ) 2
通过某截面的流体具有的用于
克服压力功的能量
流体在截面处所具有的压力
F pS
流体通过截面所走的距离为
V pV ( J ) 流体通过截面的静压能 Fl pS S V 单位质量流体所具有的静压能 p p / ( J / kg ) m
流体力学-04-2 伯努利方程的应用.
伯努利方程的应用伯努利方程对于流动体系除了掌握体系的对于流动体系，除了掌握体系的物料衡算关系以外，还必须找出体系各种形式能量之间的转换关系系各种形式能量之间的转换关系。
伯努利(Bernoulli)方程：描述了流体流动过程中各种形式能量之间的转换关系，是流体在定常流动情。
是热力学第一Daniel Bernoulli ，1700-1782况下的能量衡算式是热力学第定律对流体流动过程的具体描述。
流动系统的能量流动系统的能量：流动系统的能量流动系统的能量：(3) 动能：流体以一定的速度运动时便具有一定的动能，大时所需要的功小等于流体从静止加速到流速v时所需要的功。
(4) 静压能：流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功。
流体进入划定体积时需要对抗压力所做的功若质量为m的流体体积为，某截面处的静压强为p，截面面积为A，则将质量为m的流体压入划定体积的功为：则将质量为的流体压入划定体积的功为质量为能量还可以通过其他外界条件与流动系统进行交换，包括：：流体通过换热器吸热或放热Q e吸热时为正，放热时为负。
：泵等流体输送机械向系统做功W em 的流体交换热量=m Q e流体接受外功为正流体对外作功为负作功为负的流体所接受的功= mW e以截面两边同除以m单位质量流体稳定流动过程的总能量衡算式，流动系统的力学第一定律表达式系统内能变化系统内能变化：是单位质量流体从截面1-1到截面是单位质量流体从截面1-1到截面2-2流体通过环境直接获得的热量，Q e(1)流体通过环境直接获得的热量流体流动时需克服阻力做功，因而消耗机械能转化为热量，若流体等温流动，这部分热量则散失到系统外部。
设单位流体因克服阻力而损失的，则则不可压缩流体ρ=const=0无外加功W e=0理想流体，Σhf伯努力方程努力方程的有关伯努力方程的讨论(1)伯努力方程的适用条件：不可压缩的理想流体做定常流动而无外功输入的情况，选取截面符合缓变流条件。
单位质量流体在任一截面上所具有的势能、动能和静压能之和是一常数。
流体在管内流动时的能量衡算
实验证明，两流体层之间单位面积上的内摩擦 力（或称为剪应力）τ与垂直于流动方向的速 度梯度成正比。
u y
（1-33）
式中μ为比例系数，称为粘性系数，或动力粘度
（viscosity），简称粘度。
上式所表示的关系，称为牛顿粘性定律。
u与y也可能时如右图的关系， y 则牛顿粘性定律可写成：
du dy
内容提要
1. 流体静力学 2. 流体在管内的流动 3. 流体的流动现象 4. 流动阻力 5. 管路计算 6. 流量测量 7. 流体输送设备
要求 掌握连续性方程和能量方程 能进行管路的设计计算
2.1 流体的物理性质及作用在流体上的力
研究流体流动问题的重要性 流体: 在剪应力作用下能产生连续变形的物体，流体是 气体与液体的总称。
2.2.1、静力学基本方程
设流体不可压缩， Const.
重力场中对液柱进行受力分析：
（1）上端面所受总压力
p1
P1 p1 A 方向向下
G
（2）下端面所受总压力
P2 p2 A 方向向上
p2
（3）液柱的重力
G gA(z1 z2 ) 方向向下
p0
z1 z2
液柱处于静止时，上述三项力的合力为零:
（5）热
(J/kg)
设换热器向1kg流体提供的热量为qe (J/kg)。
（6）外功(有效功)
1kg流体从流体输送机械所获得的能量为We (J/kg)。
U1
z1g
1 2
u12
p1
1
We
qe
（3） 气体
当压力不太高、温度不太低时，可按理想气体 状态方程计算：
pM
RT
注意：手册中查得的气体密度都是在一定压力与温度 下之值，若条件不同，则密度需进行换算。
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§3、流体稳定流动时的能量衡算 本节共 页一、柏努利方程式的建立流体流动的必要条件是系统两端有：压强差或位差。
流体流动的过程实质上是能量转化过程。
流体作稳定流动时，有四种能量可能发生变化。
即 位能动能 机械能 静压能 内能能量之间是可以互相转化的，内能与机械能之间也是如此。
例如，因为流体具有粘性，流动时因摩擦、碰撞，因而有一部分机械能转化为热能，使流体温度升高，变为流体的内能，这种过程只有流体流动时才较明显。
为了使问题简化，我们首先建立理想液体的柏式。
绝对不可压缩（比容v 不随压强P 而变）理性液体的特点 完全没有粘性（无内摩擦力，即没有机械能向内能的转化，即T 不变）流动时无阻力。
因此，理想流体流动时，只有机械能之间的转化，而无内能的增减。
1122p 1p 2A 1OOv 1v 2H 1H 2对上图稳定流动系统进行能量衡算： 衡算范围：1—1’，2—2’截面之间 衡算基准面：0—0’水平面对于稳定流动，每m kg 流体经截面1—1’进入系统内，必有m kg 流体经截面2—2’离开这个系统。
∴，以m kg 流体作为衡算的基准。
1、位能流体受重力的作用，在不同的高度具有不同的位能。
它是个相对值。
位能= mgH单位：mgH= kg ×m/s 2×m = Nm =J∴，mgH 流体在截面1—1’ ，2—2’所具有的位能分别为：mgH 1 , mgH 2 2、动能流体流动时所具有的能量。
动能=221mv这一能量相当于将mkg 流体从速度为零加速到速度为v 所做的功。
单位：221mv = kg ×m 2/s 2= Nm = Jmkg 流体在截面1—1’，2—2’处所具有的动能分别为：221v m ，222v m3、静压能（流动功）在静止或流动的流体内部任一处都有一定的静压强。
如在内部有液体流动的管壁上开一孔，装一垂直玻璃管，液体便会在玻璃管内上升一定高度，这个液体高度便是运动的流体在该截面处静压强的表现。
对于我们的衡算系统，流体通过截面1—1’时，由于该截面处流体具有一定的压力，这就需要对截面之外的流体做相应的功，以克服这个压力，才能将流体推进系统里去。
于是通过1—1’截面的流体必定要带着与所需的功相等能量进入系统，流体所具有的这种能量称为静压能或流动功。
如mkg 流体，体积为V[m 3]，通过截面1—1’，把该流体推进此截面所需的作用力=P 1A 1。
流体通过此截面所走的距离=11A V ， 流体带入系统的静压能=111111V P A V A P = 单位： J Nm m mN V P ===3211 同理：2—2’截面处流体所具有的静压能为P 2V 2。
根据能量守恒与转化定律，两截面所具有的总机械能相等，即222221121122V P mv mgH V P mv mgH ++=++两边除以m V m =ρ V m ρ=， V=V 1=V 2ρρ2222121122P v gH P v gH ++=++ [J/kg] （1）两边除以g ，gpg v H g p g v H ρρ2222121122++=++ [米液柱]（2） 上式即为理想流体的柏努利方程式，也叫能量衡算方程，流体动力学方程。
上式中各项表示：1kg 流体所具有的能量。
二、柏式的引申在工业生产中所遇到的流体都是实际流体。
实际流体有粘性，所以在流动时有摩擦阻力产生，其数值的大小视流体的性质流动的状况管壁的粗糙程度 而定。
流体流动时总有一部分能量消耗在摩擦阻力上。
由于克服流体阻力，消耗了一部分机械能，这部分机械能转变成了热能，而热能又不能直接用于流体的输送，只能被流体吸收，使流体温度略有升高。
所以，从实用的角度来讲（或从机械能的衡算来讲），这部分机械能是损失掉了。
有外加流体输送机械对流体作功。
所以，实际流体的柏努利方程式变为：流体输送所需功率是指：单位时间耗用的能量， 实际功率ηηρηem ev ea gH q gH q p p ===[kW] （4）式中：Pe －理论功率η－输送设备的效率工程上将每kg 流体所具有的各种形式的能量统称为压头，如 H ：位压头（简称位头）gv 22：动压头，又称速度头。
gPρ：静压头 He ：输送设备对流体所提供的能量，又称有效压头。
fH ：因阻力所消耗的能量，又称压头损失。
压头—可以互相转化，是某一截面的能量。
压头损失—为沿程的压头损失，不是某一截面的。
压头一经损失掉，就不能变回系统里任何一种形式的压头。
三、柏努利的讨论1、方程使用条件：连续系统，稳定流动，不可压缩性流体。
2、对于气体，当压强变化%20121≤-P P P 时，公式仍适用，其结果是足够准确的。
计算时只需将气体的密度ρ用平均密度m ρ代替，即221ρρρ+=m 。
3、对于静止流体，v =0，He=0，f H =0，则（3）式变为 gP H g P H ρρ2211+=+2112H H gP P -=-ρ 此式即为流体静力学基本方程式。
因此看出静力学方程是柏努利方程的一个特殊形式。
4、对于实际流体的流动，0>f H ， 它有压头损失。
5、对于不稳定流动，在任一瞬间柏式方程仍能成立。
四、应用柏式解题要点（一）、画示意图，标明流动方向O O 1122H 12（二）、选截面取截面是为了确定能量的衡算范围。
1、需求取的未知量必须在截面上或两截面间。
2、流动方向与截面相垂直。
3、以上游为1—1’，下游为2—2’，把所选截面标在图上。
4、截面不要选在转弯处或直径突变处。
（三）选水平基准面流体的位头是由它所处的位置距水平基准面的高度而定，在能量衡算中，须求取的是流动系统中两截面间的位头差。
1、水平基准面的的高度可以任意选取，但必须与地面平行。
2、截面位置在水平基准面的上方，其位压头为正，反之为负。
3、把所选基准面标在图上。
（四）单位要统一（SI 制） 五、柏式应用举例 1、确定容器间的相对位置已知：高位槽和反应器均为敞口容器。
管内流速v =2[m/s]，H f =2[m] ，求 hatmhO 112O2解：在1—1’，2—2’间列柏式，以0—0’为基准面。
H 1=h ，H 2=0，P 1=P 2=0（表压）1v = 0，2v = 2[m/s] ，H f = 2m ，He = 0∴，2.22222222=+=+=gH g v h f [m]2、确定管路中流体的压强p 1p 23m12O21ggp p已知，1000=ρkg/m 3 ，1v =2m/S ，2v =8m/s P 1=1.2kgf/cm 2（表压），H f =0 （忽略），求 P 2 解：在1—1’，2—2’ 间列柏式，以0—0’为基准面。
H 1=0，He=0，H f =0g u g P H g v g P 222222211++=+ρρaP ggv H g v g P P 5831181.91000)26.33204.012(1000)81.928381.92281.91000981002.1()22(222222112=⨯⨯--+=⨯⨯--⨯+⨯⨯=⨯⨯--+=ρρ3、确定输送设备的有效功率蒸发室atm 15m12o1o2已知料液ρ=1200kg/m 3 ，蒸发室真空度=200mmHg ，输送管道Φ 68⨯4，体积流量v q =20m 3/h ，m H f 12= ，求泵的理论功率。
解：在1—1’，2—2’间列柏式，以0—0’为基准面。
H 1=0 ， H 2=15m ，P 1=atm ，1v =0f e H gp g v H H g P +++=+ρ2ρ22221P 2=Pa 26665101325700200=⨯（真空度） P 2=101325-26665=74660Pa （绝对压）97.1360006.0785.02022=××=v m/s mH gPP g v H H fe 9.24123.22.0151281.912001013257466081.9297.115ρ2212222=++=+×+×+=+++=pacm kgf 98100/12=理论功率：kW W gH q p e v e 6285.15.16289.2481.91200360020ρ==×××==。