1996年A题最优捕鱼策略

1996年A题最优捕鱼策略A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度，一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益，考虑对某种鱼（鱼题鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…,4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年)，这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比为1.22×1011/1.22×1011+n）渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称捕捞强度系数，通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122 ,29.7 , 10.1 , 3.29(×109条)，如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。

A题最优捕鱼策略一、假设1、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。

2、各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

3、所有的鱼都在每年最后的四个月内（后1/3年）完成产卵和孵化的过程，孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼进入一龄鱼组。

4、产卵发生于后四个月之初，产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后，5、相龄两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，也就是说，第K年底第i年龄组的鱼的条数等于第K+1年初第i+1年龄组鱼的条数。

6、四龄以下的鱼全部死亡7、采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数，比例系数为捕捞强度系数。

一、模型1、符号x i(t)——t时刻i年龄组的鱼群的大小r——鱼的平均自然死亡率f i——i年龄组鱼的产卵率t——时间（以年为单位）W i——i年龄组鱼的平均重量Q i——i年龄组的捕捞强度系数2、数据r=0.8(f 1,f 2,f 3,f 4)=(0,0,0.5A,A), A=1.109×105(W 1,W 2,W 3,W 4)=(5.07,11.55,17.86,22.99)(q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4)=(0,0,0.42E,E)，称E 为捕捞努力量t =2/3（产卵月份）。

3、模型1）无捕捞时的鱼群的增长dx i (t)/dt=-rx i (t)(假设1,2), k ≤t ＜k+1,i=1,…,k=0,1,2, …;x i (0)=x i ,x i +1(k+1)=x i-(k+1)=lmt t →k+1 x j (t)(假设5，6)，x 1(k+1)=1.22×1011x 0(k+t )/[1.22×1011+x 0(k+t )],x 0(k+)=0.5Ax 3(k+)+Ax 4(k+)(假设3,4)2）固定努力量捕捞下鱼群的增长和捕捞量的模型由题设知捕捞期为k ≤t ＜k+t 故有模型dx i (t)/dt=-rx i -q i (E)x i , k ≤t ＜k+t (1)dx i (t)/dt=-rx i k+t ≤t ＜k+1 (2)x i (0)=x i ,x i+1(k+1)=x i-(k+1) i=1 ,2,3, k=0,1,2…; (3)x 1(k+1)=1.22×1011x 0(k+t )/[1.22×1011+x 0(k+t )], (4)x 0(k+)=0.5Ax 3(k+t )+Ax 4(k+t ) (5)★鱼群的增长：求解方程组（1）（2），并注意到连续性条件（3）可得x i+1(k+1)=s l i (E)x i (k),i=1,2,3 (6)x 1(k+1)=[b/(b+x 0(k))]x 0(k) (7)x 0(k+t )=0.5As 2/3 l 3(E)x 3(k+t )+ As 2/3 l 4(E)x 4(k+t ) (8)其中s=e -r =0.4493 , l 1(E)=l 2(E)=1,l 3(E)=e-0.42tE =p E 3 ,l 4(E)=e -tE =P E 4 P3= e -0.42t = e -0.28=0.7558，p4=e -t =e-2/3=0.5132A=1.109×105 b=1.22×1011★捕捞量单位时间第i 年龄组鱼的捕捞量（条数）y i (t)=q i (E)x i (t), k ≤t ＜k+t第K 年全年（八个月）第i 年龄组鱼的捕捞量（条数）Y i (k)= ⎰t0i dt )t (y =⎰t 0i i dt )t (x )E (q =[q i (E)/(r+q i (E))](1-s t p i E )x i (k)第K 年总捕捞量（重量）Y （K ）=W 3Y 3（K ）+W 4Y 4(k) (9)3)可持续捕捞的模型可持续捕捞的概念意味着，如果每年通过自然死亡，捕捞和产卵繁殖补充，使得鱼群能够在每年年初捕捞开始时保持平衡不变，那么这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去，因此可持续捕捞的鱼群应该是模型（6）（7）（8）的平衡解，即模型不依赖于时间的解x *i 由（6）（7）（8）有x *i+1=Sli(E) x *i i=1,2,3或x *2=sx *1,x*3=s x *2= s 2sx *1 , x*4=sl 3(E)x 3*=s 3p E 3x*1 (10)x*0=0.5As 2/3 l 3(E)x*3+As 2/3;l 4(E)x*4(11)X*1=[b/(b+x*0)]x*0 (12)利用迭代关系（10），（11）中的x*0可以写为x*0=0.5As t l 3(E)x*3+ As l 4(E)x*4=(0.5+sp E 4)As 8/3p E 3x*1代入（12）式可得X*1=[b/(b+x*0)]x*0=[b/(b+（0.5+sp E 4）As 8/3 p E 3 x*1)](0.5+sp E ) As 8/3 p E 3 x*1。

关于x*1求解这个非线性方程，有x*1=b{1-1/[(0.5+ sp E 4) As 8/3p E 3]}=b[1-1/B(E)]其中B （E ）=(0.5+ sp E 4) As 8/3p E 3，当B （E ）≤1时有X1≤0，这意味着捕捞的强度过高致使鱼群不复存在。

满足这个条件的努力量E 0将称为过度捕捞努力量。

我们将在E<E0的范围内 讨论最优捕捞的问题，其中E 0=31.4是方程B （E ）=1的解。

可持续捕捞量在可持续捕捞的条件下，第i 年龄组的捕捞量（条数）是Y i =[q i (E)/(r+q i (E))](1-s t p E i )x*1整个鱼群的年捕捞量（重量）是Y （E ）=w 3Y 3+w 4Y 4=w 3[q 3(E)/(r+q 3(E))](1- s t p E 3)x*3+ w 4[q 4(E)/(r+q 4(E))](1- s tp E 4)x*4={[ w 3[0.42E/(r+0.42E)](1- s p E 3)s 2+[w 4 E/(r+E) ](1- s t p E 4)S 3 p E 3]X*1={[ w 3[0.42E/(r+0.42E)](1- s t p E 3)+ [w 4 E/(r+E) ](1- s t p E 4)S p E 3]E s 2b[1-1/B(E)]式（13）给出了年 捕获量Y 和捕捞努力量E 之间的关系，它是Y 与E 之间的一个非线性关系，用计算机可以搜寻到使得捕获量达到最大的努力量E *。

这就是最优可持续捕捞的努力量。

由此可以求得，最大捕捞量（重量） Y*=Y （E *）可持续捕捞鱼群的大小（条数） x*1 x*2 x* 3 x*4各年龄组鱼群的捕捞率 C1=C2=0C i =Y i /x*i ={[q i (E)/(r+q i (E))] (1- s t p E i ) } i=3,4三、可持续捕捞的数值结果最优可持续捕捞的努力量 E *=17.36最大年捕捞量（重量） Y *=38.87万吨可持续捕捞鱼群的大小（条数）x*1 =119,601,343,172(条) x*2 =53，740，347，635（ 条）x* 3=24，147，094，734（条） x*4=84，025，418（条）各年龄组鱼群的捕捞率C1=C2=0 C3=89.70%， C4=95.59%四，定期（五年）承包的最优收获由于承包时鱼群的年龄组成尚未处于可持续捕捞的状态，因此不能简单地采用前面所得到的最优可持续捕捞的结果。

问题中寻求收获量最高的捕捞策略的条件是鱼群的生产力不能受到太大的破坏。

我们可以把这个条件理解为捕捞五年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞鱼群的年龄结构。

这时最优收获的问题就化为寻找一个收获的策略使得五年的鱼产量尽量高，而且五年后鱼群的年龄结构与可持续捕捞的年龄构成尽量接近，这是一个多目标规划的问题。

如果该公司在五年的捕捞作业中捕捞的努力量是固定不变的，利用前面得到的模型（6）（7）（8），并注意到初始鱼群为X 1（0）=122×109(条) x 2(0)=29.7×109(条)X 3(0)=10.1×109(条) x 4(0)=3.29×109(条)就可以描述被捕捞的鱼群在五年中的动态变化。

第K 年的鱼产量由（9）式给出，则五年的总鱼产量为Y （E ）=Y （1）+…Y5五年后鱼群的年龄组成，与可持续捕捞鱼群的年龄组成的差异可由这两个群体各年龄组差异之间的欧几里得距离来描述：D （E ）=244211)X -(5)(X -)X )5(X (++-综合这两个指标，令J （E ）=Y （E ）-D （E ）则问题就归结为求E ，以优化目标函数J （E ）基于上面的分析，可以得到问题的数值结果为：最优捕捞努力量 E *=17.84被优化的最佳指标值J （E *）=1，477，164，613，075最优的五年产量Y （E *）=160.5万吨第五年的鱼产量 Y （5）=38.17万吨第五年鱼群的年龄构成X1=119,172,969,564(条) X2=53,612,417,452(条)X3=23,649,689,723(条) X4=71,038,025(条)。