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最优捕鱼策略鯷鱼是海中生长的一种小鱼,自然死亡率d=0.8/年(自然是指无人类的捕捞的自然环境)，自然寿命是4年，鯷鱼3年后成熟，产卵在9月初，每千亿尾3龄鱼产卵n3=55450(千亿个)，每千亿尾4龄鱼平均产卵n4=2*n3 (千亿个), 卵孵化后到年初时称为1龄鱼，卵孵化成为1龄鱼的成活率b=a/(a+n), 其中a=1.22(千亿)，n是3龄和4龄鱼全体产卵的总量(单位千亿). 为了让小鱼生长, 9月份至12月份休渔. 而且在1月份到8月份不捕1龄及2龄鱼. 每千亿尾3龄鱼平均重量是w3=17.86(十万吨), 每千亿尾4龄鱼平均重量是w4=22.99(十万吨). 使用13mm网眼的拉网捕鱼，只能捕到3龄和4龄鱼，捕到3龄与和4龄鱼的比例是0.42:1. 捕捞强度系数(单位1/年)是指每年捕捞某年龄组鱼的条数与该年龄组鱼群数之比. 因此若对4龄鱼的捕捞强度为k，则对三龄鱼的捕捞强度为0.42*k.1.求在无捕捞的自然状态下达到平衡态时各龄鱼群在年初时的数量y1=[y1(1);y1(2);y1(3);y1(4)].2.讨论对给定捕捞强度k，达到平衡态时各龄鱼在年初时的数量y2=[y2(1);y2(2);y2(3);y2(4)]及捕捞鱼的总重量w2(单位十万吨).3.确定k求w3=max w2 及这时年初各龄鱼的数量y3=[y3(1); y3(2);y3(3);y3(4)].4.若把该渔场承包给某公司五年，第一年初各龄鱼的数量是题1的y1，(原题中各龄鱼数量为 1.22, 0.297,0.101,0.0329千亿条)若要求合同期满时第六年初各龄鱼的数量是题3的y3，问该公司应当如何确定各年的捕捞强度[k(1), k(2),k(3),k(4),k(5)]，使得五年的鱼的总收获量最大. （原题是要求5年合同期满时鱼场的生产能力不能受到太大破坏）注: 1本题基本上来自1996年中国全国大学生数学建模竞赛的A题(北京师范大学刘来福供题), 但本题作了适当的修改, 使得问题更加明确，数值上除了单位的改动, 使得更有利于数值计算, 对初值也作了更合理的假设)注2：在数学的连续的问题中所说的“率”都是指即时的, 具有单位(1/单位时间)，它和通常的离散的年自然死亡率yd(无量纲的量)在时间单位相同时, 关系是d = - ln(1-yd). 由于鱼的数量巨大，生长周期又不长，可以用连续模型来刻画鱼群数量的变化解答：当无捕捞时，设I龄鱼在第1年初的数量是x(I,1), I=1,2,3,4, 在第二年初I龄鱼的数量是x(I,2), 根据无捕捞时的生长规律鱼的数量y服从常微分方程Dy=-d*y，故X(I,2)=X(I,1)*exp(-d); I=1,2,3. X(4,2)=0平衡时X(2,1)=X(1,2), X(3,1)=X(2,2), X(4,1)=X(3,2) 故X(2,1)=X(1,2)=X(1,1)*exp(-d); X(3,1)=X(2,2)=X(2,1)*exp(-*d)=X(1,1)*exp(-2*d); X(4,1)=X(3,2)=X(3,1)*exp(-d)=X91,1)*exp(-3*d); 再计算3龄鱼和四龄鱼的产卵量n, 记捕捞期T=2/3; 假设在T=2/3年时一次产卵，则n=n3*X(3,1)*exp(-d*T)+2*n3*X(4,1)*exp(-d*T)=n3*X(1,1)*exp(-(2+T)*d)*(1+2*exp(-d)); 则第二年新的一龄鱼数量是a*n/(a+n)，由平衡关系X(1,1)= a*n/(a+n);解出 X(1,1)=a*(1-1/(n3*exp(-(2+T)*d)*(1+2*exp(-d))))=1.21990;从而X(2,1)= 0.548137; X(3,1)= 0.246294; X(4,1)= 0.110667;即各龄鱼年初条数为:y0=[1.2199, 0.548137, 0.246294, 0.110667];求对3、4龄鱼捕捞时的平衡态,X(1,2)=X(1,1)*exp(-d)；X(2,2)=X(2,1)*exp(-d);X(3,2)= X(3,1) *exp(-(d+p*T)); p=0.42*k;平衡时X(4,1)=X(3,2)= X(3,1) *exp(-(d+p*T))= X(2,2) *exp(-(d+p*T))= X(2,1)* exp(-(2*d+p*T))=X(1,2)* exp(-(2*d+p*T))=X(1,1)* exp(-(3*d+p*T));再计算产卵量n=n3*(X(3,1)*exp(-(d+p)*T)+2*X(4,1)*exp(-(d+k)*T))=n3*X(1,1)*exp(-(2d+T*(p+d))*(1+2*exp(-(d+k*T)));平衡时a*n/(a+n)=X(1,1); 解出平衡解X(1,1)=a*(1-1/(n3* exp(-(2d+T*(p+d)))* (1+2*exp(-(d+k*T))));设捕捞率为k(1/年)，0时刻某种鱼的尾数为y0，则鱼尾数y的变化满足常微分方程的初值问题(时间单位为年)，记T:=2/3; 在1-8月份为Dy=-(d+k)*y, y(0)=y0, 0< =t<T,解为y(t)=y0*exp(-(d+k)*t), 0< =t<=T,在此过程中捕捞了多少鱼呢？由捕捞率的定义得捕捞的鱼的数量by满足微分方程的初值问题：以四龄鱼为例Dby=k*y0*exp(-(d+k)*t), by(0)=0;积分得在0到t<=T月捕捞的鱼数量为by(t)=y0*k(1-exp(-(d+k)*t))/(d+k).取t=T，即得8个月捕捞的鱼的尾数总量为y0*k(1-exp(-(d+k)*T))/(d+k)，故4龄鱼的捕捞重量为X(4,1)* k*(1-exp(-(d+k)*T)/(d+k)*w4;3龄鱼的捕捞重量可把上式中X(4,1)改为X(3,1)，w4改为w3，k改为p=0.42*k即可因此总捕捞重量等于W=a*exp(-2*d)*(p*(1-exp(-(d+p)*T))/(d+p)*w3+k*exp(-(d+p*T))*(1-exp(-(d+k)*T))/(d+k)*w4)* (1-1/ (n3*exp(-(2d+T*(p+d)))*(1+2*exp(-(d+k*T)))));求这个函数的最大值就可求出最佳的k，从而得到最佳情况下的各种量. 编程计算可得k =17.362926X(1,1)=1.19599377;X(2,1)=0.53739464;X(3,1)=0.24146698;X(4,1)=0.000839552,maxW=3.88707551779345,在用MATLAB求极值的时候，对得到的最大值点的各数值不能保证每位数字都是精确的，虽然我们可以在options中自定义精度，因为最值关于最值点一般是不敏感的，要想得到较高的精度，可以通过求目标函数的导数的零点得到.4.设五年的捕捞强度依次为k(1),k(2),k(3),k(4),k(5)，数据为：第一年初各龄鱼的条数为y0；第六年初各龄鱼的条数为ym;设第I年初J龄鱼数量是X(J,I),I=1..6; J=1..4;第I年的捕鱼重量为W(I), I=1..5; 第I年三龄鱼的捕捞强度为p(I)=0.42*k(I)，四龄鱼的捕捞强度为k(I),给定各年的捕捞强度k，要求第6年初的四种龄鱼数等于题目要求的数量，并且五年捕鱼总重量最大. 五个未知量，五个条件.对于这种非线性的最优化问题，难点是最值点初始值的估计; 特别是表达式中有指数函数，在作全局寻优的过程中，常常容易数值溢出，因此在求局部最优解时可能没问题的程序在改为求全局最优时就会出现问题，解决的办法是给定变量的界，或通过变量代换避免指数运算再给定变量的界。
最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。
(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。
孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。
(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。
(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。
(6) 四龄以上的鱼全部死亡。
(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。
2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。
3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。
最优捕鱼策略摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，实现资源的可持续发展战略。
可再生资源（渔业，林业资源）的开发必须适度。
因此本文针对可持续捕鱼提出的两个问题建立了两个优化模型。
模型1针对问题1，已知各年龄组鱼的数量变化规律，自然死亡率，3，4龄鱼的捕捞强度系数之比，捕捞和产卵时间范围，要满足在实现可持续捕捞的前提下得到最高的年收入量。
即保证每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变的情况下得到最高年收获量。
以3，4年龄鱼的年产量为目标函数，各龄鱼在年初和年末的条数为约束条件，建立规划模型，利用Matlab 数学软件进行求解。
模型2针对问题2，根据题意渔业公司承包这种鱼的捕捞，并且要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，但又要使收获量最大。
首先，题中已给出各年龄组鱼群的初始值，我们利用模型1求出第6年初各年1 龄鱼的数量； 其次，根据问题1中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式，以5年捕捞总量最大为前提，利用Matlab 数学软件求解出此时的捕捞强度系数； 再次，计算出第一年初与第六年1 龄鱼的数量之比为，得到在此捕捞强度下不会使5 年后鱼群的生产能力有太大的破坏。
关键词：自然死亡率 捕捞强度系数 Matlab 数学软件 最高收获量问题重述1） 问题背景为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业,林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。
2） 基本条件假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,...,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为:5.07, 11.55, 17.86, 22.99(克),各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁值,平均每条4龄鱼的产卵量为1109105.⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n 之比)为12210122101111./(.)⨯⨯+n .渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm 网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
