高等数学II-2期末考试试卷A卷

高等数学二期末复习题及答案_28171462418361700(共19页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 2240ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C) 223023ad r dr a πθπ=⎰⎰(D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰Lds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d (D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D)4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛 12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。

二期期末A 卷试题参考解答完成以下共14题,除最后两题各8分外其余各题各7分.一. 求一阶常微分方程x ydy e dx+=满足初始条件(0)0y =的解. 解 xy dy e dx e= x y dy e dx e =⎰⎰,y xe e C --=+代入初始条件(0)0y = C=－2, 于是,所求方程满足初始条件的解为 2.xye e -+=二. 计算二重积分,DI =⎰⎰其中为圆域 22.x y x +≤解cos 2cos 220I d πθπθπθθ-==⎰⎰⎰⎰2cos 20(1)r d πθθ=--⎰⎰cos 22232300022(1)(1sin )33r d d θππθθθ=--=-⎰⎰4.39π=-三. 验证数项级数1n ∞=+∑收敛,并求其和.解 111nnnn k k k S =====--∑∑∑))1=--=-lim 1n n n S S →∞→∞==-+- 11n =+-=-四. 若函数21sin()(),0,().xxt F x dt x F x t'=≠⎰求 解 2221sin()cos()()x x x t xt F x dt x t ⋅'=+⎰321sin cos()x x t xt dt x=+⎰3221sin 1cos()()2x x xt d xt x x=+⎰321sin 1sin()2x x xt x x =+331sin sin .22x x x x=- 五. 计算曲线积分22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰其中C 是圆周222x y x += 的上半部分,方向从点(0,0)(2,0).O A 到点解 22,(sin ),P x y Q x y =-=-+于是1,1,Q Py x∂∂=-=-∂∂ 由于,Q Py x∂∂=∂∂故积分和路径无关,于是 22()(sin ),CI x y dx x y dy =--+⎰322208.33x x dx ===⎰六.求解一阶常微分方程:220.dy y xy dx x-+= 解 令11,z y y-==则21,dz dy dx y dx =- 原方程化为 2121,dy x y dx x y -⋅=- 即2.dz z x dx x +=(*) 这是一个一阶线性方程.对应的齐次线性方程为20.dz z dx x += 分离变量,得 2,dz dx z x=- 2,dz dxz x =-⎰⎰2ln 2ln ln ln ,z x C Cx -=-+=即2.z Cx -=下面用常数变易法,令 2().z C x x -=则32()()2,dz C x C x dx x x'=-+ 代入原方程,得 322()()2()2,C x C x C x x x x x x'-++⋅=即2(),C x x x '=3(),C x x '=4().4x C x C =+于是得方程(*)的解为 44221,44x x C z C x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故原方程的解为2414,.x y C z x C==+其中为任意常数 七.求解二阶非齐次方程的初值问题:1,(0)(0) 1.x y y e y y ''⎧+=+⎨'==⎩解 原方程可化为两个二阶非齐次方程1y y ''+=…① 和x y y e ''+=…②它们对应的齐次方程都是 0,y y ''+= 特征方程为 210,λ+=通解为12cos sin .y C x C x =+ 对方程①，设特解为,y C =代入后的C =1；对方程②，因1不是特征根，故设特解为,xy Ae =代入方程得 ,x x xAe Ae e +=由此得12.A =于是得原方程的通解为 121cos sin 1.2xy C x C x e =+++由定解条件： 11111(0)1,22y C C ==++⇒=-122201111(0)sin cos ,;222x y C x C x e C C ⎛⎫'==-++=+⇒= ⎪⎝⎭ 故本初值问题的解为1(cos sin ) 1.2xy x x e =-+++ 八.计算曲面积分,S I xdydz ydzdx zdxdy +=++⎰⎰其中S为锥面04,z z =≤≤取外侧.解 如图，A S ++⋃所围区域为Ω，由高斯定理3A S P Q R xdydz ydzdx zdxdy dV V x y z ++Ω⋃⎛⎫∂∂∂++=++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 4, 4.r h == 22116444333V r h πππ==⋅⋅=因此64.A S xdydz ydzdx zdxdy π++⋃++=⎰⎰又 244464.A A A xdydz ydzdx zdxdy zdxdy dxdy ππ+++++===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 64640.S A S A I xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ππ++++⋃=++=-++=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰九.若函数01(),2nn f x x ∞==+∑求证:⑴函数()f x 在区间[0,+∞)上有连续的导数;⑵广义积分()f x dx +∞⎰发散.解 ⑴ 11(),[0,),22n nn u x x x =≤∈+∞+ 2211(),(),[0,),(2)2nn n n u x u x x x ''=-≤∈+∞+ 而级数20011,22n n n n ∞∞==∑∑均收敛，由M 判别法，函数项级数00()()n nn n u x u x ∞∞=='∑∑和 在区间[0,+∞)上一致收敛，于是01()2n n f x x ∞==+∑在区间[0,+∞)上有连续的导数.且201().(2)n n f x x ∞='=-+∑⑵01()2AA nn f x dx dx x∞++==+∑⎰⎰1ln(2)2A Annn n dx x x +∞∞+====++∑∑⎰022ln ln 22n nn A A ∞=⎛⎫++⎛⎫=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,().A →+∞→+∞ 即广义积分()f x dx +∞⎰发散.证毕十.求幂级数121(1)21n nn x n -∞=--∑的收敛半径,收敛域及和函数. 解 令2,u x =原级数为11(1)21n n n u n -∞=--∑. 记 1(1),21n n a n --=-则 1211lim lim 1, 1.21n n n na n l R a n l +→∞→∞-=====+故级数收敛半径为 由于当1x =时,数项级数11(1)21n n n -∞=--∑满足莱布尼兹判别法条件,从而收敛,故原幂级数的收敛区域为[－1,1]. 下面来求和函数.记121(1)(),21n nn f x x n -∞=-=-∑则 12111(1)()(),21n n n f x x g x x n -∞-=-==-∑ 于是2011()()arctan ,1x f x g x dt x x t===+⎰ 121(1)()()arctan .21n nn f x x xg x x x n -∞=-===-∑ 十一.把函数2()4x f x x-=-展开成(2)x -的幂级数,并求其收敛域.解 令2,t x =-则0002(2)11 1.222n n n nn n n t x x ∞∞∞===--⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 收敛域为{}{}{}212222204.2x x x x x x x x ⎧⎫-<=-<=-<-<=<<⎨⎬⎩⎭十二.验证瑕积分2⎰收敛, 并求其值.解 x =1为瑕点,而2121dx dx dx =+⎰⎰⎰1111111012221022;y x dx dx y dy y dy y =---==-===⎰⎰⎰⎰.1111221221122;y x dx dx y dy y =--====⎰⎰⎰故瑕积分2⎰收敛,且其值为2121dx dx dx =+⎰⎰⎰=4.十三.若02,α<≤讨论瑕积分111sin dx x xα⎰的敛散性. 解 令2111,,,y x dx dy x y y===-则于是112201111sin ()sin sin .y I dx y y dy dy x x y y αααα+∞-+∞⎛⎫==-⋅-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰当12,()(2)sin I I ydy αα+∞===⎰都能够发散.当2102,0,,y A yαα-<<由于关于变量单调下降且趋于而对任意正常数积分一致有界:1sin 2.Aydy ≤⎰由Drichlet 判别法,积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰收敛.下面讨论绝对收敛性: 当22sin 121,01,,y y yαααα---><<≤即时当而积分211dy y α+∞-⎰收敛,由比较判别法,广义积分21sin ()yI dy yαα+∞-=⎰绝对收敛; 当2222sin sin 1cos 221,12,,y y yy y yααααα-----≤≤<≥=即时 但由于此时广义积分21cos 2ydy y α+∞-⎰收敛,而广义积分211dy yα+∞-⎰发散,于是 广义积分211cos 2ydy y α+∞--⎰发散,即广义积分21sin ()y I dy yαα+∞-=⎰条件收敛. 十四.设()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增且(0)0,lim ()2;x f f x →+∞== (1) 求证:级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛并求其和;(2) 若函数()0,[0,),f x x ''<∈+∞求证:级数1()n f n ∞='∑也收敛.证 ⑴ 因()(1)0,lim ()lim ()2,n n x a f n f n f n f x →+∞→+∞=--≥==且故 1lim lim[()(1)]lim [()(0)]lim() 2.nn n n n n k S f k f k f n f f n →+∞→+∞→+∞→+∞==--=-==∑因此级数1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,其和为S =2.⑵ 由于()f x 在区间[0,+∞ )上单调递增,故级数1()n f n ∞='∑为正项级数.因 ()0,[0,),f x x ''<∈+∞故()f x ' 在此区间单调递减,而由拉格朗日中值定理,在区间( n －1,n ) 内,必有n ξ,使得()(1)()(),n f n f n f f n ξ''--=≥ 由于1[()(1)]n f n f n ∞=--∑收敛,由正项级数的比较判别法, 级数1()n f n ∞='∑收敛.。

线封密三峡大学试卷班级姓名学号序号《高等数学I (二)》课程 期末考试试卷（A 卷）注意：1、本试卷共3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、填空题(每小题2分，共14分)1、函数)1ln(2222y x y x z --+-=的定义域为 _________________2、已知→→→→→→→+=-+=k i b k j i a 2,4，则→→⋅b a = 。

3、函数333y x xy z --=的驻点为_______________________。

4、函数22y x z -=在点)1,2(处沿)3,1(=l ρ的方向导数)1,2(lz ∂∂= 。

5、⎰=+Lds y x )(22 ，其中4:22=+y x L 。

6、设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________。

7、设)(x f 是周期为π2的周期函数，它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<--=ππx x x f 0,10,1)(，则它的Fourier 级数在x=0收敛于________二、单项选择题(每小题2分，共14分) （请把答案填在下面的表格中）1、设c b a c a b a ρρρρρ,,,⨯=⨯均为非零向量，则（ ）（A ）c b ρρ=； （B ）)(//c b a ρρρ-； （C ）)(c b a ρρρ-⊥； （D ）c b ρρ=。

2、函数),(y x f 在点),(00y x 的全微分存在是),(y x f 在该点连续的（ ）条件。

（A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分，也非必要3、设z z y x 4222=++，则=∂∂yz（ ） (A)zy(B) z y -2 (C) 2-z y (D) z y -4、二次积分⎰⎰10),(x dy y x f dx 改变积分次序为（ ）（A ） ⎰⎰110),(dx y x f dy （B ）⎰⎰10),(x dx y x f dy（C ）210(,)y dx f x y dy ⎰⎰（D ）2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰5、若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ，),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰=Dd y x f σ),(（ ）（A ）0；（B ）2⎰⎰1),(D d y x f σ；（C ）4⎰⎰1),(D d y x f σ； (D)2⎰⎰2),(D d y x f σ。

《高等数学b2》期末考试试卷（A 卷）1．微分方程02=-'+''y y y 的通解为 ( )． （A ）x x e C eC y 221+=-（B ） xex C C y -+=)(21（C ）xxeC e C y 221-+=（D ） )sin cos (21x C x C e y x+=（其中1C 、2C 为任意常数）2．点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离是 ( )． （A ）3（B ） 31（C ）2（D ）53．设二元函数),(y x f 在点),00y x （处的两个偏导数都存在，则函数),(y x f 在该点处（ ）．（A ）连续 （B ）不连续 （C ）可微 （D ）不一定可微 4．0lim =∞→n n u 是级数∑∞=1n nu收敛的（ ）．（A ） 必要非充分条件（B ） 充分非必要条件（C ） 充分必要条件（D ） 既非充分又非必要条件5．设曲线L 的方程为)0(222>=+R R y x ，则⎰+Lds y x 22等于（ ）．（A ）R π2（B ）22R π（C ）R π（D ）2R π6．下列级数中发散的是（ ）．（A ）∑∞=-1)1(n nn（B ）∑∞=121n n （C ） ∑∞=11sin n n（D ） ∑∞=123n n n1．函数xye z =当1=x 、2=y 时的全微分=dz ．2．直线13411:1+=-=-z y x L 与直线1222:2-=-+=zy x L 的夹角=ϕ ．3．若幂级数∑∞=-0)1(n n nx a的收敛半径是1，则该级数在开区间内收敛．4．交换积分次序=⎰⎰1102),(xdy y x f dx．5．已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为．6．函数x x f =)(在),[ππ-上可以展成傅里叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则 =2b．一、选择题（每小题4分，共24分） 二、填空题（每小题4分, 共24分）1．求微分方程x xy dxdy22=-的通解．2．求上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=的交线C 在xOy 面上的投影曲线方程．3．设y x z 2=，且t x cos =，t y sin =，求dtdz ．4．求函数xy y x z 333-+=的极值．5．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域．6．求幂级数∑∞=-11n n nx 的收敛域及和函数．三、计算题（每小题6分，共36分）1．证明曲线积分⎰-++-）（）（（1,20,1324)4()32dy xy x dx y xy 在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值．2．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧．四、计算题（每题8分，共16分）。