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2020-2021高三数学上期中模拟试题带答案(10)

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2020-2021高三数学上期中模拟试题带答案(10)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--5．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-6．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．9．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．(][),42,-∞-+∞UC ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．911．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9B ．92C ．5D ．5212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 16．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 17．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 18．不等式211x x --<的解集是 ． 19．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，1||2||a a b+取得最小值. 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠B AD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 22．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.23．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．24．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 25．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，已知222,3A b c a π=+=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =， ∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．3．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案. 【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.4．B解析：B 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.5．D解析：D 【解析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．6．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.7．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．8．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．9．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.10．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.11．B 解析：B 【解析】【分析】设f（x）1221x x=+-，根据形式将其化为f（x）()1152221x xx x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2，得到f（x）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m≤（1221x x+-）min，由此可得实数m的最大值．【详解】解：设f（x）11222211x x x x=+=+--（0＜x＜1）而1221x x+=-[x+（1﹣x）]（1221x x+-）()1152221x xx x-=++-∵x∈（0，1），得x＞0且1﹣x＞0∴()11221x xx x-+≥-=2，当且仅当()112211x xx x-==-，即x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2∴f（x）1221x x=+-的最小值为f（13）92=而不等式m1221x x≤+-当x∈（0，1）时恒成立，即m≤（1221x x+-）min因此，可得实数m的最大值为9 2故选：B．【点睛】本题给出关于x的不等式恒成立，求参数m的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．12．D解析：D【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.二、填空题13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6 【解析】 试题分析：274sincos 222A B C +-=Q ，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．2222cos c a b ab C =+-Q ，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1016．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.17．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n nS S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 18．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析：{}|02x x <<【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得19．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=，所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++， 又因为0b >，||0a >，所以||14||b a a b +=…， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15144+=； 当0a <时，1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,ab a b a b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析：5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23, 易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21．（1）AC =2）BD =【解析】 【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB 35=，进而可求cos∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ=，sinφ=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos 5θ=-，∴BD =∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ===由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠得：32sinADB=∠，解得：3sin 5ADB ∠=，∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-)()157sin 2cos 7sin22θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cosθ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos θ=AC 百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A 的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ，()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1sin sin 602B B B =+=︒+， 060B ︒<<︒Q ，∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时，sin sin B C +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．23．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 24．（Ⅰ）b =sin A=13.（Ⅱ）26. 【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ， 进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC V 中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =. 由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b == 所以，bsin A的值为13. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 444A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 25．(1)a n ＝2n －1(2)T n ＝21nn + 【解析】 【分析】(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=，再对10100S =化简得到11045100a d +=，最后两式联立，解出1d a 、的值，得出结果；(2)可通过裂项相消法化简求出结果． 【详解】(1)由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩， 解得11d 2a ==，，所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-， (2)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L ． 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． 26．（12【解析】【分析】（1）由222b c a +-=，利用余弦定理可得2cos bc A =,结合3A π=可得结果；（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos bc A =,∵π3A =，∴a A ==（2）∵a =由正弦定理sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π6B =, ∴ππ2C A B =--=.∴1sin 2ABC S ab C ∆==【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.。

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2020-2021高三数学上期中模拟试卷(附答案)(10)

2020-2021高三数学上期中模拟试卷(附答案)(10)

2020-2021高三数学上期中模拟试卷(附答案)(10)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-4．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b5．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．36)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C．3 D ．27．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-8．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5） 9．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．3610．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．511．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为 ．14．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 15．设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=L ____________． 16．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.19．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____． 20．在中，若，则__________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．22．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．23．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？24．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .25．已知向量113,sin cos 22x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 26．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B.3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C5．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：369(3)(6)22a a a a -++-+≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。

数学丨山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案

数学丨山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试数学试卷及答案

保密★启用前2020－2021学年度第一学期期中考试高三数学试题(B)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集U ＝{x|－1≤x<3}，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，则U A ＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<－1或x>2}2.己知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1z z + A.32i + B.12i + C.132i - D.132i + 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x －2B.y ＝2－x C.y ＝|lnx| D.y ＝xsinx4.已知tan α＝2，则sin(α－4π)sin(α＋4π)＝ A.－310 B.－35 C.310 D.35 5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)。

弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin ∠AOB ＝A.34B.725C.1225D.24256.在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB xAB yAC =+，则A.x ＋2y ＝0B.2x ＋y ＝0C.x －2y ＝0D.2x －y ＝07.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝Asin ωx 图象A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.定义域为(－2π，2π)的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为f'(x)，当0<x<2π时，有f'(x)cosx ＋f(x)sinx<0成立，则关于x 的不等式2f(4π)·cosx 的解集为 A.(－2π，－4π)∪(4π，2π)B.(4π，2π) C.(－4π，0)∪(0，4π) D.(－4π，0)∪(4π，2π) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学期中试卷带答案解析

高三数学期中试卷带答案解析

高三数学期中试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知x、y是[0，1]上的两个随机数，则点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线的距离的概率为A． B． C． D．2.以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为（）A． B． C． D．3.定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．4.函数的图象与的图象的对称轴相同，则的一个递增区间为（）A． B． C． D．5.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒6.函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A． B． C． D．7.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时, 等于（）A．6 B．7 C．8 D．98.设为虚数单位，则（）A． B． C．2 D．-29.直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的斜率为()．A．－1 B．－2 C．1 D．210.已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A．3 B．. C． D．11.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（0，） C．（，0） D．（，0）12.设集合S={x∈N|0<x<6}，T={4,5,6}，则S∩T =A．{1,2,3,4,5,6}B．{1,2,3}C．{4,5}D．{4,5,6}13.设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是A．若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥αB．若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或lαC．若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β或lβ14..已知，则的值为（）A． B． C． D．15.若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为()A．[-1,]B．[-1,1]C．[1,]D．[-,-1]16.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A． B． C． D．17.设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，，若（为实数），则的最大值为A．4 B．3 C．-1 D．-218.某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号…、19号、20号。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg （x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（ ）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）2.（单选题.4分）已知a.b∈R .则“a ＞|b|”是“|a|＞|b|”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.34.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ） A.B.C.D.5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=√3sin(x2+π3)B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x+π3)D. f(x)=32sin(x+2π3)6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.47.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x2-2x8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a1.a2.a3.a4）.且满足a2-a1≥3.a3-a2≥4.a4-a3≥5.则这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是（）A. C84B. C114C. C144D. C1649.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √510.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α11.（填空题.6分）已知复数z 满足z （3-i ）=10.则复数z 的虚部等于___ .复数z 的模等于___ ．12.（填空题.6分）在二项式 (x 2−1x )5 的展开式中.二项式系数之和是___ .含x 4的项的系数是___ ．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109 .则p=___ ；P （X=1）=___ ．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ． 17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b 3 +xlna.若存在x 0∈[ a 3.b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 b a 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B ；（2）若角B 为锐角.sin A 2 = √6−√24 .BC 边上中线长AD= √7 .求△ABC 的面积．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD 为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E 为BC 中点.C′在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．（1）求证：BD⊥A′H ；（2）求直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值．20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n.且满足a1=4.a n+1=3S n+4（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；．（2）设数列{b n}满足a n b n=log2a n.数列{b n}的前n项和为T n.求证：T n＜8921.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、时.|AB|=8．B两点.当直线l的倾斜角为π4（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．.g（x）=ax+b．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；图象的切线.求a+b的最小值；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）【正确答案】：C【解析】：求解对数型函数的定义域化简集合A.然后直接利用交集运算求解．【解答】：解：由x+1＞0.得x＞-1∴A=（-1.+∞）.B={x||x|＜2}=（-2.2）∴A∩B=（-1.2）．故选：C．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了对数函数的定义域.是基础题．2.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.再利用充分必要条件的定义分析即可．【解答】：解：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.∴由a＞|b|可推出|a|＞|b|.由|a|＞|b|推不出a＞|b|.故“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义及绝对值的含义.属于基础题．3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.3【正确答案】：B【解析】：利用约束条件画出可行域.通过可行域求解顶点坐标.然后求解可行域的面积．【解答】：解：根据题中所给的约束条件.画出其对应的区域如下图所示.其为阴影部分的三角区.解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1.0）.（2.1）.（4.0）.根据三角形的面积公式可以求得S= 12×(4−1)×1 = 32 ．故选：B ．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.通过数形结合是解决本题的关键.是中档题．4.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数.再求出f（12）.则答案可求．【解答】：解：函数f（x）=xln 1+x1−x的定义域为（-1.1）.由f（-x）=-xln 1−x1+x =xln 1+x1−x=f（x）.得f（x）为偶函数.排除A.C；又f（12）= 12ln1+121−12=12ln3＞0.排除D．故选：B．【点评】：本题考查函数的图象与图象变换.考查函数奇偶性的应用.是中档题．5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f (x )=√3sin (x 2+π3) B. f (x )=√3sin (x 2+2π3) C. f (x )=32sin (x +π3)D. f (x )=32sin (x +2π3) 【正确答案】：B【解析】：由函数f （x ）的部分图象求出A 、φ和ω的值.即可求出f （x ）的解析式．【解答】：解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知.A= √3 ；又f （0）= √3 sinφ= 32 .解得sinφ= √32 ；又0＜φ＜π.所以φ= π3 .或 2π3 ；当φ= π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 710 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 710 .没有选项满足题意；当φ= 2π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ 2π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 12 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 12 .f （x ）= √3 sin （ x 2 + 2π3 ）.选项B 满足题意．故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了数形结合思想.是基础题．6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.4【正确答案】：A【解析】：画出几何体的直观图.判断两点间的最大值的位置.求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是直观图如图.是长方体的一部分.该几何体中任意两个顶点间的最大值应该是EB.AF.BD中的一个.EB= √ED2+AD2+AB2 = √4+4+9 = √17．AF= √AD2+DE2+EF2 = √4+4+4 = √12 .BD= √22+32 = √13．故选：A．【点评】：本题考查三视图的直观图的应用.判断棱长以及计算求解是解题的关键．7.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x 2-2x 【正确答案】：B【解析】：运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y.取x= π8 .可判断A ；由函数的单调性和值域.可判断B ；由指数函数的值域即可判断C ；运用配方法.可取x=3可判断D ．【解答】：解：由y=sinxcosx+cos 2x= 12 sin2x+ 1+cos2x2= 12+ √22sin （2x+ π4）.由f （x ）+f （y ）=1+ √22sin （2x+ π4）+ √22sin （2y+ π4）=0. 取x= π8 .可得sin （2y+ π4 ）=-1- √2 ＜-1.y 不存在.故A 不为“H 函数”； 由y=lnx+e x .且f （x ）+f （y ）=lnx+e x +lny+e y =0. 由于y=lnx+e x 递增.且x→0.y→-∞；x→+∞.y→+∞.即有任一个x （x ＞0）.可得唯一的y.使得f （x ）=-f （y ）.故B 为“H 函数”； 由y=2x 可得2x ＞0.2x +2y =0不成立.故C 不为“H 函数”；由y=x 2-2x.若f （x ）+f （y ）=x 2-2x+y 2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0. 可取x=3.可得y 无解.故D 不为“H 函数”． 故选：B ．【点评】：本题主要考查函数与方程之间的关系.将条件转化为f （x ）+f （y ）=0是解决本题的关键．8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）.且满足a 2-a 1≥3.a 3-a 2≥4.a 4-a 3≥5.则这样的四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数是（ ）A. C 84B. C 114C. C 144D. C 164【正确答案】：B【解析】：将a 1连同其右边的2个空位捆绑.a 2连同其右边的3个空位捆绑.a 3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数相当于从11个元素中选取4个.【解答】：解：将a1连同其右边的2个空位捆绑.a2连同其右边的3个空位捆绑.a3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数相当于从11个元素中选取4个.故这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是C114．故选：B．【点评】：本题考查了计数原理.组合数的原理.考查了捆绑法的使用．属于中档题．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √5【正确答案】：C【解析】：由函数在[2.b]上恰好有2个零点可得.可得零点必在区间的端点.讨论零点为2和b 时.解得a的值.将a的值代入使得函数值f（b）=0求出b的值即可．【解答】：解：因为函数f（x））=|x2+ax-2|-6在[2.b]上恰有两个零点.所以必在x=2与x=b 时恰好取到零点的最小值和最大值.若x=2.f（x）的零点满足f（2）=|22+2a-2|-6=0.解得a=2.或a=-4.当a=2.f（x）=|x2+2x-2|-6.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2+2b-2|-6=0.且b＞2.解得b=2（舍）或b=-4（舍）.当a=-4时.f（x）=|x2-4x-2|-6且b＞2.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2-4b-2|-6=0.b＞2.所以|b2-4b-2|=6.即b2-4b-2=-6整理b2-4b+4=0.解得b=2（舍）.或b2-4b-8=0解得：b=2-2 √3（舍）或b=2+2 √3 .综上所述.当b=2+2 √3时满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点．故答案为：2+2 √3．故选：C．【点评】：本题考查函数的零点和方程根的关系.属于中档题．10.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α 【正确答案】：A【解析】：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a.三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时.△CEF 的面积最大.由 S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 .得a= 12 时.△CEF 的面积最大.利用向量法能求出结果．【解答】：解：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a. 三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时. △CEF 的面积最大.S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 . ∴a= 12 时.△CEF 的面积最大.此时.A （2.0.0）.C （0.2.0）.E （0.1.0）.F （1.2.0）.A′（2.0.2）.C′（0.2.2）. EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.0）. EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.0）. EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.2）. EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.0）. EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. 平面EFC 的法向量和平面EFA 的法向量都是 m ⃗⃗ =（0.0.1）. 设平面EFC′的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •EF⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0 .取z=1.得 n ⃗ =（2.-2.1）.∴cosα= |n ⃗ •m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |•|m ⃗⃗⃗ |= 13 ≈0.333. 设平面EFA′的法向量 p =（x.y.z ）.则 {p •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0p •EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +2z =0 .取x=2.得 p =（2.-2.-3）.∴cosβ= |n ⃗ •p ||n ⃗ |•|p |= 3√17. cosγ= |m ⃗⃗⃗ •p ||m ⃗⃗⃗ |•|p | = √17. ∴α＞β＞γ． 故选：A ．【点评】：本题考查二面角的大小的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.6分）已知复数z满足z（3-i）=10.则复数z的虚部等于___ .复数z的模等于___ ．【正确答案】：[1]1; [2] √10【解析】：根据复数的基本运算法则求出复数z.从而得到复数z的虚部和模长．【解答】：解：∵z（3-i）=10.∴ z=103−i=3+i.∴|z|= √32+12=√10 .∴复数z的虚部等于1.复数z的模等于√10 .故答案为：1. √10．【点评】：本题主要考查复数的概念.考查了复数模长的计算.比较基础．12.（填空题.6分）在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是___ .含x4的项的系数是___ ．【正确答案】：[1]32; [2]10【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于4.求出r的值.即可求得含x4的项的系数．【解答】：解：在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是 25=32.通项公式为 T r+1= C5r•（-1）r•x10-3r.令10-3r=4.求得r=2.可得含x4的项的系数是C52 =10.故答案为：32；10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109.则p=___ ；P （X=1）=___ ． 【正确答案】：[1] 13 ; [2] 80243【解析】：利用二项分布的期望与方差.求出n.p.然后求解P （X=1）即可．【解答】：解：随机变量X 服从二项分布B （n.p ）. E （X ）= 53.D （X ）= 109 . 则np= 53 .np （1-p ）= 109 . 解得p= 13 .n=5.P （X=1）=C 51（ 13 ）•（ 23 ）4= 80243 ． 故答案为： 13 . 80243．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差的求法.二项分布的应用.考查计算能力．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]（5.6）【解析】：先由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.当n=1.得a 2.再由 {na n −(n −1)a n+1=2(n +1)a n+1−na n+2=2可得：a n +a n+2=2a n+1.即可得数列{a n }为等差数列.结合当n≠5时.都有S n ＜S 5.即可求得S 5的取值范围．【解答】：解：∵n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）. ∴当n=1时.得a 1=2.又由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.可得：（n+1）a n+1-na n+2=2. 两式相减整理得：a n +a n+2=2a n+1. ∴数列{a n }为等差数列. 又∵a 1=2＞0.S 5最大. ∴公差d ＜0.a 5＞0.a 6＜0. 即 {2+4d ＞02+5d ＜0⇒- 12 ＜d ＜- 25 .又S 5=5a 3=5（2+2d ）=10（d+1）.∴S 5∈（5.6）.故答案为：2；（5.6）．【点评】：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及数列的单调性的应用.属于基础题．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：首先对关系式进行变换.进一步利用不等式的应用和均值不等式的应用求出结果．【解答】：解：设b ＞0.a-b 2=1.则a=1+b 2.所以a 2=（1+b 2）2 所以 1a = 11+b 2 .则： 4a + a 22b = 41+b 2 + (1+b 2)22b≥2 √41+b 2×(1+b 2)22b=2 √2(1+b 2)b. 由于b ＞0. 所以2(1+b 2)b=2（ 1b +b ）≥2×2 √1b×b =4.（当且仅当b=1时.等号成立）当b=1时. 41+b 2 = (1+b 2)22b =2.故 √2(1+b 2)b≥2. 所以 4a + a 22b 的最小值为2×2=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的变换.基本不等式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：建立坐标系.设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.求出 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.即可得出结论．【解答】：解：设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.则A （cosα.sinα）. B （0.0）.C （a.0）.D （a-cosβ.sinβ）. ∴M （a+cosα−cosβ2 . sinα+sinβ2 ）.N （ a2.0）. ∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ cosα−cosβ2. sinα+sinβ2）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα.-sinα）. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosβ.-sinβ）. ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα-cosβ.-sinα+sinβ）.∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 12 （cos 2α-cos 2β）+ 12 （sin 2β-sin 2α）=- 12 （cos 2α+sin 2α）+ 12 （cos 2β+sin 2β）=0. 又 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ || NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ PQ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =0. 故答案为：0．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.建立坐标系可使运算较简单．17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b3 +xlna.若存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 ba 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（ 13 . 3e ]【解析】：设h （x ）=f （x ）-g （x ）.由f （x 0）≤g （x 0）.结合函数的单调性.分类讨论.最后综合讨论结果.可得 ba 的取值范围．【解答】：解：设h （x ）=f （x ）-g （x ）=xlnx+ b3 -xlna.存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.∴ a3 ＜b.a ＞0.即 ba ＞13 . ∵h′（x ）=lnx+1-lna=ln xa +1. ∵x 0∈[ a3 .b]. ∴x 0≥ a 3 . x0a ≥ 13 .令ln xa +1＞0.即当x＞ae时.h（x）单调递增.当a3＜x＜ae时.h′（x）＜0.h（x）单调递减.若b≤ ae .即ba∈（13. 1e]时.h（x）在[ a3.b）上单调递减.∴h（x）min=h（b）=bln ba + b3≤0.对ba∈（13. 1e]恒成立.若当a3＜ae＜b.即ba∈（1e.+∞）时.h（x）在[ a3.b]上先减后增.∴h（x）min=h（ae ）= aeln ae- aelna+ b3≤0.∴- ae + b3≤0. ba≤ 3e.即1e ＜ba≤ 3e.综上所述. ba 的取值范围为（13. 3e].故答案为：（13 . 3e ]．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性.函数恒成立问题.熟练掌握导数法求函数的单调性和最值的方法和步骤是解答的关键.属于难题．18.（问答题.14分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B；（2）若角B为锐角.sin A2 = √6−√24.BC边上中线长AD= √7 .求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.两角和的正弦公式化简已知等式可得sinB（1-2sinB）=0.结合sinB≠0.可求sinB= 12.结合B为三角形内角.可求B的值．（2）由已知及（1）可得B= π6 .利用二倍角公式可求cosA= √32.结合范围A ∈(0，5π6) .可求A= π6 .C= 2π3.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理解得x的值.可得AC=BC=2.利用三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为acosC+ccosA-2bsinB=0.所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA-2sinBsinB=0.所以sin（A+C）-2sinBsinB=0.可得sinB（1-2sinB）=0. 又因为sinB≠0.所以sinB= 12.因为B为三角形内角.所以B= π6 .或5π6．（2）若角B为锐角.由（1）可得B= π6.因为cosA=1-2sin2A2 =1-2（√6−√24）2= √32.因为A ∈(0，5π6) .所以A= π6.所以△ABC为等腰三角形.且C= 2π3.在△ABC中.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理可得AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cos 2π3=7x2=7.解得x=1.所以AC=BC=2.所以S△ABC= 12AC•BC•sinC= √3 .所以三角形的面积为√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理.两角和的正弦公式.二倍角公式.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E为BC中点.C′在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A′H；（2）求直线BD与平面BCC′B′所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明BD⊥平面A′C′H 即可得出BD⊥A′H ；（2）计算C′H .建立空间直角坐标系.求出平面BCC′B′的法向量 n ⃗ .计算 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 n ⃗ 的夹角得出线面角大小．【解答】：（1）证明：连接A′C′. ∵AA′ || CC′.AA′=CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形.∴AC || A′C′. ∵四边形ABCD 是菱形.∴BD⊥AC . ∴BD⊥A′C′.∵C′H⊥平面ABCD.∴C′H⊥BD . 又C′H∩A′C′=C′.∴BD⊥平面A′C′H .又A′H⊂平面A′C′H . ∴BD⊥A′H ．（2）解：∵E 是BC 的中点.∴BE=CE . ∵AB || CH .∴∠CHE=∠BAE .又∠CEB=∠BEA . ∴△ABE≌△BCE .∴BC=AB=2. 又CC′=4.C′H⊥CH .∴C′H= √CC′2−CH 2 =2 √3 .以H 为原点.以HD 为x 轴.以HC′为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则D （4.0.0）.C （2.0.0）.B （3. √3 .0）.C′（0.0.2 √3 ）. ∴ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.- √3 .0）. BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.- √3 .0）. CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.2 √3 ）.设平面BCC′B′的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {−x −√3y =0−2x +2√3z =0 . 令x= √3 可得 n ⃗ =（ √3 .-1.1）. ∴cos ＜ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . n ⃗ ＞= BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= 2√32×√5 = √155. ∴直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值为 √155．【点评】：本题考查了线面垂直的判定.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n .且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足a n b n =log 2a n .数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T n ＜ 89 ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式.求出新数列的通项公式.进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】：解：（1）各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *） ① ． 则：a n =3S n-1+4 ② . ① - ② 得：a n+1=4a n .即：a n+1a n=4 .当n=1时.解得：a1=4.所以：a n=4•4n−1=4n．证明：（2）数列{b n}满足a n b n=log2a n.所以：b n=2n4n.T n=241+442+…+ 2n4n① .则：14T n=242+443+…+ 2n4n+1② .① - ② 得：34T n=2(14+142+⋯+14n)−2n4n+1.= 2(14(1−14n)1−14)−2n4n+1.解得：T n=89−6n+89•4n＜89．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.乘公比错位相减法在数列求和中的应用．21.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、B两点.当直线l的倾斜角为π4时.|AB|=8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设直线l的方程为y=x- p2.代入抛物线的方程.运用韦达定理和弦长公式.可得p.进而得到抛物线的方程；（2）可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.求得|AB|.D的坐标；直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.可得E和|MN|.A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.运用直角三角形的勾股定理.解方程可得所求直线方程．【解答】：解：（1）设直线l的方程为y=x- p2代入y2=2px.可得x2-3px+ p24=0.于是|AB|=x1+x2+p=4p=8.可得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x；（2）由题意可得l与坐标轴不垂直.所以可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x.可得y2-4my-4=0.设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则y1+y2=4m.y1y2=-4.所以AB的中点为D（2m2+1.2m）.|AB|=4m2+4.又直线l'的斜率为-m.所以直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3．将上式代入y2=4x.整理可得y2+ 4my-4（2m2+3）=0.设M（x3.y3）.N（x4.y4）.则y3+y4=- 4m.y3y4=-4（2m2+3）.则MN的中点E的纵坐标为- 2m.所以MN的中点E（2m2+ 2m2 +3.- 2m）.|MN|= √1+1m2 |y3-y4|= √1+1m2• √(−4m)2+16(2m2+3) = 4(m2+1)√2m2+1m2.由于MN垂直平分AB.所以A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.从而14 |AB|2+|DE|2= 14|MN|2.即4（m2+1）2+（2m+ 2m）2+（2m2+2）2= 4(m2+1)2(2m2+1)m4.化简可得m2-1=0.解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.以及直线和抛物线的位置关系.注意联立直线方程和抛物线的方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x.g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线.求a+b的最小值；（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）【正确答案】：【解析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x）.求其导函数.结合h（x）在（0.+∞）上单调递增.可得对∀x＞0.都有h′（x）≥0.得到a≤ 1x + 1x2.即可得到a的取值范围；（2）设切点（x0.lnx0- 1x0）.可得a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.利用导数求其最小值；（3）先判断lnx1x2-2× x1+x2x1x2 = x1+x2x2−x1ln x2x1＞2.令令G（x）=lnx- 2x.再由导数确定G（x）在（0.+∞）上单调递增.然后结合又ln √2 e-√2e = 12ln2+1- √2e≈0.85＜1.即x1x2＞2e2．【解答】：解：（1）：h（x）=f（x）-g（x）=lnx- 1x-ax-b.则h′（x）= 1x + 1x2-a.∵h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.∴对∀x＞0.都有h′（x）= 1x + 1x2-a≥0.即对∀x＞0.都有a≤ 1x + 1x2.∵ 1 x + 1x2＞0.∴a≤0.故实数a的取值范围是（-∞.0]；（2）：设切点（x0.lnx0- 1x0）.则切线方程为y-（lnx0- 1x0）=（1x0+ 1x02）（x-x0）.即y=（1x0+1 x02）x-（1x0+ 1x02）x0+（lnx0- 1x0）.亦即y=（1x0 + 1x02）x+（lnx0- 2x0-1）.令1x0=t.由题意得a=t+t2.b=-lnt-2t-1.令a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.则φ′（x）=- 1t +2t-1= (2t+1)(t−1)t.当t∈（0.1）时.φ'（t）＜0.φ（t）在（0.1）上单调递减；当t∈（1.+∞）时.φ'（t）＞0.φ（t）在（1.+∞）上单调递增. ∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1.故a+b的最小值为-1；（Ⅲ）：由题意知lnx1- 1x1 =ax1.lnx2- 1x2=ax2.两式相加得lnx1x2- x1+x2x1x2=a（x1+x2）.两式相减得ln x2x1 - x1−x2x1x2=a（x2-x1）.即ln x2x1x2−x1+ 1x1x2=a.∴lnx 1x 2- x 1+x 2x 1x 2 =（ ln x2x1x 2−x 1 + 1x 1x 2）（x 1+x 2）.即lnx 1x 2-2× x 1+x 2x 1x 2= x 1+x2x 2−x 1ln x2x1. 不妨令0＜x 1＜x 2.记t= x2x 1＞1.令F （t ）=lnt- 2(t−1)t+1（t ＞1）.则F′（t ）= (t−1)2t (t+1) ＞0.∴F （t ）=lnt-2(t−1)t+1在（1.+∞）上单调递增. 则F （t ）＞F （1）=0. ∴lnt ＞2(t−1)t+1.则ln x 2x 1 ＞2(x 2−x 1)x 1+x 2. ∴lnx 1x 2-2×x 1+x 2x 1x 2 = x 1+x 2x 2−x 1 ln x2x 1 ＞2. ∴lnx 1x 2-2× x 1+x2x 1x2＜lnx 1x 2- 4√x 1x2x 1x 2=√x x =2ln √x 1x 2 - √x x . ∴2ln √x 1x 2 - √x x 2.即ln √x 1x 2 - √x x ＞1令G （x ）=lnx- 2x .则x ＞0时.G′（x ）= 1x + 2x 2 ＞0. ∴G （x ）在（0.+∞）上单调递增. 又ln √2 e-√2e= 12 ln2+1- √2e ≈0.85＜1. ∴G （ √x 1x 2 ）=ln √x 1x 2 - √x x 1＞ln √2 e- √2e . 则 √x 1x 2 ＞e. 即x 1x 2＞2e 2．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查了利用导数求函数的最值.体现了数学转化思想方法和函数构造法.本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力.难度较大．。