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3.4简单的线性规划问题(二)

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§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(二)学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(重点)；3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题(难点).预习教材P99－100完成下列问题： 知识点 基本不等式求最值 1.理论依据：(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2.基本不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值.(3)等号成立的条件是否满足.3.利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正. (2)和或积为定值.(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性.【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(2)两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值.( )提示(1)当x＞0时，x＋1x≥2(当且仅当x＝1时等号成立).当x＜0时，y＝x＋1x＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x－1x≤－2(当且仅当x＝－1时等号成立).(2)不一定，应用不等式求最值时还要求等号能取到，如：sin x与4sin x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值.但是由于0＜sin x≤1知sin x≠2，所以sin x＋4sin x＞2sin x·4sin x＝4，等号不成立，取不到最小值.答案(1)×(2)×题型一利用基本不等式求函数的最值【例1】(1)若x＜0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(2)若x＞2，求f(x)＝1x－2＋x的最小值；(3)已知0＜x＜12，求f(x)＝12x(1－2x)的最大值；(4)已知x＞1，求函数y＝x2＋2x－1的最小值.解(1)因为x＜0，所以f(x)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－12x＋（－3x）≤－2⎝⎛⎭⎪⎫－12x·（－3x）＝－12，当且仅当－12x＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以f(x)的最大值为－12.(2)因为x＞2，所以x－2＞0，f(x)＝1x－2＋x－2＋2≥2（x－2）·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时等号成立，所以f(x)的最小值为4.(3)因为0＜x＜12，所以1－2x＞0，f(x)＝12x(1－2x)＝14·2x(1－2x)≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x＋（1－2x）22＝116，当且仅当2x＝1－2x，即x＝14时等号成立，所以f(x)的最大值为116.(4)因为x ＞1，所以x －1＞0.设t ＝x －1(t ＞0)，则x ＝t ＋1，所以y ＝x 2＋2x －1＝（t ＋1）2＋2t ＝t ＋3t ＋2≥2t ·3t ＋2＝23＋2，当且仅当t ＝3t ，即t ＝3，x ＝3＋1时等号成立，所以f (x )的最小值为23＋2. 规律方法 利用基本不等式求最值的策略【训练1】 下列各函数中，最小值为2的是( ) A.y ＝x ＋1xB.y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.y ＝x 2＋3x 2＋2D.y ＝x ＋1x解析 对于A ，∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x≥2x1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号.选项B ，C 中等号取不到，选项D 中，x <0时，没有最小值，故选A. 答案 A题型二 利用基本不等式解决实际应用问题【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解 (1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x. 则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1). (2)8010⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米. 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.【训练2】 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.【探究1】 已知x ＞0，y ＞0且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________. 解析 法一 (1的代换)：因为1x ＋9y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y . 因为x ＞0，y ＞0，所以y x ＋9x y ≥2y x ·9xy ＝6，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x ①时，取“＝”. 又1x ＋9y ＝1，②解①②可得x ＝4，y ＝12.所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法二 (消元法)：由1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.因为x ＞0，y ＞0，所以y ＞9.所以x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. 因为y ＞9，所以y －9＞0， 所以(y －9)＋9y －9≥2（y －9）·9y －9＝6.当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时，取“＝”，此时x ＝4，所以当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值是16. 法三 (构造定值)：因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1， 所以x ＞1，y ＞9.由1x ＋9y ＝1，得y ＋9x ＝xy ⇒xy －9x －y ＋9－9＝0⇒(x －1)(y －9)＝9(定值). 所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2（x －1）（y －9）＋10＝2×3＋10＝16.当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值是16. 答案 16【探究2】 已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析 因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋b ＞0，所以要使2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，只需m ≤(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立，而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝4＋2a b ＋2b a ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以m ≤9. 答案 B【探究3】 已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则x ＋yxy 的最小值是________.解析 x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，可得x ＋3y ＝1.x ＋y xy ＝（x ＋y ）（x ＋3y ）xy ＝x 2＋3y 2＋4xy xy ＝x 2＋3y 2xy ＋4≥2x 2·3y 2xy ＋4＝23＋4.当且仅当x ＝3y ，x ＋3y ＝1，即y ＝13＋3＝3－36，x ＝33＋3＝3－12时取等号.x ＋yxy 的最小值是23＋4. 答案 23＋4【探究4】 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________. 解析 正数x ，y 满足x ＋y ＝1， 即有(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4（y ＋1）x ＋2≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4（y ＋1）x ＋2＝14×(5＋4)＝94， 当且仅当x ＝2y ＝23时，取得最小值94.答案 94规律方法 利用基本不等式求条件最值的常用方法(1)“1”的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值. (2)构造法：①构造不等式：利用ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，将式子转化为含ab 或a ＋b 的一元二次不等式，将ab ，(a ＋b )作为整体解出范围；②构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数，利用函数的单调性求最值.课堂达标1.下列函数中，最小值为4的函数是()A.y＝x＋4 xB.y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C.y＝e x＋4e－xD.y＝log3x＋log x81解析A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C.答案 C2.函数y＝x2－x＋1x－1(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于()A.1＋ 2B.2C.3D.4解析y＝x（x－1）＋1x－1＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立. 答案 B3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).∵要求够用且浪费最少，故选C. 答案 C4.函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________. 解析 ①当x ∈(0，2)时， x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2， 当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立. ②当x ≤0或x ≥2时， f (x )≤0， 故f (x )max ＝2. 答案 2课堂小结1.利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. (3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x＋px (p >0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.基础过关1.已知x ＞1，y ＞1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4 B.2 C.1D.14解析 ∵x ＞1，y ＞1，∴lg x ＞0，lg y ＞0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号. 答案 A2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A.2 2 B.4 2 C.16D.不存在解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立. 答案 B3.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)的最小值为( ) A.－3 B.3 C.4D.－4解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2（x －1）·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立. 答案 B4.周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为________.解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.答案 145.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨.解析 总运费与总存储费用之和f (x )＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x ＝160，当且仅当4x ＝1 600x ，即x ＝20吨时，f (x )最小.答案 206.已知x ，y ＞0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的取值范围.解 因为x ，y 是正实数，故30＝x ＋2y ＋xy ≥22xy ＋xy ，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时，等号成立.所以xy ＋22xy －30≤0.令xy ＝t ，则t ＞0，得t 2＋22t －30≤0，解得－52≤t ≤3 2.又t ＞0，知0＜xy ≤32，即xy 的取值范围是(0，18].7.已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋b y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值.解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即y x ＝b a 时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18，又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.能力提升8.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正实数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) A.12B.－12C.1D.－1 解析 ∵a ⊥b 则a ·b ＝0，∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y 时，等号成立.答案 A9.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( ) A.14 B.12C.2D.4解析 圆方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1，2)，半径为2，若直线被截得弦长为4，说明圆心在直线上，即－2a －2b ＋2＝0，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，等号成立.答案 D10.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示)，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大.解析 二次函数顶点为(6，11)，设为y ＝a (x －6)2＋11，代入(4，7)得a ＝－1，∴y ＝－x 2＋12x －25，年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ·25x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立.答案 511.已知x ，y 为正实数，若x ＋2y ＝1，则x 2＋y 2＋x xy的最小值为________. 解析 x 2＋y 2＋x xy ＝x y ＋y x ＋1y ＝x y ＋y x ＋x ＋2y y ＝2x y ＋y x ＋2≥22＋2(当且仅当2x y ＝y x ，即x ＝122＋1，y ＝222＋1时，等号成立)； 故答案为：22＋2.答案 22＋212.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x (x ∈N *，x ≤16)年末可以以(80－5x )万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x 年末所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值；(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由.解 (1)y ＝22x ＋(80－5x )－100－(2＋4＋…＋2x )＝－20＋17x －12x (2＋2x )＝－x 2＋16x －20＝－(x －8)2＋44(x ≤16，x ∈N *)，由二次函数的性质可得，当x ＝8时，y max ＝44，即有总利润的最大值为44万元.(2)年平均利润为y x ＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，设f (x )＝16－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋20x ，x ＞0， 由x ＋20x ≥2x ·20x ＝45，当x ＝25时，取得等号.由于x 为整数，且4＜25＜5，f (4)＝16－(4＋5)＝7，f (5)＝7，即有x ＝4或5时，f (x )取得最大值，且为7万元.故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.13.(选做题)设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值.解(1)∵a，b为正实数，且1a＋1b＝22≥21ab(a＝b时等号成立).即ab≥12(a＝b时等号成立).∵a2＋b2≥2ab≥2×12＝1(a＝b时等号成立).∴a2＋b2的最小值为1.(2)∵1a＋1b＝22，∴a＋b＝22ab，∵(a－b)2≥4(ab)3，∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3即(22ab)2－4ab≥4(ab)3.即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，∵a，b为正实数，∴ab＝1.。

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(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

(完整版)简单的线性规划问题(附答案)

简单的线性规划问题[ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的截距是z， b b b当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值；当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值y≤2，例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( )x－y≤1，A ． 12B ．11C ．3D ．－ 1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经y＝2，x＝ 3，过点 A 时， z 取得最大值．由 ? 此时 z＝3x＋ y＝ 11.x－y＝ 1 y＝2，x＋y－2≤0，跟踪训练 1 (1)x，y满足约束条件 x－2y－2≤0，若 z＝y－ ax取得最大值的最优解不唯．一．2x－y＋2≥0，则实数 a 的值为 ( )11 A.2或－1 B．2 或2C．2 或 1 D． 2 或－ 1x－y＋1≤0，(2)若变量 x，y 满足约束条件 x＋2y－8≤0，则 z＝3x＋ y 的最小值为x≥0，答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由 y＝ax＋z知 z的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝ y－ ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝－ 1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数 z＝ 3x＋ y，即 y＝－ 3x＋z 过点(0,1)时 z 取最小值 1.题型二非线性目标函数的最值问题x－y－2≤0，例 2 设实数 x，y 满足约束条件 x＋ 2y－ 4≥ 0，求2y－3≤0，（1）x 2＋y 2的最小值； （2）x y 的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域 ABC ，（1）令 u ＝ x 2＋ y 2，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ， y ）与原点的距离的平方．过原点向直线 x ＋2y －4＝0作垂线 y ＝2x ，则垂足为 x ＋2y －4＝0， 的解，即 54，85 ，y ＝2x 5 5x ＋2y －4＝0，又由2y －3＝0， 所以垂足在线段 AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为13， 2，（2）令 v ＝ x y ，其几何意义是可行域 ABC 内任一点 （x ，y ）与原点相连的直线 l的斜率为 v ，即 v x y － 0＝ .由图形可知，当直线 l 经过可行域内点 C 时， v 最大， x －0 由 （1）知 C 1， 32 ，答案 10解析 画出可行域 （如图所示 ）．（x ＋3）2＋ y 2即点 A （－3,0）与可行域内点 （x ， y ）之间距离的平 方．显然 AC 长度最小，∴AC 2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即 （x ＋3）2＋y 2的最小值为 10. 题型三 线性规划的实际应用得 C1， 2 ，所以， 13 x 2＋y 2 的最小值为 143.所以 v max ＝32，所以 y x 的最大值为 23.跟踪训练 2 已知 x ，y 满足约束x ≥ 0，y ≥ 0， 则（x ＋3）2＋y 2的最小值为x ＋y ≥ 1，|OC|＝例 3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A， B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？x＋2y≤12，2x＋解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品 y 桶，相应的利润为 z 元，于是有y≤12，x≥ 0，y≥0， x∈N， y∈N，z＝ 300x＋ 400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300x＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z＝ 300x＋ 400y 取得最大值，最大值是 z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：① 分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练 3 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买 x 张、 y 把，目标函数 z＝ x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤2 000，y≥x，y≤1.5x，x≥ 0，x∈N*，y≥0，y∈N*.200 x＝，50x＋20y＝2 000，7由解得y＝ x，200y＝7，C ．90D ．955x － 11y ≥－ 22， 2x ＋ 3y ≥9，2．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条件 2x ≤ 11， x ∈N *，y ∈N *， ＝10x ＋10y 的最大值是 ( ) A ．80所以 A 点的坐标为 2700200 750x ＋20y ＝2 000， 由y ＝ 1.5 x ，解得 x ＝ 25， 75 y＝ 2 ，所以 B 点的坐标为 25，752 所以满足条件的可行域是以A2002070 ， B 25，725 ，O(0,0)为顶点的三角形区域 (如图 )．由图形可知，目标函数 z ＝x ＋ y 在可行域内的最优解为 B 25， 75但注意到 x ∈ N *，y ∈N *，x ＝ 25， 故取 y ＝37.故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择．x ＋y －3≤ 0，1．若直线 y ＝2x 上存在点 ( x ， y)满足约束条件 x －2y －3≤0，则实数 m 的最大值为 ( )A ．－ 1B ．1 C.32D ．2则z B ．85C ．－ 2，－ 1D ．－ 1，－ 2A ．－ 1,4B ．－1， －3y ≤1，3．已知实数 x ，y 满足 x ≤1， 则 z ＝x 2＋y 2 的最小值为 ___x ＋y ≥1，、选择题若点 (x, y)位于曲线 y ＝ |x|与 y ＝ 2 所围成的封闭区域， 则 2x － y 的最小值为 ( )x ≥1，x －3y ＋4≤0，x ≥1，x －y ≥0，y ≥a 则整数 a 的值为 ( )x ≥1，x ＋by ＋ c ≤0， 的值分别为1． A ． －6 B ．－ 2 C ．0 D ．22． 设变量x ， y 满足约束条件 x ＋y － 4≤ 0， 则目标函数 z ＝3x － y 的最大值为 ( ) A ．－4 B ． C.43D ．43． 实数 x ， y 满足y ≥0， 则 z ＝y －x 1的取值范围是 ( )A ．[ － 1,0] B ．( －∞， 0] C ． ［－1，＋∞D ．[－1,1)4． 若满足条件x －y ≥0，x ＋y －2≤0， 的整点 (x ， y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点 )恰有 9 个，A ．－3B ．－ 2C ． －1D ．05．已知 x ， y 满足x ＋y ≤4， 目标函数 z ＝ 2x ＋ y 的最大值为 7，最小值为 1，则 b ，cx＋y≥5，6．已知 x，y 满足约束条件 x－y＋5≥0，使 z＝x＋ay（a>0）取得最小值的最优解有无数个， x≤3，则 a 的值为（）A．－3 B． 3 C．－ 1 D． 1二、填空题x≤2，7．若 x，y 满足约束条件 y≤2，则 z＝x＋2y 的取值范围是___ ．x＋y≥2，8．已知－ 1≤x＋y≤4且 2≤ x－ y≤ 3，则 z＝ 2x－ 3y的取值范围是（答案用区间表示）．0≤ x≤ 2，9．已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y≤ 2，给定．若 M（x，y）为 Dx≤ 2y上的动点，点 A 的坐标为（ 2，1），则 z＝ O→M·O→A的最大值为．10．满足 |x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有个．x－ y＋2≥0，11．设实数 x， y满足不等式组 2x－y－5≤0，则z＝|x＋2y－4|的最大值为．x＋ y－ 4≥0，三、解答题x－ 4y≤－ 3，12．已知 x，y 满足约束条件 3x＋5y≤25，目标函数 z＝2x－y，求 z的最大值和最小值．x≥ 1，x＋y－11≥0，13．设不等式组 3x－ y＋ 3≥0，表示的平面区域为 D.若指数函数 y＝a x的图象上存在区域 5x－3y ＋9≤0D 上的点，求 a 的取值范围．14．某家具厂有方木料 90 m3，五合板 600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3，五合板 2 m2，生产每个书橱需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一张方桌可获利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？实数 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示， 则 z 的最小值为原点到直线 AB 的距离的平方， 故 z min ＝ 2 2＝ 2.1． 答案 B 解析 如图，当 y ＝2x 经过且只经过 x ＋y －3＝0 和 x ＝ m 的交点时， m 取到最大值，此时，即 (m,2m)在直线 x ＋y －3＝0 上，则 m ＝1.2． 答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部x ， y ∈ N *，计算区域内与11 92 ，2 最近的点为 (5,4)，故当 x ＝5，y ＝4 时， z 取得最3． 答案 12 解当堂检测答课时精练答案、选择题 1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得 A（－ 2,2），设 z＝2x－y，把 z＝ 2x－ y 变形为 y＝ 2x－ z，则直线经过点 A 时z 取得最小值；所以 z min＝2×（－ 2）－ 2＝－ 6，故选 A.2．答案 D 解析作出可行域，如图所示．x＋ y－ 4＝ 0，联立解得x－ 3y＋ 4＝ 0，y＝2.当目标函数 z＝3x－y移到（2,2）时， z＝3x－y有最大值 4.3．答案 D 解析作出可行域，如图所示，又直线 l 不能与直线 x－y＝0 平行，∴k l<1.综上， k∈［－ 1,1）．y－1的几何意义是点（x， y）与点（0,1）连线 l的斜率，当直线l 过 B（1,0）时 k l最小，最小为－ 1.x4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)．当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选 C.5．答案 D解析由题意知，直线 x＋by＋ c＝ 0 经过直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点，且经过直线 2x＋y＝1和直线 x＝1的交点，即经过点 (3,1)和点 (1，－ 1)，3＋ b ＋ c＝ 0，b ＝－ 1，∴ 解得1－ b＋c＝0，c＝－ 2.6．答案 D解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋ ay＝0，要使目标函数 z＝ x＋ ay(a> 0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x＋y＝5 重合，故 a＝1，选 D.二、填空题7．答案 [2,6]解析如图，作出可行域，作直线 l：x＋2y＝ 0，将l向右上方平移，过点 A(2,0)时，有最小值 2，过点 B(2,2)时，有最大值 6，故z的取值范围为[2,6] ．8．答案 [3,8]解析作出不等式组－1≤ x＋ y≤ 4，表示的可行域，如图中阴影部分所示．2≤x－y≤ 3在可行域内平移直线 2x－3y＝ 0，当直线经过 x－y＝2 与 x＋y＝4 的交点 A（3,1）时，目标函数有最小值 z min＝2×3－ 3×1＝3；当直线经过 x＋y＝－ 1与 x－y＝3 的交点 B（1，－ 2）时，目标函数有最大值 z max＝2× 1＋ 3× 2 ＝ 8.所以 z∈[3,8] ．9．答案 4解析由线性约束条件0≤ x≤ 2，y≤ 2，画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝O→M ·O→A＝ 2x＋y，将其化为x≤ 2yy＝－ 2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（ 2，2）时，z 最大，将点（ 2，2）代入 z＝ 2x＋y，得 z 的最大值为 4.10．答案 13解析 |x|＋ |y|≤ 2 可化为x＋ y≤2 x≥0，y≥0 ，x－ y≤2 x≥ 0，y<0 ，－ x＋ y≤ 2 x<0， y≥0 ，－ x－ y≤ 2 x<0， y<0 ，作出可行域为如图正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个． 11． 答案 21解析 作出可行域 (如图 )，即 △ABC 所围区域 (包括边界 )，其顶点为 A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线 x ＋2y －4＝0 上方， ∴x ＋2y － 4>0， 则目标函数等价于 z ＝ x ＋ 2y －4，易得当直线 z ＝ x ＋2y － 4 在点 B(7,9)处，目标函数取得最大值 z max ＝21. |x ＋ 2 y － 4|方法二 z ＝ |x ＋ 2y － 4|＝ 5 ·5，令 P( x ，y)为可行域内一动点，定直线 x ＋2y － 4＝ 0，则 z ＝ 5d ，其中 d 为 P(x ，y)到直线 x ＋2y －4＝0 的距离． 由图可知，区域内的点 B 与直线的距离最大，三、解答题12．解 z ＝ 2x －y 可化为 y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距的相反数，故当 z 取得最大值和最小值时，应是直线在 y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0 ：2x －y ＝0 平行的直线系 l ，经上下平移， 可得： 当 l 移动到 l 1，即经过点 A(5,2)时，z max ＝2×5 －2＝8.故 d 的最大值为|7＋ 2× 9－4|＝21＝故目标函数 21 zmax ＝ 5 ＝当 l 移动到 l 2，即过点 C(1,4.4) 时，z min ＝ 2× 1－ 4.4 ＝－ 2.4.13．解 先画出可行域，如图所示， y ＝ a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵ A(2,9) ，∴ 9＝ a 2， ∴a ＝ 3. ∵a>1， ∴1< a ≤3. 14． 解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌 x 张，可获得利润 z 元，0.1x ≤90，x ≤900，2x ≤600，则 ? x ≤300， ? 0≤ x ≤ 300.z ＝ 80x ，x ≥0x ≥0所以当 x ＝ 300时， z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产 300张书桌，获得利润 24 000 元(2)设只生产书橱y 个，可获得利润 z 元， 0.2y ≤90，y ≤ 450，1·y ≤600 则 ? y ≤600， ? 0≤y ≤ 450.z ＝y ≥0y ≥0所以当 y ＝ 450时， z max ＝ 120× 450＝ 54 000（元），即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，获得利润 54 000 元．(3)设生产书桌 x 张，书橱 y 个，利润总额为 z元，0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，则x≥ 0，y≥0 z＝ 80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线 l：80x＋120y＝0，即直线 l：2x＋ 3y＝0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时，直线经过可行域上的点 M，大值．x＋2y＝ 900，由2x＋y＝ 600，解得，点 M 的坐标为 (100,400) ．所以当 x＝ 100，y＝ 400 时， z max＝ 80×100＋120×400＝56000(元)．因此，生产书桌 100 张、书橱 400 个，可使所得利润最大．x＋2y≤900，2x＋ y≤600，(如图 ) ．此时 z＝80x＋120y 取得最。

高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3简单线性规划的应用课件北师大必修5

高中数学第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3简单线性规划的应用课件北师大必修5


题型一 题型二
【变式训练1】 某公司的仓库A存有货物12 t,仓库B存有货物8 t. 现按7 t,8 t和5 t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运 货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元;从 仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、 5元.应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店 的总运费最少?
题型一 题型二
解:设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆,公司所花的成本费为z元. 列表分析数据如下:
A 型车
B 型车
限量
车辆数 x
y
10
运物吨数 24x
30y
180
费用
320x
504y
z
������ + ������ ≤ 10, 24������ + 30������ ≥ 180, 由表可知 x,y 满足的约束条件为 0 ≤ ������ ≤ 8,������∈N,
取得最小值,zmin=2.5×4+4×3=22.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可
满足要求,且所花的费用最少.
题型一 题型二
反思对于线性规划的实际应用问题,通过审题理解题意,找出各量 之间的关系.最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目 标函数,通过数形结合解答问题.解线性规划应用题时,先转化为简 单的线性规划问题,再按如下步骤完成:
分析:本题考查了利用线性规划解决实际问题,将实际问题中的 数据转化为下表:
商店 每吨运费 仓库
甲
乙
丙
A
8
6
9
B
3
4
5
题型一 题型二
解:设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x t,y t,则仓库A运给丙 商店的货物为(12-x-y)t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为
3.4简单线性规划

3.4简单线性规划

3.4简单线性规划1、了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.2、理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．一、新课导学 ※ 探索新知探究1：本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个； （2）把文字语言转化为数学符号语言：（少于100元的钱购买） ⇒ 1002<+y x （1） （大球数不少于10） ⇒ 10≥x ，N x ∈ （2） （小球数不少于20） ⇒ 20≥y ，N y ∈（3）（3）抽象出数学模型： 2x y 100x 10y 20,x,y N +<⎧⎪≥⎨⎪≥∈⎩1．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形？ 直线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax By C 0++=分为几部分？两部分 以x y 10+-=为例进行直观说明，引出以下概念：每部分叫做 ，开半平面与直线的并集叫做 ．以不等式解（x,y ）为坐标的所有点构成的集合，叫做 或 ． 如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次不等式x y 10+->的解集所表示的图形． 问题二：平面内所有的点被直线x y10+-=分成几类？ 如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线． 平面内所有的点被直线分成 类：问题三：每部分中的点都有哪些特点？ 在直线的上方、下方取一些点：上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2） 下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）分别把点的坐标代入式子x y 1+-中，会有什么结果？直线上方的点使的 ；直线下方的点使的 ． 猜想：问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？由学生自行归纳总结，不要求证明．结论：直线Ax By C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax By C ++的值具有 ，并且两侧的点的坐标使式子Ax By C ++的值符号 ，一侧都大于0，一侧都小于0．问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．概括为： “直线定界，特殊点定域”．特别地，当0≠C 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．问题六： 0≥++C y Ax B 表示的平面区域与0>++C y Ax B 表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域 直线；把直线画成虚线以表示区域 直线． 例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域： （1）2x y 30-->； （2）3x 2y 60+-≤．例2．画出下列不等式组表示的平面区域（1）2x y 10x y 10-+>⎧⎨+-≥⎩ （2）2x 3y 202y 10x 30-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．探究2：1．问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 ，如图（1）所示．其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 ．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． 说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．例2．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．例4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？（1）解线性规划①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．（2）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点． 例5、2012山东高考※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测：1．在△ABC 中，三个顶点A （2，4），B （－1，2），C （1，0），点P （x ，y ）在△ABC 内部及边界运动，则z=x －y 最大值为（ ）Ａ．1 Ｂ．－３ Ｃ．－1 Ｄ．32．已知x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥≥≤+320152y x y x y x ，则x y 的最值是（ ）Ａ．最大值2，最小值1 Ｂ．最大值1，最小值0Ｃ．最大值2，最小值0 Ｄ．有最大值，无最小值3．设x 、y ∈R ，则满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--≥+04240530222y x y x y x y x 的点P(x,y)所在的平面区域面积为（ ）Ａ．π89 Ｂ．π2 Ｃ．π3 Ｄ．π8274．变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x ，则使得z=3x-2y 的值最大的（x ，y ）为__________．5．给出下面的线性规划问题：求z=3x+5y 的最大值和最小值，使x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ．如果想使题目中的目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中的一个不等式，那么新的约束条件是 。

简单的线性规划(二)

简单的线性规划(二)

课题：简单的线性规划（二）教学目标：了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2010年考试说明要求A 级。

知识点回顾：○1目标函数z=ax+by 转化为直线在y 轴上的截距 ○2目标函数ax by z --=转化为两点斜率 ○3目标函数22)()(b y a x z -+-=转化为两点距离 基础训练：1．已知复数z=x+yi,且2z -=y x 的最大值 。

2.已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和最小值分别是 ．6． 若实数对（x ，y ）满足约束条件0230x y x x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y 1+的最小值为 ．3．已知实数x 、y 满足203500x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则y x z )21()41(⋅=的最小值为 .4.已知2()2f x x x =-，则满足条件()()0()()0f x f y f x f y +≤⎧⎨-≥⎩的点(,)x y 所形成区域的面积为5.设集合}0|,2||),{(≥-≥=x x y y x A ，}|),{(b x y y x B +-≤=，B A y x ∈),(，且y x 2+的最大值为9，则b 的值是7、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2222x y x y +--的最小值为 ；典型例题：若x ，y 满足约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，①求函数P=11++x y 最大值； ②P=22x y +最小值。

已知点(,)P x y 满足1023-504310x x y x y -⎧⎪+⎨⎪+-⎩≤≤≥，点(,)Q x y 在圆22(2)(2)1x y +++=上，则PQ 的最大值与最小值为课堂检测：1.已知非负实数x 、y 同时满足2x+y-4≤0,x+y-1≥0,则z=x 2+y 2+y 的最小值是2．平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点()y x ,形成的区域为D ，区域D 关于直线x y 2=对称的区域为E ，则区域D 和E 中距离最近两点的距离为3．设实数,x y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤， 则y x u x y =-的取值范围是4．动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则13--+=a b a y 的取值范围是 ．10.如果实数⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0012,y x y x y x 满足，则31624--+x y x 的最大值为_________11.已知集合P=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0y 06y 3403y 4x 3|),(x y x ，Q={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2≤r 2(r>0), 若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时ab 的值是_______。