同济大学《高等数学》10.3节 格林公式及其应用

y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)

= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
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或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
o
(1,0)
( x,0)
x
x = − arctan 2 y
π
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, )
π
π
π
L
= k 2 思考: 思考 积分路径是否可以取 AOUOB ? 为什么？
无关 !
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π
o
Bx
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
内容小结
∂Q ∂P 1. 格林公式 ∫ Pd x + Qd y = ∫∫D ∂x − ∂y d xd y L 2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
k =1 n
n
Dk
(
∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk 表 Dk的 向 界) 示 正 边
证毕
= ∫ Pdx + Qdy
L
定理1
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结束
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x

由 于 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 故 y N(x,y) B(x,y)
A M B
(x,y)
u (x,y) P (x,y)d x Q (x,y)dy (x ,y)
x xP(x,y)d xyyQ (x,y)d.yoA(x,y)
M(x,y)
x
A N B
(x,y)
u (x,y) P (x,y)d x Q (x,y)dy (x,y)
W C F d s C rk 3d x xk(1 r 3y)dA(y 0,1y)
M(x,y)
其 中 C ： y 2 x x 2 ， x : 2 0 。 o B(2,0) x
∵ P r k 3 ， Q k ( 1 r x 3 y ) ， P y 3 k r ( 5 1 y ) Q x x ， ∴ 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 取 直 线 段 B 为 积 O 分 路 径 ，
2
2
例 7 ． 设 位 于 点 ( 0 ,1 )的 质 点 A 对 质 点 M 的 引 力 大 小 为 r k 2（ k 为 常 数 ， r为A 质 与 M 之 点 间 ） ， 质 的 点 沿 距 曲 线 y 2 x x 2 自 B ( 2 , 0 ) 运 动 到 O ( 0 , 0 ) ， 求 在 此 运 动
C (A )P B Q d x u d (x 2 ,y y 2 ) u (x 1 ,y 1 ) u (x ,y )( ( x x 2 1 ,,y y 2 1 ) ).
例 8 ． 验 证 ： x x 2 d y y 2d 在 y右 x 半 平 面 (x 0 )内 是 某 个 函 数 的 全 微 分 ， 并 求 出 一 个 这 样 的 函 数 。
∵ P , Q 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 即 2 u , 2 u 连 续 ， x y y x

为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2

dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得

l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4

高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x

§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。

无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。

1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。

通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。

2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。

简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。

3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。

公式(1)叫做格林(green)公式。

【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。

D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。

第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容一．格林公式及其应用微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。

相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。

格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。

定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。

（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。

定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LQdy Pdx d yPx Q σ)(⑴其中符号⎰L表示沿L 正方向的曲线积分。

公式⑴称为格林公式。

证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。

设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。

因为yP∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a Ddx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y P))}(,())(,({),(12)()(21ϕϕϕϕ 另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx ))(,())(,(2121ϕϕ⎰⎰-=babadx x x P dx x x P ))(,())(,(21ϕϕ因此，=∂∂-⎰⎰Ddxdy y P⎰L Pdx ⑵ 设}),()(|),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ，类似地可证=∂∂⎰⎰Ddxdy x Q⎰LQdy ⑶由于D 既是X ─型又是Y ─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。

格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。

它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。

格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。

下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。

1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。

下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。

1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。

1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。

2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。

下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。

2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。

例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。

§10.3格林公式及其应用10.3.1格林公式1．单连通区域与复连通区域若平面区域D 内任一封闭曲线围成的部分都D 属于，则称为 D 单连通区域，否则称为复连通区域。

例如：圆形区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+1),(22y x y x 、上半平面{}0),(>y y x 是单连通区域；圆环区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<41),(22y x y x 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20),(22y x y x 是复连通区域。

通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞” ）的区域。

2．区域D 的边界曲线C 的正向规定的 C 正向如下：当观察者沿的 C 此方向行走时，靠近 D 他的部分总在他的左侧。

例如是 D 由边界曲线1C 和2C 所围成的复连通区域，的 1C 正向是逆时针方向，的 2C 正向是顺时针方向。

3．定理1设是 D 以逐段光滑曲线为C 边界的平面闭区域，函数),(y x P 、),(y x Q 在上 D 具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q Qdy Pdx DC ⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(—格林（Green ）公式 其中的取正向的边界曲线是D C 。

公式（1）称为格林（Green ）公式。

证明：先假设穿过区域内部 D 且平行坐标轴的直线与的 D 边界曲线的 C 交点恰好为两点。

即D 既是型的区域型的又是 Y X 。

设}),()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=，∵yP ∂∂连续， ∴=σ∂∂⎰⎰d y P D⎰⎰∂∂bax y x y dy yPdx )(2)(1dx x y x P x y x P b a)]}( ,[)]( ,[{ 12⎰-=另一方面，有⎰⎰⎰⋂⋂+=BNAAMB C dx y x P ),(dx x y x P dx x y x P abb a)]( ,[ )]( ,[ 2 1⎰⎰+=dx x y x P x y x P ba)]}( ,[)]( ,[{ 21⎰-=，∴σ∂∂-=⎰⎰⎰d yPdx y x P DC),(。

解
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0

ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故

L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8

Chap 10 － 3
Green 公式
上海交大乐经良
10.3.1 Green 公式
一 . 连通区域及其边界方向
若 D 为平面区域，则 D 是连通的 . 若连通 任意域一D条内闭曲线所围成的区域都落在 D 内，则称 为D 单连通的 , 否则称 D 为复连通的
单连通区域 D
D
复连通区域
C
C
当点沿区域边界朝一个方向前进时，区域总 它左侧在，将此方向规定为闭曲线的正向 , 记为 C与+ ，C+ 相反的有向曲线记为 C -
求出积分因子 μ ，，，，，，，
μP(x,y)dx +μQ(x,y)dy ＝ 0
成为全微分方
程

常用积分 因子
1 x2
,
1 y2
,
1, xy
1 x2 y2
,
1 x2 y2
组合拼凑法
例 求解方程 1) (x x2 y2 )dx ydy
分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子
10.3.3 全微分求积（全微分方程）
设设设 P(x,y),Q(x,y) 设设设设设设设 D 设设设
导数，且
Q x

P y
则 Pdx Qdy 是某个函数 u 的全微分
u(x, y) (x,y) Pห้องสมุดไป่ตู้x Qdy ( x0 , y0 )
(u 的求法 )
例 (x2 2xy y 2 )dx (x2 2xy y 2 )dy 是否某函 的全微分，若是，求出一个原函数 数
C
(ⅱ) 在 D 内任一曲线积分 Pdx Qdy 与路径无关
C
(ⅲ) Pdx+Qdy 是某个函数 u 的全微分，

C
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 =
D C
C C C

a a
o x a
D
d xd y a2 x2
13
2y
(2 y ln a) d y
(2)简化二重积分
例 2 计算 e
D y2
D 是 dxdy ,其中
y
1 B D A
1
1 2 3
D
L
9
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D1 D2 Q P ( )dxdy x y D3
A
L3 P
N
D3
B
D1
D2
L2
C
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1 CBA
L1
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
D
得闭区域 D 的面积公式
1 A L xdy ydx 2
其中D由L围成.
16
例3 求椭圆x a cos , y b sin 所围成图形的面积A.
1 解 A xdy ydx 2 L
3
下面两图中D的边界曲线L的正向如图所示:
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D靠近观察者那部分总在他的左边.
4
2. 格林公式
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数 P ( x, y )及Q( x, y )在D上具有一阶连续偏导数, 则有
曲线 . 则L1 ( L2 )为一条有向闭曲线,于是

定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
在 D 上具有连续一阶偏导数,
L D
函数 则有
Q P dxd y Pdx Qd y ( 格林公式 )
D x y
L
证明：即要证
Q
D
x
d
xd
y
D
P y
d
x
d
y
L Pd x
L Qd y
4
证明:
D
Pd xd y y
Pd x
L
y d
15
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l 所围成, 应用格林公式,得
xdy ydx
L x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
l
xdy x2
ydx y2
L1
0
2
由格林公式
I
L L1
L1
2009年考研
y L
sin x
I 4 xyd 4 0 xdx 0 ydy o D
x
2 x sin2 xdx sin2 xdx 2
0
0
2
0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx
18
2. 计算平面面积
格林公式:
D
D x y
OA
o
2 d 0 a2
D
L
D
a Ax
17
例8 计算曲线积分 I sin 2xdx 2(x2 1) ydy,其中L L 是曲线 y sin x 上从点 (0, 0) 到点 ( , 0) 的一段。L