线性代数1-1

第一章 行列式◆ 基础知识概要1.n 阶行列式的定义二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=.三阶行列式.333231232221131211a a a a a a a a a 112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.对角线法则：n 阶行列式的定义()1212111212122212,,,121...n nn tnj j nj j j j n n nna a a a a a D aa a a a a ⋅⋅⋅==-∑ ,它是取自不同行不同列的n 个数的乘积1212...n j j nj a a a 的代数和（共!n 项），其中各项的符号为()1t-，t 代表排列12,,,n j j j ⋅⋅⋅的逆序数，简记为()det ij a .n 阶行列式也可定义为()121212,,,1...nnt i i i n i i i D a a a ⋅⋅⋅=-∑，其中t 为行标12,,,n i i i ⋅⋅⋅排列的逆序数.例1.1 计算行列式（1）12n λλλ；（2）12nλλλ.练习：计算下列行列式（1）234134201300400； （2）111212220n nnna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（上三角形行列式）；（3）11212212n n nna a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （下三角形行列式）.2. 行列式的性质与计算 2.1行列式的性质（1）行列式与其转置行列式相等；（2）互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号；特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零； （3）行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面； 即以数k 乘以行列式等于用数k 乘以行列式的某一行或某一列； 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零； （4）行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零； 特别地：比例系数为1（5）若行列式的某一列（行）的元素是两数之和，例如，第i 列的元素都是两数之和：()()()1112111212222212i i n i i nn n ni ninn a a a a a a a a a a D a a a a a '⋅⋅⋅+⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，则D 等于如下两个行列式之和：1112111112112122222122221212i n i n i n i n n n ninnn n ninn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a '⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k 倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变.注：（1）交换行列式的第,i j 两行（或列），记作i i r r ↔（或i j c c ↔）； （2）第i 行（列）提出公因子k ，记作i r k ÷（或i c k ÷）；（3）以数k 乘第j 行（列）加到第i 行（列）上，记作i j r kr +（或i j c kc +）.范德蒙（Vandermonde ）行列式()3122222123111111231111nn i j nj i nn n n n nx x x x V x x x x x x x x x x ≤<≤----⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅∏注 右边是“大指标减小指标”.例1.2 计算行列式111311212524131122D ---=.（答：332）练习：计算行列式（1）3112513420111533D ---=---；（答：40）（2）3111131111311113D =；（答：48） (3) 1234234134124123D =；（答：160） （4）2324323631063a b c d aa b a b c a b c d D a a b a b c a b c d aa b a b c a b c d++++++=++++++++++++；（答：4a ）（5）222111a ab acD ab b bc acbcc +=++；（答：2221a b c +++） （6）1234000000a x a a a x xD x x x x +-=--；（答：431i i x x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑） （7）222b c c aa b D ab c a b c +++=； （8）()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++.2.2行列式依行（列）展开余子式：ij M ，代数余子式：()1i jij ij A M +=-定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即()112211,2,,ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑，或()112211,2,,nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅∑.注：此定理的主要作用是——降阶.推论 行列式的任一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式乘积之和等于零，即()112210ni j i j in jn ik jk k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑，或()112210ni j i j ni nj ki kj k D a A a A a A a A i j ==++⋅⋅⋅+==≠∑.例1.3 用降阶的方法解例1.2.练习：用降阶的方法求解上面练习第（1）题.例1.4 设1121234134124206A --=-，求（1）12223242234A A A A -+-； （2）3132342A A A ++.解 （1）1222324212122122313241422340A A A A a A a A a A a A -+-=+++=. （2）因为ij A 的大小与元素ij a 无关，因此，313234112111214132341410322121401201120142642064206A A A -----++===-=---.练习：（1）设1234511122321462221143156，则（a ）313233A A A ++=？（b ）3435?A A +=（c ）5152535455?A A A A A ++++=（答：0，0，0）（2）设,ij ij M A 分别为行列式3010222202001201D =--中元素ij a 的余子式和代数余子式，试求（a ）31323334A A A A +++； （b ）41424344M M M M +++； （c ）14244432M M M -++.2.3拉普拉斯（Laplace ）展开定理定义 在一个n 阶行列式D 中，任意选定k 行（比如第12,,k i i i ⋅⋅⋅行）和k 列比如12,,k j j j ⋅⋅⋅列）（k n ≤）.位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的位置组成一个k 阶行列式，称为行列式D 的一个k 阶子式，记作1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭，划去12,,k i i i ⋅⋅⋅行和12,,k j j j ⋅⋅⋅列后余下的元素按照原来的位置组成的n k -阶行列式，称为k 阶子式1212k k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭的余子式，记作1212k c k i i i A j j j ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎝⎭.在余子式前面加上符号()()()12121k k i i i j j j ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-后被称之为的代数余子式.记作()121212121s t k k c c k k i i i i i i A A j j j j j j +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，这里1212,k k s i i i t j j j =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.定理1.2 在n 阶行列式D 中，任意选定k 列121k j j j n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c i i i nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑. 类似地，任意选定k 行121k i i i n ≤<<⋅⋅⋅<≤，则12121211212k k k c j j j nk k i i i i i i D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑.证 （略）注 这是定理1.2的推广，它仍然是一种——降阶的思想.例1.4 在行列式1214012110130131D -=中取定1，2行，得到6个子式1,21211,201A ⎛⎫==- ⎪-⎝⎭， 1,21121,302A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,21411,401A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1,22152,312A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,22462,411A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭， 1,21473,421A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 对应的代数余子式分别是()()()12121,213181,231c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12131,203131,311c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12141,201111,413c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12231,213112,301c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()()()12241,211132,403c A +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ()()()12341,210113,401c A +++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由Laplace 展开定理可知()()()()()1823115163717D =-⨯-+⨯+⨯-+⨯+⨯-+-⨯=-.例1.5 证明111111111111111111110000k k r k kk k r k kk r rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 证 由Laplace 定理展开，选定第1,2,,k ⋅⋅⋅行，得12112121,2,1,2,,k c j j j nk k k k D A A j j j j j j ≤<<⋅⋅⋅<≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭∑1,2,1,2,,1,2,,1,2,,c k k A A k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭()()()1111111212111k rk k k kk r rra ab b a a b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111k rk kk r rra ab b a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.注 例1.5的结论可以简记为A ABC B=⋅.练习：1.计算（1）123451234512121200000000a a a a ab b b b bc cd de e ； （2）1111111111110000k kk krk kk rr rrc c a a c c a a b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2. 设A 为n 阶方阵，A a =，B 为m 阶方阵，B b =，则23O AB O为（ ）（A ）6ab -, （B ）23n mab -, （C ）()123mnn m ab -, （D ）()123m nn m ab +-.◆ 行列式的计算举例例1.6 计算n 阶行列式n x a a a a x a aD a a x a a a a x=解法1112,3,2,3,(1)(1)(1)000(1)000(1)000i i C C r r ni ni nx n a a a a x n a aa a x n a x a a x a D x n a a x a x a x n a a a x x a+-==+-+-+--==+--+-- []()1(1)n x n a x a -=+--.解法212,3,11111100010000100001i r r n i n nn n a a a a a a a a xaa axaa ax aa x a aa x a a x a D aa x a a a x a x a a a a x aaa xx a -=+++----===----①如果x a =，则1110000100000100001n n a a a a D +--==--②如果x a ≠，则12,3,11100000000(1)()0000C i x anax aC n nanx ai n n a a a a x a x a D x a x a x a --+-=+++--==+--- .综合①、②有：()()11n n D x n a x a -=+--⎡⎤⎣⎦.例1.7 计算行列式1221100001000000001n nn n xx x xa a a a x a ----∆=-+.解 按第一列展开，12321100001000001n n n n x x x x a a a a xa -----∆=-+110001000(1)01000001n n xa x x +--+---()121n n n n n x a x x a a ---=∆+=∆++221n n n x a x a --=∆++== 12121n n n n x a x a x a ---∆++++又111x a x a ∆=+=+，11n n n n x a x a -∴∆=+++ .例1.8 计算2n a ba bab Dcd c dcd=.解法1 依第一行展开12200(1)00000000n n a ba b ab a b D ab cdc dcdcdd c +=+-2112(1)2(1)2(1)(1)()n n n n adD bc D ad bc D -+---=--=-,222(1)2(2)112()()()()().n n n n n n D ad bc D ad bc D a b ad bc D ad bc ad bc cd----=-=-==-=-=-解法2 利用Laplace 展开定理，选定第1行和第2n 行展开，则1221212121,21,2,,c n j j nn n D A A j j j j ≤<≤⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1,21,21,21,2c n n A A n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()1212211n n n a b D c d+++-=⋅-()()21n ad bc D -=-⋅=⋅⋅⋅ 1()n ab ad bc cd-=- ().n ad bc =-练习：计算n 阶行列式（1）122222222232222n D n=；（答：()22!n --）（2）01211111001001n n a a a D a -=，其中110n a a -⋅⋅⋅≠；（答：111011n n i i a a a a --=⎛⎫⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭∑）（3）2222212121212naa aa aDaaa a=；（答：()1nn a+）（4）()()()()111111111n nnn nnna a a na a a nDa a a n----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅；（5）1231110000220000011 nn n Dn n⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--。

0 0
a11a22 ann
ann
除了以上三种特殊行列式外，还有以下对角行列式和三角行列式：
a2 ，n1
a1n
a1n
a11 a12
a1n
a2 ，n1 a2n a21 a22
an1
an1 an2
ann
an1
n ( n 1)
(1) 2 a1na2 ，n1 an1 ，
1.2.4 特殊行列式
定义4
（4）如果行列式 D 中元素满足 aij aji ，则行列式 D 称为对称行列式．
（1-3）
1.2.1 二阶行列式
定义1
二元线性方程组的解（1-2）可简单表示为
x1
D1 D
，x2
D2 D
(D 0) ．
（1-4）
其中， D a11 a12 为方程组未知数的系数所组成的行列式，称为方程组的系数行列 a21 a22
式；D1
b1 b2
a12 a22
（用方程组的常数项代替系数行列式的第 1 列）；D2
uvgh
分析：按行列式的定义，它应有 4! 24 项．但只有 adeh，adfg，bceh，bcfg 这四项不为
零．与这四项相对应列标的排列分别为 1 2 3 4，1 2 4 3，2 1 3 4 和 2 1 4 3，它们的逆序数分
别为 0，1，1，2，所以第一、四项应取正号，第二、三项应取负号．
解： D adeh adfg bceh bcfg ．
行列式的和，即
a11
a12
bi1 ci1 bi2 ci2
a1n
a11 a12
bin cin bi1 bi2
a1n
a11 a12
bin ci1 ci2

a11 b1 D2 = . a21 b2
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
b1 D1 = b2
a12 , a22
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1 , ⎨ ⎩a21 x1 + a22 x2 = b2 .
a11 b1 D2 = . a21 b2
暨南大学环境工程系
线性代数
曹 刚
教学目标及教学要求
线性代数是环境工程和环境科学专业学生的基 础课，也是一门重要的数学基础理论课。 提高学生的综合数学素质，为后继课程学习提 供必备的数学工具，为进一步获得现代科学技 术知识奠定必要的数学基础。 通过本课程的学习，掌握线性代数的基本概 念，基本原理和基本方法，培养概括问题的能 力，逻辑推理能力，抽象思维能力，并在此基 础上运用线性代数这一工具解决理论上和实际 中的问题。
则二元线性方程组的解为
b1 a12 D1 b2 a22 x1 = = , D a11 a12 a21 a22
a11 b1 D2 a21 b2 x2 = = . D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
⎧ 3 x1 − 2 x2 = 12, ⎨ ⎩ 2 x1 + x2 = 1.
排列的逆序数 对于n 个不同的元素，可以规定各元素之间 有一个标准次序。 一般情况， n 个不同的自然 数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 i t > i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序

第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。

A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。

5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。