矩阵的乘法前提：只有当第一个矩阵(左边的矩阵)的列数与第二个矩阵(右边的矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘。
即：A m×s B s×n注意：(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA(2)矩阵A与B满足AB=0，不能推出A=0或B=0的结论(3)在不改变左右顺序的情况下，满足结合律(4)特别的,满足：单位矩阵乘任何另一矩阵等于此任意矩阵本身E m A m×n=A m×n E n=A m×n零矩阵乘任何矩阵都得到零矩阵求矩阵A的n次幂1.方法一：数学归纳法例题：已知A=(1101)求A n解：因为A2=(1101)2=(1101)(1101)=(1201)A3=(1301)猜想A n=(1n01)假设n=k时满足A k=(1k01),只需证A k+1=(1k+101)当n=k+1时，A k+1=A k A=(1k01)(1101)=(1k+101)猜想成立2.方法二：利用二项式展开公式将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加容易牛顿二项展开公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n−1b1+…+C n n−1a1b n−1+C n n a0b n应用二项展开公式：（B+E）n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n例题：已知A=(1101)求A n解：A=(1101)= (0100)+ (1001)=B+EA n=(B+E)n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+nB+E且B0=E, 又因为 B2=(0100)2=(0000)所以B n=(0000)A n=(B+E)n= nB+E3.方法三：乘法结合律若A=αβT，其中α和β都是n×1矩阵（列矩阵），且βTα=C（常数），利用乘法结合律，有A n=(αβT)( αβT)…(αβT)( αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT= α(βTα)n−1βT= αC n−1βT=C n−1 αβT=C n−1A例题:已知α=（1,2,3），β=（1，12，13），设A=αTβ，求A n解：αTβ=(123)3×1（1，12，13）1×3=(1121321233321)→结果是3×3矩阵βαT=（1，12，13）1×3(123)3×1=3 →结果是1×1矩阵A n=(αTβ)( αTβ)…(αTβ)( αTβ)= αT(βαT)(βαT)…(βαT)β= αT(βαT)n−1β=αT3n−1β=3n−1( 1121321233321)。
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
