线性代数基础1

所以
, yn ] = [ x1 ,
,xn ] C
⎡ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ xn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ξ n ⎦
[ x1 ,
⎡ξ 1' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ξ 2 ⎥ ,xn ] C ⎢ ⎥ = [ x1 ,x2 , ⎢ ⎥ ⎢ξ ' ⎥ ⎣ n⎦
由于同一个向量在同一个基下的坐标是唯一的， ⎡ξ 1' ⎤ ⎡ξ1 ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ ⎥ ⎢ξ 2 ⎥ ⎢ξ 2 ⎥ 所以C ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ξ ' ⎥ ⎣ξ n ⎦ ⎣ n⎦
例：设R = {全体正实数}，定义
+
加法运算：x ⊕ y = xy, 乘法运算：k ⊗ x = x k
证明R 为实数域上的线性空间。
+
证明：显然，x ⊕ y = xy ∈ R k ⊗ x = x ∈R
k +
+
即加法运算和数乘运算是封闭的。
加法结合律： ( x ⊕ y ) ⊕ z = ( xy ) ⊕ z = xyz x ⊕ ( y ⊕ z ) = x ⊕ ( yz ) = xyz
可知，k1 = k2 = k3 = k4 = 0
⎡1 2 ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢1 0 ⎥ = k1 ⎢1 1⎥ + k2 ⎢1 0 ⎥ + k3 ⎢0 1⎥ + k4 ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ k1 + k2 + k3 + k4 k1 + k2 + k3 ⎤ =⎢ ⎥ k1 + k2 + k4 k1 + k3 + k4 ⎦ ⎣
加法交换律：x ⊕ y = y ⊕ x
加法零元：1 ⊕ y = y
1 1 加法负元：x ⊕ = x × = 1 x x
数乘分配律：k ⊗ ( x ⊕ y ) = ( xy ) = k ⊗ x ⊕ k ⊗ y
k
: (k + l ) ⊗ x = x
k +l
= k ⊗ x⊕l ⊗ x
数乘结合律：(kl ) ⊗ x = x = k (l ⊗ x)
集合的运算：并，交，补
数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不 为零）。比如有理数域(Q)、实数域（R）和 复数域（C）。实数域和复数域是工程上较 常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也 是学习矩阵理论的重要基础。线性空间的概 念是对各种具体线性系统的一种统一的抽 象。
线性空间的定义
⎡ξ 1' ⎤ ⎡ξ1 ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ξ ⎥ ⎢ξ 2 ⎥ 即C ⎢ ⎥ = C－1 ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ' ⎢ξ ⎥ ⎣ξ n ⎦ ⎣ n⎦
线性子空间
一、线性子空间的定义及其性质 定义：设V1是数域K上的线性空间V的一个非空子集 合，且对V已有的线性运算满足以下条件
如果x、y属于V1 ，则x＋y属于V1 ；（加法封闭） 如果x属于V1 ，k属于K，则kx属于V1 ，（数乘封闭）
设x1 ,x2 ,
n
,xn ∈ V 是线性空间V中的一组基,对∀x ∈ V ，有
i =1
x = ∑ ci xi , 称c1 ,c2 ,
c1 ,c2 ,
,cn ∈ K , ,xn下的坐标。
,cn为向量x在基x1 ,x2 ,
证明下面的一组矩阵为R 2×2的一组基。 ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢1 1⎥ , ⎢1 0 ⎥ , ⎢0 1⎥ , ⎢1 1⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 2 ⎤ 并求 ⎢ ⎥ 在这组基下的坐标。 ⎣1 0 ⎦
矩阵论
主讲 孟纯军
向量、矩阵及其运算法则是描述、分析、处 理线性系统的有力工具 .其“有力”具体表现在 这种工具的普适性和简便性上。 学习基础知识 ，在专业课程中进一步认知 ， 在科学研究中应用。
线性空间
集合：笼统地说是指一些事物（或者对象，称为元素） 组成的整体。集合的表示：枚举、表达式，如
A = {1,2,5}, A = {1,2,3,...}, A = { x + x 2 x > 0}
设V 是一个非空集合，K 是一个数域，
(1) 在V中定义一个加法运算： ∀x , y ∈ V , 有 x + y = z ∈ V
(2) 定义一个数乘运算： ∀x ∈ V，∀k ∈ K , 有kx ∈ V ;
这两种运算满足 8条性质：
加法结合律：x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
r
,xr 线性无关；
,xr 线性表示，即 ,cr ∈ K
(2) ∀x ∈ V ,都可以用x1 ,x2 , x = ∑ ci xi ,
i =1
c1 ,c2 ,
称x1 ,x2 ,
,xr为线性空间V中的一组基。
基正是V中最大线性无关元素组；V的维数正 是基中所含元素的个数。 基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相 等。
加法交换律：x + y = y + x
加法零元：x + 0 = x， ∀x ∈ V
加法负元：∀x ∈ V ，∃y ∈ V , 使得x + y = 0
分配律一：k ( x + y ) = kx + ky，∀k ∈ K , ∀x , y ∈ V
分配律二： + l ) x = kx + lx，∀k , l ∈ K , ∀x ∈ V (k
n T
复n维列向量空间。
给定数域K,集合K
m×n
= { A | A = (aij ) m×n , aij ∈ K }
按通常的矩阵加法以及数与矩阵的乘法，构成 数域K上的m × n维矩阵空间。
R m×n = { A | A = (aij ) m×n , aij ∈ R}为实m × n维矩阵空间。
Cm×n = { A | A = (aij ) m×n , aij ∈ C}为复m × n维矩阵空间。
n
yn下的坐标为
x = ∑ ξ i' yi = [ y1 , y2 ,
i =1
则 [ y1 , y2 ,
⎡ξ 1' ⎤ ⎢ '⎥ ⎢ξ 2 ⎥ yn ] ⎢ ⎥ = [ x1 ,x2 , ⎢ ⎥ ⎢ξ ' ⎥ ⎣ n⎦
⎡ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ xn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ξ n ⎦
[ y1 ,
⎡1 2 ⎤ 显然， ⎢1 0 ⎥ 在基E11，E12，E21，E22下 ⎣ ⎦ 的坐标为(1,2,1,0)T
基变换与坐标变换
我们研究当基变换时，同一个向量在不同 基下的坐标会有什么关系。
设x1 ,x2 , y1 , y2 ,
则
,xn是线性空间V的基， , yn也是线性空间V的基，
n
y j = ∑ cij xi，
则称V1是V的一个线性子空间或子空间。
性质：（1）线性子空间V1与线性空间V享有共同 的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在V1中。
分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和V本身 非平凡子空间：除以上两类子空间
设x1 ,
, xm ∈V , 称它们的线性组合
⎧m ⎫ ⎨∑ ki xi | ki ∈ K , i = 1,2 m ⎬ ⎩ i =1 ⎭ 为向量组x1 , , xm的生成子空间
i =1
i = 1,2,
,n
即
[ y1 ,
, yn ] = [ x1 ,
⎡ c11 ⎢c ,xn ] ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣cn1
c12 c22 cn2
c1n ⎤ c2n ⎥ ⎥ = [x , 1 ⎥ ⎥ cnn ⎦
,xn ] C
矩阵C 称为由基 [ x1 ,
,xn ] 过渡到基 [ y1 ,
, yn ]的过渡矩阵。
结合律： ( kl ) x = k ( lx )
恒等律： 1x = x
称V 为数域K 上的线性空间。
注意几点
线性空间不能离开某一数域来定义。实际 上，对于不同数域，同一个集合构成的线性 空间会不同，甚至一种能成为线性空间而另 一种不能成为线性空间。 两种运算、八条性质
数域中的运算是具体的四则运算，而线性空 间中定义的加法运算和数乘运算则可以十分 抽象。 当数域为实数域时，就称为实线性空间；为 复数域，就称为复线性空间。
若（1）成立必须c1 ,c2 , 称x1 ,x2 ,
,xm线性无关。
证明R 2×2中的一组矩阵线性无关。 ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ E11 = ⎢ ⎥ ,E12 = ⎢0 0 ⎥ ,E21 = ⎢ 1 0 ⎥ ,E22 = ⎢0 1⎥ , ⎣0 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
线性空间中零元素是唯一的， 任一元素的负元素也是唯一的。 0*x=0(第一个0是数0，第二个0是线性空间中 的零元素) (-1)*x=-x
线性空间的维数、基、坐标
线性相关性
线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线 性相关性概念类似。
对∀x1 ,x2 ,
,xm ∈ V ,c1 ,c2 ,
m
,cm ∈ K
可知，k3 = 0,k4 = −1,k2 = 1,k1 = 1
⎡1 2 ⎤ ⎡1 1⎤ ⎡1 1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡1 0 ⎤ 所以， ⎢1 0 ⎥ 在基 ⎢1 1⎥ , ⎢1 0 ⎥ , ⎢0 1⎥ , ⎢1 1⎥ 下 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 的坐标为( 1,1,0, −1 )T
⎡ k1 证明：k1 E11 + k2 + k3 E21 + k4 E22 = ⎢ ⎣ k3 则必有k1 = k2 = k3 = k4 = 0 所以，E11，E12，E21，E22 线性无关。