对函数单调性定义的等价解释和灵活运用

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 介绍函数单调性的概念函数单调性是高中数学中一个非常重要的概念，它在分析函数性质、求解极值和解不等式等问题中具有重要作用。

所谓函数单调性，指的是函数的增减性质，也就是函数在定义域内是单调递增还是单调递减。

具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)小于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递增的；如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a小于b时，有f(a)大于等于f(b)，则称函数f(x)在区间上是单调递减的。

函数单调性的概念非常直观和易懂，通过观察函数的图像我们也可以很容易地判断函数的单调性。

在学习函数单调性的过程中，我们需要掌握函数单调性的定义与分类、判断函数的单调性的方法，以及函数单调性在求极值和解不等式中的应用。

函数单调性不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以在解决数学问题时提供重要的线索。

深入学习函数单调性是我们在高中数学学习中不可或缺的一部分。

1.2 为什么函数单调性在高中数学中重要函数单调性是研究函数变化规律的基本性质之一。

通过分析函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的增减性质，从而更深入地理解函数在数学中的应用。

在解决实际问题时，函数的单调性也是确定函数取值范围和变化趋势的重要依据。

函数单调性是高中数学中求解极值和解不等式的重要工具。

根据函数的单调性，我们可以快速判断函数的最大值和最小值，进而求解极值问题。

通过函数的单调性可以帮助我们求解各类不等式，从而更好地解决数学中的实际问题。

函数单调性也与函数的图像密切相关。

通过研究函数的单调性，我们可以更好地理解函数的图像特征，包括函数的上升和下降区间，极值点位置等，从而更好地描绘函数的图像。

函数单调性在高中数学中的学习与运用具有重要的意义，可以帮助我们更深入地理解函数的特性，解决实际问题，并为学习其他数学内容打下扎实的基础。

掌握函数单调性不仅可以提高数学学习的效果，也可以在以后的学习和工作中发挥重要的作用。

周刊函数单调性的判定及应用周萍(昆山经济技术开发区高级中学，江苏昆山215335)摘要：函数是高中数学的重要组成部分，本文就函数单调性的判定方法作简要概括，并列举其在数学解题中的一系列应用。

关键词：单调性；判定；应用函数是整个数学教学体系中的核心内容，几乎贯穿高中数学教学的全过程。

函数的单调性是在学习函数概念的基础上学习的，其为函数的研究奠定了基础，在教材中起着承前启后的重要作用，往往作为解题的有效依据，是高考命题中的热点，本文就函数单调性的判定方法及单调性在高考中的运用进行简要的分析和总结.一、函数单调性的定义及其判定(一） 定义函数单调性定义：设/(x)是定义在D上的函数，对于任意的 X i，X2€D 且 X1〈X2，若 /(Xi )〈/(X2)，则 /(X)在D上为增函数；反之，则为减函数。

(二） 函数单调性的判定方法1. 定义法()作差法，即“取值—作差变形—判定符号一一下结论”这几个步骤。

()作商法：即“取值一作商变形—判定大小—下结论”这几个步骤。

对于一些简单的初等函数用定义法可以很快的作出判定。

如：例1讨论函数/(X)=X+*1在（，+W)上的单调性.X解：任取 X i、X2€(〇，+d:.)，设 X1〈X2/(X i ) —/(X2)=(X i H---) —H---)Xl X2 /(X2—X i )i—X i X2)X i X2•••X i X2〉〇，X2—X i〉0，•••当X i、X2€(〇, i]时，/(X i )>/(X2);当X i、X2^(i , +d)时，/(x )〈/X2),.••函数/(X)=X+i在（0, i]上是减函数，在（，+d)X上是增函数．2.性质法在确定某些函数的单调性时，有时利用结论可以直接得到函数的增减性，如^=X+6，_y=a x2+X+c(a#0)"=a (乒0)均可直接说出.X下面一些结论，在判断函数的单调性中也经常可以直接使用：()函数一/(X)与函数/(X)的单调性相反；92()当/(X)〉0或/X)〈0恒成立时，函数」、与/(X)的单调性相反;(3)若/(x)，g(x)〉0都是增（减）函数，则/X)•g(x)仍为增（减）函数;(’1.)若 /(x.)〉0, g(x.)〉0 且 /(x.)，g(x)都递增（减.)，则/X) •g(x)也递增（减）()奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.如：例K变题）讨论函数/(x)=x+i的单调性.X解：/(x)的定义域：x I X乒0}，/(x)是奇函数，故只需讨论/(X)在（0，+d)上的单调性，由例i知/(x)=x+i在（0, i]上递减，在（，+«=)上X递增，由奇函数对称性可知/(X)在（一d，—i]上递增，在(—i，0)上递减.有些函数是由一些基本初等函数复合而成的，其单调性遵循“同增异减”原则，即①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增；②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减.例 2 已知函数/(x)=log ^—^(〈^〈i，6〉0)为奇6十X函数，当x6(—i，a]时，/(X)的值域是（一d，i]，则a解：易得 6=i，*_’g(x)=—,= —i+丄在 x6X十i X十i(—i，a]上递减，又 0〈a〈i，/./(x)在 x 6 (—i，a]上递增，•••/()= i,•a= 2 .3.导数法在区间D上，若/(x)〉0,则/(x)在D上是增函数。

浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。

下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。

关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。

同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。

不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。

但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。

那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。

针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。

函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。

它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。

函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。

而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。

通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。

函数单调性概念的理解及运用作者：单凌云来源：《理科考试研究·初中》2013年第04期函数的单调性是函数的概念和图象部分的重要内容。

函数的单调性的学习可以让学生们更加深入地理解函数，函数的单调性还能运用到实际中解决问题。

在函数的单调性的学习中，主要是要让学生们从形与数两方面理解函数单调性的概念，用数形结合的方法来研究函数的单调性，加强对函数单调性定义的理解，并能通过函数单调性的定义来判断或证明一些函数的单调性。

在学习函数的单调性之前，可以先举一些身边实际例子来启发学生们的思维。

如我们生活中常见的气温变化曲线图或折线图，通过气温统计图可以知道一天中的气温变化，如最温是几度、低温是几度、温度升高了几度或者降低了几度，温度变化最大是哪个时段等等。

还有比如股票的价格升降等这些图形，都是生活中常见的。

通过这样的一些举例可以让学生们联系到所学的函数的单调性，让学生们对函数的单调性有个初步的认识和感悟。

一、直观地理解函数的单调性引入初中阶段所接触的函数单调性的内容来帮助学生们进行回顾。

如：分别作出函数y=x+2，y=-x+2，y=x？，y= 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？通过作图，可以从简单的函数图象中直观地体现函数的单调性，帮助学生们理解函数的单调性。

学生们把函数图像画出来之后，明显可以看到，函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大，直线呈上升趋势，而函数y=-x+2是一个呈下降趋势的图象，函数在整个定义域内y值随x 的增大而减小。

函数y=x？是一个顶点在原点，开口向上的抛物线，对称轴是y轴，在y轴的左侧，y随x的增大而减小，呈下降趋势，y轴的右侧y随x的增大而增大，图象呈上升趋势。

函数y= 的图象是由两条曲线组成的，在（0，﹢）上，y随x的增大而减小，在（﹣，0）上，y同样随x的增大而减小。

通过观察这几个函数图象的单调性，引导学生们在观察函数单调性的时候一定要先明确函数单调的区间。

函数单调性的应用及解法函数的单调性是数学中的一个重要概念，它描述了函数随着自变量的增大或减小，函数值是递增还是递减的趋势。

掌握函数的单调性不仅对于理解函数的性质和行为有帮助，还可以在实际问题中进行正确的推导和解决。

本文将从函数单调性的概念、解法和应用方面进行详细论述，以便读者更好地理解和灵活运用。

首先，我们来具体定义函数的单调性。

设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递增的；如果对于任意x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是递减的。

如果函数f(x)既是递增的又是递减的，则称函数f(x)在区间I上是严格单调的。

接下来，我们将介绍解决函数单调性的一般方法。

首先，我们需要找到函数的导数。

对于定义在区间I上的函数f(x)，如果导数f'(x) ≥0，则f(x)在区间I上递增；如果导数f'(x) ≤0，则f(x)在区间I上递减。

如果导数f'(x) > 0，则f(x)在区间I上严格递增；如果导数f'(x) < 0，则f(x)在区间I上严格递减。

因此，解决函数单调性问题的一般步骤如下：首先，计算函数的导数；然后，找到导数的零点，即导数为0的点；最后，根据导数的正负情况，判断函数的单调性。

然而，由于计算函数的导数和求解导数的零点可能会比较复杂，所以在实际应用中，我们往往会借助一些简化的策略和技巧。

下面，我将以实际问题为例，具体介绍函数单调性的应用和解法。

第一个应用场景是求解函数极值问题。

对于一个凸函数（即导数的二阶导数大于等于0），如果在一个区间上函数的导数从正数变为负数，那么函数在该点上取得极大值；如果在一个区间上函数的导数从负数变为正数，那么函数在该点上取得极小值。

这是因为函数在这两种情况下都出现了斜率的变化，导致函数的增长或减小逐渐趋缓。

函数单调性教案一、介绍函数单调性是函数学习中的重要知识点。

理解函数的单调性有助于我们了解函数的增减情况，进而对函数的性质进行分析和应用。

本教案将通过概念解释、示例演练等方式，帮助学生掌握函数单调性的概念、判定方法和应用技巧。

二、概念解释1. 单调增函数定义：设函数f(x)在区间[a, b]上定义，若对于任意的x1 < x2 ∈ [a, b]，都有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在[a, b]上是单调增函数。

图示示例：（图1）2. 单调减函数定义：设函数f(x)在区间[a, b]上定义，若对于任意的x1 < x2 ∈ [a, b]，都有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在[a, b]上是单调减函数。

图示示例：（图2）三、判定方法1. 导数判定法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性：- 当导数f'(x) > 0时，函数在该区间上单调增。

- 当导数f'(x) < 0时，函数在该区间上单调减。

2. 函数值判定法对于一元函数，可以通过比较函数值来判断单调性：- 对于单调增函数，函数值随自变量的增大而增大。

- 对于单调减函数，函数值随自变量的增大而减小。

四、应用技巧1. 确定函数定义域单调性的判定需要在特定的区间进行，因此需要先确定函数的定义域。

在判定时要注意处理函数中存在的分式、根式等特殊情况。

2. 绘制函数图像通过绘制函数的图像，可以更直观地观察函数的单调性。

可以借助计算工具或手绘方法，标注关键点，分析趋势。

3. 运用单调性进行应用题求解在实际问题中，我们可以根据函数的单调性进行最值问题、方程求根等应用题的求解。

通过单调性的分析，可以加快问题解答的速度和准确性。

五、示例演练1. 求函数f(x) = x^2在区间[-2, 2]上的单调性。

解：首先确定函数的定义域[-2, 2]，然后计算导数f'(x) = 2x。

当x < 0时，导数f'(x) < 0；当x > 0时，导数f'(x) > 0。

函数的单调性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 函数单调性的概念及其定义。

2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。

3. 单调性在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 函数单调性的概念及其定义。

2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。

四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。

2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。

3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。

五、教学过程1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。

2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。

3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。

4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。

5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。

6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。

7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。

六、教学拓展1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。

2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。

3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。

七、课堂互动1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。

3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。

八、单调性在实际问题中的应用1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。

2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。

3. 课堂练习：让学生自主解决一个实际问题，如温度变化、速度与时间等。

考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。

一、函数（一）、函数的单调性1、定义：一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 ,x 2，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数； 当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。

单调性定义的等价形式:设x 1，x 2∈[a,b],x 1≠x 2.(1)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;(2)若有(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0或<0，则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.2、常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A 上的增(减)函数，则f(x)+g(x)也是区间A 上的增(减)函数. (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. （二）、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数()f x 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足 ①()()f x f x -=⇔函数()f x 为偶函数；②()()()()0f x f x f x f x -=-⇔-+=⇔函数()f x 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数. 3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x D ∈，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递增（减）； ③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数()f x 在区间[,](0)a b a b ≤<上单调递增（减），则()f x 在区间[,]b a --上也是单调递减（增）； ④任意定义在R 上的函数()f x 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即()()()()()22f x f x f x f x f x +---=+（三）、函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）特别的（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称; （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称.本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称. 3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 中心对称（当0a =时，恰好就是奇函数）; （2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称;（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 中心对称。

请详细解释函数的单调性函数的单调性是数学中比较重要的概念，也是许多数学模型的关键组成部分，它在众多应用领域中都有着广泛的应用，其中包括经济学、统计学、物理学等。

在数学中，函数的单调性指的是函数的变化是单一的，以及在函数的变化中，函数的任何一个时刻都是单调的。

换言之，函数的单调性意味着，在数学模型中，函数变量不可能具有不稳定的峰谷性质，因为在函数变化的某个时刻，函数的变化只有一个方向，没有其他变动。

关于函数的单调性有几种定义，其中最重要的是函数的单调递增和单调递减，换言之，函数的单调性可以表达为函数变量随函数输入的增加或减少，其输出都是呈现出单调的变化趋势。

从数学的角度来讲，函数的单调性可以用函数的导数来表示。

函数的单调性可以通过求函数的导数和次导数来确定。

如果函数的导函数在某一点处大于0，则表明函数在该点处是单调递增的，这意味着函数变量随函数输入的增加而增加；反之，如果函数的导数在某一点小于0，则表明函数在该点处处于单调递减的状态，这意味着函数变量随函数输入的增加而减少。

函数的单调性也可以用几何的视角来看，函数的单调性表明函数变量只能呈现单调的变化趋势，函数变量既不能在某一点处出现峰谷状态，也不能出现不稳定的变化，而且，函数变量只能朝着一个方向改变。

函数的单调性在实际应用中也有很多用处，比如，在经济学中，由于经济活动具有单调性，因此，在经济模型中，可以假定函数变量是单调的，即用户的消费行为是不可逆的，即消费行为只能前进而不能后退。

另外，在统计学领域，函数的单调性可以帮助统计分析师正确地估计统计模型中的参数，因为在单调性的函数中，统计数据的分布是均匀的，可以正确估计参数的值。

总而言之，函数的单调性是数学中一个重要的概念，它表明函数变量只有单调的变化，在诸多应用领域中也有着广泛的应用，比如经济学和统计学等，因此，函数的单调性是非常重要的。