辽宁朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试 数学(文)
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辽宁朝阳市三校协作体2015届高三下学期第一次联合模拟考试 数学（文））第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP ，{}24x y x Q -==，则=Q PA ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．)2,1[2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ， 30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠CA ． 30B ． 45C ． 60D ． 75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y5. 设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为A ．(4,0)(2,)-+∞ B ．(0,2)(4,)+∞ C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(4,4)-6. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为 A ．43π B ．4πC ．0D ．4π- 7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为A ．223 B ．5 C ．29D ．59. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅OP APA ．1-B ．81-C ．41-D ．21-10. 如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BADABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为 A ． 90 B ． 75 C ．60 D ． 4511. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若QF PF 3=，则QF =A ．25 B ． 38C ． 3D ． 6 12. 设x x f lg )(=，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．lg 2lg ,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ． lg 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．lg 20,2⎛⎫⎪⎝⎭DCPAAO CB P正视图侧视图第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 正项等比数列{}n a 中，42=a ，164=a ，则数列{}n a 的前9项和等于 ． 14. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 ．15. 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足ab a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12=⋅AC AB ，72=a ，求b ，c （其中c b <）． 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式．俯视图19.（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 是边AD 的中 点，平面BCH 与AE 交于点I ． （Ⅰ）求证：IH //BC ； （Ⅱ）求三棱锥HIC A -的体积.20.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21.（本小题满分12分）AHICDBE设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ， 21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围．P24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．三校协作体高三第一次联合模拟考试数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. 1022 14. 83π 15. 16 16. 3(3,]4-- 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分 19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED // 又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………………… 6分 (Ⅱ)211121=⨯⨯=∆AIC S 高2=CD3122131=⨯⨯=V …………………………………… 12分20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………6分(Ⅱ) 直线CD 斜率不存在时，OCD S ∆=；直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为(4)y k x =-，带入抛物线，得28320ky y k --=1212OCD S OA y y ∆=-=>，综上OCD S ∆最小值为. ……………12分21.解：(Ⅰ)()2ln f x a x ax b '=++，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．………………………………4分(Ⅱ)2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=．∴2()(1)f x x ≥-．………………………………8分（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，(Ⅱ) 中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立． ②当03<-m 即23>m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=---， (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x '=，得232021m x e-=->，当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以2AD x BC y ==………………………………5分(Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((1x y -++=圆心到直线0x y -+=的距离为51d >所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设cos ,sin )M θθ++，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分- 11 -24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分 (Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥-…………………10分。
