辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试卷答案

辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学文科试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合P={x|-4＜x＜2}，Q={x|x2-x-6＜0}，则P∪Q=（）A. B. C. D.2.已知z=（m+3）+（m-1）i（m∈R）在复平面内对应的点为P，则P点不可能在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知s，则=（）A. B. C. 3 D. 24.已知f（x），g（x）分别是定义在上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+1，则f（1）+g（1）=（）A. B. C. 1 D. 35.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C+c cos B=a sin A，则角A的值为（）A. B. C. D.6.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.7.关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（）A. ,且,则B. ,且,则C. ,且,则D. ,且,则8.等差数列,,,的第四项等于A. 3B. 4C.D.9.已知三棱锥A-BCD中，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（）A. B. C. D.10.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于( )A. B. C. D.11.关于函数f（x）=cos|x|+|cos x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（0，1）单调递减③f（x）在[-π，π]有2个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A. B. C. D.12.已知函数f(x)＝e x-ax有两个零点x1，x2，x1＜x2，则下面说法正确的是（）A. B.C. D. 有极小值点,且二、填空题（本大题共4小题）13.函数y=10lg x的值域是______．14.若向量，，则与夹角的余弦值等于__________．15.下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是______．16.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，AD为∠BAC的平分线，且．则的值为______，△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=2cos2x-cos（2x+）-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）在[]上的单调性．18.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．（1）证明：DE⊥平面PBC．（2）试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．19.辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校文科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表；中位数精确到0.01）（2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y分组区间[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）x：y1：31：13：410：1从数学成绩在，的学生中随机选取人，求选出的人中恰好有人数学成绩在[140，150]的概率．20.已知数列{a n}、{b n}满足a1=2，b1=1，且．（1）令c n=a n+b n，d n=a n-b n，证明：{c n}是等差数列，{d n}是等比数列；（2）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）求数列{a n}和{b n}的前n项和公式．21.已知函数．（e=2.71828……是自然对数的底数，=1.64872……）（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=e x在点处的切线也是曲线y=ln x的切线．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是，曲线C1的参数方程是（φ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是ρ=2b sinθ．（1）写出l及C1的极坐标方程；（2）已知，b=1，l与C1交于O，M两点，l与C2交于O，N两点，求2|OM|2+|OM||ON|的最大值．23.设a＞0，b＞0，c＞0，ab+bc+ca=1．（1）求证：．（2）求证：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合P={x|-4＜x＜2}，Q={x|x2-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，∴P∪Q={x|-4＜x＜3}．故选：A．由集合P，Q，能求出P∪Q．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由z=（m+3）+（m-1）i（m∈R），得P（m+3，m-1），由，得m＞1；由，得m∈∅；由，得m＜-3；由，得-3＜m＜1．由上可知，P点不可能在第二象限．故选：B．由z求得z的坐标，分别由实部、虚部大于或小于0联立不等式组求解m值，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由sin2α=2sinαcosα，可得，∴，即tan2α-3tanα+1=0．可得．故选：C．由二倍角化简，sin2α=2sinαcosα，可得，弦化切，即可求解．本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.将原代数式中的x替换成-x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可．【解答】解：由f（x）-g（x）=x3+x2+1，将所有x替换成-x，得f（-x）-g（-x）=-x3+x2+1，根据f（x）=f（-x），g（-x）=-g（x）,得f（x）+g（x）=-x3+x2+1，令x=1，计算得f（1）+g（1）=1．故选：C．5.【答案】C【解析】解：在△ABC中，∵b cos C+c cos B=a sin A，∴sin B cos C+sin C cos B=sin（B+C）=sin A=sin2A，∵sin A≠0，∴sin A=1，∴由于A为三角形内角，可得A=．故选：C．根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A的值进而求得A，即可得出结论．本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．6.【答案】D【解析】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=-1，4=4×1×2×cos120°=-4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D．由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．7.【答案】C【解析】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；当n∥β且α∥β时，存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；故选：C．根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论．本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，是基础题．由等差数列的性质得log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，∴log3（2x）+log3（4x+2）=2log3（3x），∴x（x-4）=0，又2x＞0，∴x=4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312-log38=，∴第四项为=log327=3．故选A．9.【答案】C【解析】解：三棱锥A-BCD中，，∴该三棱锥是由长方体的面对角线构成（如图）、设长方体的棱长分别为a，b，c，则a2+b2=5，b2+c2=4，a2+c2=3，则该三棱锥的四个顶点所在球面的半径R==．=．故选：C．三棱锥A-BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．本题考查球的表面积球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是基础题，解答的关键是构造球的内接长方体，利用体对角线的长为球的直径解决问题．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°-30°）==2-．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2-）=120-60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC-DB=60-（120-60）=120（-1）．∴河流的宽度BC等于120（-1）m．故选B．11.【答案】A【解析】解：关于函数f（x）=cos|x|+|cos x|有下述四个结论：f（x+π）=f（x），可得T=π．①∵f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，正确；②f（x）在区间（0，1）上，f（x）=2cos x，∴f（x）在区间（0，1）上单调递减，正确；③考察在x∈[0，π]上，当x∈上时，f（x）=2cos x，有一个零点；当x∈上时，f（x）=cos x-cos x=0，有无数个零点．因此f（x）在[-π，π]有无数个零点，因此③不正确．④由③可得：f（x）的最大值为2，正确．其中所有正确结论的编号是①②④．故选：A．由①可得：f（x）是偶函数，且周期T=π．只要考察在x∈[0，π]上，当x∈上时，f（x）=2cos x；当x∈上时，f（x）=0，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目．对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a＞e；对于C：f（0）=1＞0，0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，对于D：f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增即可得出结论．【解答】解：∵x1+x2=ln（a2x1x2）=2ln a+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a=，f（2）=e2-2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，A不正确；∵f（x）=e x-ax，∴f′（x）=e x-a，令f′（x）=e x-a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x-a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增，f（x）只有一个零点，不符合题意．②当a＞0时，∵f′（x）=e x-a＞0，∴e x-a＞0，解得x＞ln a，∴f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x-ax有两个零点x1＜x2，∴f（ln a）＜0，a＞0，∴e ln a-a lna＜0，∴a＞e，B不正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，C不正确；f（x）在（-∞，ln a）单调递减，在（ln a，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=ln a，且x1+x2＜2x0=2ln a，D正确．故选：D．13.【答案】（0，+∞）【解析】解，依题意，函数y=10lg x的定义域为{x|x＞0}，所以y=10lg x=x，值域为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．先求出函数的定义域，在根据对数运算即可得到函数的值域．本题考查了函数的值域，对数运算，考查了计算能力，做题时注意定义域优先的原则．本题属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标即可求出，从而可以求出，这样即可求出与夹角的余弦值．考查向量加法、数乘和数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．【解答】解：∵，；∴，；∴=．故答案为：．15.【答案】8π【解析】解：根据三视图，由几何体的定义知：该几何体是底面半径为2，母线长为3的圆柱，从中挖掉一个同底等高的圆锥，圆柱的体积为3×π×22=12π，圆锥的体积为故此空间几何体的体积为12π-4π=8π故答案为8π由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆柱从中挖掉一个同底等高的圆锥，它们的高与半径已知，故可用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是一个组合体的体积，由于其开关的特殊性，本题采取了割补的方法求体积，补充了一个圆锥使几何体成了一个圆柱，然后用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能16.【答案】;1【解析】解：在△ABD中，由正弦定理可得：=，在△ACD中，由正弦定理可得：=，∵sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，∴==．设∠BAD=α，则S△ABD=×1××sinα=，S△ACD=×2××sinα=，S△ABC=×1×2×sin2α=2sinαcosα，∴+=2sinαcosα，∴解得cosα=，可得α=，∴S△ABC=AB•AC•∠sin∠BAC=sin2α=1．故答案为：;1．由已知利用正弦定理得出结论=，根据三角形的面积公式求出∠BAD，即可得出三角形的面积．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x-cos（2x+）-1=cos2x-cos2x+sin2x=sin（2x+）…3分∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期T==π，…5分令2x+=kπ+，k∈Z，解得：x=+，k∈Z，∴对称轴方程为：x=+，k∈Z…7分（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，设A=[]，B={x|-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}，可得：A∩B=[-，]，…9分∴当x∈[]时，f（x）在区间[-，]上单调递增；在区间[，]上单调递减…14分【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用可得f（x）=sin（2x+）．利用周期公式可求f（x）的最小正周期．令2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴方程．（Ⅱ）结合x的范围利用正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．解：（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以=；由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以．在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=，于是 ==4．【解析】（1）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，进而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能证明DE⊥平面PBC．（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由PD是阳马P-ABCD的高，得到=；由DE是鳖臑D-BCE的高，得到．由此能求出的值．本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（1）∵0.05+0.4+0.3=0.75＞0.5，0.75-0.5=0.25，∴这100名学生语文成绩的中位数是，这100名学生语文成绩的平均数是：105×0.05+115×0.4+125×0.3+135×0.2+145×0.05=123．（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为，∴数学成绩在[140，150]的人数为100-97=3人，设为a1，a2，a3，而数学成绩在[130，140）的人数为人，设为b1，b2，从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），共10个，选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140，150]的基本事件为：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），共6个，∴选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140，150]的概率是．【解析】（1）由中位数两侧的面积相等即可求得中位数，由同一组数据用该区间的中点值乘以对应的概率即可求得平均值；（2）根据对应的比例关系可求得数学成绩在[130，140）的人数，进而可求得选出的2人中恰好有1人数学成绩在[140，150]的概率．本题主要考查频率分布直方图中的中位数平均数的求法，古典概型，属于中档题．20.【答案】（1）证明：由题设得4（a n+b n）=4（a n-1+b n-1）+8，即a n+b n=a n-1+b n-1+2，因此c n-c n-1=2（n≥2），又c1=a1+b1=3，所以数列{c n}是首项为3，公差为2的等差数列．又由题设得4（a n-b n）=2（a n-1-b n-1），即2（a n-b n）=a n-1-b n-1，因此，又d1=a1-b1=1，所以数列{d n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）由（1）知．即，解得，．（3）由于，所以，整理得，同理，所以．整理得．【解析】（1）直接利用定义求出数列为等差和等比数列．（2）利用（1）的结论，求出数列的通项公式．（3）利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠1}所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上单调递增．又，所以f（x）在区间（1，+∞）有唯一零点x1，即，又，所以f（x）在区间（-∞，1）有唯一零点-x1．综上所述，f（x）有且仅有两个零点．（2）因为，所以点在曲线y=ln x上．由题设所以直线AB的斜率．因为曲线y=e x在点处切线的斜率是，曲线y=ln x在点处切线的斜率也是，所以曲线y=e x在点处的切线也是曲线y=ln x的切线．【解析】（1）. 得出f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上单调递增．又，所以f（x）在区间（1，+∞）有唯一零点x1，即又，所以f（x）在区间（-∞，1）有唯一零点-x1，进而得出结论．（2）．曲线y=e x在点处切线的斜率是，曲线y=ln x在点处切线的斜率也是，进而得出结论．本题是导数的综合应用，利用导数求单调性进而得零点，及导数的几何意义，属于难题．22.【答案】解：（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=x tanα得tanθ=tanα，∴l极坐标方程是．C1的普通方程是x2+y2-2ax=0，其极坐标方程是ρ=2a cosθ；（2）C1：ρ=cosθ，C2：ρ=2sinθ，将θ=α分别代入C1，C2得|OM|=-cosα，|ON|=2sinα．∴2|OM|2+|OM||ON|=2cos2α-2cosαsinα=．∵，∴当时，2|OM|2+|OM||ON|取最大值．【解析】（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入y=x tanα可得l的极坐标方程，对曲线C1的参数方程消去φ可得其普通方程，然后再转化为极坐标方程即可；（2）将θ=α分别代入C1，C2得|OM|=-cosα，|ON|=2sinα，然后根据2|OM|2+|OM||ON|=2cos2α-2cosαsinα求出其最大值．本题考查了直角坐标方程与参数方程转化为极坐标方程和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属中档题．23.【答案】证明：（1）∵，同理，，∴；（2）由（1）得a2+b2+c2≥ab+bc+ca．∵ab+bc+ca=1，∴a2+b2+c2≥1．∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2+2．∴（a+b+c）2≥3，即．【解析】（1）根据，同理可得，，三式相加可得．（2）根据ab+bc+ca=1，结合a2+b2+c2≥ab+bc+ca，可进一步证明．本题考查了基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。

2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2} 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．1126．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y=112x2或y=−136x27．函数y＝cos2x+sin x﹣1的值域为（）A．[−14，14]B．[0，14]C．[﹣2，14]D．[﹣1，14]8．函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．20√6海里B ．40√6海里C ．20(1+√3)海里D ．40海里11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= ． 14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 石．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 ．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 ． 三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数．求X 的分布列和期望．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0． （1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m+1n的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2}【分析】利用交集性质求出x2＝2，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，M∩N＝{2}，∴x2＝2，∴M∪N＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．解：若“|a→|＝|b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是菱形；若“|a→+b→|＝|a→−b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是矩形；故“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a→|＝|b→|”与“|a→+b→|＝|a→−b→|”表示的几何意义，是解答的关键．4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定【分析】空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．112【分析】由正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，然后求解三棱锥的体积．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴（√3）2＝PA 2+PB 2+PC 2＝3PA 2⇒PA ＝PB ＝PC ＝1， 所以三棱锥的体积为：13×12×1×1×1=16，故选：A ．【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键． 6．点M （5，3）到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ） A ．y ＝12x 2B ．y ＝﹣36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝﹣36x 2D ．y =112x 2或y =−136x 2 【分析】根据点M 到准线的距离为|3+14a|＝6，分a ＞0和a ＜0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．解：当a ＞0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2， 当a ＜0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |＝6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 7．函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1的值域为（ ） A ．[−14，14]B ．[0，14]C ．[﹣2，14]D ．[﹣1，14]【分析】由条件根据y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．解：∵函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，sin x ∈[﹣1，1]，故当sin x =12时，函数y 取得最大值为14；当sin x ＝﹣1时，函数y 取得最小值为﹣2，故函数y 的值域为[﹣2，14]．故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．8．函数f(x)=e x +1|x|(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证．解：f （x ）为奇函数，排除A ，B ．又当x ＞0时，f （x ）＞0，且f(x)=1|x|(1+2e x −1)单调递减，故C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的图象可得A＝1，T=2πω=2[π3−(−π6)]=π，∴ω＝2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ＝0，∴φ=π3．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6）．故把f（x）＝sin2（x+π6）的图象向右平移π6个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．20√6海里B．40√6海里C．20(1+√3)海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，∴AD＝20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=√2CD＝40√2．在△ABD 中，由余弦定理得AB =√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6． 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张【分析】由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）． 其中甲获胜有3种，而乙只有1种， 所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3； 当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌， 故选：A ．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．12．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)【分析】求出直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a ＜b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．解：由题意可设F （c ，0），B （0，b ），则直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0， ∵在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2， ∴线段BF 与以A 1A 2为直径的圆相交，即√b 2+c2a ，化为b 2c 2＜a 2（b 2+c 2）， 又b 2＝c 2﹣a 2，即有a 4+a 2b 2﹣b 4＞0，可得0＜b 2a2＜1+√52，在线段BF 上（不含端点）存在两个不同的点P i （i ＝1，2）， 使得∠A 1P i A 2=π2， 可得a ＜b ，可得1＜b 2a2＜1+√52，故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= 3 ．【分析】推导出f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1，f （0）＝20+1＝2，由此能求出f(√10)+f(0)的值．解：∵函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，∴f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1， f （0）＝20+1＝2，f(√10)+f(0)=1+2＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 170 石．【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252，解得x ＝170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．【点评】本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 y ＝（12）x5730．【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 解：依题意可设y =(12)ax ，当x ＝5730时，y =12，即有12=(12)5730a ，解得a =15730， 故答案为：y ＝（(12)x5730．【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 m ≥23e √e −√e ． 【分析】分离参数m ，即要使原式成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立．构造函数h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，利用导数求该函数的最大值即可．解：由题意，要使对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g （x ）恒成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立，令h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12， 则h′(x)=−x 2+lnx +e −12，易知h′(√e)=0，而h″(x)=−2x +1x =1−2x 2x ，当x ∈[12，√22)时，h ″（x ）＞0，h ′（x ）递增；当x ∈(√22，+∞]时，h ″（x ）＜0，h ′（x ）递减．结合h′(12)=e −ln2−34＞0，h′(√22)=e −1−12ln2＞0，∴x ∈[12，√e)时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增；x ∈(√e ，+∞]时，h （x ）递减．故h(x)max =h(√e)=23e √e −√e ．所以要使原式恒成立，只需m ≥23e √e −√e ．故答案为：m ≥23e √e −√e ．【点评】本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，不等式恒成立问题，一般是先转化为函数的最值，然后再利用导数研究函数的单调性来处理，能分离参数的一般要分离参数．同时考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于较难的题目．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=2log3a n−1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1＝3a n，再由a1＝3可求得a n；（2）根据（1）中求出的a n可得b n＝（2n﹣1）（13）n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1=32a n+1−32a n，即a n+1＝3a n．又a1＝3，所以数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n＝3n；（2）由（1）知a n＝3n，∵b n=2log3a n−1a n，∴b n=2n−13n，∴T n=13+3×（13）2+5×（13）3+⋯+2n−13n③，13T n＝（13）2+3×（13）3+…+（2n﹣3）（13）n+2n−13n+1④，由③﹣④可得23T n=13+2[（13）2+（13）3+…+（13）n]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−1 3n+1=23−2+2n3n+1，∴T n＝1−1+n 3n．【点评】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两天中客流量超过7万人的天数．求X的分布列和期望．【分析】（1）①由频率分布直方图中的数据即可得解；②设中位数为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可得解；（2）先由频率分布直方图中的数据分别求出100天中客流量超过5万人次和超过7万次的天数，确定X的取值为0，1，2，再根据超几何分布逐一计算每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而可得数学期望．解：（1）①客流量的平均数为（2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05）×1＝4.15；②设中位数为x，则0.20+0.25+0.40（x﹣4）＝0.5，解得x＝4.125，故客流量的中位数为4.125．（2）从频率分布直方图可知，客流量超过5万人次的频率为0.05×3×1＝0.15，∴n＝100×0.15＝15，而客流量超过7万人的天数为100×0.05×1＝5天，∴随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C102C50C152=45105=37，P（X＝0）=C101C51C152=50105=1021，P（X＝0）=C100C52C152=10105=221．∴X的分布列为：X012P371021221数学期望E（X）=0×37+1×1021+2×221=23．【点评】本题考查频率分布直方图中的数字特征、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．【分析】（1）证明CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥C 1E ，可得B 1C 1⊥平面CC 1E ，即可证明结论； （2）连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，求出EH ，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM 的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1C 1．因为AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点， 所以B 1E =√5，B 1C 1=√2，EC 1=√3，从而B 1E 2＝B 1C 12+EC 12，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ．又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE ．（2）解：连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1， 连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH =√26x ，AH =√346x ．在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1=√2，得EH =√2MH =13x ．在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2+EH 2﹣2AE •EH cos 135°，得1718x 2＝1+19x 2+√23x ．整理得5x 2﹣2 √2x ﹣6＝0，解得x =√2（负值舍去）， 所以线段AM 的长为√2．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．【分析】（1）设T 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得直线PQ 的斜率，进而求出直线PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ 的中点坐标，求出直线OT ，OM 的斜率可得斜率相等可得线段OT 平分线段PQ ； （2）由（1）得|PQ |的长，|TF |的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T 的坐标解：（1）证明：由题意设T （﹣3，m ），椭圆的左焦点F （﹣2，0），所以K FT =m−3+2=−m ， 所以k PQ =1m， 设直线PQ 的直线方程为：y =1m（x +2），即x ＝my ﹣2， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设PQ 的中点M ，将直线PQ 与椭圆的方程联立{x =my −2x 26+y 22=1整理可得：（3+m 2）y 2﹣4my ﹣2＝0，y 1+y 2=4m 3+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=−123+m 2， 所以中点M （−63+m2，2m 3+m 2），因为k OT =m −3=−m 3，k OM =2m3+m 2−63+m 2=−m3， 所以k OT ＝k OM ，所以线段OT 平分线段PQ ．（2）由（1）可得：|PQ |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2−4⋅−23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2， 而|FT |=√m 2+(−3+2)2=√1+m 2， 所以|FT||PQ|=22√6√1+m 2=2√6⋅2+(√1+m 2)2√1+m 2，令t =√1+m 2≥1，所以2+t 2t=2t+t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，即m ＝±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T （﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）【分析】（1）根据切点处的导数为0，可求出a 的值，然后令导数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据（1）的结论，将结论转化为证明x 1+x 2＜0，结合f （x 1）＝f （x 2），进一步转化为f （x ）﹣f （﹣x ）＞0，x ∈(0，π2]成立．构造函数h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），利用导数研究单调性容易证明．解：（1）f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣a ，k ＝f ′（0）＝e 0﹣a ＝0，∴a ＝1． ∴f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣1，当x ∈[−π2，0)，f′(x)＜0，f(x)递减； 当x ∈(0，π2]时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以函数f （x ）的递增区间为[0，π2]，递减区间为[−π2，0]． （2）由（1）可知，x 1，x 2异号，不妨设−π2≤x 1＜0＜x 2≤π2． 则−π4＜x 1+x 22＜π4，因为f （x ）在[−π2，0]上递减， 故要证f′(x 1+x 22)＜0，只需证x 1+x 22∈[−π2，0]，即证x 1＜﹣x 2． 因为x 1，−x 2∈[−π2，0]，所以只需证f （x 1）＞f （﹣x 2），又x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2）， 只需证f （x 2）＞f （﹣x 2），即f （x 2）﹣f （﹣x 2）＞0． 不妨令h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），x ∈∈[0，π2]．∵h ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（﹣x ）＝x cos x +e x ﹣1﹣x cos （﹣x ）+e ﹣x ﹣1 =e x +e −x −2＞2√e x ⋅e −x −2=0．所以h （x ）在[0，π2]递增，∴h （x ）＞h （0）＝0． 所以f(x 1+x 22)＜0． 【点评】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、与不等式有关的问题之应用．同时体现了对学生的逻辑推理、数学运算、以及直观想象等数学核心素养的考查．属于较难的题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π）转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣3＝0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，转换为（x +1）2+y 2＝1，所以圆心（﹣1，0）到直线的距离d =4√2=2√2＞1，所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．（2）将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），代入x 2+y 2+2x ＝0，整理得t 2+8t cos θ+15＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，t 1t 2＝15．由于满足|PM |+|PN |＝5|MN |．所以|t 1+t 2|＝5|t 1﹣t 2|，整理得24（﹣8cos θ）2＝100×15．所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m +1n 的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a 的值，根据m +n ＝4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可得当x ＜﹣2时，﹣3x ﹣2≥﹣3x +4，即﹣2≥4，所以无解；当﹣2≤x ≤2时，x +6≥﹣3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x ＞2时，3x +2≥﹣3x +4，得x ≥13，可得x ＞2．∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． （Ⅱ）根据函数f(x)={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可知当x ＝﹣2时，函数取得最小值f （﹣2）＝4，可知a ＝4，∵m +n ＝4，m ＞0，n ＞0，∴1m +1n =14(m +n)(1m +1n )=14(1+1+n m +m n )≥14(2+2)=1． 当且仅当n m =m n ，即m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴1m +1n的最小值为1． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则A. 1，B. 0，1，C. 1，D. 1，，，2.已知复数z满足，i为虚数单位，则z为A. B. C. D.3.设，是向量，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线，，，满足，，则下列结论一定正确的是A. B. 与既不垂直又不平行C. D. 与的位置关系不确定5.已知，则A. B. C. D.6.已知正三棱锥P一ABC，点P、A、B、C都在直径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的底面ABC的面积为A. B. C. D.7.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是A. B.C. 或D. 或8.函数其中e为自然对数的底数的图像大致为A. B.C. D.9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西，北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为A. 海里B. 海里C. 海里D. 40海里11.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.B.C.D.12.已知双曲线的两顶点分别为，，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上不含端点存在两点，，使得，则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．14.我国古代数学名著数术九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有______石．15.考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x 的关系式可以表示为______．16.已知，，对于时都有恒成立，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列的前n项和，满足，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．求这100天中，客流量超过4万的频率；同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．求客流量的中位数．19.如图，四棱柱中，平面ABCD，，，，，E为棱的中点证明：平面；求三棱锥的体积．20.已知椭圆C的标准方程是设F是椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F做TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：线段OT平分线段其中O为坐标原点当最小时，求点T的坐标．21.已知函数若函数在点处的切线与x轴平行，求实数a的值及函数在区间上的单调区间；函数在区间上单调递增，求实数a的范围．已知连续22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，在极坐标系与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴中，曲线的极坐标方程为．若，试判断曲线和的位置关系；若曲线与交于点M，N两点，且，满足求的值．23.已知函数．Ⅰ解不等式：；Ⅱ若函数的最小值为a，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，，1，．故选：C．利用交集性质求出，由此能求出．本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z满足，，故选：A．由条件解得，把的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.答案：B解析：解：“”“”“”是“”的充要条件．故选：B．“”“”即可判断出结论．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：空间中三条两两不同的直线，，，满足，，可得与平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．空间中三条两两不同的直线，，，满足，，画出图象，即可判断出结论．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：，，，故选A．6.答案：A解析：解：，PB，PC两两垂直，又三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．，三棱锥的底面边长为，该正三棱锥的底面ABC的面积为：．故选：A．由正三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，求出底面边长，然后求解底面面积．考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键．7.答案：D解析：解：当时，开口向上，准线方程为，则点M到准线的距离为，求得，抛物线方程为，当时，开口向下，准线方程为，点M到准线的距离为解得，抛物线方程为．故选：D．根据点M到准线的距离为，分和两种情况分别求得a，进而得到抛物线方程．本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．利用函数的奇偶性，和特值进行验证．【解答】解：，为奇函数，排除A，B．又当时，，且单调递减，故C符合．故选：C．9.答案：B解析：【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的的解析式．再根据函数的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数，的图象可得，，．再由五点法作图可得，．故函数的的解析式为故把的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故选：B．10.答案：A解析：【分析】分别在和中利用正弦定理计算AD，BD，再在中利用余弦定理计算AB．本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【解答】解：连接AB，由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得海里．故选：A．11.答案：A解析：解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，，设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则，故选：A．由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：，由几何概型中的面积型可得：则，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．12.答案：A解析：解：由题意可设，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得，线段BF与以为直径的圆相交，即，化为，又，即有，可得，在线段BF上不含端点存在两个不同的点，使得，可得，可得，故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．13.答案：0解析：解：x，y满足约束条件，的可行域如图：目标函数结果可行域的B点时，目标函数取得最小值，由可得，目标函数的最小值为：0．故答案为：0．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．14.答案：170解析：解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x石，则，解得，估计这批米内所夹的谷有170石．故答案为：170．设这批米内所夹的谷有x石，由等可能事件概率计算公式得，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：依题意可设，当时，，即有，解得，故答案为：．根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：，化为：，令，．对于时都有恒成立．．，函数在单调递减，，，函数在上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极大值即最大值，．．故答案为：．，化为：，令，对于时都有恒成立利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：由，可得，由可得，即．又，所以数列是首项、公比均为3的等比数列，；由知，，，，，由可得，．解析：由，可得，由可得，再由可求得；根据中求出的可得，再利用错位相减法求出．本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.答案：解：频率为，平均数为：；设中位数为x，则，解得中位数为．解析：可以将符合题意得频率相加可得，根据平均数，中位数的公式进行运算．本题考查频率直方图，以及平均数，中位数，属于中档题．19.答案：证明：四棱柱中，平面ABCD，，，，，E为棱的中点，可得，，，则，，又平面ABCD，，，而，平面；解：，，即E到的距离为，又，．由得平面，．即三棱锥的体积为．解析：由已知求解三角形证明，再由平面ABCD，得，由直线与平面垂直的判定可得平面；由已知求出，即E到的距离为，再求出，由得平面，然后利用即可求三棱锥的体积．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．20.答案：解：证明：由题意设，椭圆的左焦点，所以，所以，设直线PQ的直线方程为：，即，设，，设PQ的中点M，将直线PQ与椭圆的方程联立整理可得：，，，所以中点，因为，，所以，所以线段OT平分线段PQ．由可得：，而，所以，令，所以，当且仅当时取等号，即，所以，这时或．解析：设T的坐标，可得直线TF的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的方程，将直线PQ与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ的中点坐标，求出直线OT，OM的斜率可得斜率相等可得线段OT平分线段PQ；由得的长，的长，求出，换元，由均值不等式可得最小值，同时求出T的坐标本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：，，，解得，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；即函数的递减区间为，递增区间为；函数在区间上单调递增，，，又在上单调递增，当时，，．即实数a的范围为．解析：由，可得，解得，于是，分与两类讨论，即可求得的单调递增区间与递减区间；函数在区间上单调递增，分离参数a，可得，利用在上单调递增，即可求得实数a的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数来求曲线某点的切线方程，考查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查分离参数法与放缩法的应用，属于难题．22.答案：解：当，所以曲线的参数方程为为参数，转换为，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为，转换为，所以圆心到直线的距离，所以曲线和的位置关系为相离．将曲线的参数方程为为参数，，代入，整理得，所以，．由于满足．所以，整理得．所以，所以．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得．不等式的解集为．Ⅱ根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，，，，．当且仅当，即时，取“”．的最小值为1．解析：本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．Ⅰ通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；Ⅱ求出a的值，根据以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．。

辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合2{}230{|24}A x x x B x x =-->=<<，，则()U C A B = （ ） A ．[1,4]- B ．[1,4)-C ．[2,3)D ． (2,3]2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．“至少有1个白球”和“都是红球” B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3. 若22)4sin(2cos -=-παα，则cos sin αα+的值为（ ）A ．12 B ．12- C． D ．4. 已知分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且＝（ ）A ．－3B ． 1C ．－1D ．35. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（ ） A ．3π B. 6π C. 2πD. 23π6. ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1= B ．⊥ C ． 1a b ⋅= D ．()4C a b +⊥B7.若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）(),()f x g x 32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8 8.等差数列333log (2),log (3),log (42),x x x +的第四项为( )A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249.已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=， 若(1)2,f =则20191()i f i ==∑( )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m11. 设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,有下述四个结论：①()f x 在(0,2)π恰好有3次取到最大值 ②()f x 在(0,2)π恰好有2次取到最小值③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论．．．．．．的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③12. 已知函数有两个零点，，，则下面说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 有极小值点，且二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13. 函数lg 10x y =的值域是_________.14.若向量(1,2),(1,1),a b ==- 则2a b +与a 夹角的正弦值等于________. 15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. 16. 如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠ 的平分线，且1,2AB AD AC ===. 则BDDC的值为_______， ABC ∆的面积为_______________.（本题第一空2分，第二空3分．）三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；（2）讨论函数f (x )在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.18.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19.（本小题满分12分）辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 满足1,211==b a ，且1111434(2)434n n n n n n a a b n b a b ----=++⎧≥⎨=++⎩（1）令,,n n n n n n c a b d a b =+=-证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；)（2）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21.（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=有两个极值点1x 、2x ，且2121>⋅x x ． （1）求实数a 的取值范围M ； （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀ 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=． （1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点， 求22||||||OM OM ON +的最大值．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设0,0,0a b c >>>，1ab bc ca ++=． （1）求证：111a b c bc ca ab a b c++≥++．（2）求证：a b c ++≥．数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13、 (0,)+∞ 14、10 15、 23 16、1,12三、解答题17. 解：（1），…………（3分）因为，所以最小正周期，…………（5分）令，所以对称轴方程为，.…………（6分）（2）令，得，，…………（8分） 设，{|,}36B x k x k k Z ππππ=-+≤≤+∈，易知，…………（10分）所以，当时，在区间上单调递增； 在区间上单调递减. …………（12分）18. （1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=． ()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos 2cos 22sin 226x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭2ω=2Tππω==2=62x k πππ++62k x ππ=+k Z ∈222262k x k πππππ-+≤+≤+36k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,46AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由180A B C ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B ︒=．…………（4分）（2）由正弦定理，2sin sin sin a c b A C B ===，所以2sin ,2sin a A c C == ， ABC ∆的面积11sin 2sin 2sin 22S ac B A C ==⋅⋅sin A C=2sin()3A A π=-213sin )sin cos 22A A A A A A =+=+31cos2sin 242A A -=+)6A π=-…………（8分） 因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，因此62A ππ<<.…………（10分） 所以52666A πππ<-<，1sin(2)126A π<-≤S <≤， 因此ABC ∆的面积的取值范围是. …………（12分）19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………（2分） 这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=…………（4分）（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140）的人数为0.210020⨯=人，…………（6分） X 可取0,1,2，021********(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列…………（10分） ∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．…………（12分）（注：或用超几何分布的期望公式计算：这里X 服从参数为30,10,2N M n ===的超几何分布，因此102()2.303M E X n N =⋅=⨯=） 20.（1）证明：由题设得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，因此12(2)n n c c n --=≥，又1113c a b =+=， 所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分） 又由题设得114()2()n n n n a b a b ---=-， 即112()n n n n a b a b ---=-，因此11(2)2n n d d n -=≥，又1111d a b =-=， 所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列. …………（4分） (2)由（1）知1121,().2n n n c n d -=+=即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),().2222n n n na nb n =++=+-…………（6分） （3）2211()()(21)().2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ 2311211111132[()()()](21)()22222211[1()]12232(21)()1212115()(21)()22n nn n nn nS n n n ---=+⨯++++-+⋅⨯-=+⨯-+⋅-=--+⋅两式相减得， 所以1110(25)()2n n S n -=-+⋅.…………（12分）21. 解：（1）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f ， ………………（2分）0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>+>-=∆≠210044021212x x x x a a a ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>>-≠2110204402a a a a ， ………………（4分）解得a 的取值范围)2,1(=M ． ………………（6分）（2）由0122=+-ax ax ，解得aaa a x a a a a x -+=--=2221,，而)(x f 在),0(1x 上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增 ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ．∴)(x f 在]2,221[+上单调递增， ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． ………………（7分） ∴“]2,221[0+∈∃x ，使2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对M a ∈∀恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a b a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+b a ba a 对任意的a （21<<a ）恒成立． ………………（8分） 令12ln )1ln()(2+-+--+=b a ba a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a aba ba ba a a g ． ①当0≥b 时，0122)(2<+---='a aba ba a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<b 时，1)211(2)(+++-='a b a ba a g ，∵21<<a ，若1)211(>+-b，即041<<-b 时，则)(a g 在)2,1(上先递减，∵0)1(=g ，∴21<<a 时，0)(>a g 不能恒成立；若1)211(≤+-b ，即41-≤b 时，则)(a g 在)2,1(上单调递增， ∴>)(a g 0)1(=g 恒成立，∴b 的取值范围为]41,(--∞． ………………（12分）22. 解：（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，所以l 极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ． 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．…………（5分）（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 2)14OM OM ON αααα+=-=-+．因为ππ2α<<，当7π8α=时，所以22||||||OM OM ON +1．…………（10分）23. 证明：（1）因为2a b bc ca c +≥=，同理2b c ca ab a +≥，2a c bc ab b +≥， 所以111a b c bc ca ab a b c++≥++． …………（5分） （2）由（1）得222a b c ab bc ca ++≥++．因为1ab bc ca ++=， 所以2221a b c ++≥．因为2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++．所以2()3a b c ++≥，即a b c ++≥． …………（10分）。

2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y=}，则 A ∩?R B 等于（ ）3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ． p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧q5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数，如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54于（ ） A ．3B ．2C ．﹣ 2D ．﹣ 37．若（ x 2﹣a ）（x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（ ）2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1B ．｛x|﹣ ｝C ．｛x| ﹣1｝D ．｛x|a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的D ．（￢ p ）∧（￢ q ） ）则输出的结果是 6．设 x ， y 满足约束条件，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m 等4．执行如图所示的程序框图，D ．A．B．C．1 D．25 ，则俯视图中线段的长度x的8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为值是（）A ．6B ．4C ．5D ．29．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）、填空题13．已知函数 f （x ）=，若 f （x ）≤2，则x 的取值范围是的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 ．15．在△ ABC 中， ∠C=90 °，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 ． 16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ． 三、解答题17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．B．C ．D ． ．．．A ．10．若函数 f （ x ） =4sin （ 2x+φ）（ | φ| <）的图象关于直线 x= 对称， 且当 x 1，x2∈（﹣ ）， x 1≠x 2 时， f （x 1）=f x 2），则 f （ x 1+x 2）等于（ ）A ．11． 4 已知点 B ．2 C ．2 D ． 2 A 是抛物线 y 2=2px （ p> 0）B ，C 两点， 上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（A ． 12y 2=12x 设函数222 B ． y 2=14x C ． y 2=16x D ．y 2=18x 在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ）， f （x ）当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时， f ′（ x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ +∞）B ．［﹣，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线=1（a>0，b>0） 的一个焦点，且与双曲线，则实数 m 的取（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）求同时满足下列条件的所有 a n的和：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除． 18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的300 人进行问卷访谈，问应在持所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形，为等边三角形，AD=DF=2AF=2 ，C为 DF的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC折起，使得平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF⊥平面 ABCD ，连接 EF、DF，设 G为 AE上任意一点．（1）证明： DG∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．原点 O 向圆 M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P、Q，直线 OP， OQ 的斜率分别记为 k1， k2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 M 的方程；（2）若 r= ，21．已知函数 f（x）=mlnx+2nx2+x（x>0，m∈R，n∈R）．（1）若曲线 y=f（ x）在（ 1，f（1））处的切线方程为 2x+y﹣1=0，求 f（x）的20．如图，在平面直角坐标系xOy，设点 M（x0， y0）是椭圆C：=1 上一点，从① 求证： k1k2 为定值；② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．递增区间；（2）若 m=1，是否存在 n ∈R ，使 f （x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，请说明理由．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ] 22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长； ，求 的值．[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π） [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a的取值范围．x 轴的正半轴为2020 年辽宁省重点高中协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题1．设集合 A={x| x ≥﹣ 1} ，B= { x| y= }，则 A ∩?R B 等于（ ）考点】 交、并、补集的混合运算．【分析】 根据题意，求出集合 B 以及 B 在 R 中的补集，再求 A ∩?R B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x ≥﹣ 1}， B={x|y= }={x|3x 2+5x ﹣2≥0}={x| x ≤﹣2，或 x ≥ }， ∴?R B={x| ﹣2<x< }，∴A∩?R B={x| ﹣1≤x< } ． 故选： A ． 考点】 复数求模．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的运算公式求得解：∵ z= = ， ∴| z|=∴|z|=又 a< 0 ， 解得 a=﹣ ． 故选： D ．3．命题 p ：若 a<b ，则 ac 2<bc 2；命题 q ：? x 0>0，使得 x 0﹣1﹣lnx 0=0，则下列命题为真 命题的是（ ）A ．p ∧qB ．p ∨（￢ q ）C ．（￢p ）∧qD ．（￢ p ）∧（￢ q ） 【考点】 复合命题的真假．【分析】 命题 p ：取 c=0 时是不成立， 因此是假命题； 命题 q ：取 x 0=1 ，满足 x 0﹣1﹣ lnx 0=0， 即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】 解：命题 p ：若 a< b ，则 ac 2<bc 2，c=0 时是不成立，因此是假命题；2．若复数 z=A ．﹣B ．﹣ 1C ．a<0），其中 i 为虚数单位， |z| = ，则 a 的值为（a 值．分析】 A ．{x|B ．{x| ﹣} C ．{x| ﹣1}命题 q ：取 x 0=1，满足 x 0﹣ 1﹣ lnx 0=0，因此是真命题． 则下列命题为真命题的是（￢ p ）∧ q ， 故选： C ．值，用裂项法即可计算得解．解答】解：模拟执行程序， 可得程序框图的作用是计算并输出5．某中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体 1200名学生中抽取 80 名学生做视力检查．现将 1200名学生从 1到 1200进行编号， 在 1～15中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，则从 46～60这 15个数中应抽取的数是（ ） A ．47 B ．48 C ．51 D ． 54 【考点】 系统抽样方法．【分析】 根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】 解：因为采取系统抽样，每 15人随机抽取一个人，在 1～15 中随机抽取一个数， 如果抽到的是 6，所以在 k 组抽到的是 6+15（ k ﹣ 1），所以 46～60这 15个数中应抽取的数是 6+15× 3=51 故选： C ．，若 z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5，则实数 m等=1+⋯+=的值， 而故选： A ．4．执行如图所示的程序框图， 则输出的结果是（D ．分析】 模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出⋯⋯6．设 x ， y 满足约束条件 考程序框的于（）A．3 B．2 C．﹣ 2 D．﹣ 3【考点】 简单线性规划．【分析】 作出不等式对应的平面区域， 利用线性规划的知识， 通过平移即可求 z 的最大值和 最小值．建立方程关系进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域，距最大，此时 z 最大． z=1+4×4=17 ﹣3．∵z=x +4y 的最大值与最小值得差为 5 ∴17﹣（ 5m ﹣3）=20﹣5m=5． 得 m=3 ． 故选： A ．7．若（ x 2﹣a ）（ x+ ） 10的展开式 x 6的系数为 30，则 a 等于（考点】 二项式系数的性质．分析】 根据题意求出（ x+ ） 10展开式中含 x 4项、 x 6项的系数，得出（ 的展开式中 x 6 的系数，再列出方程求出 a 的值．平移直线 y=﹣ ，由图象可知当直线 y = ﹣经过点 A 时，直线 y=的截当直线 y=﹣经过点 此时 z 最小．z=m ﹣3+4m=5mx 2﹣ a ）（x+ ） 10 由 z=x+4y ，得 y= ﹣B 时，直线y= ﹣的截距最小，【解答】 解：（x+ ）10 展开式的通项公式为： T r+1=?x 10﹣r ?=?x 10﹣2r； 令 10﹣2r=4，解得 r=3，所以 x 4 项的系数为 ； 令 10﹣2r=6，解得 r=2，所以 x 6项的系数为 ； 所以（ x 2﹣a ）（x+ ）10的展开式中 x 6的系数为：﹣a =30 ， 解得 a=2． 故选： D ．C ．5D ．2 由三视图求面积、体积． 由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 h ，利用体积计算公式解得 利用勾股定理即可得出．【解答】 解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，设高为 ∴x= =6， 故选： A ．9．已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱和底面垂直，底面是正三角形，侧棱长是底边长的 2 倍，若该三棱柱的各顶点都在球 O 的表面上，且球 O 的表面积为 36π，则此三棱锥 A ﹣A 1B 1C 1 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积．8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为5 ，则俯视图中线段的长度 x 的 h ，再则=× h ，解得 h= ．h ， 考点】【分析】 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设 出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得 a ，然后由棱柱的体积公式得答案．【解答】 解：如图，10．若函数 f （ x ）=4sin （ 2x+φ）（ | φ| < ）的图象关于直线 x= 对称，且当 x 1，x2∈（﹣，﹣ ），x 1≠x 2时， f （x 1）=f （ x 2），则 f （x 1+x 2）等于（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ． 2 【考点】 正弦函数的图象．【分析】 由正弦函数的对称性可得 sin （ 2× +φ） =±1，结合范围 | φ| < ，即可解得 φ的值，得到函数 f （ x ）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得 解析式利用诱导公式即可计算求值． 【解答】 解：∵ sin （2× +φ）=± 1， ∴φ=k π+ ，k ∈ Z ， 又∵ | φ| < ，∵三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等， 6 个顶点都在球 O 的球面上， ∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为 O ，再设球的半径为 r ，由球 O 的表面积为 36π，得 4πr 2=36π，∴ r=3 ．a ，且球心 O 到上底面中心 设三棱柱的底面边长为 a ，则上底面所在圆的半径为 H 的距x 1+x 2=﹣，代入函数离OH=a ，．∴x 1+x 2=故选： B ．11．已知点 A 是抛物线 y 2=2px （p>0）上一点， F 为其焦点，以 |FA| 为半径的圆交准线于 B ， C 两点，△ FBC 为正三角形，且△ ABC 的面积是 ，则抛物线的方程是（ ） 2222A ．y =12xB ．y =14xC ． y =16xD ．y =18x 【考点】 抛物线的简单性质．计算即可得到 p=8，进而得到抛物线方程．解得 p=8，则抛物线的方程为 y 2=16x ． 故选： C ．+） =2 ．∴f (x 1+x 2) =4sin( =k， k ∈ Z ，可得其对称轴方程为：==， ﹣ ，﹣， ﹣ ，﹣0）关于点（﹣ ，0）对称，分析】 由等边三角形的性质可得 | BF| =| AF| ，由抛物线的定义和三角形的面积公式，解答】 解：由题意可得 =cos30°且| DF| =p ，由抛物线的定义可得 A 到准线的距离也为∴f(x)=4sin( 2x∴由，k ∈Z ，），x 1≠x 2时， f （x ） ∵x 1， x ∈(﹣ ），且（ x 1， 0），（ x ，∴x 1， x ∈(﹣ 可得 |BF|，从而 | AF|在 R 上存在导函数 f ′（ x ），对于任意的实数 x ，有 f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），考点】 利用导数研究函数的单调性．x 2，推出 g （ x ）为奇函数，判断 g （x ）的单调性，然后推出不等式得到结果．【解答】 解：∵ f （x ）=3x 2﹣f （﹣ x ），2设 g （ x ）=f （ x ）﹣ x 2，则 g （x ）+g （﹣ x ）=0， ∴函数 g （x ）为奇函数．∵x ∈（﹣ ∞， 0）时， f ′（x ）+ <3x ， g ′（x ）=f ′（ x ）﹣ 3x<﹣ ，故函数 g （x ）在（﹣ ∞， 0）上是减函数， 故函数 g （x ）在（ 0， +∞）上也是减函数，即 g （m+3）< g （﹣ m ）， ∴m+3≥﹣ m ，解得： m ≥﹣ ， 故选： B ． 、填空题当 x ∈（﹣ ∞， 0） 时，f ′（x ） <3x ，若 f （m+3）﹣ f （﹣ m ）≤ 值范围是（A ．［ ﹣ ，+∞） B ．[﹣ ，+∞） C ．［ ﹣1，+∞） D ．［ ﹣2，+∞） 分析】 利用构造法设 g （ x ）=f （x ） ∴f （x ）2+f （﹣x ）x 2=0，若 f （m+3） f （﹣ m ） ≤ 9m 12．设函数 f （ x ），则实数 m 的取则 f （m+3）m+3）2≤f （﹣m ）13．已知函数 f （x ）= ，若 f （x ）≤2，则 x 的取值范围是 （﹣∞，﹣2] ∪[ ﹣1，4] ．【考点】 函数单调性的判断与证明．【分析】 在每段上解不等式 f （x ）≤2，然后所得 x 的范围求并集即可得出 x 的取值范围．【解答】 解：（1）当 x ≥0 时，由 f （x ）≤2得， ； ∴0≤x ≤4；（2）当 x<0时，由 f （x ）≤ 2得，﹣ x 2﹣3x ≤2； 解得 x ≤﹣ 2，或﹣ 1≤x< 0；综上得， x 的取值范围是（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4] ． 故答案为：（﹣ ∞，﹣2]∪[ ﹣1，4]．14．已知直线 x ﹣ y+2=0 过双曲线 ﹣ =1（ a> 0，b>0） 的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为 2 考点】 双曲线的简单性质．【分析】 求得直线 x ﹣ y+2=0 在 x 轴上的交点，可得 c=2 ，再由两直线垂直的条件：斜率 之积为﹣ 1，可得 b= a ，解方程可得 a=1，进而得到实轴长 2a ． 【解答】 解：直线 x ﹣ y+2=0 过 x 轴上的交点为（﹣ 2， 0），由题意可得 c=2 ，即 a 2+b 2=4，可得双曲线的实轴长为 2． 故答案为： 2．15．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ，AC=1 ，若 =2 ﹣ ，则 ? 等于 12 ． 【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 由直角三角形的余弦函数可得 cosA ，再由向量的加减运算和向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=3 ， AC=1， 可得 cosA= = ， 由 =2 ﹣ ，可得 + =2 ，即 =2 ， 即为 = ，则 ? =（ ﹣ ） ?（ ﹣ ）的一个焦点，且与双曲线 由直线 x ﹣ y+2=0 与双曲线的一条渐近线垂直， 可得即为 b= a ， 解得 a=1， b= ，=（﹣） ?（﹣）22=2+2﹣ ? =故答案为： 12．16．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、c ，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB ， 2 2 2 2且 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，则 m 的值为 ±2 ． 【考点】 两角和与差的正切函数．a 2+b 2=3c 2．结合sin 2A+sin 2B=(m 2+1)sin 2C ，可得 m 的值．【解答】 解：在△ ABC 中，若 tanAtanC +tanBtanC=tanAtanB即 tanC( tanA +tanB ) =tanAtanB ，即22∴ sin 2C=cosC ?sinAsinB ，利用正弦定理可得 c 2=ab?cosC ， cosC=再根据 sin 2A+sin 2B=（m 2+1）sin 2C ，可得 a 2+b 2=（m 2+1）c 2． ∴m 2+1=3 ，∴ m= ± ， 故答案为：± ．三、解答题 17．已知各项均为正数的等差数列 { a n }满足： a 4=2a 2，且 a 1， 4， a 4成等比数列．（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求同时满足下列条件的所有 a n 的和： ① 20≤n ≤116；② n 能够被 5 整除．【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的性质．【分析】（1）根据题意，列出方程组，求出首项 a 1 和公差 d ，写出通项公式即可； （2）得出满足条件的 n 组成等差数列 { b n } ，求出 { b n }的所有项的和，即可求出满足条件的 所有 a n 的和．【解答】 解：（1）根据题意，等差数列 {a n } 中， a 4=2a 2，且 a 1，4，a 4成等比数列， 即，解得 a1=2， d=2； ∴数列 {a n } 的通项公式为 a n =a 1+（ n ﹣ 1）d=2 +2（ n ﹣ 1）× 3× 1× =12 分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 ==，再根据=+==，==再根据 cosC= ，可得 =∴ a 2+b 2=3c 2．× 9+1再利用正弦定求即=2n；（2）∵ a n=2n，且 n 同时满足：① 20≤n≤116；② n能够被 5 整除，∴满足条件的 n 组成等差数列 { b n}，且 b1=20，d=5， b n=115，∴项数为 +1=20 ；∴ { b n} 的所有项的和为S20=20×20+ × 20×19×5=1350，∴满足条件的所有 a n 的和为2S20=2×1350=2700．18．据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了 3000 人进行调查，就“是否取消英语听力”的问题进行了问卷调查统计，结果如表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100 人120 人y人社会人士500 人x人z人已知在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06．（Ⅰ ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300 人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？Ⅱ ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数 X 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列．【分析】（ 1）由，先求出持“无所谓”态度的人数，由此能求出应在持“无所谓态度的人中抽取的人数．（2）由持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生人数为 4，社会人士人数为 2，第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1， 2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 EX ．【解答】解：（ 1）∵在全体样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.06，∴ ，解得 x=60 ，∴持“无所谓”态度的人数为： 3000﹣2100﹣500﹣120﹣60=220，∴应在持“无所谓”态度的人中抽取 220×=22 人．（2）由（ 1）知持“应该保留”态度的一共有 180 人，∴在所抽取的 6 人中，在校学生人数为，社会人士人数为，于是第一组在校学生人数 X 的可能取值为 1，2， 3，∴X 的分布列为：EX= =2 ．19．如图 1，已知四边形 ABFD 为直角梯形， 为等边三角形， AD=DF=2AF=2 ，C 为 DF 的质点，如图 2，将平面 AED 、BCF 分别沿 AD 、BC 折起，使得 平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 BCF ⊥平面 ABCD ，连接 EF 、DF ，设 G 为 AE 上任意一点． （1）证明： DG ∥平面 BCF ；（2）求平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值．【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ ）推导出 CD ⊥平面 AED ，CD ⊥平面 BCF ，从而平面 AED ∥平面 BCF ，由此 能证明 DG ∥平面 BCF ．（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过O 的垂线 为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 BCF 所 成锐二面角的余弦值． 【解答】 证明：（Ⅰ）由题意知 BC ⊥DC ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ， 又 CD ⊥AD ，∴ CD ⊥平面 AED ， 同理， CD ⊥平面 BCF ， ∴平面 AED ∥平面 BCF ，又 DC? 平面 AED ，∴ DG ∥平面 BCF ． 解：（Ⅱ）取 AD 的中点 O ，连结 OE ，则 OE ⊥AD ，∵平面 AED ⊥平面 ABCD ，平面 AED ∩平面 ABCD=AD ，===P（ X=3 ） P P2∴OE ⊥平面 ABCD ，以 OD 为 x 轴，以平面 AED 过 O 的垂线为 y 轴，以 OE 为 y 轴，建立 空间直角坐标系， ∵OE= ，CF=1 ，则 O （ 0， 0，0）， =（ 0， 1，1）， =（ 0，﹣ 设平面 DEF 的法向量 =（ x ， y ， z ）， 则 ，取 z=1 ，得 =（ ，又 = （0，﹣ 1，0）是平面 BCF 的一个法向量，∴平面 DEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值为分析】（ 1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x= ﹣2 ，代入 + =1，可得 y=±1， 求出圆的圆心，然后求圆 M 的方程；1，0）， ﹣ 1， 1），cos< >==20．如图，在平面直角坐标系 xOy ，设点 M （x 0，y 0）是椭圆 C ： 原点 O 向圆 M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=r 2 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P 、 Q ，直线 OP ， OQ 的斜率分别记为 k 1， k 2．（1）若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的左焦点，求圆 （2）若 r= ，M 的方程；=1 上一点，从② 求 | OP| ?| OQ| 的最大值．考点】 椭圆的简单性（2）① 因为直线 OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，与圆 R 相切，推出 k 1，k 2 是方程（ 1+k 2）x 2﹣（ 2x 0+2ky 0） x+x 02+y 02﹣ =0 的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出 k 1k 2．结合点M （x 0， y 0）在椭圆 C 上，得出 k 1k 2=﹣ ．② （ i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），通过 4k 1k 2+1=0， 推出 y 12y 22= x 12x 22，利用 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），在椭圆 C 上，推出 OP 2+OQ 2=20， 即可求出 |OP|?| OQ|的最大值．【解答】 解：（1）椭圆 C 的左焦点是（﹣ 2 ，0），x=﹣2 ，代入 + =1，可得 y= ±1，∴M （﹣ 2 ，±1）∴圆 M 的方程：（ x+2 ） 2+（y ± 1） 2=1；（2）①因为直线 OP ： y=k1x ， OQ ： y=k 2x ，与圆 R 相切，2 2 2 2所以直线 OP ：y=k 1x 与圆 M ：（x ﹣ x 0）2+（y ﹣y 0）2= 联立， 可得（1+k 12）x 2﹣（2x 0+2k 1y 0）因为点 M （x 0，y 0）在椭圆 C 上，所以 y 02=1﹣ ② （i ）当直线 OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）， 因为 4k 1k 2+1=0，所以 y 12y 22= x 12x 22，因为 P （x 1，y 1），Q （ x 2，y 2）在椭圆 C 上，所以 y 12y 22=（ 4﹣ 整理得 x 12+x 22=16， 所以 y 12+y 22=4 所以 OP 2+OQ 2=20．（ii ）当直线落在坐标轴上时，显然有 OP 2+OQ 2=20，22x+x 0+y=0同理（ 1+k 22）x 2﹣由判别式为 =0 的两个不相等的实数根，22 x 1 x 2 ，222x 0+2k 2y 0) x+x 0 +y 00，可得 k 1，k 2 是方程 k 2﹣2x 0y 0k+y 02﹣k 1k 2所以 k1k 2=综上： OP2+OQ2=20所以 | OP| ?| OQ| ≤ （OP 2+OQ 2） =10， 所以 | OP| ?| OQ| 的最大值为 10． 21．已知函数 f （x ）=mlnx +2nx 2+x （x>0，m ∈R ，n ∈R ）．（1）若曲线 y=f （ x ）在（ 1，f （1））处的切线方程为 2x+y ﹣1=0，求 f （x ）的递增区间； （2）若 m=1，是否存在 n ∈ R ，使 f （ x ）的极值大于零？若存在，求出 n 的取值范围；若 不存在，请说明理由．【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于 m ，n 的方程组，求出 m ，n 的值，从而求出 f （x ） 的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；【解答】 解：（ 1）由题意得： f ′（x ）= +4nx+1，f ′（1） =1+m+4n ， 由 f （1） =﹣1，得： k=﹣ 2，，解得： m=1，n=﹣1，∴f （x ） =lnx ﹣2x 2+x ， ∴f ′（x ）=（x>0），令 f ′（x ）> 0，解得： 0<x< ， ∴f （x ）在（ 0， ）递增；（2）由题意得： f （ x ）=lnx +2nx 2+x ，f ′（x ）= （x>0），① n ≥0时， f ′（x ）> 0在（ 0，+∞）恒成立，故无极值，2② n< 0 时，令 f ′（ x ）=0，得： 4nx 2+x+1=0，则△ =1﹣ 16n>0， x 1x 2= <0， 不妨设 x 1<0，x 2>0，则 f ′（x ）= ，即求使 f （x 2）> 0的实数 m的 取值范围，∴g （x ） 在（ 0， +∞）递增，（2）求出 f （x ）的导数，通过讨论 n 的范围，得到 化为求使 f （ x 2）>0的实数 m 的取值范围，构造函数 调性，从而求出 n 的范围即n ≥0 时，不合题意，g （ x ）=lnxn<0 时，问题转求出 g （x ）的构造函数 g （ x ）=lnx lnx 2+> 0，g ′（x ） =+ >0，由 g （ 1）=0，由 g （x ）> 0，解得： x>1， 即 x 2=>1，解得：﹣ < n<0，由①② 得： n ∈（﹣ ， 0）．[ 选修 4-1 ：几何证明选讲 ]22．如图，⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ． （1）若 BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ，求 CE 的长；【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段 股定理的线段的关系可求得 CE 的长度即可． AE 的长，再根据勾，由△ ABD ∽△ AEC ，能求出 【解答】解：（1）∵⊙ O 的弦 ED ，CB 的延长线交于点 A ，BD ⊥AE ，AB=4 ，BC=2 ，AD=3 ， ∴由割线定理得 AB ?AC=AD ?AE ， ∴ AE==2）由已知 AC=2AB ， AE=3AD ，从而 AD= 的值．=8，DE=AE ﹣ AD=8 ﹣ 3=5，又 BD ⊥ AE ，∴ BE 为直径，∴∠ C=90°， 在 Rt △ACE 中，由勾股定理得 CE 2=AE 2﹣ AC 2=28， ∴CE=2 ． （2）∵∠ AEC= ∠ABD ，∠A= ∠A ， ∵，的∴ AC=2AB ， AE=3AD ，∵AD ?AE=AB ?AC ，∴△ ABD ∽△ AEC ，=[ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程选讲 ] 23．（选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程） 已知曲线 C 1的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ． （Ⅰ）把 C 1 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1 与 C 2交点的极坐标（ ρ≥0，0≤θ<2π）【考点】 参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ ）对于曲线 C 1利用三角函数的平方关系式 sin 2t+cos 2t=1 即可得到圆 C 1的普通 方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ ）先求出曲线 C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极 坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C 1 与 C 2 交点的极坐标． 【解答】 解：（Ⅰ）曲线 C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25 即为圆 C 1的普通方程，即 x 2+y 2﹣ 8x ﹣ 10y +16=0 ．将 x= ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得． ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为 C 1 的极坐标方程； （Ⅱ）曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：∴C 1与 C 2交点的极坐标分别为（ ， ），（2， ）．[ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] 24．已知函数 f （x ）=| x ﹣a| ﹣|x+3| ，a ∈R ． （Ⅰ）当 a=﹣1 时，解不等式 f （x ）≤1；（Ⅱ）若当 x ∈[0，3]时，f （x ）≤4，求 a 的取值范围． 【考点】 绝对值不等式的解法．【分析】（ Ⅰ ）当 a=﹣ 1时，不等式为 |x+1|﹣|x+3|≤1，对 x 的取值范围分类讨论，去掉上 式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ ）依题意知， | x ﹣a| ≤x+7，由此得 a ≥﹣7且 a ≤2x+7，当 x ∈[0，3]时，易求 2x+7 的 最小值，从而可得 a 的取值范围． 【解答】 解：（Ⅰ）当 a=﹣1时，不等式为 | x+1|﹣| x+3|≤1．当 x ≤﹣ 3 时，不等式化为﹣（ x+1）+（x+3）≤ 1，不等式不成立；当﹣ 3<x<﹣ 1时，不等式化为﹣（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，解得﹣ ≤x<﹣1； 当x 2+y 2﹣2y=0 ，x≥﹣ 1时，不等式化为（ x+1）﹣（ x+3）≤ 1，不等式必成立．综上，不等式的解集为 [ ﹣，+∞）．⋯（Ⅱ）当 x∈[0，3]时，f（x）≤4即| x﹣a|≤x+7，由此得 a≥﹣7且 a≤2x+7．当 x∈[ 0，3] 时， 2x+7的最小值为 7，所以 a的取值范围是 [ ﹣7，7] ．⋯2020 年 8 月 20 日。

辽宁省部分重点中学协作体2020年高考模拟考试数学（理科）试卷考试时间：120分钟 考试分数：150分试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题，1-12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13-23题，共90分）．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．作答时，将答案写在答题卡，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220A x x x =--≤，{}0B x x =>，则A B =（ ）A. [1-，2]B. （1，2]C. （0，2]D. （2，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得{}12A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以{}{}{}(]120020,2A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂>=<≤=. 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A. i - B. iC. 1D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知10.330.3log 22,2a b c -===，，则a b c 、、的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合对数函数、指数函数的性质可得01a b c <<<<，即可得解. 【详解】由题意0.30.3log 2log 10a =<=，1030221b ，0.30221c =>=， 所以01a b c <<<<. 故选：A.【点睛】本题考查了对数式、指数式的大小比较，考查了对数函数、指数函数单调性的应用，属于基础题.4.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润额依次统计如下：由此所得回归方程为ˆ12y x a =+，若2020年4月广告投入9万元，可估计所获利润约为（ ）A. 100万元B. 101 万元C. 102万元D. 103万元．【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出x 、y ，进而可得12a y x =-，代入9x =即可得解.【详解】由题意()18.27.887.98.185x =++++=，()19289898793905y =++++=， 所以12901286a y x =-=-⨯=-，所以ˆ126y x =-， 当9x =时，ˆ1296102y=⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3644a a a +=+，则9S =（ ） A. 18 B. 24C. 48D. 36【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的性质可得54a =，再由等差数列前n 项公式结合等差数列的性质可得1995992a a S a +=⨯=，即可得解. 【详解】数列{}n a 是等差数列，∴365444a a a a a +=+=+，∴54a =，∴199599362a a S a +=⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n 项和公式的应用，属于基础题.6.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，30~40分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的嗓声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg110x f x -=⨯⨯，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）A. 10B. 100C. 1000D. 10000【答案】D 【解析】 【分析】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ，由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，计算即可得解.【详解】设90dB 的声音与50dB 的声音对应的强度分别为1x 、2x ， 由题意1219010lg110x -=⨯⨯，1225010lg110x -=⨯⨯，所以3110x -=，7210x -=，所以3417210101000010x x --===. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的应用，考查了对于新概念的理解，属于基础题. 7.函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为（ ） A. (2,0),k k Z π∈B. (,0),k k Z π∈C. (,0),2k k Z π∈ D.(,0),4k k Z π∈ 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正切函数的图象与性质可得2,2k x k Z π=∈，即可得解. 【详解】令2,2k x k Z π=∈，则,4k x k Z π=∈， 所以函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正切函数图象与性质的应用，属于基础题.8.已知二项式121(2)n x x+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A 240B. 120C. 48D. 36【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr r T C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r rr T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知函数228,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合基本不等式可得当1x >时，()4f x a ≥+；由二次函数的性质可得1a >，进而可得924a a -≤+，即可得解.【详解】由题意当1x >时，()44f x x a a a x =++≥=+， 当且仅当2x =时，等号成立；当1x ≤时，()228f x x ax =-+，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为x a =，当1a <时，()f a 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，不合题意； 当1a ≥时，()1f 为函数()f x 在(],1-∞上的最小值，()192f a =-， 由题意可得924a a -≤+，解得53a ≥；综上，实数a 的取值范围为53a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了分段函数最值相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于（ ）A. 43πB.323πC. 12πD.643π【答案】B 【解析】 【分析】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、BO ，设1OO m =，由勾股定理可得22134OD m =+、22331OA m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，利用22OD OA =即可得32m =，进而可得外接球半径2R =，即可得解. 【详解】取BD 的中点1O ，BC 中点G ，连接1GO 、AG ，由题意可得1O 为BCD 的外心，AG ⊥平面BCD ，过点1O 作直线垂直平面BCD ，可知三棱锥外接球的球心在该直线上，设为O ，过点O 作OH AG ⊥于H ，连接AO 、OD ，可知四边形1OHGO 为矩形，ABC 是边长为3，2CD =，∴AG =，BD =11O G =，设1OO m =，则HA m =-， ∴222211134OD DO OO m =+=+，22221OA OH HA m ⎫=+=+-⎪⎪⎝⎭， 由22OD OA =可得221314m m ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，解得2m =， ∴三棱锥A BCD -外接球的半径2R ==， ∴此三棱锥外接球的体积343233V R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及外接球的求解，考查了面面垂直性质的应用和空间思维能力，属于中档题.11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A B ，两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若2BC =，1FB =，则AB =（ ） A. 3B. 4C. 6D. 6【答案】B 【解析】 【分析】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由抛物线的性质可得1BG FB ==，设AF AH x ==，由平面几何的知识即可得解.【详解】分别过点B 、A 作准线l 的垂线，垂足分别为G 、H ，由题意1BG FB ==，2BC =，设AF AH x ==，由三角形相似可得BG BC AH AC =即1212x x=++，解得3x =， 则4AB AF BF =+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.12.已知2()2(ln )x e f x t x x x x =-++恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是（ ）A.1(]46e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭， B. 1(,]6-∞C.1[0]46e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭， D. 1(,]4-∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合导数转化条件得()22x t e x =+在()0,∞+上无解，令()()()022xe g x x x =≥+，求导后确定函数()g x 的值域即可得解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()0,∞+， 对函数()f x 求导得()()()2221212()2(1)21x x x e x e f x t x x x t x x ⎡⎤-+⎣⎦'--=-+-=，2()2(ln)xef x t x xx x=-++恰有一个极值点为1，∴()220xe xt+=-在()0,∞+上无解，即()22xtex=+在()0,∞+上无解，令()()()022xeg x xx=≥+，则()()()()()22222212222x x xe x e e xg xx x+-+'==>++，∴函数()g x在[)0,+∞单调递增，当()0,x∈+∞时，()()14g x g>=，∴14a≤.故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.己知x，y满足约束条件102x yx yy-+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y-的最小值是______．【答案】2-【解析】【分析】由题意作出可行域，转化目标函数为2y x z=-，数形结合即可得解.【详解】由题意画出可行域，如图阴影所示：令2z x y =-，目标函数可转化为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，数形结合可得，当直线2y x z =-过点A 时，z 取最小值，由010y x y =⎧⎨-+=⎩可得()1,0A -，此时min 2z =-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题.14.古代中国，建筑工匠们非常注重建筑中体现数学美，方形和圆形的应用比比皆是，在唐、2的比例关系，这是当时工匠们着意设计的常见比例，今天，4A 2，我们称这种满足了2的矩形为“优美”矩形．现有一长方体1111ABCD A B C D -，126AD =，25AC =127AC =，则此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为___________．【答案】4 【解析】 【分析】由题意求出该长方体长、宽、高后，根据新概念验证即可得解. 【详解】由题意，该长方体如图所示：126AD =，25AC =127AC =∴211222CC C AC A =-=222211114AD AD AD DD CC =-==-，222CD AC AD =-=，∴2AB CD ==，1122CC AA == ∴12AA AB =12AD AA =2AD AB=， ∴此长方体的表面六个矩形中，“优美”矩形的个数为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及对于新概念的理解，属于基础题. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S a +=+则n S =______． 【答案】()11312n -+ 【解析】 【分析】由题意利用数列n a 与n S 的关系可转化条件为131n n S S +=-，进而可得111322n n S S +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】121n n S a +=+，11a =，∴111S a ==，11211n n n n S a S S ++=+=-+,∴131n n S S +=-即113133222n n n S S S +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， 又11122S -=，∴数列12n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为3的等比数列，∴111322n n S --=⋅，∴()11111331222n n n S --=⋅+=+. 故答案为：()11312n -+. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.16.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点12F F ，，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，1C 的离心率为37，则2C 的离心率是______． 【答案】3 【解析】 【分析】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =，由椭圆的离心率结合题意可得1123PF F F ==，再由双曲线的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆1C 的长轴为12a ，双曲线2C 的实轴为22a ，122F F c =， 由题意椭圆1C 的离心率12111122327F F c c e a a PF PF ====+， 又12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，24PF =，∴1212347F F F F =+，解得1123PF F F ==，∴双曲线2C 的离心率1222212232F F c ce a a PF PF ====-. 故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆性质、双曲线性质综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答， （一）必考题：共60分17.已知(2cos ,sin ),(cos ,23)m x x n x x ==，且()f x m n =⋅． （1）求()f x 在[0,]2π上的值域；（2）已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若()32A f =，且2a =，4b c +=，求ABC 的面积．【答案】（1）[0,3]（2 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量数量积运算、三角恒等变换可得()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，进而可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得解；（2）由题意可得3A π=，利用余弦定理可得24()3b c bc =+-，求得4bc =后，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由题意可得2()2cos cos f x m n x x x=⋅=+1cos 222cos 2212sin 2126x x x x x π+⎛⎫=⨯+=+=++ ⎪⎝⎭ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴()f x 的值域为[0,3]；（2）因为32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2sin 136A π⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=，sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0A π<<，所以3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-∴24()3b c bc =+-，由4b c +=可得4bc =，1sin 32ABC S bc A ∴==△．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换与解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求锐二面角1D AC C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）155【解析】 【分析】（1）连结1A C ，设11AC AC M =，由平面几何知识可得1//A B MD ，由线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示出点的坐标后，求得平面1DAC 的一个法向量m 、平面1ACC 的一个法向量n ，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：连结1A C，设11AC AC M=，则M是1A C的中点，再连结DM，因为D是BC的中点，所以DM是1A BC的中位线，所以1//A B MD，又因为1A B⊄平面1ADC，DM⊂平面1ADC，所以1//A B平面1ADC；（2）取AB的中点O，过点O作1//Oz AA，连结OC，易知OB、OC、Oz两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有(1,0,0)A-，132D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，3,0)C，13,2)C，所以33,22AD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()11,3,2AC=，()1,3,0AC=，设平面1DAC的一个法向量(,,)m x y z=，则13322320m AD x ym AC x y z⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩，令1x=，则有(1,3,1)m=-，设平面1ACC的一个法向量(,,)n a b c=，则1020m AC a n AC a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1b =-则()3,1,0n =-，所以1cos ,5mn m n m n⋅⨯===⋅，所以二面角1D AC C --的余弦值为5． 【点睛】本题考查了线面平行的证明及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.某工厂计划建设至少3个，至多5个相同的生产线车间，以解决本地区公民对特供商品A 的未来需求．经过对先期样本的科学性调查显示，本地区每个月对商品A 的月需求量均在50万件及以上，其中需求量在50~ 100万件的频率为0.5，需求量在100~200万件的频率为0.3，不低于200万件的频率为0.2．用调查样本来估计总体，频率作为相应段的概率，并假设本地区在各个月对本特供商品A 的需求相互独立．（1）求在未来某连续4个月中，本地区至少有2个月对商品A 的月需求量低于100万件的概率．（2）该工厂希望尽可能在生产线车间建成后，车间能正常生产运行，但每月最多可正常生产的车间数受商品A 的需求量x 的限制，并有如下关系：若一个车间正常运行，则该车间月净利润为1500万元，而一个车间未正常生产，则该车间生产线的月维护费（单位：万元）与月需求量有如下关系：试分析并回答该工厂应建设生产线车间多少个？使得商品A 的月利润为最大．【答案】（1）1116（2）4个 【解析】 【分析】（1）由独立重复实验的概率公式结合题意计算即可得解；（2）按照建设3个车间、4个车间、5个车间讨论，分别求出对应的分布列和期望，比较期望大小即可得解.【详解】（1）由题意每月需求量在50~ 100万件的概率为0.5，则由独立重复实验概率公式可得所求概率223142344441111111112222216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）（i ）当建设3个车间时，由于需求量在50万件以上，此时的净利润Y 的分布列为：则()450014500E Y =⨯=（万元）；（ii ）当建设4个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有1个车间闲置，此时的净利润150035004000Y =⨯-=；需求量100x ≥时，则4个车间正常运行，此时的净利润150046000Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()40000.560000.55000E Y =⨯+⨯=（万元）（iii ）当建设5个车间时，需求量50100x ≤<时，则有3个车间正常运行时，会有2个车间闲置，此时的净利润1500350023500Y =⨯-⨯=；需求量100200x ≤<时，则4个车间正常运行，会有1个车间闲置，此时1500460015400Y =⨯-⨯=；需求量200x ≥时，则5个车间正常运行，此时的净利润150057500Y =⨯=； 则Y 的分布列为：则()35000.554000.375000.24870E Y =⨯+⨯+⨯=（万元） 综上所述，要使该工厂商品A 的月利润为最大，应建设4个生产线车间．【点睛】本题考查了独立重复实验概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题.20.己知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：过点2P ，1(0,1)F -，2(0,1)F 是两个焦点．以椭圆C 的上顶点M 为圆心作半径为()0r r >的圆， （1）求椭圆C 的方程；（2）存在过原点的直线l ，与圆M 分别交于A ，B 两点，与椭圆C 分别交于G ，H 两点（点H 在线段AB 上），使得AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围．【答案】（1）22:12y C x +=（2）【解析】 【分析】（1）由题意结合椭圆性质可得122|a PF PF =+=2221b a c =-=，即可得解；（2）当直线斜率不存在时，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =， ()11,G x y ，()22,H x y ，联立方程后利用弦长公式可得||GH =||AB =转化条件得||||AB GH =，可得24212132r k k ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意1c =，122|a PF PF =+=22a =，2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2212y x +=；（2）当直线斜率不存在时，圆M过原点，符合题意，r =当直线斜率存在时，设直线l 方程为：y kx =，()11,G x y ，()22,H x y ， 由直线l 与椭圆C 交于G 、H 两点，则2212y kx y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()22220k x +-=，>0∆， 则1212220,2x x x x k +==-+，所以||H G ==，点M 到直线l的距离d =，则||AB =， 因为AG BH =，点H 在线段AB 上，所以点G 在线段AB 的延长线上， 只需||||AG BH =即||||AB GH =，所以()2222812421k r k k +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 则()()2422224242212332*********k k k r k k k k k k +++⎛⎫=+==+ ⎪++++++⎝⎭因为24223132224k k k ⎛⎫++=+-≥ ⎪⎝⎭，所以42110322k k <≤++，所以(]22,3r ∈，r ∈；综上，r的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定，考查了直线、圆、椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()1ln f x ax x =++． （1）221()()(1)2g x af x x a a x =+-++，求函数()g x 的单调区间： （2）对于任意0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照1a >、1a =、01a <<与0a ≤分类，分别解出不等式()0g x '>，即可得解；（2）转化条件得对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x --≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e x F x x+'=，设2()ln xh x x e x =+，求导后可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=，则()0()F x F x ≥，设()()0xx xe x ϕ>=，求导后可得()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，即可证000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭，代入求出()0F x 后，即可得解.【详解】（1）由题意21()ln (1),(0)2g x a x x a x a x =+-++>， 则2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a g x x a x x x'-++--=+-+==， （i ）当1a >时，()0g x '>的解集为((,1))0,a +∞，则()g x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；（ii ）当1a =时，()0g x '≥，则()g x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间； （iii ）当01a <<时，()0g x '>的解集为(0,)(1,)a +∞，则()g x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a ；（iiii ）当0a ≤时，()0g x '>的解集为(1,)+∞，则()g x 的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1).（2）由已知，问题等价于对于任意0x >，不等式ln 1x xe x a x--≤恒成立，设ln 1()x xe x F x x --=，则22ln ()x x e xF x x+'=， 设2()ln xh x x e x =+，则()21()2xh x x x e x'=++， 在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，又12110e h e e -⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)0h e =>，所以1(1)0h h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0()0F x '=， 在()00,x 上，()0F x '<，()F x 单调递减； 在()0x +∞上，()0F x '>，()F x 单调递增； 所以()0()F x F x ≥，又有00001ln 20000000111ln ln ln x x x x x e x x e x e ex x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔⇔， 设()()0xx xex ϕ>=，则有()001lnx x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()(1)0xx x e ϕ'=+>， 所以在(0,) +∞上，()x ϕ单调递增，所以000011ln x x e x x ⎛⎫=⇔= ⎪⎝⎭， 所以()0000000ln 111()1x x e x x F x F x x x --+-≥===， 故实数a 的取值范围为1a ≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于难题. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221162x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos()6πρθ+=1C 上的所倍，得曲线2C ． （1）写出直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(1,0)P ， 直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（10y -=，224x y +=（2）3【解析】 【分析】（1）转化直线l的极坐标方程为12sin 2ρθθ⎫-=⎪⎪⎝⎭，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线l 的直角坐标方程；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y的对应点，由题意得12x xy ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入化简即可得解； （2）写出直线的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，代入2C 的直角坐标方程，由根与系数的关系可得1A B t t +=-，30A B t t =-<，转化条件11PAPB+=即可得解.【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为12cos sin 22ρθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭∴直线l0y -=；设点(),P x y 在曲线1C 上，点(),Q x y ''为坐标变换后点(),P x y 的对应点，则12x x y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，∴()22221162x ⎛⎫' ⎪'⎝⎭+=，化简得()()224x y ''+=，∴曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=；（2）由题意点(1,0)P 在直线l 上，则直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，将直线l 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得：230t t +-=，112130∆=+=>， 则1A B t t +=-，30A B t t =-<，∴1111A B A B A B A B A Bt t t t PA PB t t t t t t +-+=+====⋅⋅.【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23.已知函数()ln(12)f x x x m =--+-． （1）当2m =时，求函数()y f x =的定义域；（2）己知函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭（2）3m <- 【解析】 【分析】（1）由题意，分类讨论求解不等式|1||2|2x x --+>，即可得解；（2）转化条件得|1||2|m x x <--+恒成立，由绝对值三角不等式求得|1||2|x x --+的最小值即可得解.【详解】（1）当2m =时，由题意可得|1||2|2x x --+>，所以2122x x x <-⎧⎨-++>⎩或21122x x x -≤<⎧⎨--->⎩或1122x x x ≥⎧⎨--->⎩，解得32x <-，所以函数()y f x =的定义域为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭；（2）由题意可得|1||2|0x x m --+->恒成立即|1||2|m x x <--+恒成立， 又因为()()()|1||2||2||1||21|3x x x x x x --+=-+--≥-+--=-， 当且仅当1x ≥时，等号成立. 所以实数m 的取值范围为3m <-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解及绝对值三角不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.。

2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,x2}，N={1,2}，若M∩N={2}，则M∪N=()A. {0,x2,1,2}B. {2,0,1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,−√2,√2,2}2.已知复数z满足(1−i)z=2，i为虚数单位，则z为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.设a⃗，b⃗ 是向量，则“a⃗⊥b⃗ ”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是()A. l1⊥l3B. l1与l3既不垂直又不平行C. l1//l3D. l1与l3的位置关系不确定5.已知sinα−cosα=43，则sin2α=()A. −79B. −29C. 29D. 796.已知正三棱锥P一ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的底面ABC的面积为()A. √32B. √64C. √3D. √627.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A. y=12x2B. y=−36x2C. y=12x2或y=−36x2D. y=112x2或y=−136x28.函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()A. B.C. D.)的部9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f(x)的图象()A. 向右平移π个单位3B. 向右平移π个单位6C. 向左平移π个单位3D. 向左平移π个单位610.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A. 20√6海里B. 40√6海里C. 20(1+√3)海里D. 40海里11.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 1−2πB. 12−1π C. 2π D. 1π12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上(不含端点)存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2=∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是( ) A. (1,√5+12)B. (1,√3+12)C. (0,√5+12)D. (32,√3+12) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则z =x +y 的最小值为______．14. 我国古代数学名著《数术九章)有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有______石．15. 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为______． 16. 已知f(x)=x(e +lnx)，g(x)=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立，则m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1=3．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．(1)求这100天中，客流量超过4万的频率；(2)①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；(2)求三棱锥V E−CBB的体积．120.已知椭圆C的标准方程是x26+y22=1设F是椭圆C的左焦点，T为直线x=−3上任意一点，过F做TF的垂线交椭圆C于点P，Q．(1)证明：线段OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)(2)当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．21.已知函数f(x)=cosx+xsinx+e x−ax(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行，求实数a的值及函数f(x)在区间[−π2,π2]上的单调区间；(2)函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增，求实数a的范围．(已知f′(x)连续)22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cosθ=0． (1)若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；(2)若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P(3,0)，满足|PM|+|PN|=5|MN|.求sinα的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|2x +4|．(Ⅰ)解不等式：f(x)≥−3x +4；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为a ，且m +n =a(m >0,n >0)，求1m +1n 的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M={0,x2}，N={1,2}，M∩N={2}，∴x2=2，∴M∪N={0,1,2}．故选：C．利用交集性质求出x2=2，由此能求出M∪N．本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(1−i)z=2，∴z=21−i =2(1+i)2=1+i，故选：A．由条件解得z=21−i ，把21−i的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.【答案】B【解析】解：“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”⇔a⃗⋅b⃗ =0⇔“a⃗⊥b⃗ ”.∴“a⃗⊥b⃗ ”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的充要条件．故选：B．“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”⇔a⃗⋅b⃗ =0⇔“a⃗⊥b⃗ ”.即可判断出结论．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα−cosα=43，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=169，∴sin2α=−79，故选A．6.【答案】A【解析】解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴(√3)2=PA2+PB2+PC2=3PA2⇒PA=PB=PC=1，三棱锥的底面边长为√2，该正三棱锥的底面ABC的面积为：√34×(√2)2=√32．故选：A．由正三棱锥P−ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，求出底面边长，然后求解底面面积．考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键．7.【答案】D【解析】解：当a >0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2，当a <0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |=6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．根据点M 到准线的距离为|3+14a |=6，分a >0和a <0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数图象的判断，属于基础题． 利用函数的奇偶性和特殊值进行验证． 【解答】解：定义域为{x|x ≠0}，f(−x)=e −x +1|−x |(e −x −1)=e x +1|x |(1−e x )=−f (x )，f(x)为奇函数，排除A ，B ． 又当x >0时，f(x)=1x (1+2e x −1)，f(1)=1+2e−1>0， f(2)=12(1+2e 2−1)<12(1+2e−1)=12f (1)<f (1)，排除D ． 故选：C ．9.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f(x)的解析式．再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3．故函数的f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6).故把f(x)=sin2(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2x的图象，故选：B．10.【答案】A【解析】【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【解答】解：连接AB，由题意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30∘=40sin45∘，∴AD=20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，∴BD=√2CD=40√2．在△ABD中，由余弦定理得AB=√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6(海里)．故选：A．11.【答案】A【解析】解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S白=4π−16(π4−12)=8，设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则P(A)=1−S白S大圆=1−84π=1−2π，故选：A．由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白=4π−16(π4−12)=8，由几何概型中的面积型可得：则P(A)=1−S白S大圆=1−84π=1−2π，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，B(0,b)，则直线BF的方程为bx+cy−bc=0，∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点P i(i=1,2)，使得∠A1P i A2=π2，∴线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即√b2+c2<a，化为b2c2<a2(b2+c2)，又b2=c2−a2，即有a4+a2b2−b4>0，可得0<b2a2<1+√52，在线段BF上(不含端点)存在两个不同的点P i(i=1,2)，使得∠A1P i A2=π2，可得a<b，可得1<b 2a 2<1+√52，故选：A ．求出直线BF 的方程为bx +cy −bc =0，利用直线与圆的位置关系，结合a <b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，的可行域如图：目标函数z =x +y 结果可行域的B 点时，目标函数取得最小值，由{x =22x +y =2可得A(2,−2)，目标函数z =x +y 的最小值为：0． 故答案为：0．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．14.【答案】170【解析】 【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252， 解得x =170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．15.【答案】y =(12)x 5730【解析】解：依题意可设y =(12)ax ， 当x =5730时，y =12，即有12=(12)5730a ， 解得a =15730，故答案为：y =((12)x5730．根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16.【答案】[23e √e −√e,+∞)【解析】解：f(x)≤g(x)，化为：m ≥x(e +lnx)−13x 3−32x ， 令ℎ(x)=x(e +lnx)−13x 3−32x ，x ∈[1,+∞)．对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立⇔m ≥ℎ(x)max ． ℎ′(x)=e +lnx +1−x 2−32=lnx −x 2+e −12．ℎ″(x)=1x −2x =−2(x 2−12)x<0，∴函数ℎ′(x)在x ∈[1,+∞)单调递减， ℎ′(1)=e −32>0，ℎ′(√e)=0，∴函数ℎ(x)在[1,√e)上单调递增，在(√e,+∞)上单调递减． ∴x =√e 时，函数ℎ(x)取得极大值即最大值，ℎ(√e)=23e √e −√e ． ∴m ≥23e √e −√e ．故答案为：[23e √e −√e,+∞)．f(x)≤g(x)，化为：m ≥x(e +lnx)−13x 3−32x ，令ℎ(x)=x(e +lnx)−13x 3−32x ，x ∈[1,+∞).对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立⇔m ≥ℎ(x)max .利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由S n =32a n −12a 1①，可得S n+1=32a n+1−12a 1②，由②−①可得a n+1=32a n+1−32a n ，即a n+1=3a n ． 又a 1=3，所以数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列， ∴a n =3n ；(2)由(1)知a n =3n ，∵b n =2log 3a n −1a n，∴b n =2n−13n，∴T n =13+3×(13)2+5×(13)3+⋯+2n−13n③，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)(13)n +2n−13n+1④，由③−④可得23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1=23−2+2n 3n+1，∴T n =1−1+n 3n．【解析】(1)由S n =32a n −12a 1①，可得S n+1=32a n+1−12a 1②，由②−①可得a n+1=3a n ，再由a 1=3可求得a n ；(2)根据(1)中求出的a n 可得b n =(2n −1)(13)n ，再利用错位相减法求出T n ．本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.【答案】解：(1)频率为0.4+0.05+0.05+0.05=0.55，(2)①平均数为：2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05=4.15；②设中位数为x ，则0.2+0.25+0.4(x −4)=0.5，解得中位数为x =4.125．【解析】(1)可以将符合题意得频率相加可得， (2)根据平均数，中位数的公式进行运算．本题考查频率直方图，以及平均数，中位数，属于中档题．19.【答案】(1)证明：四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，可得EB1=√5，B1C1=√2，EC1=√3，则B1C12+EC12=EB12，∴B1C1⊥EC1，又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BC，CC1⊥B1C1，而CC1∩EC1=C1，∴B1C1⊥平面CC1E；(2)解：∵AD=CD=1，∴AC=√2，即E到CC1的距离为√2，又CC1=AA1=2，∴S△CC1E =12×2×√2=√2．由(1)得B1C1⊥平面CC1E，∴V E−CBB1=V E−CC1B1=V B1−CC1E=13S△CC1E⋅B1C1=13×√2×√2=23．即三棱锥V E−CBB1的体积为23．【解析】(1)由已知求解三角形证明B1C1⊥EC1，再由AA1⊥平面ABCD，得CC1⊥B1C1，由直线与平面垂直的判定可得B1C1⊥平面CC1E；(2)由已知求出AC=√2，即E到CC1的距离为√2，再求出S△CC1E =12×2×√2=√2，由(1)得B1C1⊥平面CC1E，然后利用V E−CBB1=V E−CC1B1=V B1−CC1E即可求三棱锥V E−CBB1的体积．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意设T(−3,m)，椭圆的左焦点F(−2,0)，所以K FT=m−3+2=−m，所以k PQ=1m，设直线PQ的直线方程为：y=1m(x+2)，即x=my−2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设PQ的中点M，将直线PQ与椭圆的方程联立{x=my−2x26+y22=1整理可得：(3+m2)y2−4my−2=0，y1+y2=4m3+m2，x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2，所以中点M(−63+m2,2m3+m2)，因为k OT=m−3=−m3，k OM=2m3+m2−63+m2=−m3，所以k OT=k OM，所以线段OT平分线段PQ．(2)由(1)可得：|PQ|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√16m2(3+m2)2−4⋅−23+m2=2√6(1+m2)3+m2，而|FT|=√m2+(−3+2)2=√1+m2，所以|FT||PQ|=22√6√1+m2=2√62+(√1+m2)2√1+m2，令t=√1+m2≥1，所以2+t2t =2t+t≥2√2，当且仅当t=√2时取等号，即m=±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T(−3,1)或(−3,−1)．【解析】(1)设T的坐标，可得直线TF的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的方程，将直线PQ与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ的中点坐标，求出直线OT，OM的斜率可得斜率相等可得线段OT平分线段PQ；(2)由(1)得|PQ|的长，|TF|的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T的坐标本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=cosx+xsinx+e x−ax，∴f′(x)=−sinx+sinx+xcosx+e x−a=xcosx+e x−a，∴f′(0)=e0−a=0，解得a=1，∴f′(x)=xcosx+e x−1，∵x∈[−π2,π2 ]，∴当x∈[−π2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(0,π2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；即函数f(x)的递减区间为[−π2,0)，递增区间为(0,π2]； (2)∵函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增， ∴f′(x)=xcosx +e x −a ≥0， ∴a ≤xcosx +e x ≤x +e x ，又y =x +e x 在x ∈(0,π2)上单调递增，当x =0时，y =1， ∴a ≤1．即实数a 的范围为(−∞,1]．【解析】(1)由f′(x)=xcosx +e x −a ，可得f′(0)=e 0−a =0，解得a =1，于是f′(x)=xcosx +e x −1，分x ∈[−π2,0)与x ∈(0,π2]两类讨论，即可求得f(x)的单调递增区间与递减区间；(2)函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增⇒f′(x)=xcosx +e x −a ≥0，分离参数a ，可得a ≤xcosx +e x ≤x +e x ，利用y =x +e x 在x ∈(0,π2)上单调递增，即可求得实数a 的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数来求曲线某点的切线方程，考查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查分离参数法与放缩法的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x −y −3=0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x =0，转换为(x +1)2+y 2=1，所以圆心(−1,0)到直线的距离d =√2=2√2>1， 所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．(2)将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，代入x 2+y 2+2x =0，整理得t 2+8tcosθ+15=0， 所以t 1+t 2=−8cosθ，t 1t 2=15． 由于满足|PM|+|PN|=5|MN|．所以|t 1+t 2|=5|t 1−t 2|，整理得24(−8cosθ)2=100×15． 所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616．【解析】(1)利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x −2|+|2x +4|={−3x −2,x <−2x +6,−2≤x ≤23x +2,x >2可得当x <−2时，−3x −2≥−3x +4，即−2≥4，所以无解； 当−2≤x ≤2时，x +6≥−3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x >2时，3x +2≥−3x +4，得x ≥13，可得x >2． ∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． (Ⅱ)根据函数f(x)={−3x −2,x <−2x +6,−2≤x ≤23x +2,x >2可知当x =−2时，函数取得最小值f(−2)=4，可知a =4， ∵m +n =4，m >0，n >0， ∴1m+1n=14(m +n)(1m+1n)=14(1+1+n m+m n)≥14(2+2)=1．当且仅当nm =mn ，即m =n =2时，取“=”． ∴1m +1n 的最小值为1．【解析】本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出a的值，根据m+n=4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．。

辽宁省六校协作体2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一：选择题。

1.设集合[]=1,2M ，{}2|230?N x Z x x =∈--<，M N ⋂=则（ ） A. []1,2 B. ()1,3-C. {}1D. {}1,2【答案】D 【解析】 【分析】首先化简集合N 得{}0,1,2N =，结合交集的定义可求结果。

【详解】集合N 可化为{|13}N x Z x =∈-<<={0,1,2}； 所以M N ⋂={}1,2。

答案选D 。

【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义，弄清集合中元素所具有的形式，以及有哪些元素，在运算时要结合数轴或Venn 图。

2.“22log log a b >”是“11a b<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论． 【详解】22log log a b > ⇒a>b>0 ⇒11a b <，但满足11a b<的如a=-2,b=-1不能得到22log log a b >，故“22log log a b >”是“11a b<”的充分不必要条件. 故选A.【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若向量a r ，b r 的夹角为3π，且||2a =r ，1b r ||=，则向量2a b +r r 与向量a r 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】()221cos 1,224263a b a a b a a b v v vv v v v v π⋅=⨯⨯=⋅+=+⋅=+=，2a b +==v v a r 与向量2a b +r r 的夹角为θ，()2cos 2a a b a a b θ⋅+∴===⋅+v v v v v v ，6πθ∴=，故选A.4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A. 410190-B. 5101900-C. 510990-D. 4109900-【答案】B 【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B5.抛物线22y x =的准线方程是（ ） A. 12x =B. 12x =-C. 18y =D. 18y =-【答案】D 【解析】抛物线22y x =可化为212x y =，焦点在y 轴上，112,,228p p =∴=∴抛物线22y x =的准线方程是18y =-，故选D.6.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ） A. 其图象关于直线4πx =-对称 B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域是[－1,3] D. 其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。

辽宁省2020版高三上学期数学第一次联考试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·聊城模拟) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A .B .C .D .3. （2分）已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确命题的序号是（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①④4. （2分）(2019·晋中模拟) 若，满足约束条件，则的最大值为（）A . 0B . 4C . 6D . 85. （2分）圆与圆的位置关系是（）A . 相交B . 外切C . 内切D . 相离6. （2分） (2019高三上·邹城期中) 若，则有（）A . a<b<cB . a<c<bC . c<a<bD . b<c<a7. （2分） (2019高三上·西安月考) 已知函数，（为自然对数的底数）的图象与直线，轴围成的区域为E ，直线与围成的区域为F ，在区域F内任取一点，则该点落在区域E内的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·宁海月考) 如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·浙江模拟) 等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“ Z”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2019高二下·余姚期中) 已知可导函数，则当时，大小关系为（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2020高一下·辽宁期中) 如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于________.12. （2分） (2019高一下·朝阳期末) 某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是________13. （1分） (2018高二下·晋江期末) ( N*)展开式中不含的项的系数和为 ________ .14. （1分） (2016高二上·郸城开学考) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c= ，b= ，B=120°，则a=________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2020高二下·广东月考) 现有一个由甲、乙、丙、丁共4人组成的参观团要参观广雅、省实和华附三间中学，要求每人只能参观一间学校，每间学校至少有一个人参观，则不同的参观方法有________种.16. （1分）(2018·长安模拟) 如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围________．17. （1分） (2019高二下·上海期中) 已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心O作动平面交线段于点S，交的延长线于两点，则的取值范围为________四、解答题 (共5题；共34分)18. （10分） (2020高二下·石家庄月考) 已知函数，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性．19. （2分） (2019高二上·哈尔滨期末) 如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直,是线段的中点。