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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）一、教学目标1.核心素养通过学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，初步区分“分类”和“分步”，为拥有良好的计数能力打下基础，从而提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力.2.学习目标（1）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（2）通过实例，总结出分步乘法计数原理；（3）能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.3.学习重点归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题..4.学习难点正确的理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P2－P6，思考：分类加法计数原理内容是什么?分步乘法计数原理是什么?他们的区别是什么?2.预习自测1.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上任取一本书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：C2.教室书架上,上层有4本不同的语文书,下层有7本不同的数学书,从书架上取一本语文书和一本数学书,不同的取法种数为( )A.4B.7C.11D.28解：D（二）课堂设计问题探究问题探究一 分类加法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有几种方法.分类加法原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法注:两类不同方案中的方法互不相同推广:完成一件事有n 类不同方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝m 1 +m 2+…+m n 种不同方法.完成这件事情的N 类方法中，只需用一种方法就能完成这件事.问题探究二 分步乘法计数原理 重点、难点知识★▲如上图，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？并罗列出所有的走法.分步乘法原理: 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法注:无论第一步采用哪种方法,都不影响第2步方法的选取推广:完成一件事有n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝ 种不同方法.完成这件事情的n 个步骤中，每个步骤都完成才能完成这件事.问题探究三 分类加法与分步乘法的应用 重点、难点知识★▲例1.若x，y∈N，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数.＋【知识点：分类加法计数原理；数学思想：分类讨论】详解：按x的取值进行分类：x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；x＝3时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；x＝4时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.点拨：解答本题可按x(或y)的取值分类解决. 利用分类加法计数原理时要注意：(1)要准确理解题意，确定分类的标准.(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性.例2.现有5件不同样式的上衣和4条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为种【知识点：分步乘法计数原理；】解析：要完成配套需分两步，第一步，选上衣，从5件上衣中任选一件，有5种不同选法；第二步，选长裤，从4条长裤中任选一条，有4种不同选法.故共有5×4＝20种不同的配法.点拨：利用分步乘法计数原理时要注意：(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性.例3.书架的第一层放有3本不同的艺术书,第二层放有2本不同的计算机书,第三层放有5本不同的体育书,从书架上任取2本不同学科的书,共有多少种不同的取法?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】详解：根据取书的学科不同,可以分为三类:1.计算机与艺术:3×2＝62. 计算机与体育: 2×5＝103. 艺术与体育: 3×5＝15共有6+10+15=31种不同的取法点拨：首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成.即解答本题可“先分类，后分步3.课堂总结【知识梳理】分类加法计数原理; 分步乘法计数原理;【重难点突破】正确的理解完成一件事情的含义;合理分类与分步,先分类后分步.4.随堂检测1. 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有（）A. 37种B.1848种C.3种D. 6种【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（）A.37种B.1848种C.3种D.6种【知识点:分步乘法原理】答案:B3.某商业大厦有东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（）A.5B.7C.10D.12【知识点：分步乘法原理】答案:D4.用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）A.265个B.232个C.128个D.24个【知识点：分步乘法原理】答案:D5.用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）A. 265个B.232个C.128个D.24个【知识点:分步乘法原理,间接法】答案:B（三）课后作业基础型自主突破1.一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成.从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是（）A.8B.15C.16D.30【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案:A2.如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有（）A.8条B.6条C.5条D.3条【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：B 解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条).3.已知集合A是{1，2，3}的真子集，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】答案：D 解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个).4.4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中一个运动队,不同的报法种数为（）A.16B.6C.81D.64【知识点：分步乘法原理】答案:C 解析:4名同学报名参加体育队这个事件,分为四个步骤,第一个同学有3个选择,第二个同学有3个选择,第三个同学有3个选择,第四个同学有3个选择,总共有3×3×3×3=81种.5.3个班分别从5个风景点中选择一处游览,不同选法的种数为（）A.15B.25C.243D.125【知识点：分步乘法原理】答案:D6. 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【知识点：分类加法原理；数学思想：分类讨论】解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个.法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.能力型师生共研1.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A.10种B.52种C.25种D.42种【知识点：分步乘法原理】答案：D2. 三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（）A.25B.36C.26D.37【知识点：分类加法原理,三角形边角关系；数学思想：分类讨论】答案：B3. 某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成.（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：（1）56415N=++=种；（2）564120N=⨯⨯=种；（3）56644574N=⨯+⨯+⨯=种4.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果因此共有17400+11400=28800种不同结果探究型多维突破1.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?【知识点：分步乘法原理】⨯⨯⨯=种.甲先拿有三种选择，甲拿到的贺卡主人答案：解:列表排出所有的分配方案,共有33119继续拿有3个选择，剩下两人均只有1种选择.2.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32自助餐1.从甲地到乙地一天有汽车8班、火车3班、轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的方法种数为（）A.13B.16C.24D.48答案：A2.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A.182B.14C.48D.91答案：C3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（）A.30个B.42个C.36个D.35个答案：C4.设集合A中有5个元素，集合B中有2个元素，建立A→B的映射，共可建立（）A.10个B.20个C.25个D.32个【知识点：映射的定义,分步乘法原理】答案：D 解析：根据映射的定义知，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.A中每个元素的像均有两种选择，由分步乘法计数原理知，共可建立25个映射.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种【知识点：分步乘法原理】答案：C 解析：分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种).6.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A.8种B.12种C.16种D.20种【知识点：分步乘法原理】答案：B 解析：分两步，第1步：先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对面).第2步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的三个面符合题目要求，所以共有3×4＝12(种).7.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生种不同的信息.【知识点：分步乘法原理】答案:256 解析:8个位置,每个穿孔或者不穿孔,有两个方法,总共有82个不同的信息.8.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有种.(用数字作答)【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案：9解析：分为两类完成，两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6种选法，即共有9种不同选法.9.圆周上有2n个等分点（1n ），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.【知识点：分步乘法原理】答案为：2n（n-1）解析: 由题意知，只有三角形的一条边过圆心，才能组成直角三角形，∵圆周上有2n个等分点∴共有n条直径，每条直径可以和除去本身的两个定点外的点组成直角三角形，∴可做2n-2个直角三角形，根据分步计数原理知共有n（2n-2）=2n（n-1）个.10.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】解：(1)由分类加法计数原理得，从中任取一个球共有8＋7＝15种取法.(2)由分步乘法计数原理得，从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法.11.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.【知识点：分类加法原理,分步乘法原理数学思想：分类讨论】答案:解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种.(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种.(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种.12. 关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【知识点：分步乘法原理】αβγ，解：（1）∵N=2160=24×33×5，∴2160的正因数为P=235其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1∴2160的正因数共有5×4×2=40个（2）式子（20+21+22+23+24）×（30+31+32+33）×（50+51）的展开式就是40个正因数∴正因数之和为31×40×6=7440。
第1节分类加法和分步乘法
【基础知识】
1.分类加法计数原理（加法原理）的概念
一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.
2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念
一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.
3.两个原理的区别：
（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.
（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.
4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.
【规律技巧】
1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．
2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．
3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：
(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．
(3)对完成各步的方法数要准确确定．
4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．
(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．
5.(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．
(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．
6.分类加法计数原理的两个条件：
(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理的两个条件：
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
7.应用两种原理解题
(1)分清要完成的事情是什么？
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；
(3)有无特殊条件的限制；
(4)检验是否有重漏．
8.涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.
涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．
【典例】
【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()
A．4种B．10种C．18种D．20种
(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，
b)的个数为()
A．14B．13C．12D．9
∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．
答案(1)B(2)B
【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()
A．10B．11C．12D．15
【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
【变式探究】(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()
A．3360元B．6720元
C．4320元D．8640元
(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．
【针对训练】
1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()
A．243B．252C．261D．279
【答案】B
2、春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．
【答案】28
【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为
种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．
3、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种；
【答案】24
4、数列共有12项，其中，，
，且，，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84 B.168 C.76 D.152
【答案】A
5、用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种（用数字作答）.
【答案】216
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了3种颜色，共有A 63=120种结果，一共用了2种颜色．共有C 62A 32=90种结果，一共用了1种颜色，共有
6种结果，∴根据分类计数原理知，共有120+90+6=216，故答案为：216.。
