分类加法与分步乘法

分类加法计数原理和分步乘法计数原理首先，让我们介绍一下分类加法计数原理。

分类加法计数原理也被称为分情况计数原理，是指将问题分为几个不同的情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加，得到最终的可能性总数。

为了更好地理解分类加法计数原理，我们举一个例子。

假设我们有三个不同颜色的球，红色、蓝色和黄色，现在要从这三个球中选择两个球。

根据分类加法计数原理，我们可以将这个问题分为三种情况：选择两个红色球、选择一个红色球和一个蓝色球、选择一个红色球和一个黄色球。

然后分别计算出每种情况下的可能性总数，最后将这三种情况的可能性总数相加，即可得到最终的答案。

在这个例子中，我们可以计算出每种情况下的可能性总数。

选择两个红色球有C(3,2)=3种可能；选择一个红色球和一个蓝色球有C(3,1)*C(3,1)=9种可能；选择一个红色球和一个黄色球也有9种可能。

将这三种情况的可能性总数相加，即得到最终的答案，共21种可能的选择方式。

接下来，让我们来介绍一下分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将各个步骤的可能性数目相乘，得到最终的可能性总数。

同样以一个例子来说明分步乘法计数原理。

假设我们有一个4位数的密码锁，每一位的取值范围是0-9、根据分步乘法计数原理，我们将这个问题分为四个步骤：第一位数字的可能性数目、第二位数字的可能性数目、第三位数字的可能性数目以及第四位数字的可能性数目。

然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘，得到最终的可能性总数。

综上所述，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决排列组合问题中常用的两种方法。

分类加法计数原理适用于将问题分为不同情况进行计数，然后将各个情况的计数结果相加；分步乘法计数原理适用于将问题分为若干个步骤，然后计算每个步骤的可能性数目，最后将它们相乘。

通过掌握这两种计数原理，我们可以更好地解决各种排列组合问题。

1.1分类加法与分步乘法计数原理
一、分类计数原理
1.定义：一件事，有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类方法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类方法中有m n 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21
2.各类办法之间相互独立,都能独立的、一次的且每次得的是最后的结果完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
3.首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
二、分步计数原理
1.定义：完成一件事，需要分成n 个步骤。

做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n 步有mn 种不同的方法，则完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21
2.各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,缺少任何一步都不能完成这件事，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理
3.首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
三．分类加法与分步乘法计数原理的区别与联系
四．典型三个问题：
1.投信问题(例题：3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是多少？)
2.区域上色问题：逐块上色，但有时若一个区域上色影响到另一个区域上色的方法数时，应分类讨论. 常对对角区域同色或不同色分类.
例题：如图所示，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案最多有多少种？(校本29)
3. 位置全错乱问题：(1)3人位置全错乱 (2种)
(2) 4人位置全错乱 (9种)。

第1节分类加法和分步乘法【基础知识】1.分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.【规律技巧】1.计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时：(1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5.(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6.分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7.应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8.涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【典例】【例1】(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．9∴由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案(1)B(2)B【规律方法】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏)．【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10B．11C．12D．15【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．【变式探究】(1)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________个．【针对训练】1、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279【答案】B2、春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．【答案】28【解析】每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班的方法数为种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有种．3、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有种；【答案】244、数列共有12项，其中，，，且，，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84 B.168 C.76 D.152【答案】A5、用6种不同颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即右图中A、B所示的区域）用相同颜色，则不同的涂法共有___________种（用数字作答）.【答案】216【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了3种颜色，共有A 63=120种结果，一共用了2种颜色．共有C 62A 32=90种结果，一共用了1种颜色，共有6种结果，∴根据分类计数原理知，共有120+90+6=216，故答案为：216.。

分类加法和分步乘法
分类加法。

分类加法是指将问题分解为几个独立的部分，然后将这些部分
的结果相加以得到最终的解决方案。

这种方法常常用于解决计数问题，例如排列组合、概率等。

通过将问题分解为几个简单的部分，
我们可以更容易地理解和解决复杂的计数问题。

举个例子，假设我们要计算从1到100的所有偶数的和。

我们
可以将这个问题分解为两个步骤，首先找出1到100之间的所有偶数，然后将它们相加。

这样一来，我们就可以通过两个简单的步骤
得到最终的结果。

分步乘法。

分步乘法是指将一个大的乘法问题分解为若干个小的乘法问题，然后将这些小问题的结果相乘以得到最终的解决方案。

这种方法常
常用于解决大数乘法或者多项式乘法等问题。

通过将大的乘法问题
分解为小的部分，我们可以更容易地计算复杂的乘法运算。

举个例子，假设我们要计算13乘以47的结果。

我们可以将这
个问题分解为十位数和个位数的乘法问题，首先计算3乘以7，然
后计算3乘以4和1乘以7，最后计算1乘以4。

通过分解乘法问题为小的部分，我们可以更容易地计算得到最终的结果。

应用。

分类加法和分步乘法在数学中有着广泛的应用。

它们不仅可以
帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题，还可以在实际生活中
帮助我们简化计算和解决实际问题。

总之，分类加法和分步乘法是两种重要的数学运算方法，它们
在解决不同类型的问题时都具有重要的作用。

通过掌握这两种方法，我们可以更好地理解和解决数学问题，提高数学运算的效率和准确性。

分类加法和分步乘法标准要求【基础回顾】一、课本基础提炼分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+...+m n种不同的方法.分步乘法计数原理（乘法原理）的概念一般形式：一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×...×m n种不同的方法.二、二级结论必备1.两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.2.对于较为复杂的既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理的问题，可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于解题.3.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件.．【技能方法】1.有关分类加法计数原理的问题此类题型主要考察分类加法计数原理的应用，虽然在高考试题中不会出现直接考察的题目，但它是学习后面排列、组合以及概率知识的基础，还应当引起足够的重视，分类时要标准明确，做到不重不漏.例1.在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有________种．【答案】11.【解析】抓物品的不同结果数分三类，由分类加法计数原理得共有4＋3＋4＝11(种)．【点评】本题分析题意可知，所有的抓的结果是按类别分的，符合加法原理，即可求解.2. 有关分步乘法计数原理的问题此类题型主要考察分步乘法计数原理的应用，题目虽然难度不大，但要根据事件的发生过程来进行分步，分步时要主要步与步之间的连续性，是后面学习排列、组合的基础.例 2.有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有()A.4320B.2880C.1440D.720【答案】A【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第六个区域有4种不同的涂色方法，第五个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理6×5×4×3×3×4=4320．【点评】本题按区域涂色的问题符合分步乘法计数原理，根据条件中描述的限制的条件，求得每一步的方法种数，即可求解.3.两个原理的综合运用此类题主要考察两个原理的综合应用，当两个原理一起应用时，要明确先分类还是先分步，这是高考考察的重点.例3.某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理是指将一个计数问题分成若干个子问题，然后将子问题的计数结果相加得到最终的计数结果。

其基本思想是将问题中的元素分成若干个不重叠的类别，然后分别计数各个类别的元素个数，最后将各类别的计数结果相加。

这个原理常用于解决包含多个步骤的计数问题。

举个例子来说明分类加法计数原理的应用：假设有一个盒子，里面有红球、蓝球和绿球，分别有3个、4个和5个。

现在要从盒子中任选3个球，问有多少种选择方法。

我们可以将这个问题分为三个子问题：选取3个红球的方法数、选取3个蓝球的方法数和选取3个绿球的方法数。

然后分别计数这三个子问题的方法数，最后将它们相加得到总的方法数。

与分类加法计数原理相对应的是分步乘法计数原理。

分步乘法计数原理是指将一个计数问题分成若干个步骤，然后将各个步骤的计数结果相乘得到最终的计数结果。

这个原理常用于解决包含多个独立步骤的计数问题。

举个例子来说明分步乘法计数原理的应用：假设有一个密码锁，需要输入5位密码，每位密码都是从0到9的数字。

问一共有多少种可能的密码组合。

我们可以将这个问题分为5个步骤：第一位密码的选择、第二位密码的选择、第三位密码的选择、第四位密码的选择和第五位密码的选择。

然后计数每个步骤的可能性，最后将它们相乘得到总的可能性。

分步乘法计数原理也可以用于解决其他的计数问题，例如从一个字母表中选择若干个字母组成单词的方法数、从一个数列中选择若干个数的方法数等等。

总的说来，分类加法计数原理和分步乘法计数原理是解决组合数学中计数问题的重要方法。

它们可以帮助我们系统地分析和解决各种计数问题，提高我们的计算能力和思维能力。

无论是在学术研究还是在实际应用中，这两个原理都有着广泛的应用价值。

理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.知识聚焦不简单罗列1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有叫种不同的方法，在第二类方案中有吗种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N =种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有1^种不同的方法，完成第二步有1^ 种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N = 种不同的方法.3.两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.正本清源不单纯记忆■链接教材1.［教材改编］现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，从中任选1人参加接待外宾的活动，有种不同的选法.2.［教材改编］5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一定，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为.3.［教材改编］如图9551所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.图9551■易错问题4.分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种.5.分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的.将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为.■通性通法6.分类计数原理：分类时标准要明确.如果把个位数是1,且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1, 2, 3, 4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有.7.分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B, C, D中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3, 5, 6, 8, 9中选择，其他号码只想在1, 3, 6, 9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有种.探究点一分类加法计数原理1某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A. 3种B. 6种C. 9 种D. 18 种（2）现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5个侧面分别编号为1, 2, 3, 4, 5,而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有______________ 种.［总结反思］分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置.首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏.式题（1）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为（）A. 840B. 720C. 600D. 30（2）如图9552所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）图9552A. 15B. 16C. 17D. 18探究点二分步乘法计数原理2（1）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有种.（2）将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排，且A, B均在C的同侧，则不同的排法共有种.（用数字作答）［总结反思］利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素（或位置）为主体的计数问题，通常先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）；（2）对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.式题（1）某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是（）A. 216B. 420C. 720D. 1080（2）用5种不同的颜色为如图9553所示的广告牌着色，要求在①②③④四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为（）图9553A. 320B. 240C. 180D. 135探究点三两个计数原理的综合3 （1）设集合A=｛（xj x2, x3, x4, xj|x产｛—1, 0, 1）, i = 1, 2, 3, 4, 5｝,那么集合A中满足条件“1WI XJ + I XJ + I X3I + I XJ + I X5IW3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 130（2）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1, 2,…，9的9个小正方形（如图9554）, 使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1, 5, 9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种.图9554［总结反思］(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类.(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成.(3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步.式题设集合1={1,2, 3, 4, 5},选择集合I的两个非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有()A. 50 种B. 49 种C. 48 种D. 47 种学科能力自主阅读型误区警示21.分类与分步不当致误【典例】若从1, 2, 3,…，9这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种解析D先找出|①和为偶数的各种情况，］再利用分类加法计数原理求解.满足题设的取法可分为三类：一是4个都是奇数，在奇数1, 3,5,7,9中，任意取4个，有C4 = 5(种)；二是2个奇数2 5个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2, 4, 6, 8中任取2个，有②C,-C 2 = 60 （种）--- 5 --4--------三是4个都是偶数，取法有1种.所以满足条件的取法共有5 + 60+1 = 66（种）.【踉踪练习】（1）［2015 •唐山二模］一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A. 7 种B. 13 种C. 18 种D. 19 种（2）给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种.。