18.2.3正方形的判定课件

探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点

对角线互相垂直？
❓
矩形：对角线相
等且互相平分
正方形：对角线相
等且互相垂直平分
已知：在矩形ABCD中，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90〫
.
∵AC⊥BD,
A
D
O
∴AC是线段BD的垂直平分线.
同理：BD是线段AC的垂直平分线,
18.2.3 正方形
八年级下
人教版
学习目标
1. 理解正方形的概念，以及它与平行四边形、矩形、菱形之间的关系；
2. 能熟练运用正方形的性质和判定进行计算和证明．
难点
重点
新课引入
正方形是我们熟悉的几何图形，它的边、角有什么特点？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
新知学习
一 正方形的定义及其性质
= − = − = m.
∴AB=BC=CD=DA= m，
∴场地的面积为 = ，
对角线的长为 + = .
4.如图，正方形 ABCD，直线l1过点A，直线l2过点C，且l1∥l2,过点D作
PN⊥l1垂足为N，交l2于点P,过点B作QM⊥l1垂足为M，交l2于点Q.
∴∠BAM =∠ADN.
∴△BAM ≌△ADN (AAS) .
∴AM = DN.
同理可证 AN = DP.
∴AM + AN = DN + DP，即 MN = PN.
∴矩形 PQMN 是正方形.
总结：先证出四边形
PQMN 是矩形，再证明
一组邻边相等 (MN = NP).
课堂小结
1. 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

18.2.3正方形
人教版八年级下册
教学目标
1.理解正方形的概念;
2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和
区别;
3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题.
新知导入
在小学，什么样的四边形是正方形？
正方形与矩形和菱形分别有什么关系？
四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫做正方形．
作 业 布 置 【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( D )
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时， 它是矩形
D.当AC=BD时，它是正方形
2.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，F是边AB上一点，连接
9
矩形
18
正
方
形
菱形
平行四边形
归纳总结
常用的正方形判定方法：
定义法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形是正方形.
矩形法
有一组邻边相等的矩形是正方形.
918Βιβλιοθήκη 对角线相互垂直的矩形是正方形.
菱形法
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
新知讲解
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
∴平行四边形AEBD是矩形.
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD.
∵由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．

总结归纳
正方形判定的几条途径： +
一个直角， 对角线相等
正方形
先判定菱形 矩形条件(二选一) + 一组邻边相等，
对角线垂直
正方形
先判定矩形 菱形条件(二选一) 平行四 边形 一组邻边相等 一内角是直角 正方形
练一练
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判
定这个四边形是正方形的是（ C ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
A
O
B
C 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等;
D
③对角线相等且互相垂直平分.
问题2 你是如何判断是矩形、菱形？
三个角是直角 矩形
定义 四边形 平行四边形 四个判定定理
四条边相等 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
菱形
讲授新课
思考
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形
各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各 边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能
得到怎样的特殊平行四边形？ A H A H E D 菱形 E 平行四边形 G B C B F F 任意四边形 矩形
B．AD∥BC，∠A=∠C O A B
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
D
C
典例精析
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边
上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?
为什么? 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM.