最新18.2.2-菱形的判定--公开课_图文.ppt

0分（都不知道）
∴四边形ABCD是菱形
有四条边相等的四边形是菱形；
(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
菱形的 会运用不同的判定方法判定四边形为菱形，并会用判定方法解决实际问题
两个判定定理如何 对角线
的四边形是菱形
判定 证明？ （2）若纸条都是长8cm，宽2cm，则ABCD周长的最小值和最大值分别是多少？
直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A.矩形 B.菱B形 C.正方形 D.等腰梯形
判定方C法2：四条边都相等的四A边形是菱形.
∟
A
A
D BAB=BC=CD=BDA
O
Dห้องสมุดไป่ตู้
3使．四AB四数如.边边A上学形B形图=语AACB，BD言DCC四DCD：边∵成B在形.为OA四菱AB=边形COD．形B的A对可CB角添.CA线加DB互一=中B相个C，C垂适菱A直当形B，的A=B且条CBDD满件C.O足是=BAC（=OODD＝=CD）DOA，
已知：在 中，AC ⊥ BD
（2）若纸条都是长8cm，宽2cm，则ABCD周长的最小值和最大值分别是多少？
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是( )
（2） 对角线互相垂直 有四条边相等的四边形是菱形；
2、能灵活运用菱形的判定方法解决具体问题。
的平行四边形是菱形。
3、如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.
（3） 四边都相等 的四边形是菱形。 ∵四边形ABCD是平行四边形
AB=BC=CD=DA
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(
A
A．AB＝CD
B．AD＝BC

成的四边形的什冬天么，时干啥候还希变望成别的菱呢！形?
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
已知：如小图山，在冬在天特▱A别可B爱C，D好中像是，把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D，相交于点O, 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖
G
C
和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山，=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C，，有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了H吧？
F
∵E，F，G，H分这点样幻别的想温不是暖能A，一B今时，天实夜现B里，C山他，草们C也也D许并就不，绿着A起急来，D了因的吧为中？有”这点就样，是慈这善
这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
的冬天，干啥还希望别的呢！
两条对角线互相垂 直，并且每一条对
？
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下，干吧啥还!希望别的呢！
类比导入
图形 性质定理

1、如图，已知在□ABCD中， AD=2AB，E、F在直线AB上，且 AE=AB=BF，说明CE⊥DF.
D M C N
E
A
B
F
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点 O，DE∥AC,CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形
A
O B C D E
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN 交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN 于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形 A
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
+邻边相等 =
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
+对角线线互相垂直=
③有四条边相等的四边形是菱形。
四条边相等+ =
1、老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
A
D AC⊥BD B C B C A D
□ABCD
菱形ABCD
数学语言
∵在□ABCD中，AC⊥BD ∴ □ABCD是菱形
取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜 线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
1 (1) (2) (3)
剪出的这个图形是哪一种四边形?
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
5 5 4 3 3 4
3
┍
4
3
4
5 5
5
5
有一组邻边 相等的平行四 边形叫做菱形
对角线互相 垂直的平行四 边形是菱形
有四条边相等的 四边形是菱形。
2、判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形角线互相垂直平分的四边形是菱形；（√ ） （ ╳）

A
E D
O
B F
C
你有几种方法？
1．填空： （1）对角线互相平分的四边形是 平行四边形 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是__菱__形____； （3）对角线相等且互相平分的四边形是_矩__形_____； （4）两组对边分别平行，且对角线 互相垂直 的四边形是菱形．
2．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，
命题2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 请你猜想，它们成立吗？猜想：成立
根据菱形的定义,可得菱形的判定方法1：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
B
O C
菱形还有其他的判定方法吗？
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研 究菱形性质定理的逆命题， 你能找到菱形判 定的其他方法吗？
⊥ 已知：在 中， ABCD 分析: （1）利用定义判定
求证：四边形OCED是菱形.
AC
BD
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题， 你能找到菱形判定的其他方法吗？
求证： 是菱形 菱形还有其他的判定方法吗？
ABCD ∴四边形ABCD是菱形.
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
1.菱形的定义是什么？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一组邻边相等
平行四边形
菱形
2.你能说出菱形的性质有哪些吗？
具有平行四边形的所有性质
菱
菱形的四条边相等
形
边
的
性 质
对角线 菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。

把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
四边形
四条边都相等
菱形
平行四边形
今
日 课本P58练习第3 作 题，P60习题18.2 业 第6题。
ABCD，
∴OA=OC=4，
D
OB=OD=3。
∵AB=5，
A
O
C
∴ AB2=OA2+OB2。
∴∠AOB= 900
B
∴AC⊥BD。
（2）∵
ABCD，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
1.菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
平行四边形 一组邻边菱
形
的 性
角
质
菱形的两组对边平行 菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角。
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形。 数学语言：
证明： ∵ ABCD ，
O
D
∴OA=OC。
C
∵ AC ⊥ BD， ∴BA=BC。
∴ ABCD是菱形。
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形常用的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.有四条边相等的四边形是菱形。

D
C
你能否证明四边形AEDF是
菱形？
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其 中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=900, DE 1 BD 1 10 5cm.
A
2
2
AE AD2 DE 2 132 52 12cm.
在△ABD中，
又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD B
O C
同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
D
边 菱形的两组对边平行且相等 A
O
C
菱形的四条边相等
B 数学语言
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∴∴∴∴∠OA∴A∠ADBD∠D=A=AOBD∥BC+CA=∠B;=CO∠CC=ABD∠B==CCOBDB=ADAC180°
∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
活动三 归纳总结
菱形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.有四条边相等的四边形是菱形.
活动四 学以致用
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A D
O
C B
变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 5 ，面积为 4 。
（2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 10 。
（3）:菱形对角线的平方和等于一边平方

D
B C
四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
数学语言
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∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
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菱形常用的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是菱 形； （4）若∠BAO=∠DADO，则□ABCD是C 形。
O
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A
B
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4、选择：
（1）.下列命题中正确的是（ C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
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命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
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判定方法3：
四条边都相等的四边形是菱形.

复习思考
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言
B
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
A
C
∴四边形ABCD是菱形.
D
思考 还有其他的判定方法吗？
活动探究 探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十 字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱 形?对此你有什么猜想？
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是 平行四边形，你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
D F BE C
请补充完整的 证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
活动探究
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 2 3， ∴菱形的面积为4 2 3 8 3 .
归纳： 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四 条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可 以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
随堂检测
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
╳
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
√
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形；