2011年高考数学——北京卷（理科）一．选择题1．已知集合 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT42．复数 EMBED Equation.DSMT4（ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT43．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是 （ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT44．执行如图所示的程序框图，输出的 EMBED Equation.DSMT4 值为（ ） A ． EMBED Equation.DSMT4 B ． EMBEDEquation.DSMT4 C ． EMBED Equation.DSMT4D ． EMBED Equation.DSMT45．如图， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 分别与圆 EMBED Equation.DSMT4切于点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，延长 EMBED Equation.DSMT4与圆 EMBED Equation.DSMT4 交于另一点 EMBEDEquation.DSMT4 ．给出下列三个结论： ① EMBED Equation.DSMT4 ；② EMBED Equation.DSMT4 ；③ EMBED Equation.DSMT4 ． 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．根据统计，一名工人组装第 EMBED Equation.DSMT4 件某产品所用的时间（单位：11s s s -=+0,2i s ==4i <1i i =+s 输出开始结束第4题 CF O EG分钟）为 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ， EMBEDEquation.DSMT4 为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第 EMBED Equation.DSMT4 件产品用时15分钟， 那么 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 的值分别是（ ）A ．75, 25B ．75, 16C ．60, 25D ．60,167．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）A ．8B ． EMBED Equation.DSMT4C ．10D ． EMBED Equation.DSMT48．设 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）．记 EMBED Equation.DSMT4为平行四边形 EMBED Equation.DSMT4 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 EMBED Equation.DSMT4 的值域为 （ ）A ． EMBED Equation.DSMT4B ． EMBED Equation.DSMT4C ． EMBED Equation.DSMT4 D ． EMBED Equation.DSMT4二．填空题9．在 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4_________； EMBED Equation.DSMT4 ________．10．已知向量 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．若 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 共线，则 EMBED Equation.DSMT4 ______．11．在等比数列 EMBED Equation.DSMT4 中，若 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4，则公比 EMBED Equation.DSMT4 ； EMBED Equation.DSMT4． 12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有 个（用数字作答）．13．已知函数 EMBED Equation.DSMT4若关于 EMBED Equation.DSMT4 的方程 EMBED Equation.DSMT4 有两个不同的实根，则实数 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是 ．14．曲线 EMBED Equation.DSMT4 是平面内与两个定点 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4的距离的积等于常数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线 EMBED Equation.DSMT4 过坐标原点；②曲线 EMBED Equation.DSMT4 关于坐标原点对称；③若点 EMBED Equation.DSMT4 在曲线 EMBED Equation.DSMT4 上，则 EMBED Equation.DSMT4 的面积不大于 EMBED Equation.DSMT4． 其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题15．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的最小正周期；（2）求 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥 EMBED Equation.DSMT4 中， EMBED Equation.DSMT4 平面 EMBED Equation.DSMT4 ，底面EMBED Equation.DSMT4 是菱形， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4．（1）求证 EMBED Equation.DSMT4 平面EMBED Equation.DSMT4 ；（2）若 EMBED Equation.DSMT4 ，求 EMBEDEquation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 所成角的余弦值；（3）当平面 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 垂直时，求 EMBEDEquation.DSMT4 的长．17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 EMBED Equation.DSMT4 表示．999X 008甲组乙组 C A B DP（1）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果 EMBED Equation.DSMT4 ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 EMBED Equation.DSMT4 的分布列和数学期望．18．（13分）已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ．（1）求 EMBED Equation.DSMT4 的单调区间；（2）若对于任意的 EMBED Equation.DSMT4 ，都有 EMBED Equation.DSMT4，求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围．19．（14分）已知椭圆 EMBED Equation.DSMT4，过点 EMBED Equation.DSMT4作圆 EMBED Equation.DSMT4的切线 EMBED Equation.DSMT4 交椭圆 EMBED Equation.DSMT4 于 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 两点．（1）求椭圆 EMBED Equation.DSMT4 的焦点坐标和离心率；（2）将 EMBED Equation.DSMT4 表示为 EMBED Equation.DSMT4 的函数，并求 EMBED Equation.DSMT4 的最大值．20．（13分）若数列 EMBED Equation.DSMT4 ： EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4 ）满足 EMBED Equation.DSMT4（ EMBED Equation.DSMT4 ），则称 EMBED Equation.DSMT4为 EMBED Equation.DSMT4 数列．记 EMBED Equation.DSMT4． （1）写出一个满足 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4； （2）若 EMBED Equation.DSMT4， EMBED Equation.DSMT4 ．证明： EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4是递增数列的充要条件是 EMBED Equation.DSMT4； （3）对任意给定的整数 EMBED Equation.DSMT4 （ EMBED Equation.DSMT4），是否存在首项为0的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4 ，使得 EMBED Equation.DSMT4?若果存在，写出一个满足条件的 EMBED Equation.DSMT4 数列 EMBED Equation.DSMT4；如果不存在，说明理由．HYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3d71bb8" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780t76eca3d71bb8&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780ta53e66861fc5" \t "_blank" INCLUDEPICTURE"/middle/4dd45780ta53e66861fc5&690" \*MERGEFORMATINETHYPERLINK "/showpic.html" \l"blogid=4dd457800100to0p&url=/orignal/4dd45780t76eca 3e4c1a6" \t "_blank" 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2011年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 已知集合A ={x ∈Z||x|<5}，B ={x|x −2≥0}，则A ∩B 等于（ ）A (2, 5)B [2, 5)C {2, 3, 4}D {3, 4, 5}2. 下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）A y =2|x|B y =x 2−xC y =2xD y =x 33. 设a =log 23，b =log 43，c =0.5，则（ ）A c <b <aB b <c <aC b <a <cD c <a <b4. 设向量a →=(1, sinθ)，b →=(3sinθ, 1)，且a → // b →，则cos2θ等于（ ）A −13B −23C 23D 13 5. 阅读框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( )A 3B 4C 5D 66. 已知函数①y =sinx +cosx ，②y =2√2sinxcosx ，则下列结论正确的是（ ）A 两个函数的图象均关于点(−π4，0)成中心对称B 两个函数的图象均关于直线x =−π4成中心对称C 两个函数在区间(−π4，π4)上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同7. 已知曲线C ：y =1x (x >0)及两点A 1(x 1, 0)和A 2(x 2, 0)，其中x 2>x 1>0．过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3, 0)，那么（ ）A x 1，x 32，x 2成等差数列B x 1，x 32，x 2成等比数列C x 1，x 3，x 2成等差数列 D x 1，x 3，x 2成等比数列8. 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA =OB =2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A ①②B ②③C ③D ③④二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. 在复平面内，复数2i1−i对应的点到原点的距离为________．10. 如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA=2√2，PC=4，圆心O到BC的距离为√3，则圆O的半径为________．11. 已知椭圆C:{x=cosθy=2sinθ(θ∈R)经过点(m,12)，则m=________，离心率e=________．12. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为________．13. 某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有________种．14. 已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1={3a n+5a n为奇数a n2ka n为偶数．其中k为使a n+1为奇数的正整数，当a1=11时，a100=________；若存在m∈N∗，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为________．三、解答题（共6小题，满分80分））15. 设△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=45，b=2．（1）当a=53时，求角A的度数；（2）求△ABC面积的最大值．16. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1 2，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p 的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX ．17. 如图所示，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF // DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60∘．（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求二面角F −BE −D 的余弦值；（3）设点M 是线段BD 上的一个动点，试确定点M 的位置，使得AM // 平面BEF ，并证明你的结论．18. 已知函数f(x)=a(x−1)x 2，其中a >0．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若直线x −y −1=0是曲线y =f(x)的切线，求实数a 的值；（3）设g(x)=xlnx −x 2f(x)，求g(x)在区间[1, e]上的最大值．（其中e 为自然对数的底数）19. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若FA →=λ1AP →，BF →=λ2FA →，λ1λ2∈[14,12]，求λ2的取值范围． 20. 定义τ(a 1, a 2,…,a n )=|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+...+|a n−1−a n |为有限项数列{a n }的波动强度．（1）当a n =(−1)n 时，求τ(a 1, a 2,…,a 100)；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足(a −b)(b −c)>0，求证：τ(a, b, c, d)≤τ(a, c, b, d)；（3）设{a n }各项均不相等，且交换数列{a n }中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{a n }一定是递增数列或递减数列．2011年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. A8. D9. √210. 211. ±√154,√3212. 1213. 60,4814. 62,1或515. 解：∵ cosB =45∴ sinB =35 且B 为锐角（1）∵ b =2，a =53由正弦定理可得，b sinB =a sinA ∴ sinA =asinB b =53×352=12∵ a <b∴ A <B∴ A =30∘（2）由cosB =45，b =2利用余弦定理可得，b 2=a 2+c 2−2accosB∴ 4+85ac =a 2+c 2≥2ac 从而有ac ≤10∴ S △ABC =12acsinB =310ac ≤3∴ △ABC 面积的最大值为316. 解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23．（2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14．p(X =3)=12×13×14=124．∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．17. 因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE ．因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为600，即∠DBE ＝60∘，所以EDDB =√3．由AD ＝3，可知DE =3√6，AF =√6．则A(3, 0, 0)，F(3,0,√6)，E(0,0,3√6)，B(3, 3, 0)，C(0, 3, 0)，所以BF →=(0,−3,√6)，EF →=(3,0,−2√6)．设平面BEF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=0n →⋅EF →=0 ，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0 ． 令z =√6，则n →=(4,2,√6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →=(3,−3,0)．所以cos⟨n →,CA →>=n →⋅CA→|n →||CA →|=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313．点M 是线段BD 上一个动点，设M(t, t, 0)．则AM →=(t −3,t,0)．因为AM // 平面BEF ，所以AM →⋅n =0，即4(t −3)+2t ＝0，解得t ＝2．此时，点M 坐标为(2, 2, 0)，即当BM =13BD 时，AM // 平面BEF ．18. 解：（1）′因为函数f(x)=a(x−1)x2，∴ f′(x)=[a(x−1)]′⋅x2−(x2)′a(x−1)x4=a(2−x)x3f′(x)>0⇒0<x<2，f′(x)<0⇒x<0，x>2，故函数在(0, 2)上递增，在(−∞, 0)和(2, +∞)上递减．（2）设切点为(x, y)，由切线斜率k=1=−a(x−2a)x3，⇒x3=−ax+2，①由x−y−1=x−a(x−1)x2−1=0⇒(x2−a)(x−1)=0⇒x=1，x=±√a．把x=1代入①得a=1，把x=√a代入①得a=1，把x=−√a代入①得a=−1，∵ a>0．故所求实数a的值为1（3）∵ g(x)=xlnx−x2f(x)=xlnx−a(x−1)，∴ g′(x)=lnx+1−a，且g′(1)=1−a，g′(e)=2−a．当a<1时，g′(1)>0，g′(e)>0，故g(x)在区间[1, e]上递增，其最大值为g(e)=a+ e(1−a)；当1<a<2时，g′(1)<0，g′(e)>0，故g(x)在区间[1, e]上先减后增且g(1)=0，g(e)>0．所以g(x)在区间[1, e]上的最大值为g(e)=a+e(1−a)；当a>2时，g′(1)<0，g′(e)<0，g(x)在区间[1, e]上递减，故最大值为g(1)=0．19. 解：（1）由题设知F(p2，0)，设A(x1, y1)，则y12=2px，圆心(2x1+p4，y12)，圆心到y轴的距离是2x1+p4，圆半径为|FA|2=12×|x 1−(−p 2)|=2x 1+p 4，∴ 以线段FA 为直径的圆与y 轴相切．（2）设P(0, y 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由FA →=λ1AP →，BF →=λ2FA →，得(x 1−p 2，y 1)=λ1(−x 1,y 0−y 1)，(p 2−x 2，−y 2)=λ2(x 1−p 2,y 1)，∴ x 1−p 2=−λ1x 1，y 1=λ1(y 0−y 1)，p 2−x 2=λ2(x 1−p 2)，y 2=−λ2y 1， ∴ y 22=λ22y 12，∵ y 12=2px 1，y 22=2px 2．∴ x 2=λ22x 1，代入p 2−x 2=λ2(x 1−p 2)，得p 2−λ22x 1=λ2(x 1−p 2)，p 2(1+λ2)=x 1λ2(1+λ2)， 整理，得x 1=p 2λ2， 代入x 1−p 2=−λ1x 1，得p 2λ2−p 2=λ1p2λ2， ∴ 1λ2=1−λ1λ2， ∵ λ1λ2∈[14,12]， ∴ λ2的取值范围[43,2]．20. 解：（1）由定义知，a 1=−1，a 2=1，a 3=−1，a 4=1，…，a 99=−1，a 100=1，从而有τ(a 1, a 2,…,a 100)=2×99=198；（2）要证τ(a, b, c, d)≤τ(a, c, b, d)，即证：|a −b|+|b −c|+|c −d|≤|a −c|+|c −b|+|b −d|，即证：|a −b|+|c −d|≤|a −c|+|b −d|，由条件(a −b)(b −c)(c −d)>0可得；（3）不失一般性，假设数列{a n }中相邻两项为a m−1，a m 则：|a m−2−a m−1|+|a m −a m+1|<|a m−2−a m |+|a m−1−a m+1|，由（2）可知：(a m−2−a m−1)(a m−1−a m )(a m −a m+1)>0，从而有数列{a n }一定是递增数列或递减数列．。
