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第三章1. 解：由DFS 的定义可知{}{}2,0,2,4)k ()(X ~1,...,1,0)(~)(X ~4N 1,0,1,2)()(~10/nk 2=∴-====∑-=-N N n Nj N R k N k e n x k n R n x π，2. 解：题意可知，已知)(~n x 求)(X ~k 的值1,...,1,0k )(~)k (X ~k r )(X ~)(X ~N 1)(~)(X ~N 1)(~n 1,...,1,0r 1,...,1,0)(X ~N 1)(~10n /nk 210n /r -k n 210k 10n /nr 210k /nk 210n /nr 210n /nr 2/nr 2-10k /nk 2-======-=-==∑∑∑∑∑∑∑∑-=--=-=-=--=-=--=--=N e n x r e k e n x e k e e n x N e N n e k n x N Nj N N j N N N j N N j N N j N N j N j N Nj π）（πππππππ代入，得到换元，令到将右式交换求和次序得求和，得到，并在一个周期内对，将等式两边同乘3．解{}{}{}5,4,3,2,16)(R )(~0,0,0,0,1,0)(R )(~6,5,4,3,2,1)(R )(~6N 1,...,1,0)(~)(~1,...,1,0)(~)(~)(~*)(~)(~)(~)(~)(~N 321332101213321，由定义可求得，，且由图可知。
，即一个周期的值，，且只需要计算是在一个周期内进行的注意：周期卷积的运算，则，其周期卷积和的序列若已知两个周期皆为====-=-=-==∑-=n n x n n x n n x N n n x n x N n m n x m x n x n x n x n x n x n x NN N N m 4．1,...,1,0)(X ~N 1)(~10k /nk 2-==∑-=N n e k n x N N j π ,题目给定序列)(~n x 皆为实序列，根据P93页表3-1可知， （a ）为了使得)k (X ~为实数，要求 )(~n x 实偶或者虚奇皆可，此处应该是实偶，故现在时间起点时保证序列为偶对称皆可，（a ）（b ）皆可，[但是（a ）图要取在两个采样点的中点。
![《数字信号处理》王世一版北京理工大学出版社部分习题答案【khdaw_lxywyl】[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/3617903610661ed9ad51f33f.png)
————第一章———— 时域离散信号与系统理论分析基础本章1.1节“学习要点”和1.2节“例题”部分的内容对应教材第一、二章内容。
为了便于归纳总结，我们将《数字信号处理（第二版）》教材中第一章和第二章的内容合并在一起叙述，这样使读者对时域离散线性时不变系统的描述与分析方法建立一个完整的概念，以便在分析和解决问题时，能全面考虑各种有效的途径，选择最好的解决方案。
1.1 学 习 要 点1.1.1 时域离散信号——序列时域离散信号（以下简称序列）是时域离散系统处理的对象，研究时域离散系统离不开序列。
例如，在时域离散线性时不变系统的时域描述中，系统的单位脉冲响应()n h 就是系统对单位脉冲响应()n δ的响应输出序列。
掌握()n δ的时域和频域特征，对分析讨论系统的时域特性描述函数()n h 和频域特性描述函数()ωj e H 和()z H 是必不可少的。
1. 序列的概念在数字信号处理中，一般用()n x 表示时域离散信号（序列）。
()n x 可看作对模拟信号()t x a 的采样，即()()nT x n x a =，也可以看作一组有序的数据集合。
要点 在数字信号处理中，序列()n x 是一个离散函数，n 为整数，如图1.1所示。
当≠n 整数时，()n x 无定义，但不能理解为零。
当()()nT x n x a =时，这一点容易理解。
当=n 整数时，()()nT x n x a =，为()t x a 在nT t =时刻的采样值，非整数T 时刻未采样，而并非为零。
在学习连续信号的采样与恢复时会看到，()n x 经过低通滤波器后，相邻的()T n nT 1~+之间的()t x a 的值就得到恢复。
例如，()n x 为一序列，取()()2n x n y =，n 为整数是不正确的，因为当=n 奇数时，()n y 无定义（无确切的值）。
2. 常用序列常用序列有六种：①单位脉冲序列()n δ，②矩形序列()n R N ，③指数序列()n u a n，④正弦序列()n ωcos 、()n ωsin ，⑤复指数序列nj eω，⑥周期序列。
10.讨论一个输入、输出关系由下面线形常系数差分方程联系的因果系统11()(1)()(1)22y n y n x n x n =−++−（a ） 求该系统的单位取样响应（b ） 用（a ）中所得结果及卷积和，求对输入()j n x n e ω=的响应 （c ） 求系统的频率响应（d ） 求系统对输入()cos 24x n n ππ⎛=+⎜⎝⎠⎞⎟的响应解：111122)()111122z z a H Z z z −−+==−+−−因为是因果系统，111()[()]()02n h n ZX z n n δ−−==−+≥(1)1)()()()()21212j nn j n nj nj b y n x n h n n eeeeωωωωδ+⎛⎞ =∗=∗−+⎜⎟⎝⎠− =−+−根据1112121212n n n n a a a a a a a a ++−∗= ≠−c)()12()()12()j j j z ej j eH eH z eH ee ωωωωωϕω=+==− =其中(j H e )ω为幅频特性，表示系统对某一频率的幅度响应，()ϕω为相频特性，表示系统对某一频率的相位延迟)sin sin arctan()-arctan()cos 1/2cos 1/2d ωωϕωωω ()=+−题中2πω=，则()1()2arctan 2j H e ωϕω= =所以()cos(2arctan 2)24y n n ππ=++课后答案网 w .k hd aw .c om课后答案网12.试求如下各序列的傅里叶变换 （a ）()()3x n n δ=− (b) ()()()11()1122x n n n n δδδ=+++−（c ） ()()0<a<1n x n a u n = （d ） ()(3)(4x n u n u n =+−−)解:334()()1))cos 1))j j nn j j j j j X e x n e a e b c ae e e d e ωωωωωωωω∞−=−∞−−=+1−−1−∑ 13.令表示连续时间线性非时变滤波器的冲激响应，表示离散时间线性非时变滤波器的单位取样相应。
已知()a h t ()d h n t 0,a>0()0t at a ae h t −⎧ ≥=⎨ <0⎩（a ） 试求模拟滤波器的频率响应，并会出其振幅特性略图（b ） 若，试求数字滤波器的频率响应，并求能使数字滤波器的频率响应在()()d a h n ch nT =0ω=处为1的c 值。
画出(j d )H e ω的幅频特性略图。
解:()001/2221)()1()at j ta j tA A a H j eedt edt a j H j a ∞∞−−Ω−+Ω Ω===+Ω⎛⎞Ω=⎜⎟+Ω⎝⎠∫∫1/220)()()0,0()()11()12cos anT d a j j n anT j n D d aT j n n j D aT aT ce n b h n ch nT n cH e h n e ce e e H e c e e ωωωωωω−∞∞−−−−−=−∞=−−⎧, ≥ ==⎨<⎩ ===−⎛⎞=⎜⎟−+⎝⎠∑∑课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网幅度特性1)()1j D aTc H e ce − =+可见要想使0()j D H e为1，则有1aT c e −=+20．下列差分方程表示一线性非时变因果系统()(1)(2)(1y n y n y n x n =−+−+−)（a ） 求这个系统的系统函数()()()X z H z Y z =。
画出()H z 的零、极点分布图，并指出其收敛域。
（b ） 求这个系统的单位取样响应。
（c ） 读者会发现它是一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的单位取样响应。
解:12111212)()()()()()(1a Y z z Y z z Y z z X z Y z z z z X z z z z z )αα−−−−−− =++ ()Η()=== ()−−−− 则零点为，极点为0z=12(1/2)[1 1.62(1/2)[10.62z z αα==+= ==−=−因为是因果系统，所以收敛域为1.62z >，如图所示()12212122)()()()11()[()]()n nzb H z z z z z z z h n Z H z u n ααααααα1−11 =−−⎛⎞=−⎜⎟α−−−⎝⎠==α−α−由于()H z 的收敛域不包括单位圆，所以这是个不稳定系统c)若要使系统稳定，则其收敛域应包括单位圆，则选()H z 的收敛域为0.62 1.62z <<则课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网()2121221()1()[()](1)()n nz z H z z z h n Z H z u n u n ααααα1−11⎛⎞=−⎜⎟α−−−⎝⎠==α−−−α−1zz α−对应于一个非因果序列23．见课本58P 上面几行描述，可得(a)----(3), (b)----(1), (c)----(2) 24．考虑一个因果线性非时变系统，它具有下列系统函数()11111a z H z az−−−−=− 式中a 是实数。
(a) 假如0，画出零、极点图，并用斜线画出收敛域。
1a <<(b) 在z 平面内，用通过几何法证明这个系统是一个全通系统。
解:11111)()1a z z a a H z z a az−−−−−− ==−− 零点极点，收敛域为1z a − =z a =z a >)1/1/j b H e a ω === ==见右图，根据余弦定理，有PZ QZ 所以PZ()QZ即频率响应的幅度为常数，所以是一个全通系统第三章 离散傅里叶变换（DFT ）2.表示一周期为的周期性序列,而表示它的离散傅立叶级数的系数,也是周期为的周期性序列.试根据确定离散傅立叶级数的系数. %()xn N ()X k N %()xn ()X k 课后答案网 w ww .k hw .c om答案网%%%11110001()01()0()()()()()()()(),N kn Nn N n N kr kn krNN k k n N k n r N n k N k n r Nk X k x n W X k X r X r X k W x n W W x n W N W −=−−−===Ν−1−+=0=−+==⎡⎤ ==⎢⎥⎣⎦= =∑∑∑∑∑∑∑解:据题意，有而的离散傅里叶级数的系数为因为 %%0,()()()n r lNX r N xr lN N x r +=⎧⎨ ⎩=−+=−其他所以N N5.表示一具有周期为的周期性序列, 具有周期为的周期性序列.令表示当看成是具有周期为的周期性序列离散傅立叶级数的系数.而表示当看成是具有周期为的周期性序列离散傅立叶级数的系数.当然为具有周期为的周期性序列, 为具有周期为2的周期性序列.试用确定%()x n N 2N 1()X k %()xn N2()X k %()x n 2N 1()X k N 2()X k N1()X k 2()X k 解:按照题意,有% %%%11021121/2/2220()()()()()()N kn N n N N N kn kn kn N N n n n NX k x n W X k x n W x n W x n W −=−−−======+∑∑∑∑令,则'nn N =− %%% ''11/2'()/2201/201()()()(1)()(1)2N N kn k n N NN n n N jk kn Nn jk X k x n W x n N W e x n W k eX ππ−−+==−−=−=++ =+⎛⎞ =+⎜⎟⎝⎠∑∑∑所以 122,()2k X k X k k ⎧⎛⎞⎪⎜⎟=⎝⎠⎨⎪ ⎩为偶数0，为奇数7. 求下列序列的DFT （a ）{ 1,1,-1,-1}（b ）{1,j,-1,-j}（c ）(n)01x cn n N = ≤≤−课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网（d ）2(n)sin01nx n NN π= ≤≤− 10()=DFT[()]=()N kn Nn X k x n x n W −=∑ a){}0,2-2j,0,2+2j b) {}0,4,0,0101(1)N-1n=1)()=DFT[()]=()=0,1 (1)(1)()=(1)()=,1,2, (11)(1)(0)2N knN n N k k n N N n kkn NkN N N kN c X k x n cnW W X k cnW k N W X k cW c N W cN cNX k k N W cN N X −=−+= =−−−− =−−− =∑∑∑=− 101(1)(1)01)()=()2j1()2j 2sin12j112sin(0)222cosN n n knN N Nn N k n k nN N n k k NN kk NN d X k W W W W W kW W N k =1,2,.....N -1W W NX Nπππ−−=−−+=− − =−− == , −−=−∑∑ 8.计算下列有限长序列的离散傅里叶变换（假设长度为N ）00)()())()())()1n a x n n b x n n n n N c x n a n N δδ = =− 0≤≤ = 0≤≤− 解:1)()=1)()=1)()=0,1, (110)kn N N N n knNk n Na X kb X k W ac X k a W k N aW −=− = =−−∑10. 计算下图两个有限长序列的6点圆周卷积课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网x2(-n)的圆周移位x1(n)与x2(n)的6点圆周卷积{5 6 1 2 3 4}11.有限长序列的离散傅里叶变换对应序列在单位圆的z变换的取样。
例如一个10点序列的离散傅里叶变换对应于单位圆上10个等间隔点的()X z的取样。
我们希望找到如下一个取样2100.5()kjNz eX zππ⎡⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦=⎤⎥，证明如何修改()x n以获得一个序列1()x n致使它的离散傅里叶变换对应于所希望的()X z的取样。
解:[(2/10)/10]9[(2/10)/10]0.59/1010()()[0.5]()0.5j kj kz enn jn knnX z x n ex n e Wπππππ++−==−−===∑∑n可见, 当时, 其离散富立叶变换相当于如图所示的/101()()0.5n jnx n x n eπ−−=()X z的采样．13.列长为8的一个有限长序列具有8点离散傅里叶变换()X k。
