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1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出)()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e et h t jb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT ee u n -+--==+ 11011() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bTz e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx azk u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(ss s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解：（1）求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
数字信号处理(程佩青)课后习题解答(1)1. 什么是数字信号处理？数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是指对数字信号进行滤波、采样、压缩、编码和解码等操作的一种信号处理技术。
数字信号处理通过离散采样将连续时间信号转换为离散时间信号，并利用数学算法对离散时间信号进行处理和分析。
数字信号处理广泛应用于音频处理、图像处理、视频处理、通信系统等领域。
2. 采样定理的原理是什么？采样定理又称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），是指在进行模拟信号的离散化处理时，采样频率必须大于模拟信号中最高频率的两倍。
采样定理的原理是根据信号的频谱特性，将模拟信号转换为离散时间信号时，需要保证采样频率足够高，以避免采样后的信号出现混叠现象，即频域上的重叠造成的信息损失。
根据奈奎斯特-香农采样定理，采样频率必须大于模拟信号中最高频率的2倍，才能完全还原原始信号。
3. 什么是混叠现象？如何避免混叠现象？混叠现象是指在进行模拟信号的采样时，由于采样频率低于模拟信号中的最高频率，导致频域上的重叠，从而造成采样信号中出现与原始信号不一致的频谱。
混叠现象会使得原始信号的高频部分被错误地表示成低频部分，从而损失了原始信号的信息。
为了避免混叠现象，可以采取以下措施：- 提高采样频率：采样频率必须大于模拟信号中最高频率的两倍，以保证信号的频谱不发生重叠。
- 使用低通滤波器：在采样前，先通过低通滤波器将模拟信号中的高频成分滤除，以避免混叠现象。
滤波器的截止频率应该设置为采样频率的一半。
4. 离散时间信号和连续时间信号有哪些区别？离散时间信号和连续时间信号是两种不同的信号表示形式。
离散时间信号是在时间上离散的，通常由序列表示，每个时间点上有对应的取样值。
离散时间信号可以通过采样连续时间信号得到，采样时将连续时间信号在一定时间间隔内进行取样。
连续时间信号是在时间上连续的，可以用数学函数、图像或者波形图来表示，不存在取样点。
程佩青第四版答案【篇一：数字信号答案(第三版)程佩青 -需要的看看啊啊】数字信号处理教程课后习题及答案目录离散时间信号与系统 z变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的基本结构无限长单位冲激响应（iir）数字滤波器的设计方法有限长单位冲激响应（fir）数字滤波器的设计方法数字信号处理中有限字长效应第一章离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和y(n)?x(n)*h(n)h(n)???an , 0?n?n?1?0, 其他nn? x(n)????? n0,n0?n??0,n?n0请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（n 看作参量），结果y(n)中变量是 n,??y(n)?x(m)h(n?m)??h(m)x(n?m) ; m????m???②分为四步（1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值，如此可求得所有 n 值的y(n) ;③一定要注意某些题中在n 的不同时间段上求和范围的不同(3)?n0 ?n?1当n?n0?n?1n时 ,???n0?????n1?y(n)??x(m)h(n?m)m?n-n?1?n?1?n0??n?1?n0?,???nn?????m????m?n0?n?m?n0??m?n?n?1?m?n?n?1解:y(n)?x(n)*h(n)?m????x(m)h(n?m)y(n)?0?(1)(2)当n?n0时n当n0?n?n0?n?1时 ,部分重叠y(n)?nm?n0?x(m)h(n?m)m?n0?m?n0???n?m?n?n?m?n0???nmy(n)??n?n0?n?1?n0?,(???)(1)x(n)? ? (n),(2)x(n)? r3(n),如此题所示，因而要分段求解。
(3)x(n)? ? (n?2),(4)x(n)? 2nu(?n?1),h(n)?r5(n)h(n)?r4(n) h(n)?0.5nr3(n)h(n)?0.5nu(n)2 .已知线性移不变系统的输入为x(n),系统的单位抽样响应 ???n?n0??n?n?1????n?11???n?1?n?n0?n??n???,?????y(n)?n?n?n0,?????为h(n),试求系统的输出y(n),并画图。
1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出 )()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+=由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT ee u n -+--==+ 11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bTz e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n sn t L 可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx azk u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(ss s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nT g t g n g a nT t a ===,由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：}]])([{[1)(1nT t a s s H L Z z z z H =--=，还要用到一些变换关系式。
解:根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(s H s s G a a =)108696044.928830.444(108696044.9424⨯++⨯=s s s22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1++++-=s s s由于[]2200)()()(sin Ω++Ω=Ω-a s t u t e L at[]2020)()()(cos Ω+++=Ω-a s as t u t e L at[]s t u L 1)(=故[])()(1s G L t g a a -=u(t) )]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +-=-则)()(nT g n g a =u(n) )]}T 14415.222cos( )T 14415.222[sin(1{nT 14415.222n n e +-=-利用以下z 变换关系：[])()(z X n x Z =[])()(z e X n x eZ aTnaT=-[]1cos 2sin )()(sin 2+-=aT z z aTz n u naT Z[]1cos 2cos )()(cos 22+--=aT z z aTz z n u naT Z []1)(-=z z n u Z且代入a=222.14415s f T s 310250011-⨯===可得阶跃响应的z 变换 [])()(n g Z z G =41124070.01580459.130339071.0122+----=z z z z z z)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.022+--+=z z z z z 由此可得数字低通滤波器的系统函数为：)(1)(z G z z z H -=212141124070.01580459.1110784999.014534481.0----+-+=z z z z3．设有一模拟滤波器 11)(2++=s s s H a抽样周期 T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(z H 。
分析：双线性变换法将模拟系统函数的S 平面和离散的系统函数的Z 平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111--+-=z z cs 。
解：由变换公式 1111--+-⋅=z z c s及 Tc 2= 可得：T = 2时：1111--+-=zz s 1111|)()(--+-==∴z z s a s H z H11111111211+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=----z z z z2213)1(--++=z z4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB 截止频率为100Hz ，系统抽样频率为1kHz 。
解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：21() 1.41421361a H s s s ==++则将css Ω=代入得出截止频率为c Ω的模拟原型为 1)200(4142136.1)200(1)(2++=ππss s H a18.39478458.88818.3947842++=s s由双线性变换公式可得：11112|)()(--+-⋅==z z T s a s H z H18.394784)11102(58.888)11102(18.3947841132113++-⋅⨯⨯++-⋅⨯=----zz z z21214241.01683.11)21(064.0----+-++=zz z z5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 s rad c 1=Ω）。
解:幅度平方函数为：42)/(11|)(|c j H ΩΩΩ+=令22s -=Ω，则有4)/(11)()(c a a s s H s H Ω+=-各极点满足下式：]4122[ππΩ-+=k j c k es ，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的k s 即为)(s H a 的极点：34122j c s ejπ=Ω=--542j c s ejπ=Ω=- 由以上两个极点构成的系统函数为3233)( 3 , 1)( 0 323 ))(()( 2020210++====++=--=s s s H k s H s s s k s s s s k s H a a a 所以可得时代入6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。
已知通带波纹为2dB ，归一化截止频率为s rad c 1=Ω。
(试用不同于书本的解法解答）解:7647831.05848932.05848932.0 110110 2 2.010211==⇒=-=-==εεδδ则，由于dB因为截止频率为s rad c 2=Ω，则-0.804222)765.01(21)4sin()1(14sin 111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--sh sh sh N sh a c c πεπσΩΩ）（378.1 222)765.01(21)4cos()1(1)4cos(111=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--sh ch sh N ch b c c πεπΩΩΩ0116057.1 7943282.02735362.17943282.011)0( )0(0 22735362.1608.10116057.1 ))(()(378.1804.0 378.1804.02221121=⨯==+====++=--=--==+-=*A H s N s s s s s s As H j s s j s a a 可求得时，有故是偶数，因为则则εΩ7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。
则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注 明其变换方法。
模拟—模拟模拟归一化原型 模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、 高通、带通、带阻频带变换数字化(a) 先模拟频带变换，再数字化(b) 把(a)的两步合成一步直接设计数字化数字—数字频带变换(c) 先数字化，再进行数字频带变换8.某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：(1)巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计；(2)当Hzf5.20≤≤时，衰减小于3dB；(3)当Hzf50≥时，衰减大于或等于40dB；(4)抽样频率Hzfs200=。
试确定系统函数)(zH,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。
解：3s105f1T-⨯==2200150224020015.222πππωπππω=⨯⨯===⨯⨯==TfTfststcc采用双线性变换法:数字低通、高通、带通、带阻数字低通数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型模拟归一化原型)2(tg T 2ωΩ=由指标要求得：404tg 400j H 20380tg 400j H 20a 10a 10-≤-≥|)((|log |)((|log ππ又 N2c2a )(11)j (H ΩΩΩ+=故])([log |)(|log N2c10a 10110j H 20ΩΩΩ+-= 40)4(4001log 103)80(4001log 10 210210-≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Ω+--≥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Ω+-N c N c tg j tg j ππ因而取等号计算，则有：)2( (10)]/)4/(400[(1)1(............ 10]/)80/(400[1423.02=Ω+=Ω+Nc N c tg tg ππ得42.1)]80/(/1log[)]110/()110log[(213.04=--=πtg N取N=2 , 代入(1)式使通带边沿满足要求，7.15 =Ωc 可得又二阶归一化巴特沃思滤波器为：1s 4142136.1s 1)s (H 2a ++=代入 c /s s Ω= ：5.246s 2.22s 5.246)s (H 2a ++=由双线性变换1111400|)()(--+-==z z s a s H z H2121221)1(5.246)1()1(4002.22)]1(400[5.246----+++⋅-⨯+-=z z z z )895.0889.11(11.6862110513665.1)21( 1019507.310691265.15.24621212521155--------+-++=⨯+++⋅⨯-⨯=z z z z z z z z 或者也可将N=2代入(2)中使阻带边沿 满足要求，可得40c =Ω，这样可得： 1600s 240s 1600s H 2a ++=)( 14115z 198z 8686z z 21z H 1221..)(+-++=----看题目要求。
