八年级数学第20届“希望杯”第1试试题

希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。

希望杯试题及答案初二希望杯数学竞赛是一项面向中学生的数学竞赛活动，旨在激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。

以下是一份初二希望杯试题及答案的样例，供参考。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.33333...D. 2/3答案：B2. 如果一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么它的周长是多少？A. 16B. 17C. 18D. 19答案：C3. 一个数的平方根是它本身，这个数是？A. 0C. -1D. 以上都是答案：A4. 一个数的相反数是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数答案：D6. 一个数的倒数是它本身，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是答案：A和B7. 一个数的立方是它本身，这个数是？B. 1C. -1D. 以上都是答案：D8. 一个数的平方是它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A和B9. 一个数的绝对值是它的相反数，这个数是？A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数答案：B和C10. 一个数的平方根是它的相反数，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A和C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的平方是25，这个数是______。

答案：±52. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数是______。

答案：±54. 一个数的倒数是1/3，这个数是______。

答案：35. 一个数的相反数是-3，这个数是______。

答案：36. 一个数的平方根是3，这个数是______。

答案：97. 一个数的立方根是2，这个数是______。

答案：88. 一个数的平方是-4，这个数是______。

希望杯竞赛初二试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知x+y=5，x-y=1，求2x+3y的值。

A. 12B. 11C. 10D. 92. 一个数的平方等于该数本身，这个数可能是：A. 1B. -1C. 1或-1D. 03. 如果一个三角形的两边长分别是5和12，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是：A. 7 < x < 17B. 2 < x < 14C. 5 < x < 13D. 12 < x < 154. 一个圆的半径为3，求圆的面积。

A. 28.26B. 9C. 18D. 365. 若a^2 + b^2 = 13，且a + b = 5，求ab的值。

A. 6B. 2C. 12D. 无法确定6. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求第10项的值。

A. 27B. 29C. 21D. 227. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其体积。

A. 24B. 12C. 36D. 488. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 810. 若a、b、c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-8，这个数是________。

12. 一个数的立方等于-27，这个数是________。

13. 一个数的平方根是4，这个数是________。

14. 一个数的倒数是2，这个数是________。

15. 一个圆的直径是10，这个圆的周长是________。

16. 若a、b互为倒数，则ab=________。

17. 一个数的平方是25，这个数是________。

18. 一个数的绝对值是3，这个数可能是________。

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(2009年)初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A．64.8ºB．57.6ºC．48ºD．16º2．如图，已知点B在反比例函数y＝kx的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、C．若△ABC的面积是4，则反比例函数的解析式是（）A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝－4x D．y＝4x3．如果a＋2ab＋b＝2，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.141∶1 B．1∶1 C．1∶0.618 D．1.732∶15．The number of integer solutions for the syetem of inequalities⎩⎨⎧x－2a≥0，3－2x＞－1about x is just 6，then the range of value for real number a is （）A．－2.5＜a≤－2 B．－2.5≤a≤－2 C．－5＜a≤－4 D．－5≤a≤－4(integer solutions 整数解syetem of inequalities 不等式组the range of value 取值范围)6．若分式|x|－23x－2的值是负数，则x的取值范围是（）A．23＜x＜2 B．x＞23或x＜－2C．－2＜x＜2且x≠23D．23＜x＜2或x＜－27．在100到1000的整数中(含100和1000)，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有（）A．890个B．884个C．874个D．864个8．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF＝∠F AB B．BC＝3FCC．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC9．计算：33)7411()7411(-++，结果等于（）A．58 B．387C．247D．32710．已知在代数式a＋bx＋cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A CBD A ．0个 B ．1个 C ．10个 D ．无穷多个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是 ．12．若14x ＋5－21x 2＝－2，则6x 2－4x ＋5＝ ．13．不等式x －1＞2 x 的最大整数解是 ．14．已知m 是整数，以4m ＋5、2m －1、20－m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有个．15．当x 依次取1，2，3， (2009)1 2， 1 3， 1 4，…， 1 2009时，代数式 x 21＋x 2的值的和等于 ．16．由直线y ＝x ＋2、y ＝－x ＋2和x 轴围成的三角形与圆心在点(1，1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于 ． 17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，斜边AB 边上的高为h ，则两直角边的和a ＋b 与斜边及其高的和c ＋h 的大小关系是a ＋b c ＋h （填“＞”、“＝”、“＜”）． 18．The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠BEC is right angle ．Supposethe length of CE is a ，and the length of BE is b ，then the distance between point A and line CE equals to ．(be composed of 由…组成 right angle 直角 length 长度 distance 距离)19．如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，BD 平分∠ABC ，若BD 将△ABC 的周长分为4∶3的两部分，则△ABD与△BCD 的面积比等于 ．20．如果将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同；若将(n ＋1)个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n 的最大值等于 ，最小值等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．如果自然数a 与b (a ＞b )的和、差、积、商相加得27，那么a ＝ ，b ＝ ． 22．若 a b ＋c ＝ b c ＋a ＝ ca ＋b ，则2a ＋2b ＋c a ＋b －3c＝ 或 ．23．若关于x 的方程 1 x －1－ a2－x ＝ 2(a ＋1) x 2－3x ＋2无解，则a ＝ 或 或 ．24．对于正整数k ，记直线y ＝－k k ＋1x ＋ 1k ＋1与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则S k ＝ ，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ ．25．将 1 2， 1 3， 1 4，…， 1100这99个分数化成小数，则其中的有限小数有 个，纯循环小数有 个(纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数)．【部分详解】1、解：扇形的圆心角=8÷50×360°=57.6°．故选B．2、解：由题意得：三角形的面积等于1/ 2 |k|，∴|k|=8，又∵反比例函数图象在四象限．∴k＜0，∴k=-8，∴反比例函数的解析式是y=-8/ x ．故选A．3、4、5、这六个整数解为1,0，-1，-2，-3，-4-5<2a<=-4,故选A6、7、解：在100到1000中（包括100和1000），完全平方的有100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484、529、576、625、676 729、784、841、900、961，共22个，完全立方的有125、216、343、512、729、1000，共6个，729既是完全平方数，又是立方数，∴既不是完全平方数，也不是完全立方数个数为901-22-6+1=874．故选C．8、9、10、解：根据题意，得a+3b+9c=2008，①a+7b+49c=2009，②，由②-①，得4b+40c=1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选A．11、解：安装的频率=95/ 200 ，∴该地区已安装电话的户数大约=20000×95 /200 =9500．故答案为：9500．12、13、14、解：根据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5）+（2m-1）＞20-m，7m＞16①；（4m+5）+（20-m）＞2m-1，m＞-26②；（2m-1）+（20-m）＞4m+5，3m＜14③．整理16/7 ＜m＜14/ 3 ．∵m取整数∴m=3或4．故这样的三角形有2个．故答案为：2．15、16、17、18、19、20、解：①对于n值为最大的情况，从已知n值最小为出发点，在增加一个盒子之后若出现使得各个盒子中的棋子数不相同，则应该有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．而1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，如果n=65，n+1=66，就能够找到11个不重复且不为0的方法了，所以最大值是64个②对于n值最小的情况，必有一盒子中放有1棋子，而其它的也都各不相同，为使总棋子数最小则其它应依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不同的方法，所以n值最小为55．故答案为：64、55．21、22、23、24、25、解：分母中只含有质因数2的数是：2，4，8，16，32，64；分母中只含有质因数5的数是：5，25；分母中只含有质因数2和5的数是：10，20，40，50，80，100；一共有：6+2+6=14（个）；答：能化成有限小数的分数有14个．故答案为：14．1/2,1/4,1/5,1/8,1/10.1/16.1/20,1/25,1/32,1/40,1/50,1/64,1/80,1/100分母分解的质因数中不含2或5，则该分数为纯循环小数100以内的质数为25个，去掉2和5还有13个还有9,21,33,39,49,51,57,63,69,77,87,91,93,99共14个所以共有39个。

初二组希望杯试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的周长是直径的π倍B. 圆的周长是半径的2π倍C. 圆的周长是直径的2倍D. 圆的周长是半径的π倍答案：B2. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：C3. 以下哪个方程的解是x=2？A. x+2=4B. x-2=0C. 2x=4D. x^2=4答案：C4. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是？A. 1<x<7B. 1<x<7且x≠3.5C. 7<x<11D. 以上都不对答案：B5. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C6. 以下哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A7. 一个数的相反数是-3，这个数是？A. 3C. 0D. 以上都不对答案：A8. 以下哪个选项是正确的？A. 2x+3=7的解是x=2B. 3x-5=10的解是x=5C. 4x+6=18的解是x=3D. 以上都不对答案：C9. 一个等腰三角形的底边长为5，两腰长为6，那么这个三角形的周长是？A. 17B. 18D. 20答案：A10. 以下哪个选项是正确的？A. 一个数的立方根是它本身B. 一个数的平方根是它本身C. 一个数的立方根和平方根是同一个数D. 以上都不对答案：A二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个圆的半径是3，那么它的面积是________。

答案：9π12. 一个数的平方是16，那么这个数是________。

答案：±413. 一个三角形的两边长分别为4和5，第三边长x满足的条件是________。

答案：1<x<914. 一个数的绝对值是4，这个数可能是________。

答案：4或-415. 一个等腰三角形的底边长为6，两腰长为8，那么这个三角形的周长是________。

第一届“枫叶新希望杯”全国数学大赛八年级试题（初赛）一、填空题1521a a +有意义，则a 的取值范围是2．若x y 、为实数，且y 34x y +=3a ，小数部分为b ，则334a b a b+=++- 4．ABC V 的三边长为a b c 、、，且满足等式222a b c ab bc ac ++=++，则ABC V 的形状是三角形．5．已知1abc =，则111111ab a bc b ac c ++=++++++ 6．如图，在ABC V 中，50,,BAC BE BD CF CD ∠=︒==，则EDF ∠=7．若关于m 的方程255m b +-=恰有两个不同的解，则b 的取值范围为8．凸n 边形内角与外角和的总和为1440︒，则n 等于；这个凸n 边形有条对角线． 9．有四个数每次任选3个，算出它们的平均数，再加上剩下的一个数，用这样的方法计算了4次，分别得到46403226、、、，原来四个数分别是、、、．101m =-，则m =二、解答题11．已知：如图，把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕线上，得到Rt ABE △，沿着EB 线折叠，所得到的EAF △是什么三角形？请说明理由．12．如图所示，在矩形ABCD 中，126AB cm BC cm ＝，＝，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/cm s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1/cm s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用t s 表示移动的时间（06t ≤≤）．（1）当t 为何值时，QAP ∆为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．13．某校初二年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女同学，乙班比丙班多1名女同学．期中考试后，学校重新分班，按要求甲班一部分同学被分到乙班，乙班一部分同学被分到丙班，丙班一部分同学被分到甲班，分完后发现三个班女同学的人数恰好相等．已知丙班被分到甲班的同学中有2名女同学．甲、乙两班分别有多少名女同学被分到其他班？ 14．张老师家的电话号码是八位数，这个数的前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，这八个数字之和恰好等于号码的最后二位数．请你根据上述条件写出张老师家的电话号码．15．将正偶数按下表排成五列．根据上面排列规律，2004应在第几行第几列？说明理由．。

希望杯初二试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知a、b、c是三角形的三边，下列哪个条件不能保证a、b、c构成三角形？A. a + b > cB. a + c > bC. b + c > aD. a = b = c答案：D2. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.33333...D. √4答案：B3. 如果x和y互为相反数，那么x + y的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A4. 一个数的平方根是它本身的数有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C5. 下列哪个选项是正确的不等式？A. 5 > 3B. 2 < 2C. 0 ≤ 0D. -3 ≥ 0答案：C6. 一个正数的倒数是它本身，这个正数是多少？A. 1B. 2C. 0.5D. 0答案：A7. 一个等腰三角形的底角是45度，那么顶角是多少度？A. 45度C. 135度D. 180度答案：B8. 下列哪个选项是正确的因式分解？A. x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)B. x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2C. x^2 - 9 = (x - 3)^2D. x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2答案：D9. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 20πC. 30π答案：B10. 下列哪个选项是正确的比例关系？A. 3:4 = 6:8B. 2:3 = 4:6C. 5:7 = 10:14D. 1:2 = 3:6答案：D二、填空题（每题3分，共30分）11. 如果一个数的立方是-8，那么这个数是______。

答案：-212. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。

答案：5 或 -513. 一个等差数列的首项是3，公差是2，那么第5项是______。

答案：1114. 一个等比数列的首项是2，公比是3，那么第3项是______。

初二数学希望杯试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. -4C. 4或-4D. 163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 05. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 + 2 = 5B. 7 - 5 = 2C. 4 × 2 = 8D. 6 ÷ 2 = 3二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是_________。

7. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是_________。

8. 一个数的倒数是2，那么这个数是_________。

9. 一个数的相反数是-3，那么这个数是_________。

10. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是_________。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，求这个长方体的体积。

12. 已知一个圆的半径是7cm，求这个圆的面积。

13. 已知一个等腰三角形的底边长是6cm，两腰长是5cm，求这个等腰三角形的面积。

初二数学希望杯试题答案一、选择题答案1. B2. C3. A4. C5. D二、填空题答案6. 167. -38. 1/29. 310. ±3三、解答题答案11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= 3cm × 4cm × 5cm =60cm³。

12. 圆的面积= π × 半径² = 3.14 × 7cm × 7cm = 153.86cm²。

13. 等腰三角形的面积 = (底× 高) / 2。

2009 年第 20 届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第 1 试）一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）1．（ 4 分）在一次视力检查中，八年级（1）班的 50 人中只有8 人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8°B ．57.6°C． 48°D． 16°2．（4 分）如图，已知点 B 在反比率函数y＝的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、 C．若△ ABC 的面积是4，则反比率函数的分析式是（）A ．y＝﹣B ．y＝C． y＝﹣D． y＝3．（ 4 分）假如a+ab+b＝，且b是有理数，那么（）A ．a 是整数B ． a 是有理数C． a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数4．（ 4 分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4 等，它们有以下的关系：将上一个型号（例如 A3）的复印纸在长的方向对折后获得两张下一型号（A4）的复印纸，且各样型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414： 1B ．1： 1C． 1： 0.618D． 1.732： 15．（4 分） The number of integer solutions for the syetemof inequalities about x is just 6， then the range of value for real number a is（）（integersolutions 整数解； syetemofinequalities 不等式组； therangeofvalue 取值范围）A ．﹣ 2.5＜ a≤﹣ 2B ．﹣ 2.5≤ a≤﹣ 2C．﹣ 5＜a≤﹣ 4D． a 不存在6．（ 4 分）若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）A ．＜x＜2B． x＞或x＜﹣2C ．﹣ 2＜ x ＜ 2 且 x ≠D ．＜ x ＜ 2 或 x ＜﹣ 27．（ 4 分）在 100 到 1000 的整数中（含 100 和 1000 ），既不是完整平方数，也不是完整立方数的有（）A ．890 个B ．884 个C ． 874 个D ． 864 个8．（ 4 分）如图， 在正方形 ABCD 中， E 是 CD 边的中点， 点 F 在 BC 上， ∠ EAF ＝∠ DAE ，则以下结论中正确的选项是（）A ．∠ EAF ＝∠ FAB B ．BC ＝ 3FC C ． AF ＝ AE+FCD ． AF ＝ BC+FC 9．（ 4 分）计算：，结果等于（ ）A ．56B ．38C ． 24D ． 3210．（ 4 分）已知在代数式 a+bx+cx 2中， a 、b 、 c 都是整数，当 x ＝ 3 时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009，这样的代数式有（ ）A ．0 个B ．1 个C ． 10 个D ．无量多个二、填空题（共 15 小题，满分 80分）11．（4 分）某地域有 20000 户居民，从中随机抽取 200 户，检查能否已安装电话，结果如右表所示，则该地域已安装电话的户数大概是．电话安装状况动迁户原住户已安装 60 35未安装456022＝ ．12．（ 4 分）若 14x+5 ﹣21x ＝﹣ 2，则 6x ﹣4x+5 13．（ 4 分）不等式 x ﹣ 1＞ x 的最大整数解是．14．（4 分）已知 m 是整数，以 4m+5、2m ﹣ 1、20﹣ m 这三个数作为同一个三角形三边的长， 则这样的三角形有个．15．（ 4 分）当 x 挨次取 1， 2， 3， ， 2009， ， ， ， ， 时，代数式 的值的和等于．16．（ 4 分）由直线 y＝ x+2 、 y＝﹣ x+2 和 x 轴围成的三角形与圆心在点（1，1），半径为 1 的圆构成的图形覆盖的面积等于．17．（4 分）在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，斜边AB 边上的高为h，则两直角边的和a+b 与斜边及其高的和c+h 的大小关系是a+b c+h（填“＞”、“＝”、“＜”）．18．（4 分） The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE，where∠ BEC is right angle． Suppose the length of CE is a， and the length of BE is b， then the distance between point A and line CE equals to．（ be composed of 由构成right angle 直角length 长度distance 距离）如图是由正方形ABCD 和三角形BCE 构成，此中∠ BEC 的是直角．假定CE 长度是 a，BE 的长度是b，那么 A 点和直线CE 之间的距离等于？19．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AB＞ BC，BD 均分∠ ABC，若 BD 将△ ABC 的周长分为4：3 的两部分，则△ ABD 与△ BCD 的面积比等于．20．（4 分）假如将 n 个棋子放入10 个盒子内，能够找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这 10 个盒子内的棋子数都不一样；若将（n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，而且这11 个盒子内的棋子数都不一样，那么整数n 的最大值等于，最小值等于．21．（ 8 分）假如自然数 a 与 b（ a＞ b）的和、差、积、商相加得27，那么a＝，b ＝．22．（ 8 分）若＝＝，则＝或．23．（ 8 分）若以 x 为未知数的方程无解，则a＝．24．（ 8 分）对于正整数 k，记直线 y＝﹣x+与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k，则 S k＝，S1+S2+S3+S4＝．25．（ 8 分）将，，，，这99个分数化成小数，则此中的有限小数有个，纯循环小数有个（纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数）．2009 年第 20 届“希望杯” 全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）1．（ 4 分）在一次视力检查中，八年级（1）班的 50 人中只有8 人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8°B ．57.6°C． 48°D． 16°【剖析】先求出视力达标人数所占百分比，再乘以360°即可求得扇形的圆心角度数．【解答】解：扇形的圆心角＝8÷ 50× 360°＝ 57.6°．应选： B．【评论】本题考察扇形统计图及有关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．2．（4 分）如图，已知点 B 在反比率函数y＝的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、 C．若△ ABC 的面积是4，则反比率函数的分析式是（）A ．y＝﹣B ．y＝C． y＝﹣D． y＝【剖析】依据反比率函数中比率系数的几何意义，三角形的面积等于|k|，以及函数所在的象限，即可确立k 的符号．从而获得函数的分析式．【解答】解：由题意得：三角形的面积等于|k|，∴|k|＝ 8，又∵反比率函数图象在四象限．∴k＜ 0，∴k＝﹣ 8，∴反比率函数的分析式是y＝﹣．应选： A．【评论】本题考察了反比率函数系数k 的几何意义，由三角形的面积求得k 的值是解决本题的要点．3．（ 4 分）假如a+ab+b＝，且b是有理数，那么（）A ．a 是整数B ． a 是有理数C． a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数【剖析】先把等式变形为a+b＝（1﹣ab），再依据等式一边出现无理数则a，b 中必有一个数为无理数即可进行解答．【解答】解：∵ a+ab+b＝，∴a+b＝（ 1﹣ ab）等式一边出现无理数，若 a， b 均为有理数，则等式恒不建立，又∵ b 为有理数，∴ a 必为无理数．应选： C．【评论】本题考察的是有理数及无理数的观点及运算，能把原式化为a+b＝（1﹣ab）的形式是解答本题的要点．4．（ 4 分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4 等，它们有以下的关系：将上一个型号（例如 A3）的复印纸在长的方向对折后获得两张下一型号（A4）的复印纸，且各样型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414： 1B ．1： 1C． 1： 0.618D． 1.732： 1【剖析】由题意得，小长方形长：宽＝大长方形长：宽，相像比为大矩形的长：小矩形的长，据此求解．【解答】解：设小长方形的宽为x，长为 y，则大长方形的宽为y，长为 2x，由题意得：y： x＝ 2x：y，∴ x： y＝1：，设x＝ k， y＝ k，则 2x＝ k，∴相像比＝ 2x：y＝2k：k＝：1≈ 1.414：1．【评论】本题考察相像多边形的性质．相像多边形对应边之比等于相像比．5．（4 分） The number of integer solutions for the syetemof inequalities about x is just 6， then the range of value for real number a is（）（integersolutions 整数解； syetemofinequalities 不等式组； therangeofvalue 取值范围）A ．﹣ 2.5＜ a≤﹣ 2B ．﹣ 2.5≤ a≤﹣ 2C．﹣ 5＜a≤﹣ 4D． a 不存在【剖析】先依据②中 x 的取值范围及x 只有整数 6 这一个解即可得出对于2a 的不等式，求出 a 的取值范围即可．【解答】解：，由②得 x≤﹣ 4，由①得 x≥ 2a，∵x 的值只有整数 6，∴而 x≤﹣ 4，∴不存在知足条件的 a 的值．应选： D ．【评论】本题考察的是一元一次不等式组的整数解，由不等式的整数解得出对于 a 的不等式，是解答本题的要点．6．（ 4 分）若分式的值是负数，则x 的取值范围是（）A ．＜x＜2B． x＞或x＜﹣2C．﹣ 2＜ x＜ 2 且 x≠D．＜x＜2或x＜﹣2【剖析】依据题意列出不等式组，解不等式组则可．【解答】解：∵分式的值是负数，∴＜ 0，∴或，解得 x＜﹣ 2 或＜x＜2．应选： D ．【评论】本题考察分式的值的正负性和解含绝对值的一元一次不等式组的知识点，难度中等．7．（ 4 分）在 100 到 1000 的整数中（含100 和 1000 ），既不是完整平方数，也不是完整立方数的有（）A ．890 个B ．884 个C． 874 个D． 864 个【剖析】第一找到100 到 1000 的整数中是完整平方数，或许是完整立方数的数，除掉这些数其余的数既不是完整平方数，也不是完整立方数．【解答】解：在 100 到 1000 中（包含100 和 1000 ），完整平方的有100、 121、144、 169、196、 225、 256、289、 324、 361、 400、 441、 484、529、 576、 625、 676 729、 784、 841、 900、 961，共 22 个，完整立方的有125、 216、343、 512、 729、 1000，共 6 个，729既是完整平方数，又是立方数，∴既不是完整平方数，也不是完整立方数个数为901﹣22﹣ 6+1 ＝874．应选： C．【评论】本题主要考察完整平方数的知识点，解答本题的要点是找出在100 到 1000 的整数中是完整平方数，或许是完整立方数的数．8．（ 4 分）如图，在正方形ABCD 中， E 是 CD 边的中点，点 F 在 BC 上，∠ EAF ＝∠ DAE ，则以下结论中正确的选项是（）A ．∠ EAF ＝∠ FAB B ．BC＝ 3FC C． AF ＝ AE+FC D． AF ＝ BC+FC【剖析】把△ ADE 绕 A 点逆时针旋转 90°得△ ABG，依据旋转的性质得∠ 1＝∠ 5，∠ 3 ＝∠G，∠ADB＝∠ABG，DE ＝BG，则∠GBF＝180°，即G，B，F 共线，再依据∠3 ＝∠2+∠ 4，∠ 1＝∠ 2，可获得∠ G＝∠ 5+∠ 4，则 AF ＝ GF；而后设正方形 ABCD 的边长为 2a，BF ＝ x，则 AF＝ x+a，在 Rt △ ABF 中，利用勾股定理获得x＝a，则 FC ＝a，AF＝a， BC+FC ＝ 2a+ a＝a＝ AF ，获得正确选项．【解答】解：把△ ADE 绕 A 点逆时针旋转90°得△ ABG，如图，∴∠ 1＝∠ 5，∠ 3＝∠ G，∠ ADE＝∠ ABG， DE＝ BG，∴∠ GBF＝ 180°，即 G， B，F 共线，又∵∠ 3＝∠ 2+∠4，∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 5+∠ 4，∴∠ G＝∠ 5+∠ 4，∴AF＝ GF ；设正方形ABCD 的边长为2a，则 DE＝ a，2 2 2设BF ＝ x，则 AF ＝x+a，在 Rt△ ABF 中，（x+a）＝4a +x ，解得 x＝ a，则FC ＝ a， AF＝ a，∴BC+FC ＝ 2a+ a＝ a＝ AF．因此 D 选项正确．应选： D ．【评论】本题考察了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，正方形的性质以及勾股定理．9．（ 4 分）计算：，结果等于（）A ．56B ．38C． 24D． 32【剖析】利用＝，当 a ＞ 0 时＝a；当a≤ 0 时＝﹣a，先将开方，再进行运算即可．【解答】解：∵（ 11+4 ）＞ 0，（ 11﹣ 4 ）＞ 0，∴原式＝（ 11+4 ）+（ 11﹣ 4 ），＝（ 11+4） +（ 11﹣ 4 ） ，∵ 2+ ＞ 0， 2﹣＜ 0，∴原式＝（ 11+4 ）（ 2+ ） +（ 11﹣ 4 ）（ ﹣ 2）， ＝ 22+11 +8 +28+11﹣22﹣ 28+8，＝ 38 ． 应选： B ．【评论】 本题考察二次根式的化简，在化简中注意结果要化到最简二次根式，特别是二次根式的乘除运算要与加减运算划分，防止相互扰乱．10．（ 4 分）已知在代数式 a+bx+cx 2中， a 、b 、 c 都是整数，当 x ＝ 3 时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009，这样的代数式有（）A ．0 个B ．1 个C ． 10 个D ．无量多个【剖析】 依据已知条件“当 x ＝ 3时，该式的值是 2008；当 x ＝ 7 时，该式的值是 2009”列出对于 a 、b 、c 的三元一次方程组， 而后利用 “加减消元法” 消去 a ，而后依据 “ a 、b 、 c 都是整数”来确立 b 、 c 的值．【解答】 解：依据题意，得，由 ② ﹣① ，得4b+40c ＝1， ③∵ a 、 b 、 c 都是整数，∴ ③ 的左侧是 4 的倍数，与右侧不等，因此，这样的代数式不存在；应选： A ．【评论】 本题主要考察了三元一次不定方程的解法．依据题意列出方程组，及依据已知条件“ a 、 b 、 c 都是整数”来确立未知数的取值范围是解题的要点所在．二、填空题（共 15 小题，满分 80 分）11．（4 分）某地域有 20000 户居民，从中随机抽取200 户，检查能否已安装电话，结果如右表所示，则该地域已安装电话的户数大概是9500 ．电话安装状况动迁户原住户已安装 60 35 未安装4560【剖析】 依据频数＝总数×频次，可得出答案． 【解答】 解：安装的频次＝ ，∴该地域已安装电话的户数大概＝ 20000×＝ 9500．故答案为： 9500．【评论】 本题考察用样本预计整体的知识，属于基础题，解答本题的要点是掌握频数＝总数×频次这个关系．2 2 ﹣4x+5＝ 7．12．（ 4 分）若 14x+5 ﹣21x ＝﹣ 2，则 6x【剖析】 依据已知条件求得 3x 2﹣ 2x ＝ 1，而后将所求的代数式转变为含有3x 2﹣ 2x 的形式，将 3x 2﹣ 2x ＝ 1 代入此中求解即可．【解答】 解：∵ 14x+5 ﹣ 21x 2＝﹣ 2，即 21x 2﹣14x ＝ 7， ∴ 3x 2﹣ 2x ＝ 1，∴ 6x 2﹣ 4x+5，＝ 2（ 3x 2﹣ 2x ） +5，＝ 7．故答案是： 7．【评论】 本题考察了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确见告，而是隐含在题设中，第一应从题设中获得代数式3x 2﹣ 2x 的值，而后利用“整体代入法”求代数式的值．13．（ 4 分）不等式 x ﹣ 1＞x 的最大整数解是 ﹣ 3 ．【剖析】 本题需先解出不等式，再依据求出的结果确立不等式的最大整数解．【解答】 解：∵ x ﹣ 1＞x ，∴ x ﹣x ＞ 1，（ 1﹣） x ＞1，∵，∴，∴ x＜，∴不等式x﹣ 1＞x 的最大整数解是﹣3．故填：﹣ 3．【评论】本题主要考察了二次根式的混淆运算和不等式的解法，在解题时要注意符号的变化问题．14．（4 分）已知 m 是整数，以 4m+5、2m﹣ 1、20﹣ m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有2个．【剖析】先依据三角形三边关系列出不等式求出m 的取值范围，再由m 是整数，求出m 的值，从而获得三角形的个数．【解答】解：依据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5 ） +（2m﹣ 1）＞ 20﹣ m，7m＞ 16①；（4m+5 ） +（20﹣ m）＞ 2m﹣ 1，m＞﹣ 26②；（2m﹣ 1） +（ 20﹣ m）＞ 4m+5，3m＜ 14③ ．整理＜ m＜．∵m 取整数∴m＝ 3 或 4．故这样的三角形有 2 个．故答案为： 2．【评论】本题考察了三角形三边关系．本题实质上就是依据三角形三边关系定理列出不等式（组），而后解不等式（组）即可．15．（ 4 分）当 x 挨次取 1， 2， 3，， 2009，，，，，时，代数式的值的和等于2008．【剖析】因为当x＝时和当x＝ k 时，分别代入代数式，再把它们所得的和相加的 1.2，3，， 2009，，，，，恰巧分别对应互为相反数，从而问题的得解．【解答】解：∵当 x＝时，＝，当 x＝ k 时，＝，故这两值相加得：+ ＝ 1，∴当 x 挨次取1，2， 3， 2009 ，，，，，时，原式＝ + + + + + + + + ，＝+（+）+（+）++（+），＝+1+1+ 1，＝．【评论】本题考察因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不一样的分式相加是一个常数．16．（ 4 分）由直线 y＝ x+2 、 y＝﹣ x+2 和 x 轴围成的三角形与圆心在点（1，1），半径为 1 的圆构成的图形覆盖的面积等于4+．【剖析】依据圆心知足直线的分析式获得圆心在直线上，而且圆心到两坐标轴的距离均为1，由此能够获得图形覆盖部分为半径为 1 的半圆加上两直线与坐标轴围成的三角形的面积的和，利用圆的面积计算公式计算出半圆的面积加上三角形的面积即可．【解答】解：∵圆心为点（ 1， 1），∴圆心在直线 y＝﹣ x+2 上，∵点（ 1， 1）到两坐标轴的距离均是 1，且半径为 1，∴图形覆盖部分为半径为 1 的半圆，∴图形覆盖的面积等于× π× 12＝．∵两直线分别与 x 轴交于（﹣ 2， 0）和（ 2， 0）、与 y 轴交于（ 0，2）， ∴两直线与坐标轴围成的面积为：× 4× 2＝ 4，∴图形覆盖的面积＝ 4+ ．故答案为： 4+．【评论】 本题考察了一次函数的有关知识，解决本题的要点是利用已知条件判断重叠部 分是个什么样的图形．17．（4 分）在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，斜边 AB 边上的高为 h ，则两直角边的和 a+b 与斜 边及其高的和 c+h 的大小关系是 a+b ＜ c+h （填“＞”、“＝”、“＜”）．【剖析】 因为线段的和永久为正，因此能够经过比较两线段的和的平方来比较两线段的 和的大小，即平方之差大于零，平方就大，不然就小．【解答】 解：∵（ c+h ） 2﹣（ a+b ）2 2222＝（ c +2ch+h ）﹣（ a +2 ab+b ）， 且，2222∴（ c +2ch+h ）﹣（ a +2 ab+b ）＝ h 2＞ 0， ∴ a+b ＜c+h ．故答案为：＜．【评论】 本题考察了勾股定理的知识，同时题目还浸透了比较两个正数的大小的方法，即：两正数的平方差大于零，前一个正数大于后边的正数，反之亦然．18．（4 分） The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠ BECis right angle ． Suppose the length of CE is a ， and the length of BE is b ， then the distancebetween point A and line CE equals toa+b ．（ be composed of 由 构成right angle 直角length 长度distance 距离）如图是由正方形 ABCD 和三角形 BCE 构成，此中∠ BEC 的是直角．假定CE 长度是 a ，BE 的长度是 b ，那么 A 点和直线 CE 之间的距离等于？【剖析】依据∠ BEC 的是直角， CE 长度是 a， BE 的长度是b，利用勾股定理求出BC，再利用正方形的性质求证△AMB ∽△ CBE，而后可得AM ，再利用勾股定理求出MB，然后可得 CM ，再利用相像三角形的对应边成比率求出MN ，而后用 AM +MN 即可得出答案．【解答】解：∵∠ BEC 的是直角， CE 长度是 a， BE 的长度是 b∴ BC＝，又∵ AN⊥ CE，四边形 ABCD 是正方形，∴△ AMB∽△ CBE∴＝，即＝，∴ AM ＝，由勾股定理得 MB＝＝＝，∴ CM ＝ BC﹣ BM ＝﹣＝，∵△ AMB∽△ CMN ，∴＝，∴＝，∴ MN ＝，∴ AN＝ AM+MN ＝+ ＝ a+b．故答案为： a+b．【评论】本题主要考察正方形的性质，勾股定理，相像三角形的判断与性质等知识点，综合性较强，有必定的拔高难度，属于难题．19．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AB＞ BC，BD 均分∠ ABC，若 BD 将△ ABC 的周长分为4：3 的两部分，则△ ABD 与△ BCD 的面积比等于4： 3 ．【剖析】依据角均分线的性质定理及等比定理解答．【解答】解：∵ BD 是∠ ABC 的均分线，∴按角均分线性质定理及合比定理，得＝＝＝，∴S△ABD： S△DBC＝ AB× BDsin ∠ABD ： BC× BDsin∠ CBD ，又∵∠ ABD ＝∠ CBD ，∴sin∠ ABD ＝ sin∠ CBD ，∴AB： BC＝ 4：3，∴S△ABD： S△DBC＝ 4： 3．故答案为： 4： 3．【评论】本题考察了三角形的面积．解答本题时，利用到了角均分线的性质定理、合比定理及三角形的面积公式．20．（4 分）假如将 n 个棋子放入10 个盒子内，能够找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这 10 个盒子内的棋子数都不一样；若将（n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，而且这11 个盒子内的棋子数都不一样，那么整数n 的最大值等于64，最小值等于55．【剖析】第一依据n 个棋子放入10 个盒子内，整数的倍值循环，因此获得不一样的状况是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10．将（ n+1 ）个棋子放入11 个盒子内，搁置的状况是1、2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11．从已知 n 值最小为出发点，在增添一个盒子以后若出现使得各个盒子中的棋子数不同样，则应当有 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11．而 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 ＝ 66，假如 n＝ 65， n+1＝ 66，就可以找到11 个不重复且不为 0 的方法了，因此最大值是64 个②对于 n 值最小的状况，必有一盒子中放有 1 棋子，而其余的也都各不同样，为使总棋子数最小则其余应挨次为2、3、 4、5、 6、 7、 8、 9、 10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不一样的方法，因此 n 值最小为 55．故答案为： 64、55．【评论】本题考察抽屉原理．解决本题的要点是理清题意，找到恰巧各不同样的状况，做为临界点，分别再增添一颗取最小值，n 不存在；减少两颗取最大值．21．（ 8 分）假如自然数 a 与 b（ a＞b）的和、差、积、商相加得27，那么 a＝6，b＝2．【剖析】依据题意列出对于a、 b 的等式，由数的整除性可知 b 必能整除 a，设 a＝ kb，此中 k 为整数，把 k 代入对于a、b 的式子，依据 k 为整数即可求出k 的值，从而求出a、b 的值．【解答】解：由题意得（a+b）+（ a﹣ b） +ab+ ＝ 27，即2a+ab+ ＝27，2整理得， 2ab+ab +a＝ 27b，故 b 必能整除a，设 a＝ kb，此中 k 为整数，2代入上式得k（ 2b+b +1 ）＝ 27，k（ b+1）2＝ 33，∴k（ b+1）＝ 9，∵ k、 b 为整数，∴k＝ 3， b＝ 2，a＝ 3× 2＝6．故答案为： 6， 2．【评论】本题考察的是数的整除性问题，依据题意列出对于a、b 的式子，得出 b 必能整除 a，设出 a＝ kb 是解答本题的要点．22．（ 8 分）若＝＝，则＝或﹣5．【剖析】 先依据 ＝ ，易求﹣ c ＝ a+b （ a ﹣b ≠ 0），再把 a+b ＝﹣ c 整体代入原式计 算即可；还有一种状况是 a ﹣ b ＝ 0，＝，易求 c ＝ 2a （ b ﹣ c ≠ 0），再把 a ＝ b ， c＝ 2a 代入原式计算即可．【解答】 解：∵＝ ，∴ ac+a 2＝b 2+bc ，∴若 a ﹣ b ≠ 0，那么﹣ c ＝a+b ，∴原式＝＝ ＝ ；∵当 a ＝ b ＝ c 时，已知条件是建立的，∴原式＝＝﹣ 5．故答案是或﹣ 5．【评论】 本题考察了分式的化简求值．注意分状况议论，除了惯例思路，还要考虑特别状况．23．（ 8 分）若以 x 为未知数的方程无解，则 a ＝ ﹣ 1 或﹣ 或 2 ．【剖析】 第一解方程求得x 的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或 2，据此即可求解 a 的值．【解答】 解：去分母得： x ﹣ 2+a （ x ﹣ 1）＝ 2（ a+1）解得： x ＝当 a+1＝0 即 a ＝﹣ 1 时，方程无解．依据题意得：＝ 1 时，解得 a ＝﹣ ；当＝ 2 时，解得： a ＝﹣ 2故答案是﹣ 1 或﹣或﹣ 2．【评论】 本题主要考察了方程增根产生的条件，假如方程有增根，则增根必定是能使方程的分母等于 0 的值．24．（ 8 分）对于正整数 k ，记直线 y ＝﹣x+ 与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则 S k ＝， S 1+S 2+S 3+S 4＝ ．【剖析】依据直线的分析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，从而用含k 的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，最后令k 分别等于 1、 2、 3、 4 求出 S1、 S2、 S3、S4的值，而后求出S1+S2+S3+S4的值即可．【解答】解：令 y＝ 0，得：﹣x+ ＝ 0，解得： x＝，∴直线 y＝﹣x+ 与 x 轴的交点坐标为（， 0），令 x＝ 0，得 y＝，∴直线 y＝﹣x+ 与 y 轴的交点坐标为（0，），k＝? ? ＝，S∴ S1+S2+S3+S4＝+ + + ，＝+ + + ，＝．故答案为：；．【评论】本题考察了一次函数的有关知识，特别是求一次函数与两坐标轴的交点坐标更是常常考察的要点内容之一．25．（ 8 分）将，，，，这 99 个分数化成小数，则此中的有限小数有14 个，纯循环小数有26 个（纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数）．【剖析】有限小数就是利用 1 除以分母能除尽的数，则分母必定是 2 的倍数或 5 的倍数，在从 2 到 100 这 99 个数中，是 2 的倍数或 5 的倍数的数，据此即可判断．而后再在节余的 40 个数中去掉不合适的数就是纯小数．【解答】解：这 99 个分数中分母是 2 的 x 次方的有： 2， 4， 8，， 64，共 6 个；5 的 x 次方有： 5， 25，共 2 个；是 10 以及 2 和 5 但不是10 和其余数的倍数的数有：10，20，40，50，，100，共 6 个；分母能被2、 5 且只好被2、 5 整除的（能化为有限小数的）数共有6+2+6＝ 14 个．而是2、 5 倍数的数共有50+20﹣ 10＝ 60 个．能化为纯循环小数的有100﹣ 60﹣14＝ 26 个．故答案是： 14，26．【评论】本题考察了有理数的观点，理解有限小数就是利用 1 除以分母能除尽的数，则分母必定是 2 的倍数或 5 的倍数是要点．。