64.四象限分析模型

辽宁省沈阳市沈北新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）A．1，2，3B．1，，2C．0.3，0.4，0.5D．5，12，132．（2分）实数4π，0，，，0.1，0.212212221…（每两个1之间依次增加一个2），其中无理数共有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（2分）点（3，﹣5）到y轴的距离是（ ）A．3B．5C．﹣5D．﹣34．（2分）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C ＝2πr．下列判断正确的是（ ）A．2是因变量B．π是因变量C．r是自变量D．C是自变量5．（2分）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．1D．36．（2分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）A．将直线l1向上平移6个单位B．将直线l1向上平移3个单位C．将直线l1向上平移2个单位D．将直线l1向上平移4个单位7．（2分）估计3的值在（ ）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间8．（2分）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（ ）A．2B．C．±2D．9．（2分）某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（ ）A．1元B．1.1元C．1.2元D．2.5元10．（2分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（ ）A．B．（1，﹣1）C．D．（0，﹣2）二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）计算：的平方根＝ ．12．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为 ．13．（3分）若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，则点M（a，b）在第 象限．14．（3分）若点（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则2b﹣6a+2的值是 ．15．（3分）若点A（1，y1）和点B（3，y2）在函数y＝﹣x﹣1的图象上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）16．（3分）如图所示，等腰三角形ABC的底边为16cm，腰长为10cm，一动点P（与B、C 不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动 秒时，△ACP 是直角三角形．三、解答题17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（16分）计算：（1）（﹣1）3+．（2）．（3）；（4）．19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为 ；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．20．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求3a﹣b+3的平方根．21．（6分）如图，AB＝4，BC＝3，AD＝13，DC＝12，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．22．（6分）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）直接写出y1与x，y2与x的函数关系式；（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？23．（6分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为 ；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．25．（8分）“白银2号”种子的价格是10元/kg，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：（1）根据图象，写出当购买种子超过10kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x （单位：kg）的函数解析式；（2）若购买35kg的种子，求付款金额；（3）当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少种子．26．（12分）如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．【模型应用】：（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点．①则∠OAB＝ ；②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝3，求AD的最小值．【模型拓展】：（2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线AB 绕点A逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式．参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）A．1，2，3B．1，，2C．0.3，0.4，0.5D．5，12，13【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．【解答】解：A、22+12≠32，不能构成勾股数，不符合题意；B、不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；C、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；D、52+122＝132，能构成勾股数，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．2．（2分）实数4π，0，，，0.1，0.212212221…（每两个1之间依次增加一个2），其中无理数共有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】先根据算术平方根的求法将进行化简，然后再根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．【解答】解：∵，∴在实数4π，0，，，0.1，0.212212221……（每两个1之间依次增加一个2）中，无理数为4π，，0.212212221……（每两个1之间依次增加一个2），∴无理数共有3个．故选：B．【点评】本题考查了无理数、算术平方根，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义．3．（2分）点（3，﹣5）到y轴的距离是（ ）A．3B．5C．﹣5D．﹣3【分析】根据到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．【解答】解：点P（3，﹣5）到y轴的距离是3．故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．4．（2分）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C ＝2πr．下列判断正确的是（ ）A．2是因变量B．π是因变量C．r是自变量D．C是自变量【分析】根据自变量，因变量及常量的定义进行判断即可．【解答】解：由题意可得圆的周长是随半径的变化而变化，则关系式C＝2πr中，C是因变量，r是自变量，2，π均为常量，那么A，B，D均不符合题意，C符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的相关定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．5．（2分）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A．9B．6C．1D．3【分析】根据大正方形的面积为25，每个直角三角形面积为4，得出（b﹣a）2+4×4＝25，即可求解．【解答】解：设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，∵大正方形的面积为25，每个直角三角形面积为4，∴（b﹣a）2+4×4＝25，∴b﹣a＝3，即小正方形的边长为3．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积求解是解题的关键．6．（2分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法中，正确的是（ ）A．将直线l1向上平移6个单位B．将直线l1向上平移3个单位C．将直线l1向上平移2个单位D．将直线l1向上平移4个单位【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：设直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后的解析式为y＝﹣2x﹣2+k，∵将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，∴﹣2x﹣2+k＝﹣2x+4，解得：k＝6，故将l1向是平移6个单位长度．故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．7．（2分）估计3的值在（ ）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【分析】运用逼近法进行估算求解．【解答】解：∵3＝，＜＜，∴4＜＜5，即3的值在4到5之间，故选：B．【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用逼近法进行求解．8．（2分）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（ ）A．2B．C．±2D．【分析】依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值．【解答】解：∵64的算术平方根是8，8是有理数，取8的立方根为2，是有理数，再取2的算术平方根为，是无理数，则输出，∴y的值是．故选：B．【点评】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．9．（2分）某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（ ）A．1元B．1.1元C．1.2元D．2.5元【分析】观察图象发现从2公里到5公里共行驶了3公里，费用增加了33元，从而确定每千米的费用．【解答】解：观察图象发现从2公里到5公里共行驶了5﹣2＝3公里，费用增加了8﹣5＝3元，故出租车超过2千米后，每千米的费用是3÷3＝1（元），故选：A．【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是仔细观察函数的图象，并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．10．（2分）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（ ）A．B．（1，﹣1）C．D．（0，﹣2）【分析】当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，联立方程组求出点的坐标．【解答】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，∵直线BC为y＝x﹣2，∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴0＝1+b，∴b＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1解，得，∴B（，﹣）．故选：A．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段AB最短时，是AB垂直于CD．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）计算：的平方根＝　±2　．【分析】先求出的值，再根据平方根的定义解答．【解答】解：∵＝8，∴的平方根为，±即±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根与算术平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键，要注意先求出的值，再进行解答．12．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为　22　．【分析】据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为E的面积，C、D的面积和为F的面积，E、F的面积和为G的面积，所以S E+S F＝S G，即S G＝5+4+4+9＝22．故答案为：22．【点评】本题考查的是勾股定理，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．13．（3分）若点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，则点M（a，b）在第　四　象限．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵点A（a，3）与B（2，b）关于x轴对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴点M（2，﹣3）在第四象限．故答案为：四．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．14．（3分）若点（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则2b﹣6a+2的值是　﹣2　．【分析】把点（a，b）代入函数解析式，得b＝3a﹣2，变形得3a﹣b＝2，然后把所求代数式变形为﹣2（3a﹣b）+2，整体代入计算即可求解．【解答】解：把点（a，b）代入y＝3x﹣2，得b＝3a﹣2，则3a﹣b＝2，∴2b﹣6a+2＝﹣2（3a﹣b）+2＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（3分）若点A（1，y1）和点B（3，y2）在函数y＝﹣x﹣1的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】由k＝﹣＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合1＜3，可得出y1＞y2．【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（1，y1）和点B（3，y2）在函数y＝﹣x﹣1的图象上，且1＜3，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．16．（3分）如图所示，等腰三角形ABC的底边为16cm，腰长为10cm，一动点P（与B、C 不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动　8秒或3.5秒　秒时，△ACP是直角三角形．【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD＝8cm，因此当点P运动到与点D重合时，△ACP为直角三角形的，此时BP＝BD＝8cm，据此可求出运动的时间；当∠PAC＝90°时，设PD＝xcm，则PC＝（x+8）cm，先由勾股定理求出AD2＝36，然后在Rt△APD中由勾股定理得：AP2＝36+x2，在Rt△APC中由勾股定理得：AP2＝（x+8）2﹣102，由此可得36+x2＝（x+8）2﹣102，由此解出x＝4.5，进而得BP＝BD﹣PD＝3.5（cm），据此可求出运动的时间，综上所述即可得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC，∴BD＝CD＝8cm，当点P运动到与点D重合时，△ACP为直角三角形的，此时BP＝BD＝8cm，∴运动的时间为：8÷1＝8（秒），当∠PAC＝90°时，设PD＝xcm，则PC＝PD+CD＝（x+8）cm，在Rt△ACD中，AC＝10cm，CD＝8cm，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝102﹣82＝36，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2＝36+x2，在Rt△APC中，AP2＝PC2﹣AC2＝（x+8）2﹣102，∴36+x2＝（x+8）2﹣102，解得：x＝4.5，∴BP＝BD﹣PD＝8﹣4.5＝3.5（cm），∴运动的时间为：3.5÷1＝3.5（秒），综上所述：当点P运动8秒或3.5秒时，△ACP为直角三角形．故答案为：8秒或3.5秒．【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解答此题的关键．三、解答题17．（6分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）利用平方差公式计算；（2）先根据二次根式的除法法则运算，然后把化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝（）2﹣（）2＝3﹣2＝1；（2）原式＝2+＝2+＝3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．18．（16分）计算：（1）（﹣1）3+．（2）．（3）；（4）．【分析】（1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和化简二次根式，再计算加减即可；（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可；（3）先化简，再计算加减即可；（4）直接根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1+﹣2+1+2＝3﹣2；（2）原式＝5﹣2+3﹣2+1＝7﹣2；（3）原式＝4+2+＝；（4）原式＝2+1＝3．【点评】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．19．（6分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　4　；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　（﹣4，﹣3）　；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）利用关于原点对称点的性质得出答案；（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求3a﹣b+3的平方根．【分析】（1）直接根据题意列等式求解即可；（2）直接将a＝5，b＝2代入3a﹣b+3计算，再求平方根即可．【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴，，∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，解得a＝5，b＝2；（2）∵a＝5，b＝2，∴3a+b﹣1＝3×5+2﹣1＝16．∴3a﹣b+3的平方根为±4．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．21．（6分）如图，AB＝4，BC＝3，AD＝13，DC＝12，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∵52+122＝132，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ACD的面积﹣△ABC的面积＝×12×5﹣×4×3＝24．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．22．（6分）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种，设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．（1）直接写出y1与x，y2与x的函数关系式；（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y1与x，y2与x的函数关系式；（2）令y1＝y2，计算出相应的x的值即可．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝15+0.1x，y2＝0.15x；∴y1与x，y2与x的函数关系式分别为y1＝15+0.1x，y2＝0.15x；（2）令y1＝y2，则15+0.1x＝0.15x，解得x＝300，即月通话时间为300分钟时，A、B两种套餐收费一样．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．23．（6分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B 两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【分析】根据方向角的概念求出∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AB的长，得到答案．【解答】解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AC＝16×3＝48，BC＝60，∴AB＝＝36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．【点评】本题考查的是勾股定理的应用和方向角问题，正确运用勾股定理．善于观察题目得到直角三角形是解题的关键．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，﹣2）的“短距”为　2　；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“短距”为1，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，2k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“短距”的定义解答即可；（2）根据“短距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解：（1）点A（﹣5，2）的“短距”为|﹣2|＝2．故答案为：2；（2）由题意可知|﹣2m+1|＝1，解得m＝1或0；（3）分类：①|2k﹣3|＝1，解得k＝1或k＝2，k＝1时，k+3＝4＞1，符合题意；k＝2时，k+3＝5＞1，符合题意；②|k+3|＝|2k﹣3|，解得k＝1或k＝2或k＝6或k＝0，k＝0时，（不合题意，舍去），k＝6时，k+3＝9＞1（不合题意，舍去），综上，k＝1、2．【点评】本题主要考查平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．25．（8分）“白银2号”种子的价格是10元/kg，如果一次性购买10kg以上的种子，则超过10kg部分的种子价格打折．购买种子所需的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图所示：（1）根据图象，写出当购买种子超过10kg时，付款金额y（单位：元）关于购买量x （单位：kg）的函数解析式；（2）若购买35kg的种子，求付款金额；（3）当顾客付款金额为340元时，求此顾客购买了多少种子．【分析】（1）根据图像可知：A（10，100）和B（20，160）坐标，设解析式为y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）根据（1）中解析式当x＝35时代入求解即可；（3）根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg，根据（1）中解析式，令y＝340，代入求解即可．【解答】解：（1）当x＞10kg时，由图象可知y是x的一次函数，且过点A（10，100）和B（20，160），∴设y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+40（x＞10）；（2）根据y＝6x+40（x＞10），当x＝35时，y＝6×35+40，y＝250，∴购买35kg的种子，付款金额为250元；（3）根据图像可知当顾客付款金额为340元时，购买数量大于10kg，∴由y＝6x+40（x＞10），令y＝340时，则340＝6x+40，解得：x＝50，∴当顾客付款金额为340元时，此顾客购买了50kg种子．【点评】本题考查一次函数的实际应用，理解题意，找到数量关系是解决问题的关键．26．（12分）如图，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．【模型应用】：（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴，y轴分别交于A，B两点．①则∠OAB＝　45°　；②C，D是正比例函数y＝kx图象上的两个动点，连接AD，BC，若BC⊥CD，BC＝3，求AD的最小值．【模型拓展】：（2）如图2，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线AB 绕点A逆时针旋转45°，得到直线l，求直线l对应的函数表达式．【分析】（1）①证明Rt△AOB为等腰直角三角形，即可求解；②证明△COB≌△ADO（AAS），得到AD＝OC，即可求解；（2）由（1）②知，△AMH≌△HNB（AAS），则AM＝HN且HN＝BN，得到点H的坐标，即可求解．【解答】解：（1）①对于y＝x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，令y＝x﹣4＝0，则x＝4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣4），即Rt△AOB为等腰直角三角形，则∠OAB＝45°，故答案为：45°；②如图1，当AD⊥CO时，AD取得最小值，∵∠COB+∠DOA＝90°，∠DOA+∠DAO＝90°，∴∠COB＝∠DAO，∵∠ADO＝∠OCB＝90°，AO＝OB＝4，∴△COB≌△ADO（AAS），∴AD＝OC＝＝＝；（2）如图3，过点B作BH⊥直线l交于点H，设点H（m，n），∵∠HAB＝45°，则AH＝BH，由（1）②知，△AMH≌△HNB（AAS），∴AM＝HN且HN＝BN，即m＝n且2﹣n＝n﹣1，解得：m＝n＝1.5，即点H（1.5，1.5），设直线l的表达式为：y＝tx+1，将点H的坐标代入上式得：1.5＝1.5t+1，解得：t＝﹣，故直线l的表达式为：y＝﹣x+2．【点评】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．。

***************************************************************************************试题说明本套试题共包括1套试卷每题均显示答案和解析中级经济师考试_旅游经济_真题模拟题及答案_第03套(98题)***************************************************************************************中级经济师考试_旅游经济_真题模拟题及答案_第03套1.[单选题]旅行社产品价格由产品成本、税金和利润等构成。

其中，（ ）决定了产品价格的最低界限。

A)利润B)税金C)产品成本D)管理费用答案:C解析:2.[单选题]根据“四象限”分析法，当旅行社面对的市场具有较高的市场增长率、但是其在市场上的占有率较低时，应该采取的战略是（）A)发展B)放弃C)保持D)不确定答案:D解析:3.[单选题]旅行社战略最根本的特点是（ ）。

A)全局性B)创新性C)长远性D)竞争性答案:A解析:4.[单选题]在旅行社行业里，（）在市场的整体经营中居主导地位。

A)旅行社集团B)旅行社联合体C)单体旅行社D)国际旅行社答案:A解析:5.[单选题]城市维护建设税的纳税人所在地不在市区、县城或者镇的，适用税率为（）。

A)1%B)5%C)7%D)10%答案:A解析:6.[单选题]某饭店拟发行债券1000万元，若票面利率为2.5%，筹资费率为2%，所得税税率为25%。

债券发行价为1000万元，则此债券的资金成本率为（ ）。

A)2%B)3%C)4%D)5%答案:A解析:7.[单选题]根据可能发生的火情，饭店不能选用的灭火器材是（ ）。

A)干粉灭火器B)一氧化碳灭火器C)酸碱灭火器D)泡沫灭火器答案:B解析:8.[单选题]建筑高度超过24米的高档饭店的耐火等级应为（）。

A)一级B)二级C)三级D)四级答案:A解析:9.[单选题]某菜品成本定额为6元，该菜品的售价为12元，则该菜品的销售毛利率为应该为（）。

战略管理知到章节测试答案智慧树2023年最新石河子大学第一章测试1.企业战略是企业在适应和主动利用环境变化的过程中，为建立和发挥优势而做出的一系列重大、长期和根本性的决策及所采取的一系列行动。

（）参考答案:对2.资源基础模式认为，如果企业选择一个有吸引力的产业，而且成功地执行了与产业特征相匹配的战略，那么它就可以获取超额利润。

（）参考答案:错3.企业的竞争优势不是天生的，而是企业在适应和利用环境过程中通过一系列重大、长期和根本性的决策及行动创造的，企业竞争优势的建立、保持和发挥需要企业坚定的承诺，科学的决策和迅速而富有创新的行动，而有效的企业战略管理恰恰与企业的承诺、决策和行动的管理密不可分。

（）参考答案:对4.（）是企业总体的、最高层次的战略。

参考答案:公司层战略5.战略分析包括企业外部环境分析和( )两部分。

参考答案:企业内部环境或条件分析6.企业战略概念起源于( )。

参考答案:企业计划工作7.企业竞争优势的建立、保持和发挥与下列哪些因素密不可分（）。

参考答案:行动迅速;决策科学;行动创新;承诺坚定8.下列关于明茨伯格5P战略定义的表述中，正确的有（）。

参考答案:战略是有意识的、有目的的开发和制定的计划;战略是一种计谋，该计谋是有准备和意图的第二章测试1.企业外部环境是指在特定时期中所有处于企业之外而又将对企业的存在和发展产生影响的各种因素的总和。

（）参考答案:对2.进入威胁的大小主要取决于进入壁垒高低，以及现有企业的反映程度。

（）参考答案:错3.一个行业的关键成功因素就是促使行业中的企业在市场竞争中获胜的主要因素，也是价值创造的关键环节和企业应该建立核心专长的领域。

（）参考答案:对4.分析竞争对手的资源、能力、未来的目标和战略，企业能够了解竞争对手的行动，清楚他们的优劣势，避免采取盲目的竞争行动。

（）参考答案:对5.企业宏观环境中的经济因素主要是下列哪个因素（）。

参考答案:经济计划6.企业宏观环境中的人口环境主要是指一个国家或者地区的人口数量和社会学特点，包括（）。

消费者个性四象限什么有的销售经验用在某个顾客身上成功了，用在另一个顾客身上却一败涂地？这是由于销售人员不懂得推断顾客性格，推销没有针对性。

“四象限色彩性格分析法”（见图）是易行且有效的性格分析方法，它以人对外界操纵力的强弱（内向、外向）为横轴，对自我操纵力的强弱（感性、理性）为纵轴，将顾客的性格划分为四个象限类型，用不一致的颜色来表示。

销售人员摸清顾客的性格色系，是推销成功的第一步。

示弱于支配型顾客红色象限为支配型顾客，对外界操纵力强，自我操纵力也强，喜欢支配人，强势，语气多用命令式，讨厌浪费时间，有的时候较武断。

与这类顾客沟通，你该示弱，让其支配，避免观点的直接对立；语言不拖泥带水，表现自己的专业形象。

『现场回放』一大卖场，金日保健品促销导购与一欲买脑白金的顾客的销售对话。

一位30多岁的男性顾客，大踏步地直接来到脑白金堆头前，拿起脑白金就走。

（注意他的行动，动作大、目标感明确，讲究效率，属果断、直接的顾客）销售人员：先生买脑白金呀，它只管睡眠的，你睡眠不好吗？（说话直接、果断，还略带强势的质问）顾客：我当水喝，能够吧？！（语气生硬，显然是有点厌烦销售人员的这种直接拷问的销售方式。

到此，销售人员应意识到该顾客是红色系性格的人，因此应马上变逞强为示弱）销售人员：您别当水喝呀！这水也太贵了呀！你倒不如看看金日心源素，它解决睡眠能够治本。

（销售人员没有退缩，销售意识倒是不错，惋惜没有多少“阅人术”，当然也无法做出相应的变色跟进）顾客：我就要脑白金了，就不要金日心源素，（招呼其他导购）给我拿两盒脑白金，帮我提到收银台！（顾客声调提高8度，语气强硬，支配别人的欲望大增）分析：1．促销导购缺少亲与力，开场在没熟悉顾客需求的情况下匆忙销售，且语气较硬，直接质问顾客，使顾客反感。

2．第一句话说出后，从顾客的回应能够基本揣摩出顾客的性格属于支配型，不喜欢被别人支配，惋惜销售人员仍没有转变销售话术，继续按自己的销售思维销售产品，故导致销售失败！销售话术改进：销售人员：先生买脑白金呀，它只管睡眠的，你睡眠不好吗？顾客：我当水喝，能够吧？！销售人员：噢，先生说话真有趣，脑白金当水喝，您真是第一人。

模型介绍【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．【结论】分类讨论：若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.例题精讲【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线，若点C在已知直线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是（3，），（9，6），（，）．解；当点C在C1处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3，），当点C在C2处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）当点C在C3处时，△ABC为直角三角形，过C3作C3M⊥AB，设C3的横坐标是x，则C3M＝，AM＝x﹣3，BM＝9﹣x，∵△AC3B是直角三角形，∴△AMC3∽△C3MB，∴AM：C3M＝C3M：BM，∴C3M2＝AM•BM，∴（）2＝（x﹣3）（9﹣x），解得：x＝，点C的纵坐标是：﹣＝，∴点C的坐标是：（，）；故答案为：（3，），（9，6），（，）．变式训练【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB 是等腰直角三角形，则点B的坐标不可能是（）A．（0，﹣8）B．（﹣8，0）C．（﹣16，0）D．（0，8）解：如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（﹣8，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝16，∴B（﹣16，0）；如图，△OAB是等腰直角三角形，∵A（﹣8，﹣8），∴OB＝8，∴B（0，﹣8）．故B点的坐标不可能是（0，8），故选：D．【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的坐标．解：设点C的坐标为（﹣1，b），AB2＝22+42＝20，AC2＝32+b2，BC2＝（4﹣b）2+12，当∠ABC＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2，解得，b＝；当∠BAC＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2，解得，b＝﹣；当∠ACB＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20，解得b1＝1，b2＝3，∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣），（﹣1，1），（﹣1，3）．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB 外部作等腰直角△ABC．则点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（）．解：如图，当AB＝AC，∠＝90°时，作CE⊥x轴于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，∴C（7，4），同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（，），综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（，）．故答案为：（7，4）或（3，7）或（，）．变式训练【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：点C的位置如图所示，共有3个．故选：C．【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C（m，0）为x轴正半轴上一个动点．（1）当m＝4时，写出线段AC＝2，BC＝4．（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，∵点A（0，2），点B（8，8）C（4，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，∴CE＝4，∴AC＝＝＝2，BC＝＝4，故答案为：2，4；（2）当点C在OE上时，∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，＝×（AO+BE）×OE﹣×AO×OC﹣×BE×CE，∴S△ABC＝×（2+8）×8﹣×2×m﹣×8×（8﹣m）＝8+3m；∴S△ABC当点C在线段OE的延长线上时，＝×（AO+BE）×OE+×BE×CE﹣×AO×OC∵S△ABC＝×（2+8）×8+×8×（m﹣8）﹣×2×m＝3m+8，∴S△ABC＝3m+8；综上所述：S△ABC（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，解得m＝，＝3×+8＝；∴S△ABC当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，解得m＝4，＝3×4+8＝20；∴S△ABC当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，解得m＝14，＝3×14+8＝50；∴S△ABC综上所述：存在m的值为或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为或20或50．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y ＝的图象上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个B．4个C．5个D．6个解：设点P的坐标为（x，y），当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，∵圆与双曲线无交点，∴点P不存在；当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，y＝＝﹣3，∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；当∠PBA＝90°时，x＝3，y＝＝3，∴点P的坐标为（3，3）．综上所述：满足条件的点P有2个．故选：A．2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个．A．6B．7C．8D．9解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y 轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD ＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），∴直线AB的表达式为y＝x+1，令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），即OC＝1＝OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°＝∠BCP，∴△BCP是等腰直角三角形，∴CP＝2BD＝2，∴OP＝1+2＝3，∴P（0，3）；如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），∴C为AB的中点，AB＝2，∴CP＝AB＝，∴OP＝1+，∴P（0，1+），综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+）．故答案为：（0，3）或（0，1+）．4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．解：（1）如图所示：（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；（2）点B关于y轴的对称点为点D．①请直接写出点D的坐标为（﹣2，﹣2）；②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为或7或3+或3﹣．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵点A坐标为（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，∴D（﹣2，﹣2）；故答案为：（﹣2，﹣2）；②当∠ACE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；当∠CAE＝90°时，如图，∵EC⊥AC，∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；当∠AEC＝90°时，如图，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣，﹣2）．综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为或7或3+或3﹣．故答案为：或7或3+或3﹣．6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画一个即可）解：（1）如图1：（2）如图2：7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，1）．（1）求点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∵点A的坐标为（3，1），∴OC＝3，AC＝1，又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠OAC+∠AOC＝90°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD，又∵AO＝BO，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，∴点B的坐标为（﹣1，3）；（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，由对称性可知BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），∵点B与B'关于x轴对称，∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），设直线AB'的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣2，∴P（2，0）；（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，∴∠FAO＝∠EOM，∵AO＝OM，∴△FAO≌△EOM（AAS），∴OF＝EM，OE＝FA，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（1，﹣3）；②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，∴∠AFO＝∠GAM，∴△FAO≌△GMA（AAS），∴AF＝GM，OF＝AF，∵A（3，1），∴AF＝3，OF＝1，∴M（4，﹣2）；③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，∴∠QOM＝∠AMP，∴△OQM≌△MPA（AAS），∴OQ＝MP，QM＝AP，∵A（3，1），∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，∴1+QO+OQ＝3，∴QO＝1，∴M（2，﹣1）；综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．8．已知：直线y＝+6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO 沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．（1）直接写出A、B两点的坐标：A：（﹣8，0），B：（0，6）；（2）求出OC的长；（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，直线y＝+6，当y＝0时，由0＝+6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），故答案为：（﹣8，0），（0，6）．（2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC，∵AB＝＝＝10，∴AD＝10﹣6＝4，∵CD2+AD2＝AC2，∴OC2+42＝（8﹣OC）2，解得，OC＝3．（3）如图2，作AG⊥EF于点G，GT⊥x轴于点T，∵OC＝3，∴BC＝＝＝，AC＝8﹣3＝5，得，×AG＝×5×6，解得，AG＝，由BC•AG＝AC•OB＝S△ABC∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EG＝FG，∴AG＝EF＝EG＝FG＝，∵∠AGC＝90°，∴CG＝＝＝，∴CE＝+＝，∴CE＝BC，∴点E与点B关于点C对称，∵C（﹣3，0），B（0，6），∴E（﹣6，﹣6）；得，×5GT＝××，解得，GT＝2，由AC•GT＝AG•CG＝S△AGC∵∠ATG＝90°，∴AT＝＝＝4，∴OT＝8﹣4＝4，∴G（﹣4，﹣2），∵CF＝FG﹣CG＝﹣＝，∴CF＝CG，∴点F与点G（﹣4，﹣2）关于点C（﹣3，0）对称，∴F（﹣2，2），综上所述，点F的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）．（4）存在．如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，设直线PC的解析式为y＝x+a，则×（﹣3）+a＝0，解得，a＝，∴y＝x+，∴P（0，）；∵M是AB的中点，∴M（﹣4，3），设直线CM的解析式为y＝kx+b，则，解得，，∴y＝﹣3x﹣9，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+，由得，，∴Q（﹣1，）；如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′＝CM＝PQ，∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP，∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），∴BQ′＝BQ，∴点Q′与点Q关于点B（0，6）对称，∴Q′（1，）；如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q1，连接CQ1，∵∠LQ1M＝∠LPC，∠LMQ1＝∠MCP，ML＝CL，∴△LMQ1≌△LCP（AAS），∴Q1M＝CP，∵Q1M∥CP，∴四边形PMQ1C是平行四边形，∴点Q1与点P关于点L对称，∵L（，），P（0，），∴Q1（﹣7，），综上所述，点Q的坐标为（﹣1，）或（1，）或（﹣7，）．9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，∴连接BC交直线l于点P，由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），∵B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝﹣2，∴P（1，﹣2），（3）设点M（1，m），∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，∵△MAC为直角三角形，∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，∴10+m2+6m+10＝m2+4，∴m＝﹣，∴M（1，﹣）当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，∴10+m2+4＝m2+6m+10，∴m＝，∴M（1，）当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，∴m2+4+m2+6m+10＝10，∴m＝﹣1或m＝﹣2，∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣）或（1，）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，设点N（n，2n+4），∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣（n+2）2+2（n+2）+6，解得：n＝﹣2±2，故点M的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）；②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，当∠BMD为直角时，由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，解得：n＝；当∠MBD为直角时，同理可得：n＝﹣4，当∠MDB为直角时，同理可得：n＝，故点M的坐标为：（﹣2，﹣4）或（，）或（，）或（，）．11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP 交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．（1）求该二次函数的表达式；（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①求证：∠PNM＝∠ONM；②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，把点（0，0）代入表达式，解得．∴二次函数的表达式为，即；（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得，∴．当x＝﹣4时，y＝2．∴M（﹣4，2）．∵点M、N关于点A对称，∴N（﹣4，6）．∴MN＝4．＝S△OMN+S△PMN＝12；∴S△PON（3）①证明：设点P的坐标为，其中t＜﹣4，设直线OP为y＝k′x（k′≠0），将P代入y＝k′x，解得．∴．当x＝﹣4时，y＝t+8．∴M（﹣4，t+8）．∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，则B（﹣4，0），C．∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，NC＝＝．则，．∴．又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，∴△NCP∽△NBO．∴∠PNM＝∠ONM．②△OPN能为直角三角形，理由如下：解：分三种情况考虑：（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，∴△PCN为等腰直角三角形，∴CP＝NC，即m﹣4＝m2﹣m，整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，∵OP2＝m2+（﹣m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，∴m2+（﹣m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣m2﹣2m+m）2，整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0解得：m＝0或m＝﹣4﹣4或﹣4+4（舍去），当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，当m＝﹣4﹣4，即P（﹣4﹣4，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，∴△PMN∽△BMO，又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，∴△PMN∽△BON，∴△PMN∽△BMO∽△BON，∴＝，即＝，整理得：（m﹣4）2＝0，解得：m＝4，此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4，即P（）时，N为第四象限的点成立．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣＝1，b＝﹣2．又二次过点C（0，﹣3），∴﹣3＝c，c＝﹣3．即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点坐标D为：（1，﹣4）；（2）（2）解法一：设P（0，m）由题意，得PA＝，PD＝，AD＝2，∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（）2+（）2＝（2）2解得m1＝﹣1，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．∴P（0，﹣1）；解法二：如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，则由题意，得DE＝1，OE＝4…（1分）由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠EPD又∠AOP＝∠OED＝90°，∴△OAP∽△EPD∴＝，设OP＝m，PE＝4﹣m则＝，解得m1＝1，m2＝3（不合题意，舍去），∴P（0，﹣1）；（3）解法一：如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝，∠PAQ＝90°，∴四边形APDQ为正方形．由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．∴Q（4，﹣3）；解法二：设Q（m，n），则AQ＝＝，QD＝＝，解得，（不合题意，舍去），∴Q（4，﹣3）．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB ﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x+8；（2）存在，理由如下：如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，设BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+8，设P（t，﹣t2﹣2t+8），则F（t，2t+8），∴PF＝﹣t2﹣4t，＝×4×（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∴S△PBC的面积有最大值8，∴当t＝﹣2时，S△PBC此时P（﹣2，8）；（3）存在，理由如下：令x＝0，则y＝8，∴C（0，8），∴OC＝8，∵A（2，0），∴AO＝2，设Q（﹣1，m），①如图2，当∠CAQ＝90°时，过点Q作QG⊥x轴交于点G，∵∠CAO+∠GAQ＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，∴∠GAQ＝∠ACO，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝﹣，∴Q（﹣1，﹣）；②如图3，当∠ACQ＝90°时，过点Q作QH⊥y轴交于点H，∵∠QCH+∠OCA＝90°，∠QCH+∠CQH＝90°，∴∠OCA＝∠CQH，∵tan∠OCA＝，∴＝＝，∴m＝，∴Q（﹣1，）；③如图4，当∠CQA＝90°时，∵A（2，0），C（0，8），∴AC＝2，AC的中点N（1，4），∴QN＝，∴＝，∴m＝4+或m＝4﹣，∴Q（﹣1，4+）或Q（﹣1，4﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），点O 为原点．（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得，所以y＝x2+x．（2）C（1，0）或C（2，0）（3）由题意得O′（﹣3，），将O′（﹣3，）代入y＝x2+x，左边＝右边∴点O′在函数图象上．（4）点P坐标为（﹣，﹣）．∵A的坐标为（1，），点B的坐标（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+假设存在这样的点P ，它的横坐标为h ，则点P 坐标为（h ，h 2+h ），点E 坐标为（h ，h +），分两种情况：①△OBE 的面积：四边形BPOE 面积＝2：3，则[×2×（h +）]：[×2×（h +）+×2×（﹣h 2﹣h ）]＝2：3，解得h ＝﹣，此时点P 坐标为（﹣，﹣）；②△AOE 的面积：四边形BPOE 面积＝2：3，则[﹣×2×（h +）]：[×2×（h +）+×2×（﹣h 2﹣h ）]＝2：3，解得：h ＝﹣，或h ＝﹣2（不合题意，舍去），此时点P 坐标为（﹣，﹣）．综上所述：点P 坐标为（﹣，﹣）．。

专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。

2023-2024学年山东省济南市市中区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1．实数4的平方根是（ ）A．2B．﹣2C．D．±22．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．a：b：c＝5：12：13B．C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．45．下列计算中，结果错误的是（ ）A．B．C．D．6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）A．10B．11C．12D．139．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．A．①②B．②④C．①④D．③④10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C （1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）A．5B．C．2D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 ．12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝ ．13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是 ．14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y 值是 ．15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要 小时．16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MA n A n+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．计算：（1）；（2）．18．解方程：（1）（x﹣4）2﹣9＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．（1）点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ）．（2）△ABC的面积是 ．（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是 ．21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD ＝6米，AB＝26米，BC＝24米．（1）判断△ABC的形状并证明．（2）求草坪（阴影部分）的面积．22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．（1）求函数y＝kx+b的关系式；（2）求△AOB的面积；（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝ （x≥0）．（填写最简结果）（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．①写出图中A点表示的实际意义．②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）＝ ，＝ ．（2）化简：．（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．（1）求k的值和点A的坐标；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD 之间的数量关系，并证明你的结论．【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD ＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1．实数4的平方根是（ ）A．2B．﹣2C．D．±2【分析】根据算术平方根的定义解答即可．解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，即±＝±2．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（ ）A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【分析】根据各象限点的坐标规律进行判断即可．解：第四象限点的坐标特征是：横坐标大于零，纵坐标小于零．故选：A．【点评】本题考查了各象限内点的坐标特征，若P（x，y）在第四象限，则x＞0，y＜0．3．在△ABC中a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）A．a：b：c＝5：12：13B．C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．解：A．设a＝5k，b＝12k，c＝13k，∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；B．设a＝k，b＝k，c＝k，∵k2+（k）2＝（k）2，∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形；B．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．4．下列数中﹣4，，3.1415，﹣3π，3.030030003…中，无理数的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：﹣4，，3.1415是有理数，无理数有：﹣3π，3.030303……共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数．5．下列计算中，结果错误的是（ ）A．B．C．D．【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；B、5﹣2＝3，故B不符合题意；C、÷＝，故C不符合题意；D、（﹣）2＝2，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法确定【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜3，即可得出y1＞y2．解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x+1上，且﹣2＜3，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．7．一次函数y1＝ax+b与正比例函数y2＝﹣bx在同一坐标系中的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．解：A、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，B、a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，C、若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，y＝﹣bx经过二、四象限，D、若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，y＝﹣bx经过一、三象限，故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．8．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为（ ）A．10B．11C．12D．13【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为（3+1）×3＝12，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，由勾股定理得，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是13．故选：D．【点评】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．9．在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力F（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图象（不计绳重和摩擦），请你根据图象判断以下结论正确的序号有（ ）①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力G＝7N时，拉力F＝2.2N；③拉力F与重力G成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N．A．①②B．②④C．①④D．③④【分析】由函数图象直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把G＝7代入函数解析式求值即可判断②．解：由图象可知，拉力F随着重力的增加而增大，故①正确；∵拉力F是重力G的一次函数，∴设拉力F与重力G的函数解析式为F＝kG+b（k≠0），则，解得：，∴拉力F与重力G的函数解析式为F＝0.2G+0.5，当G＝7时，F＝0.2×7+0.5＝1.9，故②错误；由图象知，拉力F是重力G的一次函数，故③错误；∵G＝0时，F＝0.5，故④正确．故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．10．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C （1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）A．5B．C．2D．【分析】将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．再作点C关于y轴的对称点C'，则C'（﹣1，0），进而得出AC+BD的最小值为EC'，即可求解答案．解：如图，将线段BD向下平移到AE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA ′，EA′，则E（4，﹣2），C′（﹣1，0），AC+BD＝C′A+AE≥EC′，EC′＝＝，∴AC+BD的最小值为．故选：D．【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，坐标与图形性质，将AC+BD的最小值转化为EC'是解本题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.填空题请直接填写答案.）11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为　（4，3）　．【分析】由（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，可得教室里第4列第3排的位置的表示方法，从而可得答案．解：∵（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，∴教室里第4列第3排的位置可以表示为（4，3）．故答案为：（4，3）．【点评】本题考查的是利用有序实数对表示位置，理解题意，理解有序实数对的含义是解本题的关键．12．已知点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，则a＝　2　．【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得2﹣a＝0，然后进行计算即可解答．解：∵点P（2﹣a，a﹣3）在y轴上，∴2﹣a＝0，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，4），则关于x的方程kx+b+2x＝0的解是　x＝﹣2　．【分析】根据交点坐标直接写出方程的解即可．解：函数y＝﹣2x与y＝kx+b的图象交于点A（﹣2，4），∴关于x的方程kx+b+2x＝0的解为x＝﹣2．故答案为x＝﹣2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的方法确定方程的解．14．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y 值是 ．【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为．故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．15．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息可知从乙出发后追上甲车需要　1.5　小时．【分析】利用待定系数法求出乙离开A城的距离y与x的关系式，再根据题意列出方程，解方程得到答案．解：设乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝kx+b，把（1，0）和（4，300）代入解析式，得，解得：，所以乙离开A城的距离y与x的关系式为：y＝100x﹣100；当乙追上甲车时，60x＝100x﹣100，解得：x＝2.5，2.5﹣1＝1.5（小时），答：乙出发后1.5小时追上甲车．故答案为：1.5．【点评】本题考查的是一次函数的应用，灵活运用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．16．如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中∠MA1A2＝∠MA2A3⋯＝∠MA n A n+1＝90°，（n为正整数），若M点的坐标是（﹣1，2），A1的坐标是（0，2），则A2023的坐标为　（﹣1，2﹣21011）　．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．解：观察图象可知，点的位置是8个点一个循环，∴A2023与A7，A15的位置都在第三象限，且在直线x＝﹣1上，∵第一个等腰直角三角形的直角边为1，第二个等腰直角三角形的边长为，…，第n 个等腰直角三角形的边长为（）n﹣1，∴第2023个等腰直角三角形的边长为（）2022，可得A2022M＝（）2022，∴A2023（﹣1，2﹣21011），故答案为：（﹣1，2﹣21011）．【点评】本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先进行二次根式的除法运算，然后进行二次根式的乘法运算，最后合并即可．解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝+﹣×＝2+﹣＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．18．解方程：（1）（x﹣4）2﹣9＝0；（2）（x+1）3＝﹣27．【分析】根据平方根与立方根的定义进行解题即可．解：（1）（x﹣4）2﹣9＝0，（x﹣4）2＝9，x﹣4＝±3，x＝7或1．（2）（x+1）3＝﹣27，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【点评】本题考查立方根与平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．19．学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【分析】设AB＝x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．解：设AB＝x，则AE＝x﹣1，AC＝x+2，根据题意得：在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC2＝AE2+CE2，∴（x+2）2＝（x﹣1）2+92，∴x＝13．答：旗杆AB的高度为13米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）．（1）点B的坐标为（　3　，　0　），点C的坐标为（　﹣2　，　5　）．（2）△ABC的面积是　10　．（3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　2　．【分析】（1）根据坐标系写出答案即可；（2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积；（3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可．解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5），故答案为：3；0；﹣2；5；（2））△ABC的面积是：7×5﹣3×7﹣2×2﹣×5×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10，故答案为：10；（3）A、C'两点之间的距离是：＝＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置．21．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，∠ADC＝90°，AD＝8米，CD ＝6米，AB＝26米，BC＝24米．（1）判断△ABC的形状并证明．（2）求草坪（阴影部分）的面积．【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC＝10米，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC 为直角三角形；（2）根据直角三角形的面积公式，利用草坪（阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S△ACD进行计算．解：（1）△ABC为直角三角形．理由如下：∵∠ADC＝90°，AD＝8米，CD＝6米，∴AC＝＝10（米），在△ABC中，∵AC＝10米，AB＝26米，BC＝24米，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°；（2）草坪（阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96（米2）．答：草坪（阴影部分）的面积为96米2．【点评】本题考查了勾股定理的应用：会应用勾股定理进行几何计算，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形．22．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2）．已知点C（﹣1，3）在该图象上，连接OC．（1）求函数y＝kx+b的关系式；（2）求△AOB的面积；（3）点P为x轴上一动点，若S△ACP＝3S△AOB，求点P的坐标．【分析】（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中进行求解即可；（2）先求解A的坐标，再结合B的坐标，直接利用三角形的面积公式进行计算即可；（3）设点P的坐标为（m，0），根据S△ACP＝6得到，由此求解即可．解：（1）把B（0，2）、C（﹣1，3）代入到y＝kx+b中得：，∴，∴函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+2；（2）把y＝0代入y＝﹣x+2，∴x＝2，即A（2，0），∵B（0，2），∴．（3）设点P的坐标为（m，0），A（2，0），C（﹣1，3），∴AP＝|m﹣2|，∵S△ACP＝3S△AOB＝6，∴，∴，∴m＝6或m＝﹣2，∴点P的坐标为（6，0）或（﹣2，0）．【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的面积，求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．23．某校八年级开展了《为家人选择合适的手机套餐》项目学习．小露收集并整理奶奶近六个月的话费账单，根据她的月平均通话时间筛选出两款比较适合她的手机套餐．甲套餐：月租费8元，送30分钟通话时间，超出的部分按每分钟0.25元计；乙套餐：月租费29元，通话费按每分钟0.1元计．（1）每月的手机资费y（元）与通话时间x（分）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：y甲＝，y乙＝　0.1x+29　（x≥0）．（填写最简结果）（2）为了直观比较，在同一坐标系内画出两个函数的图象（如图）．①写出图中A点表示的实际意义．②如果从节省费用的角度考虑，应如何选择套餐？【分析】（1）根据两种套餐的收费标准，列出函数关系式即可；（2）①由自变量，因变量的意义可得A的实际意义；②观察图象可得答案．解：（1）当0≤x≤30时，y甲＝8，当x＞30时，y甲＝8+0.25（x﹣30）＝0.25x+0.5；∴y甲＝；y乙＝0.1x+29；故答案为：0.1x+29；（2）①A点表示的实际意义是通话时间为190分钟时，甲，乙套餐的资费都是48元；②由图形可知，当0≤x＜190时，选甲套餐费用少，当x＝190时，两种套餐费用相同；当x＞190时，选乙套餐费用少．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．24．小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）＝ ，＝　（﹣）　．（2）化简：．（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；（2）根据小明的分析过程，a﹣1＝得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值．解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），（2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣）＝（﹣3+11）＝4；（2）a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1，∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．25．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）．（1）求k的值和点A的坐标；（2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标；（3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）过点C作EF⊥y轴交于点F，证明△EAF≌△ABO，据此即可求解；（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，证明△BCD≌△ABO，求得C（﹣3，1），利用待定系数法即可求解；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可求．解：（1）将点B的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣k+2，解得：k＝2，则该函数的表达式为：y＝2x+2，令x＝0，则y＝2；∴A（0，2），即k＝2，点A（0，2）；（2）过点E作EF⊥y轴交于点F，∵∠BAE＝90°，AE＝AB，∴由K型全等模型可得△EAF≌△ABO，∴EF＝OA＝2，AF＝OB＝1，则OF＝2+1＝3，∴点E的坐标为（﹣2，3）；（3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，∵∠CAB＝45°，BC⊥AB，∴BC＝AB，∴由K型全等模型可得△BCD≌△ABO，∵y＝2x+2与x轴的交点B（﹣1，0），A（0，2），∴CD＝1，BD＝2，∴C（﹣3，1），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝x+2；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可得y＝﹣3x+2；综上所述：直线l2的解析式为y＝x+2或y＝﹣3x+2．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键．26．△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点．【探究发现】（1）如图1，点D在边AB下方，∠ADB＝90°．学校的数学兴趣小组的同学们尝试探究此时线段AD、BD、CD之间的数量关系．他们的思路是这样的，作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．易证△ADC≌△BEC．通过等量代换得到线段之间的数量关系．请根据同学们的思路，写出△ADC≌△BEC的证明过程．【迁移运用】（2）如图2，点D在边AB上方，∠ADB＝90°．猜想线段AD、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论．【延伸拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝45°，若AD ＝2，CD＝4，请直接写出BD的值．【分析】（1）作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE，因为∠ACD＝∠ECB，又AC＝BC，即可证明∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）由（1）知∴△ADC≌△BEC，则BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，勾股定理可得CE2+CD2＝DE2，又DE2＝2AD2，CE＝BD，即可得出结论；（3）如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE，证明△BAD≌△CAE （SAS），可得AE＝BD，然后在Rt△ADE中根据勾股定理，即可求解．【解答】（1）证明：作EC⊥CD，取EC＝CD，连接BE．∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠ECB，∵AC＝BC，∴△ADC≌△BEC（SAS）．（2）BD2+CD2＝2AD2．证明：由（1）知△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CD2＝DE2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE2＝2AD2，∴CE2+CD2＝2AD2．∵CE＝BD，∴BD2+CD2＝2AD2．（3）解：如图，过点C作CE⊥CD，使CE＝CD，连接DE，AE∴DE＝∵∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠ACB＝90°，在△BCD和△CAE中，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD．∵∠ADC＝45°，∠EDC＝45°，∴∠EDA＝90°．∴AE2＝AD2+DE2＝＝36，∴AE＝6∴BD＝6．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．。