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高一升高二数学衔接课程

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高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十一讲 三角函数恒等变换

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十一讲 三角函数恒等变换
②二倍角公式: sin2α ;tan 2α cos2α
③降幂公式:
cos2α;sin 2α
④ 半 角 公 式:
α
α
cos ;sin
2
2
α tan
2
⑤万能公式:
α 2 tan
1 tan2 α
sinα
1
tan 22α; cosα
1
2 tan2 α
2
2
⑥和差化积与积化和差公式.
对公式要求：
熟记； 会证； 能灵活选用。
cos 7 sin15 sin8
点评：（1）角的变换7： 15 8； （2） 式 的 变 换 ： 积 化 和 差。
10、求值： cos 24 cos 48 cos12 cos 84
1 2
点评：（1）式的变换：和差化积； （2）合理分组。
11、(1995年, 全 国)
求 sin2 20 cos2 50 sin 20 cos 50值.
法二：sin A 4 ,sin B 5
5
13
sin A sin B,a b, A B
0 B 90
法三：cos A 3 ,cos B 12 或 cos B 12
5
13
13
又o A B ,
0 A B ,cos A cos B 0
cos B 12 13
10、原式 （cos 24 cos 48 ) (cos12 cos 84 )
三角函数复习（二）
三角恒等变换
诱导公式
定义
同角三角函数的基本关系 单位圆与三角函数线 图象性质
y=asin+bcosα 的 最值
Cα±β Sα±β、T α±β
积化和差公式
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象

高一升高二数学暑假衔接班等差数列与等比数列

高一升高二数学暑假衔接班等差数列与等比数列

等差数列、等比数列一、授课目的与考点分析：教学目标：（1）理解等差数列、等比数列的概念。

（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

二、授课内容：等差数列、等比数列【知识梳理】等差数列等比数列定义通项公式前n项和中项性质【核心要点突破】要点考向1：有关等差数列的基本问题知识链接：1．涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的性质、通项公式和求和公式解决问题；2．等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值问题；有时利用数列的单调性（d＞0,递增；d＜0，递减）；（A ）152 (B)314 (C)334 (D)1723、.设数列{x n }满足log 2x n+1=1+log 2x n ,且x 1+x 2+x 3+…+x 10=10,则x 11+x 12+x 13+…+x 20的值为( ) (A)10×211 (B)10×210 (C)11×211(D)11×2104、已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =( )A ．35 B.33 C.31 D.295、已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且有S 9<S 8=S 7，则下列说法不正确的是（ ）A ．S 9<S 10B ．d<0C ．S 7与S 8均为S n 的最大值D ．a 8=06、在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是 。

7、在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______8、已知数列}{n a 中，前n 项和为n S ，51=a ，并且2122++++=n n n n a S S （+∈N n ），（1）求2a ，3a 的值；（2）设nn na b 2λ+=，若实数λ使得数列}{n b 为等差数列，求λ的值。

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二十讲 分式、高次不等式的解法

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二十讲 分式、高次不等式的解法

-3
23 4
(2) (x 1)( x2 x 1) 0 (x 2)( x 3)
2 x 1或 x 3
(x 2)(x 1)(x 3) 0 x 2 且 x 3
-2
1
3
(3) 0 x 1或 x 1
0
1
第二页，编辑于星期六：八点 四十五分。
(4) (x 2)2 (x 3) 0 x 1
第20讲 分式、高次不等式的解法
1. (1) 5 1 x
(2) 2x 1 3 x2
(3) x 2 3 x
解：(1) 5 x 0 x(x 5) 0 0 x 5 x
(2) 2x 1 3 0 x 7 0 7 x 2
x2
x2
(3) x2 2x 3 0 x(x 1)(x 3) 0 x 1或 0 x 3
2
4
5
(7) 1 x 2 或 2 x 3
-1
23
(8) 2 x 5
12
3
5
第三页，编辑于星期六：八点 四十五分。
3. (1) (x2 x 12)( x a) 0
解： (x 3)(x 4)(x a) 0 ①当 a 4，即 a 4 时，解集为 (3, 4) (a , )； ②当 3 a 4，即 4 a 3时，解集为 (3, a) (4, )； ③当 a 3，即 a 3时，解集为 (a , 3) (4, )； ④当 a 4，即 a 4 时，解集为 (3, )； ⑤当 a 3，即 a 3时，解集为 (4, )。
-1
23
第七页，编辑于星期六：八点 四十五分。
第四页，编辑于星期六：八点 四十五分。
(2) 3 x 0 1 ax
解：(2) (ax 1)( x 3) 0 ①当a 0 时，解集为( 1 ,3)；

高一升高二数学衔接课程

高一升高二数学衔接课程

数学目录专题一函数 (2)一、知识网络结构： (2)二、知识回顾： (3)三、小试牛刀: (9)一、求函数的定义域 (9)二、求函数的值域 (9)三、求函数的解析式 (10)四、求函数的单调区间 (10)五、综合题 (11)专题二数列 (15)一、知识梳理 (15)二、经典习题 (20)专题三三角函数 (27)一、知识要点 (27)二、沙场点兵 (30)一、基础题 (30)二、选择题 (32)三、填空题 (34)四、解答题 (35)专题四平面向量 (36)一、知识要点 (36)二、习题集锦 (39)专题一函数一、知识网络结构：二、知识回顾：（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数()y f x =（x A ∈）的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到()x y ϕ=.若对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()x y ϕ=)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=(y C ∈)叫做函数()y f x =（x A ∈）的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=（二）函数的性质⒈函数的单调性定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ,2x ，⑴若当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说()f x 在这个区间上是增函数；⑵若当12x x <2时，都有12()()f x f x >,则说()f x 在这个区间上是减函数.若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二讲 函数及其性质之3-函数单调性及值域

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二讲 函数及其性质之3-函数单调性及值域
第二讲函数及其性质之三
函数的单调性与最值
要点梳理
1．函数的单调性
忆一忆知识要点
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于 区间 I 内的任意两个值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2)，当 x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2) ， 那么就说函数 f(x)在区间 I 那么就说函数 f(x)在区间 I
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1， ∴0< x21＋x11＋ ＋x2x22＋1<1.
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
(3)解 任取 1≤x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
x21＋x11＋＋x2x22＋1－a，
∵f(x)单调递增，所以 f(x1)－f(x2)<0.
[2 分]
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1， [4 分]
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在 R 上为增函数．
[6 分]
(2)解 ∵m，n∈R，不妨设 m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1， [8 分]
问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适 当取特殊值，证明 f(x)为单调减函数的首选方法是用单调性 的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．
(1)证明 方法一 ∵函数 f(x)对于任意 x，y∈R 总有 f(x)＋f(y) ＝f(x＋y)，

初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)

初高中数学衔接课(高一)PPT课件图文(2024)

02
展示正弦函数、余弦函数、正切函数的图像，分析三角函数的
周期性、奇偶性、单调性等性质。
三角恒等变换
03
介绍三角恒等式，如和差化积、积化和差等公式，以及它们在
三角函数计算中的应用。
13
数列与数学归纳法
2024/1/29
数列的概念及表示方法
阐述数列的定义、数列的通项公式及递推公式等基础知识 。
等差数列与等比数列
详细讲解等差数列和等比数列的定义、性质及求和公式。
数学归纳法及其应用
介绍数学归纳法的原理及步骤，通过实例演示数学归纳法 在证明数列问题中的应用。
14
04
初高中数学衔接关键点分析
2024/1/29
15
思维方式转变
从具象到抽象
初中数学以具象思维为主，而高 中数学则更强调抽象思维，需要 学生逐渐适应并培养抽象思维能
力。
从静态到动态
初中数学问题多为静态的，而高 中数学则涉及更多动态变化的问 题，需要学生理解并掌握变量之
间的关系。
从单一到多元
初中数学知识点相对单一，而高 中数学知识点更加多元化，需要 学生建立多元化的知识体系和思
维方式。
2024/1/29
16
学习方法调整
2024/1/29
课前预习与课后复习
高中数学内容相对复杂，需要学生做好课前预习和课后复习，加 深对知识点的理解和记忆。
教材内容
涵盖初中数学与高中数学衔接部 分的核心知识点，包括函数、方 程、不等式、数列、概率统计等
。
2024/1/29
教材结构
按照知识模块进行划分，每个模块 包含知识点讲解、例题分析、练习 题等内容，便于学生理解和掌握。
辅助资源

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第四讲 函数的零点及建模(1)函数与方程

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第四讲 函数的零点及建模(1)函数与方程
第四讲 函数的零点及建模
函数与方程
第一页，编辑于星期六：八点 四十七分。
忆一忆知识要点
1．函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y ＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 数 y＝f(x)
第六页，编辑于星期六：八点 四十七分。
判断函数在给定区间上 零点的存在性
例 1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用 零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解． 解 (1)方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0， f(8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0， 故 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
第八页，编辑于星期六：八点 四十七分。
函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二 是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是 充分条件，而并非是必要条件．
第九页，编辑于星期六：八点 四十七分。
(1)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是___②_____(填 序号)． ①(－2，－1); ②(－1,0)； ③(0,1); ④(1,2)． 解析 ∵f′(x)＝2xln 2＋3>0， ∴f(x)＝2x＋3x 在 R 上是增函数．
(1)y＝g(x)－m 有零点即 y＝g(x)与 y＝m 的图象有交点，所以可 以结合图象求解．(2)g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根⇔y＝f(x)与 y ＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十四讲 数列及其通项公式

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十四讲 数列及其通项公式
栏目 导引
第二章 数列
跟踪训练
1．下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递 增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数 列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
栏目 导引
第二章 数列
2．(2013·宿州高二检测)已知数列{an}的通项公式是 an＝
nn－ ＋11，那么这个数列是(
)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
栏目 导引
第二章 数列
解析：选 A.∵an＝nn－ ＋11＝n＋n＋1－1 2＝1－n＋2 1， 由函数单调性可知{an}是递增数列．
栏目 导引
第二章 数列
做一做 2.已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋nn1－1 (n≥2)给出，则 a3＝________. 解析：a1＝1；a2＝a1＋2×11＝32； a3＝a2＋3×12＝32＋61＝53. 答案：53
栏目 导引
第二章 数列
5．数列与函数的关系 对任意数列{an}，其每一项与序号都有对应关系，见下表：
第二章 数列
栏目 导引
第二章 数列
(4)1，－23，35，…，－2n1－n－11·n，…； (5)1,0，－1，…，sin n2π，…； (6)9,9,9,9,9,9. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增 数 列 是 ________ ， 递 减 数 列 是 ________ ， 常 数 列 是 ________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线 上)

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十七讲 数列求和的特殊方法

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十七讲 数列求和的特殊方法

1 ) (x2 y
1 y2
)
L
(xn
1 yn )
(x 0, x 1, y 1)
解：因为 x 0, x 1, y 1
S 令
n
(x 1) (x2 y
1 y2
)
L
(xn
1 yn
)
(x x2 L xn) (1 1 L 1 )
y y2
yn
x(1
xn )
1 y
(1
1 yn
例 题
3Sn 132
两式相减有：
1333233L33(2nL3)(2n3n3)(2n3n1)(2n3n11) 3n1
解 析
－2Sn 3＋2[32 33 3n ] (2n 1) 3n1
之
3＋2 32 (1 3n1) (2n 1) 3n1
错
1-3
位
6－(2n 2) 3n1
相 减 法小 评成：的Sn1数、列对(常n于采通1用)项错由3位等n相1比减数3法列，和等差数列相乘构
7、对通项公式中含有（一1）n的一类数 列，在求Sn时要注意讨论n的奇偶性。
方法：
（1）S奇+S偶 （2）奇偶配对
注意：
（1）奇偶项数
（2）公差、公比
6. 并项法
例7 已知数列 求数列前2n项和{aSn
的通项
}
2n
a
n
(1) n1 n 2
，
解：S2n 12 22 32 42 (2n 1)2 (2n)2 令 bn a2n1 a2n (2n 1)2 (2n)2 4n 1
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
: ②
an
(2n
1 1)( 2n

【高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲】第二讲函数及其性质同步提升训练(附解析)

【高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲】第二讲函数及其性质同步提升训练(附解析)

f
(
x)
＝
a－
( x
a＞0，
x＞
0)
，
(1) 求证： f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上是单调递增函数；
1
1
(2) 若 f ( x) 在 [ 2， 2] 上的值域是 [ 2， 2] ，求 a 的值．
参考答案： 1. 【解析】
y＝
x
2
－
2x＋
2＝
(
x－
1)
2
＋1≥１
【答案】 D
2. 【解析】
1－ x≥0， x≥０
【答案】 D
5. 【解析】 函数应满足一个 x 对应一个 y，显然只有 A 不符合．
【答案】 A
6. 【解析】
设幂函数为
f
(
x)
＝xα
把点
(2
，
1 4)
代入得函数
f ( x) ＝x－ 2.
∴ f ( x) ＝ x－2 的单调递增区间是 ( －∞， 0) ．
【答案】 C
7. 【解析】 ∵f (3) ＝ f (3 ＋ 2) ＝f (5) ＝ f (5 ＋ 2) ＝ f (7) ＝ 7－5＝ 2.
12．函数 y＝ f ( x) 的图象如图所示，根据函数图象填空：
(1) f (0) ＝ ________； (2) f (1) ＝ ________；
(3) 若－ 1＜ x1＜x2＜ 1，则 f ( x1) 与 f ( x2) 的大小关系是 ________． 13．若函数 f ( x) ＝ kx2＋ ( k－ 1) x＋2 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是 ________． 14．已知二次函数 f ( x) ＝ ax2＋ 2ax＋ 1 在区间 [ － 3,2] 上的最大值为 4，则 a 的值为 ________．

高一升高二数学衔接课程

高一升高二数学衔接课程

高一升高二暑期衔接课程数学第一讲抽象函数的定义域讨论f(2x-1)的定义域为【1，2】，求f(2x+1) 的定义域对于无解析式的函数的定义域的问题，要注意几点1、f(g(x))的定义域为【a,b】，而不是g(x)的范围【a,b】，如f(3x-1)的定义域为【1，2】，指的是f(3x-1)中x的范围是1≤x≤2.2、f(g(x))y与f(h(x))的联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。

例1、已知f(x)的定义域为【1，3】，求f(2x+1) 的定义域例2、已知f(3x-1)的定义域为【1，3】，求f(x) 的定义域练习1、f(3x)的定义域为（0,3）求f(3x2)的定义域2、3.设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于（ ）A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(1，＋ ∞)D ．(1，2)U(2，＋∞)4.已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-5.若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数f 的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4]6.已知函数1()lg 1xf x x+=-的定义域为A ，函数()lg(1)lg(1)g x x x =+--的定义域为B ，则下述关于A 、B 的关系中，不正确的为（ ）A ．A ⊇B B ．A ∪B=BC ．A ∩B=BD ．B ⊂≠A 7.函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为 ( ) A ．[－4,1] B ．[－4,0) C ．(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1]8.若2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x)的解析式。

【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十六讲 等比数列及其求和

【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第十六讲 等比数列及其求和
解：(1)由 ac2>bc2，知 c≠0，即c12>0，对条件 ac2>bc2 两端乘以正数c12，可得结论 a>b 成立．
(2)由 a>b⇒－ac<－bc 成立，只要增加 c>0 即可． (3)a>b⇒a－b>0⇒b－a<0，1a<1b⇒1a－1b＝b－ aba<0， ∴ab>0.∵a>b，∴增加 a>b>0 或 b<a<0. (4)增加 b≥0，d≥0.(5)增加 a≥0.
成立的（ C ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
4．已知a<b<0，那么下列不等式成立的是
()
A．a3<b3
B．a2<b2
C．(－a)3<(－b)3
D．(－a)2<(－b)2
解析：∵a<b<0，∴a3<b3.
答案：A
第十一页，编辑于星期六：八点 四十七分。
要点阐释
1．两个实数比较大小关系
在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两 个，一是作差比较法；二是作商比较法．
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
第二十七页，编辑于星期六：八点 四十七分。
abab0 abab0 a b ab 0
比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小. a b a b 0
第二十八页，编辑于星期六：八点 四十七分。
不等式的基本性质:
例1 (对称性)
(1)如果a b, 那么b a; 如果b a , 那么a b.即 a b b a
(2)a>b 且 c>d⇒ac>bd

高一升高二高中生数学暑假衔接教材

高一升高二高中生数学暑假衔接教材

1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎪⎨⎪⎧存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标． 2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；②两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【例1】 在平面直角坐标系中，已知△ABC 顶点A (0,1)，B (3,2)． (1)若C 点坐标为(1,0)，求AB 边上的高所在的直线方程； (2)若点M (1,1)为边AC 的中点，求边BC 所在的直线方程．【训练1】 已知△ABC 的顶点A (6,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．【例2】 (1)当a ＝________时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行； (2)当a ＝________时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．【训练2】 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值等于________．(2)已知直角三角形ABC 的直角顶点C (1,1)，点A (－2,3)，B (0，y )，则y ＝________. 【例3】 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【训练3】 求在两坐标轴上截距相等，且到点A (3,1)的距离为2的直线的方程．【例4】已知直线l：y＝3x＋3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．【训练4】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．核心归纳1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．2．点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内．②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d 与半径长r的大小关系来判断)．(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d 为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．4．圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5．空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应．(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点．【例1】一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程。

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(教学案)：第五讲 立体几何初步同步提升训练

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(教学案)：第五讲 立体几何初步同步提升训练

第五讲立体几何初步1. 三棱锥S-ABC中，异面的棱有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对2. 下面哪一个不是正方体的平面展开图（）3．已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（）A.22B.322C.423D.4334．给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.15. 如图所示，三视图所表示的几何是( )俯视图左视图主视图A.六棱台B.六棱柱C.六棱锥D.六边形6. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π7. 已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到α的距离都相等，则正确的结论是 （ ）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内8. 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是：（ ）A. ①、②B. ③、④C. ①、④D. ②、③9、 已知m 、n 、l 表示三条直线，α表示一个平面，若l ⊥m ,l⊥n ,α⊂m ,α⊂n 且_________，则有l ⊥α（填上一个条件即可）.10、已知某组合体的三视图如图所示，则该组合体是由______________组合而成的.11. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC=AA 1＝4，AB=5,点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1.12. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AC BC ==90ACB ∠=，⑴求证：平面AB 1C ⊥平面BB 1C ；⑵求三棱锥B -AB 1C 的体积.13. 已知圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，求此圆锥的内切球的体积（12分）参考答案1. 答案：BCB A解析：此题考查异面直线的概念.如图所示，有SA 与BC 、SB 与AC 、SC 与AB 共三对.2. 答案：C 解析：此题考查考生空间想象能力.3. 答案：D 解析：此题考查正方体体对角线与棱长的关系和球体积公式.设球的半径为R ，正方体的棱长为l ，则 V= 323π=334R π，∴R=2，∴2R=4，∴2234l =，∴l=3.4. 答案： B 解析：此题考查线线、线面、面面的判定定理和性质定理.对③可借助正方体判断它错误，而①②④正确，故选B.5. 答案：C 解析：此题考查三视图的特点.要解决此类题型需掌握几种常见几种几何体与三视图之间的转化.6. 答案：C 解析：由V Sh =，得4S =，得正四棱柱底面边长为2.该正四棱柱的主对角线即为球的直径，所以：球的体积()222222'44224242D V r D πππππ⎛⎫====++= ⎪⎝⎭ 7. 答案：B 解析：此题考查函数与几何体中体积和高的变化.可根据其变化快慢判断.8．答案：D 解析：在①、④的条件下，,m n 的位置关系不确定.9、答案：m ⋂n =A （m 与n 相交于其它某一点）解析：此题考查线面垂直的判定定理.10、答案：圆柱和四棱柱解析：此题考查三视图的特征，结合圆柱、棱柱的三视图逆推.如图所示.11. 解析：（I ）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴ AC ⊥BC ，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴ AC ⊥BC 1；（II ）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1，∵ DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1.12．解析：⑴ 90ACB ∠=，BC AC ⊥∴，三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，1BB AC ⊥∴，1BC AC 平面⊥∴，C AB AC 1平面⊂ ，∴平面AB 1C ⊥平面BB 1C ；（2）根据等体积法ABC BC AB B V V --=11=131BB S ABC ⨯∆=322222131=⨯⨯⨯⨯. 13．分析：此题考查巧用轴截面或等体积法.应先作出其轴截面，再在轴截面中去寻找各元素的关系.解析：：如图作圆锥的轴截面，则截球为大圆⊙O1，过圆心O 1作母线VA 的垂线O 1C ，垂足为C ，设圆锥半径为R ，内切球半径为r ，当线长为l ，高为h ，则l =10cm,h =8cmcm h l R 622=-=∵△VO 1C ∽△VAO∴O 1C ：O 1A=AO ：AVO1V。

高一升高二暑期数学衔接目录

高一升高二暑期数学衔接目录
第6次课：椭圆（图像及性质的运用、及综合问题）
第7次课：双曲线（图像及性质的运用、及综合问题）
第8次课：双曲线（定义、方程、图像、性质及其运用）
第9次课：抛物线（定义、方程、图像、性质及其运用）
第10数列
第13次课：复习不等式
第14次课：复习立体几何
高一升高二暑期衔接课时安排（先预习后复习）
第1次课：直线与方程（包括倾斜角、斜率、方程式、）
第2次课：两直线间的位置关系（平行、垂直、距离公式、对称问题）
第3次课：圆与方程（圆的方程式、点线圆位置关系、切线）
第4次课：圆与方程（与圆有关的最值、及综合问题）
第5次课：椭圆（椭圆的定义、方程、图像及性质）
第15次课：入学考试综合复习

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二讲 函数及其性质之1-函数及其表示

高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第二讲 函数及其性质之1-函数及其表示

者不是同一函数；
对于(3)，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以
f(x)和 g(t)表示同一函数； 对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x＝1 与 y
＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，
由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，
要点梳理
忆一忆知识要点
(4)相等函数：如果两个函数的定义域 和 对应法则 完全一
致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：列表法、 解析法 、 图象法 ．
3．映射的概念
设 A、B 是两个非空集合，如果按某一种对应法则 f，对于 A 中的每一个元素，在 B 中都有惟一 确定的元素与之对应，
第十四页，编辑于星期六：八点 四十六分。
函数的表示方法
例 3 如图，有一直角墙角，两边的长度足够 长，在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m (0<a<12)、4 m，不考虑树的粗细．现 在想用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一 个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的面积为 S m2，S 的最 大值为 f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数 u＝f(a)的图 象大致是________．(填图象的序号)
第十五页，编辑于星期六：八点 四十六分。
设出 AD 和 DC 的边长，将 f(a)用函数表示出来，用函数的 观点来研究最值．
设 AD＝x，DC＝y，则 x＋y＝16， S＝xy＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64 (x≥a)．
当 0<a≤8 时，x＝8 使 S 取得最大值，且 f(a)＝64； 当 8<a<12 时，x＝a 使 S 取得最大值，且 f(a)＝－(a－8)2＋ 64 是一个在区间(8,12)上单调递减的函数，但始终有 f(a)>0. 故只有④图象符合． 答案 ④

【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第五讲 立体几何初步

【量神大数学】高一升高二衔接教材高二预科班数学精品课程二十讲(课件)：第五讲 立体几何初步
④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
第十二页，编辑于星期六：八点 四十六分。
第十三页，编辑于星期六：八点 四十六分。
从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所形所成形的成图 的形叫图做形二叫面做角二面角 这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的的棱棱
第十四页，编辑于星期六：八点 四十六分。
面平行 α
图示
a
A
a
A
a a
表示方法 公共点个数
a 无数个
a 一个
a 一个
a 无
第二十四页，编辑于星期六：八点 四十六分。
(1) 定义——直线与平面没有公共点 (2) 定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行。
第二十五页，编辑于星期六：八点 四十六分。
线面平行判定定理——如果平面外一
个平面，则这两条直线平行。
第三十八页，编辑于星期六：八点 四十六分。
填空
（1）l , m l____m （2） n, m , m与n__相__交_, l m, l n, l （3）l , m , l___//_m （4）l //m , l , m____
第三十九页，编辑于星期六：八点 四十六分。
PO 2 PH 2
第五十九页，编辑于星期六：八点 四十六分。
正棱锥的基本性质
P
棱锥的高、斜高和斜 高在底面的射影组成 一个直角三角形。棱 锥的高、侧棱和侧棱 在底面的射影组成一 个直角三角形
D
C
A
H
E
B
Rt⊿ PEH Rt⊿ PHB Rt⊿ PEB
Rt⊿ BEH
第六十页，编辑于星期六：八点 四十六分。
第四十五页，编辑于星期六：八点 四十六分。
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数学目录专题一函数 (2)一、知识网络结构： (2)二、知识回顾： (3)三、小试牛刀: (9)一、求函数的定义域 (9)二、求函数的值域 (9)三、求函数的解析式 (10)四、求函数的单调区间 (10)五、综合题 (11)专题二数列 (15)一、知识梳理 (15)二、经典习题 (20)专题三三角函数 (27)一、知识要点 (27)二、沙场点兵 (30)一、基础题 (30)二、选择题 (32)三、填空题 (34)四、解答题 (35)专题四平面向量 (36)一、知识要点 (36)二、习题集锦 (39)专题一函数一、知识网络结构：二、知识回顾：（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数()y f x =（x A ∈）的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到()x y ϕ=.若对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()x y ϕ=)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=(y C ∈)叫做函数()y f x =（x A ∈）的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=（二）函数的性质⒈函数的单调性定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ,2x ，⑴若当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说()f x 在这个区间上是增函数；⑵若当12x x <2时，都有12()()f x f x >,则说()f x 在这个区间上是减函数.若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

()f x 是偶函数⇔()()f x f x -=⇔()()0f x f x --=⇔()1()f x f x -=（()0f x ≠）。

奇函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

()f x 是奇函数⇔()()f x f x -=-⇔()()0f x f x -+=⇔()1()f x f x -=-（()0f x ≠）。

正确理解奇、偶函数的定义，必须把握好：1、定义域在数轴上关于原点对称是函数()f x 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；()()f x f x -=或()()f x f x -=-是定义域上的恒等式。

2、奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。

反之亦真。

因此，也可以利用函数图象的对称性去判断偶函数的奇偶性。

3、奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反。

4、如果()f x 是偶函数，则()()f x f x =，反之亦成立。

若奇函数在0x =时有意义，则(0)0f =。

7.奇函数，偶函数：⑴偶函数：()()f x f x -=设(,)a b 为偶函数上一点，则(,)a b -也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y 轴对称，例如：21y x =+在[1,1)-上不是偶函数.②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(=-x f x f .⑵奇函数：)()(x f x f -=-设(,)a b 为奇函数上一点，则(,)a b --也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数.②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)()(-=-x f x f .8.对称变换：①y =f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→−②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→−③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−9.判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10.外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数f （x ）=1+xx-1的定义域为A ，函数[()]f f x 的定义域是B ，则22122212122222121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）（集合A 与集合B 之间的关系是A B ⊆.解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ⊆.11.常用变换：①)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+.证：)()(])[()()()()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=-②)()()()()((y f x f y x f y f x f yx f +=⋅⇔-=证：)()()()(y f yx f y y x f x f +=⋅=12.⑴熟悉常用函数图象：例：2x y x =→关于y 轴对称.22111(()()222x x x y y y ++=→=→=2221y x x y =+-→关于x 轴对称.⑵熟悉分式图象：例：372312-+=-+=x x x y ⇒定义域},3|{R x x x ∈≠，值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象和性质1a >01a <<图象y=1y=1性质(1)定义域：R（2）值域：(0,)+∞（3）过定点(0,1)，即0x =时，1y =(4)0x >时，1y >；0x <时，01y <<(4)0x >时，01y <<；0x <时，1y >.（5）在R 上是增函数（5）在R 上是减函数对数函数log a y x =的图象和性质:对数运算：log ()log log a a a M N M N ⋅=+………………⑴log log log aa a MM N N=-log log ()n a a M n M =±………………⑴1log log a a Mn =log a N a N=换底公式：log log log b a b N N a=推论：log log log 1a b c b c a ⋅⋅=121123log log log log n a a a n a na a a a -⋅⋅⋅=（以上0M >,0N >,0a >,1a ≠,0b >,1b ≠,0c >,1c ≠,1a 、2a 、…、0n a >，且1≠）注⑴：当0a <，0b <时，log ()log ()log ()c c c a b a b ⋅=-+-.⑵：当0M >时，取“+”，当n 是偶数时且0M <时，0n M >，而0M <，故取“—”.例如：2log 2log a a x x ≠（因为2log a x 中0x >而2log a x 中x R ∈，且0x ≠）⑵x a y =（0a >,1a ≠）与x y a log =互为反函数.当1a >时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当01a <<时，则相反.（四）方法总结⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.⑴对数运算：⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：先解x ,互换x 、y ，注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.⑹.单调性的判定法：①设1x ,2x 是所研究区间内任两个自变量，且12x x <；②判定1()f x 与2()f x 的大小；③作差比较或作商比较.⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算()f x -与()f x 之间的关系：①()()f x f x -=为偶函数；()()f x f x -=-为奇函数；②()()0f x f x --=为偶；()()0f x f x -+=为奇；③()1()f x f x -=是偶；()1()f x f x -=-为奇函数.⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.三、小试牛刀:一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴21533y x =+-⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为___；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x+的定义域为。

4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+-⑵223y x x =+-[1,2]x ∈⑶311x y x -=+⑷311x y x -=+(5)x ≥⑸y =⑹225941x x y x +=-＋⑺31y x x =-++⑻2y x x=-⑼y =⑽4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。