初升高数学衔接知识点
- 格式:doc
- 大小:213.96 KB
- 文档页数:4
1.绝对值
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 1.填空:
(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.
(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________. 2.选择题:
下列叙述正确的是 ( ) (A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b >
(C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =± 3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-; (3)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (4)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 练 习 1.填空:
(1)221111
()9423
a b b a -=+( );
(2)(4m + 22)164(m m =++ );
(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题:
(1)若21
2
x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( )
(A )2m (B )214m (C )213
m (D )21
16m
(2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 ( ) (A )总是正数 (B )总是负数
(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数
3.分解因式
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-. 2.提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式:
(1)32933x x x +++; (2)222456x xy y x y +--+-. 练 习 1.选择题:
多项式22215x xy y --的一个因式为 ( ) (A )25x y - (B )3x y - (C )3x y + (D )5x y - 2.分解因式:
(1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3;
(3)x 2-2x -1; (4)4(1)(2)x y y y x -++-. 3.分解因式:
(1) 31a +; (2)424139x x -+;
(3)22222b c ab ac bc ++++; (4)2235294x xy y x y +-++-.
4.根的判别式
我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为
222
4()24b b ac
x a a
-+=. ① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是
(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x 1,2
(2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x 1=x 2=-
2b a
; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2
()2b x a
+
一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有 (1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
x 1,2
=2b a
-±
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x 1=x 2=-2b
a
;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
x 1=x 2=1;
5.根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根
12b x a -=
,22b x a
-=,
则有
122
2b b
x x a a
-+=
==-; 221222(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a
-+---=
===. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a
-,x 1·x 2=c
a .这一关
系也被称为韦达定理.
例1 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.
例2 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值. 例3 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1)求| x 1-x 2|的值;
(2)求2212
11
x x +的值;
(3)x 13+x 23.
6.二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质