新教材高中物理科学思维系列(一)——卫星变轨及飞船对接问题新人教版必修第二册

第七章万有引力与宇宙航行专题08：卫星的发射、变轨与对接考点卫星的变轨与飞船的对接（一）从地面发射后变轨到预定轨道卫星发射后要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅰ。

(3)在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅰ。

（二）卫星变轨的实质两类变轨离心运动向心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2<mv2r GMmr2>mv2r 变轨结果速度增大——离心：转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动速度减小——近心：转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小一、选择题1.(2023江苏盐城高级实验中学模拟)北京时间2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国海南文昌航天发射场点火发射，12时10分，天舟五号货运飞船仅用2小时便顺利实现了与中国空间站天和核心舱的快速交会对接，如图所示，创造了世界纪录。

下列说法中正确的是()A.天舟五号货运飞船的发射速度大于11.2 km/sB.天和核心舱的运行速度大于7.9 km/sC.在文昌航天发射场点火发射，是为了更好地利用地球的自转速度D.要实现对接，天舟五号货运飞船应在天和核心舱相同轨道处加速2.(2023江苏常州期中)2023年我国“天宫号”太空实验室实现了长期有人值守，我国迈入空间站时代。

如图所示，“天舟号”沿椭圆轨道运动，A、B两点分别为椭圆轨道的近地点和远地点，在B点“天舟号”与“天宫号”完成对接。

则()A.“天舟号”从A处飞向B处做加速运动B.“天舟号”与“天宫号”的运动周期相等C.“天舟号”与“天宫号”对接前必须先加速运动D.“天舟号”与“天宫号”在对接处受到地球的引力相等3.(2023江苏南通海安高级中学月考)神舟十三号载人飞船从核心舱下方采用“径向对接”的方式实现对接，“径向对接”指两对接口在地球半径的延长线上，对接前两者要在间隔一定距离的位置保持相对静止一段时间，如图所示，之后飞船再向上逐步接近核心舱实现对接，则()A.相对静止时，飞船的速度大于核心舱的速度B.相对静止时，飞船的向心加速度大于核心舱的向心加速度C.飞船通过加速逐步向上靠近核心舱D.飞船的速度大于7.9 km/s才能最终靠近核心舱4.(2022江苏连云港期中)在人类太空征服史中，让人类遗憾的是“太空加油站”的缺乏。

卫星的变轨和双星问题[学习目标] 1.知道卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化.2.知道航天器的对接问题的处理方法.3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题．一、卫星的变轨问题1．如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图．(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？答案 (1)从绕地球运动的轨道上加速，使飞船做离心运动．当飞船加速时，飞船所需的向心力F 向＝m v 2r增大，万有引力不足以提供飞船所需的向心力，飞船将做离心运动，向高轨道变轨． (2)飞船从奔月轨道进入月球轨道应减速．当飞船减速时，飞船所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，飞船将做近心运动，向低轨道变轨．2．如图，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，在Q 点点火加速做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ，在P 点点火加速，使其满足GMm r 2＝m v 2r，进入圆轨道Ⅲ做圆周运动．(1)设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在椭圆轨道Ⅱ上经过Q 点和P 点时的速率分别为v Q 、v P ，试比较这几个速度的大小关系．(2)试比较卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运行时的周期T 1、T 2、T 3的大小关系．(3)试比较卫星在轨道Ⅰ上的加速度大小a 1，轨道Ⅲ上的加速度大小a 3，椭圆轨道上经过Q 点和P 点的加速度大小a Q 、a P 的大小关系．答案 (1)①圆轨道上v 1>v 3②从圆轨道Ⅰ在Q 点加速进入椭圆轨道，则v Q >v 1③从椭圆轨道Ⅱ在P 点加速进入圆轨道Ⅲ，则v 3>v P④在椭圆轨道上v Q >v P ，所以v Q >v 1>v 3>v P .(2)由开普勒第三定律知：T 3>T 2>T 1.(3)由GMm r 2＝ma 得a ＝GM r 2，知a 与卫星到地心的距离有关，所以不同轨道上同一点的加速度相同，则a 1＝a Q >a P ＝a 3.例1 在高空运行的同步卫星功能失效后，往往会被送到同步轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星并节省轨道资源．如图所示，2022年1月22日，我国实践21号卫星在地球同步轨道“捕获”已失效的北斗二号G2卫星后，成功将其送入“墓地轨道”．已知同步轨道和“墓地轨道”的轨道半径分别为R 1、R 2，转移轨道与同步轨道、“墓地轨道”分别相切于P 、Q 点，地球自转周期为T 0，则北斗二号G2卫星( )A ．在“墓地轨道”运行时的速度大于其在同步轨道运行的速度B ．在转移轨道上经过P 点的加速度大于在同步轨道上经过P 点的加速度C ．在转移轨道上P 点的速度小于转移轨道上Q 点的速度D ．沿转移轨道从P 点运行到Q 点所用最短时间为T 04(R 1＋R 2)32R 13答案 D解析 根据GMm r 2＝m v 2r ，可得v ＝GM r ，可知在“墓地轨道”运行时的速度小于其在同步轨道运行的速度，故A 错误；在转移轨道上经过P 点和在同步轨道上经过P 点时受到的万有引力相同，由GMm r2＝ma 可知，B 错误；由开普勒第二定律可知，C 错误；由开普勒第三定律R 13T 02＝(R 1＋R 22)3T 12，可得沿转移轨道从P 点运行到Q 点所用最短时间为t ＝T 12＝T 04(R 1＋R 2)32R 13，故D 正确．判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．3．判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．4．判断卫星的加速度大小时，可根据a ＝F 万m ＝G M r2判断． 针对训练 (多选)2021年5月15日7时18分，我国发射的“天问一号”火星探测器成功着陆于火星．如图所示，“天问一号”被火星捕获之后，需要在近火星点P 变速，进入环绕火星的椭圆轨道．下列说法正确的是( )A ．“天问一号”由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，需要在P 点加速B ．“天问一号”在轨道Ⅰ上经过P 点时的加速度等于在轨道Ⅱ上经过P 点时的加速度C ．“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期D ．“天问一号”的发射速度必须大于11.2 km/s答案 BD解析 由题图可知，“天问一号”火星探测器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ的过程，需要在P 点减速，A 错误；由G Mm r 2＝ma ，解得a ＝G M r2，可知探测器在轨道Ⅰ上经过P 点与在轨道Ⅱ上经过P 点时的加速度相等，B 正确；根据开普勒第三定律a 3T2＝k ，由于轨道Ⅰ的轨道半长轴大于轨道Ⅱ的轨道半长轴，故探测器在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期，C 错误；发射“天问一号”必须克服地球引力的束缚，因此要大于地球第二宇宙速度11.2 km/s ，故D 正确．二、航天器的对接问题若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠近其他航天器，两者速度接近时实现对接．例2 如图所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接答案 C解析飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误．三、双星或多星问题1．双星模型(1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”．(2)特点①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同．②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比．(3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2. 2．多星系统在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同．(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的．例3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．已知双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ，引力常量为G ，求双星的运行轨道半径r 1和r 2及运行周期T .答案 见解析解析 双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m 1：Gm 1m 2L 2＝m 1r 1ω2 对m 2：Gm 1m 2L 2＝m 2r 2ω2，且r 1＋r 2＝L 解得r 1＝Lm 2m 1＋m 2，r 2＝Lm 1m 1＋m 2由G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2及r 1＝Lm 2m 1＋m 2得 周期T ＝2πL L G (m 1＋m 2). 例4 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三颗星体的质量相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体做匀速圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，如图乙所示．设这两种构成形式中三颗星体的质量均为m ，且两种系统中各星体间的距离已在图甲、乙中标出，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A ．直线三星系统中外侧每颗星体做匀速圆周运动的线速度大小为Gm LB ．直线三星系统中外侧每颗星体做匀速圆周运动的周期为4πL 35GmC ．三角形三星系统中每颗星做匀速圆周运动的角速度大小为23Gm L 3 D ．三角形三星系统中每颗星做匀速圆周运动的加速度大小为3Gm L 2答案 BD 解析 直线三星系统中，星体做匀速圆周运动的向心力由其他两颗星体对它的万有引力的合力提供，有G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝m v 2L ， 解得v ＝12 5Gm L， 由T ＝2πL v 可得，T ＝4πL 35Gm ， 故A 错误，B 正确；三角形三星系统中，星体做匀速圆周运动的向心力由其他两颗星体对它的万有引力的合力提供，如图所示，有2Gm 2L 2cos 30°＝mω2L2cos 30°，解得ω＝ 3Gm L 3，由2G m 2L2cos 30°＝ma ，可得a ＝3Gm L 2，故C 错误，D 正确．训练1 卫星的变轨问题1．(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )A ．v 1＞v 2，v 1＝GM rB ．v 1＞v 2，v 1＞GM rC ．v 1＜v 2，v 1＝GM r D ．v 1＜v 2，v 1＞GM r答案 B解析 根据开普勒第二定律知，v 1>v 2，在近地点画出近地圆轨道，如图所示，由GMm r 2＝m v 2r 可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v ＝GM r ，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v 1>GM r ，故选B.2.(多选)(2021·哈尔滨市第五十八中学校高一期末)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km 的P 点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示．之后，卫星在P 点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T 1、T 2、T 3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行的周期，用a 1、a 2、a 3分别表示卫星运动到P 点的加速度，则下列说法正确的是( )A ．T 1>T 2>T 3B ．T 1<T 2<T 3C ．a 1>a 2>a 3D ．a 1＝a 2＝a 3答案 AD解析 根据开普勒第三定律可知，A 正确，B 错误；在3个轨道上经过P 点时，卫星受到月球的万有引力相等，根据牛顿第二定律可知，C错误，D正确．3.2020年我国实施“天问一号”计划，将通过一次发射，实现“环绕、降落、巡视”三大任务．如图所示，探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程．Q为轨道Ⅰ远火点，P为轨道Ⅰ近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P点．则探测器()A．沿轨道Ⅰ运行至P点速度大于运行至Q点速度B．沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度大于沿轨道Ⅲ运行至P点加速度C．沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅲ运行的周期D．从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时需在P点加速答案 A解析由开普勒第二定律知，A正确；经过P点时的加速度是由火星对探测器的引力产生，＝ma知，B错误；根据开普勒第三定律知，C错误；探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时由G Mmr2需在P点减速，故D错误.4.(多选)如图是我国发射“神舟七号”载人飞船的入轨过程．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行的周期约为90分钟．下列判断正确的是()A．飞船变轨前后的线速度相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度答案BC解析飞船点火加速变轨，变轨前后的线速度不相等，故A错误；飞船在圆轨道上时，航天员出舱前后，航天员所受地球的万有引力提供航天员做圆周运动的向心力，航天员此时的加速度就是万有引力加速度，即航天员出舱前后均处于完全失重状态，故B正确；因为飞船在圆形轨道上的周期为90分钟，小于同步卫星的周期，根据ω＝2π可知，C正确；飞船变轨前T通过椭圆轨道远地点时的加速度与变轨后沿圆轨道运动的加速度相等，故D错误．5.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热映，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点B变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到B 点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(图中A点为近日点)()A．沿轨道Ⅰ运动至B点时，需向前喷气减速才能进入轨道ⅡB．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期C．沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速度小于在B点的加速度D．在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程，速度逐渐增大答案 B解析地球沿轨道Ⅰ运行至B点时，需向后喷气加速才能进入轨道Ⅱ，选项A错误；因轨道Ⅰ的半长轴小于轨道Ⅱ的半径，根据开普勒第三定律可知，地球沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿可知，地球沿轨道Ⅰ运行时，在A点的加速轨道Ⅱ运行的周期，选项B正确；根据a＝GMr2度大于在B点的加速度，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，地球在轨道Ⅰ上由A点运行到B点的过程中，地球逐渐远离太阳，速度逐渐减小，选项D错误．6．(多选)“嫦娥五号”从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示．关于“嫦娥五号”的说法正确的是()A ．在P 点由a 轨道转变到b 轨道时，速度必须变小B ．在Q 点由d 轨道转变到c 轨道时，要加速才能实现(不计“嫦娥五号”的质量变化)C ．在b 轨道上，“嫦娥五号”在P 点的速度比在R 点的速度大D ．“嫦娥五号”在a 、b 轨道上正常运行时，通过同一点P 时，加速度相等答案 CD解析 “嫦娥五号”在a 轨道上的P 点进入b 轨道，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A 错误；在Q 点由d 轨道转变到c 轨道时，必须减速，使万有引力大于需要的向心力而做近心运动，选项B 错误；根据开普勒第二定律知，在b 轨道上，“嫦娥五号”在P 点的速度比在R 点的速度大，选项C 正确；根据Gm 地m r2＝ma n ，知“嫦娥五号”在a 、b 轨道上正常运行时，通过同一点P 时，加速度相等，选项D 正确．7．(多选)2021年5月15日，我国自主研制的火星探测器“天问一号”成功着陆火星．如图所示，着陆火星前探测器成功进入环火星半长轴为R 1的椭圆轨道，然后实施近火星制动，顺利完成“太空刹车”，被火星捕获，进入环火星半径为R 2、周期为T 的圆轨道．则关于“天问一号”探测器，下列说法正确的是( )A ．探测器由椭圆轨道进入圆轨道应该在P 点加速B ．探测器沿椭圆轨道从P 点运动到Q 点速度减小C ．探测器在P 点变轨前后，加速度将增大D ．探测器沿椭圆轨道由P 点运动到Q 点所需的最短时间为R 13R 23·T 2 答案 BD解析 探测器由椭圆轨道实施近火星制动，因此进入圆轨道应该在P 点减速，选项A 错误；由开普勒第二定律知，选项B 正确；探测器在P 点变轨前后，万有引力不变，加速度不变，选项C 错误；根据开普勒第三定律有R 13T 12＝R 23T2 解得T 1＝R 13R 23T ，因此探测器沿椭圆轨道由P 点运动到Q 点所需的最短时间t ＝T 12＝R 13R 23·T 2，选项D 正确．训练2 双星及多星问题1.如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星中心之间的距离为L ，质量之比为m 1∶m 2＝3∶2，下列说法中正确的是( )A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3∶2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3∶2C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 2做圆周运动的半径为25L答案 C解析 设双星m 1、m 2距转动中心O 的距离分别为r 1、r 2，双星绕O 点转动的角速度相等，设为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G m 1m 2L 2＝m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，又r 1＋r 2＝L ，m 1∶m 2＝3∶2 所以可得r 1＝25L ，r 2＝35Lm 1、m 2运动的线速度分别为v 1＝r 1ω，v 2＝r 2ω， 故v 1∶v 2＝r 1∶r 2＝2∶3. 综上所述，故选C.2.(多选)(2021·重庆市永川北山中学校高二开学考试)宇宙中两颗相距较近、相互绕转的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，不至于因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A 、B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶2，则两颗天体的( )A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1 B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶1C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝2∶1D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1 答案 AB解析 双星都绕O 点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω，根据牛顿第二定律，对A 星有G m A m BL 2＝m A ω2r A对B 星有G m A m BL2＝m B ω2r B ，故m A ∶m B ＝r B ∶r A ＝2∶1根据双星的运动条件有角速度之比为ωA ∶ωB ＝1∶1，向心力大小之比为F A ∶F B ＝1∶1，由v ＝ωr可得线速度大小之比为v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝1∶2，故选A 、B.3．“开普勒－47”系统位于天鹅座内，距离地球大约4 900光年．这一系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T ，其中大恒星的质量为M ，小恒星的质量只有大恒星质量的三分之一．已知引力常量为G ，则下列判断正确的是( ) A ．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶1 B ．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶2 C ．两颗恒星相距3GMT 23π2 D ．两颗恒星相距3GMT 24π2答案 C解析 设两恒星间的距离为L ，小恒星、大恒星的轨道半径分别为r 1、r 2，小恒星质量为M 1，则M 1＝13M ，两恒星运动的周期相同，角速度相同，所需的向心力由万有引力提供，有G M 1ML 2＝Mr 2ω2＝M 1r 1ω2，可得r 1r 2＝M M 1＝3，故A 、B 错误；由A 、B 项分析知，r 1＝34L ，又GMM 1L 2＝M 1r 14π2T2，解得L ＝3GMT 23π2，故C 正确，D 错误． 4.(2021·杭州第二中学月考)天文学家们推测，超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域．两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转，这种富含能量的运动产生了引力波．假设在合并前，两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，如图所示，若黑洞A 、B 的总质量为1.3×1032 kg ，两黑洞中心间的距离为2×105 m ，产生的引力波的周期和黑洞做圆周运动的周期相当，则估算该引力波周期的数量级为(G ＝6.67× 10－11N·m 2/kg 2)( )A ．10－7 s B ．10－5 s C ．10－3 s D ．10－1 s答案 C解析 A 、B 的周期相同，角速度相等，靠相互的万有引力提供向心力，有：Gm A m B L 2＝m A r A 4π2T 2＝m B r B 4π2T 2，解得：G ()m A ＋m B L 2＝4π2LT 2，将黑洞A 、B 的总质量为1.3×1032 kg ，两黑洞中心间的距离L ＝2×105 m 代入，解得T ≈6.0×10－3 s ，则该引力波周期的数量级为10－3 s ，选项C 正确．5.如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星B 的运行周期为T .若恒星A 的质量为m ，恒星B 的质量为2m ，引力常量为G ，则恒星A 与O 点间的距离为( )A.32GmT 29π2 B.39GmT 232π2 C.3GmT 2108π2D.327GmT 24π2答案 A解析 双星系统两个恒星的角速度相同，周期相同，设恒星A 和恒星B 的轨道半径分别为r A 和r B ，对A 根据万有引力提供向心力得G m ·2m L 2＝m 4π2T 2r A对B 根据万有引力提供向心力得G m ·2m L 2＝2m 4π2T 2r B又L ＝r A ＋r B联立解得r A ＝32GmT 29π2故A 正确，B 、C 、D 错误．6．(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A ．质量之积 B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度答案 BC解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解．故选B 、C.7．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 答案 B解析 设两恒星原来的质量分别为m 1、m 2，距离为L ， 双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3kT 故选B.8.(多选)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图所示，此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，被吸食星体的质量远大于吸食星体的质量．假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )A ．它们做圆周运动的万有引力保持不变B ．它们做圆周运动的角速度不断变大C ．体积较大星体圆周运动轨道半径变大D ．体积较大星体圆周运动的线速度变大 答案 CD解析 设体积较小者质量为m 1，轨道半径为r 1，体积较大者质量为m 2，轨道半径为r 2，两者球心之间的距离为L ，由F ＝Gm 1m 2L 2知F 增大，A 错误；由Gm 1m 2L 2＝m 1ω2r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω2r 2得：ω＝G (m 1＋m 2)L 3，因(m 1＋m 2)及L 不变，故ω不变，B 错误；轨道半径r 2＝Gm 1ω2L2，因m 1增大，故r 2变大，C 正确；线速度大小v 2＝ωr 2，因r 2变大，故v 2变大，D 正确．9.(多选)如图所示，三颗质量均为M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上．如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为3GM 22L 2B ．其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC ．它们运行的轨道半径为32LD ．它们运行的速度大小为GML答案 BD解析 根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力为F 1＝G M 2L 2，方向沿着它们的连线，其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F ＝2F 1cos 30°＝3G M 2L 2，方向指向圆心O ，选项A 错误，B 正确；由r cos 30°＝L 2，解得它们运行的轨道半径r ＝33L ，选项C 错误；由3G M 2L 2＝M v 2r，可得v ＝GML ，选项D 正确．。

专题强化卫星的变轨和双星问题[学习目标] 1.知道卫星变轨的原因，会分析卫星变轨前后的物理量变化(重难点)。

2.知道航天器的对接问题的处理方法(重难点)。

3.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。

一、卫星的变轨问题如图是飞船从地球上发射到绕月球运动的飞行示意图。

(1)从绕地球运动的轨道上进入奔月轨道，飞船应采取什么措施？为什么？(2)从奔月轨道进入月球轨道，又应采取什么措施？为什么？________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．变轨过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。

(2)在A点(近地点)点火________(选填“加”或“减”)速，由于速度变________，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火________(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。

2．变轨过程各物理量分析(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ____vⅡB，vⅡA____vⅠ(均选填“>”“<”或“＝”)。

(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点线速度逐渐________。

(3)两个不同轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越________，图中vⅠ____vⅢ(选填“>”“<”或“＝”)。

(4)不同轨道上运行周期T不相等。

根据开普勒第三定律a3T2＝k知，内侧轨道的周期__________外侧轨道的周期，图中TⅠ<TⅡ<TⅢ。

(5)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同，图中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ。