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《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题

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第五章 5.6应用一元一次方程-追赶小明同步练习-2021-2022学年北师大版数学七年级上学期

第五章 5.6应用一元一次方程-追赶小明同步练习-2021-2022学年北师大版数学七年级上学期

初中数学北师大版七年级上学期第五章 5.6应用一元一次方程——追赶小明一、单选题1.一天，小明在家和学校之间行走，为了好奇，他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到学校用了15分钟，从原路返回用了18分钟20秒，设风的速度是x米/分，则所列方程为（）A. B.C. D.2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）A. 96里B. 48里C. 24里D. 12里3.某铁路桥长1200m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.则火车的长度为（）A. 180mB. 200mC. 240mD. 250m4.长为300米的春游队伍，以2米/秒的速度向东行进.在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为4米/秒.则往返共用的时间为（）A. 200sB. 205sC. 210sD. 215s5.小明和小亮两人在长为50m的直道AB（A、B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点……若小明跑步速度为5m/s，小亮跑步速度为4m/s，则起跑后60s内，两人相遇的次数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O-A-B-C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往C地，两车同时到达C地，则下列说法：①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米。

【七年级】初一上册应用一元一次方程 追赶小明练习题(含解析北师大版)

【七年级】初一上册应用一元一次方程 追赶小明练习题(含解析北师大版)

【七年级】初一上册应用一元一次方程追赶小明练习题（含解析北师大版）【七年级】初一上册应用一元一次方程-追赶小明练习题（含解析北师大版）初中一年级第一册：一元一阶方程的应用——追赶小明练习（含北京师范大学版分析）(30分钟50分)一、多项选择题（每个子题4分，共12分）一.一轮船往返于a,b两港之间,逆水航行需3小时,顺水航行需2小时,水速是3千米/时,则轮船在静水中的速度是( )a、 18公里/小时b.15公里/小时c.12千米/时d.20千米/时2.在高速公路上，如果一辆长度为4米、速度为110公里/小时的汽车准备超越一辆长度为12米、速度为100公里/小时的卡车，那么汽车追赶和超越卡车所需的时间约为（）a.1.6秒b.4.32秒c.5.76秒d.345.6秒3.A和B相距450公里。

a车和B车同时从a车和B车出发，已知a车的速度为120 km/h，B车的速度为80 km/h。

t小时后，两辆车之间的距离为50 km，则t值为（）a.2或2.5b.2或10c.10或12.5d.2或12.5二、填空（每个子问题4分，共12分）4.我们小时候听过龟兔赛跑的故事,都知道乌龟最后战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中,小白兔知耻而后勇,在落后乌龟1千米时,以101米/分的速度奋起直追,而乌龟仍然以1米/分的速度爬行,那么小白兔追上乌龟大概需要分钟.5.成渝铁路全长504km。

一列快车以90km/h的速度从重庆出发，一小时后，另一列慢车以48km/h的速度从成都出发。

然后，两列列车在慢车启动数小时后相遇（不计算沿途各站的停留时间）6.从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7小时,开通高速公路后,车速平均每小时增加了20千米,只需5小时即可到达.甲乙两地的路程是千米.三、回答问题（共26分）7.(8分)王强参加了一场3000米的赛跑,他以6米/秒的速度跑了一段路程,又以4米/秒的速度跑完了其余的路程,一共花了10分钟,王强以6米/秒的速度跑了多少米?8.（8分）如图所示，a和B在圆形轨道上练习跑步。

5.6 应用一元一次方程——追赶小明.

5.6 应用一元一次方程——追赶小明.

小明
小彬
若设ｘ s后小明能追上小彬.
10
小明
小彬
4x 6x
追及点 追及点
【解析】（1）设x s后两人相遇，由题意得 4x+6x=100, 10x=100, x=10,
答：10 s后两人相遇.
（2）设x s后小明追上小彬， 由题意得 6x-4x=10 2x=10 x=5
答：5 s后小明追上小彬.
【跟踪训练】
3.（潜江·中考）元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有 这样一道题： “良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先 行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马几 天可以追上驽马. 【解析】设良马x天可以追上驽马，根据相等关系：驽马 先行一十二日的路程+驽马x天行的路程=良马x天行的路 程，可列方程12×150+150x=240x，解得x=20. 故良马20天可以追上驽马.
无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何 无法挽回的事来.
费14天完成，问乙、丙中途离开几天？
【解析】设丙中途离开x天，根据题意得
14 14 (x 3) 14 x 1
40
30
24
解得x=4.
答：丙中途离开4天，乙中途离开7天.
1.甲、乙两人都从某地出发到学校，甲每小时步行5 km，先
出发1.5 h，乙骑自行车，乙出发50 min后，两人同时到达学
校，则乙骑自行车的速度为每小时（ ）
A.12 km
B.13 km
C.14 km
D.15 km
2.挖一条2 200 m长的过江隧道，由甲、乙两队从两头同 时施工，如果甲队每天挖60 m，乙队每天挖多少m，才 能在20天内完成？如果设乙队每天挖x m，才能在20天内 完成，那么所列方程应为 20x+20×60=2 200 .

5.6 应用一元一次方程——追赶小明

5.6 应用一元一次方程——追赶小明

发开往B地，每小时行驶72千米，甲车出发
25分钟后，乙车从B地出发开往A地，每小时 行驶48千米，两车相遇后，各自按原速继续
行驶，那么相遇后两车相距100千米时，甲
车从出发开始共行驶多长时间？
练习3： 两地相距450千米，甲、乙两车分
别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲
车的速度为120千米每小时，乙车的速度为 80千米每小时，经过多少小时两车相距50千
2、甲乙两人赛跑，甲的速度是8 m/s ，乙的速度是5 m/s，如果甲从起跑点往后 退20 m，乙从起跑点向前进10 m，问甲经
过几秒钟追上乙？
解：设甲经过x秒追上乙
8x-5x=20+10，
x=10.
答：甲经过10秒追上乙.
解：（1）设爸爸追上小明用了x min，
80（x+5)=180x
x=4. 答：爸爸追上小明用了4min.
（3）设小明x秒后追上小彬，
6x=4（x+10）
2x=40 x=20 20+10=30（秒） 答：两人第一次相遇时，小明共跑了30秒。
追击问题：(2)同地不同时 快路程=慢路程
同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离
T(
V 乙
- V甲 )=s
t
乙 甲
S
例2、小明每天早上要在7：50之前赶到距家
1 000 m的学校上学.一天,小明以80m/min的
速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了 带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速
度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
同时同地同向在同一跑道进行比赛

应用一元一次方程—追赶小明

应用一元一次方程—追赶小明
甲的行程=乙先走的行程+乙后走的行程。
3、相遇问题的相等关系：
甲的行程+乙的行程=两地的距离。
作业布置：
完成练习册本课时的习题
3、相遇后，当联络员再次追上七（1）学生时，用了 多长时间？此时联络员或七（1）班学生及七（2）班学生 离学校又有多远？或两个班的学生相距有多远？
4、当七（2）班学生追上了七（1）班学生时，用了多 长时间？此时他们离学校有多远？
谈谈这节课你有什么收获？
1、借助线段图理解题意。 2、追及问题的相等关系：
分析：1、应用题的类型：行程问题。 2、计算公式：路程=速度×时间。 3、相等关系：A、B两地的路程=小亮的行程+小明的行程。
x 4、若设小亮的速度为 千米/小时，可
x 解：若设小亮的速度为 千米/小时，根据题意，得
+
x 解方程，得 = 19
= 72
19 — 2 = 17
所以，小亮的速度为19千米/小时，小明的速度 为17 千米/小时。
分析：1、这是一道关于行程问题的应用题，在七（1）班学生、 七（2）班学生、联络员这三个对象中，他们的 速度 是已知的，而 他们的 行程和时间 是未知的，所以在提问时应从 行程和时间 两 方面来提。
2、在行程过程中，联络员先是追 七（1）班学生 ，后是与 七（2）学生 相遇，然后又去追 七（1）班学生 ，而七（2）班 学生一直都是在追 七（1）班学生 。
x 解方程，得 = 4
因此，爸爸追上小明用了4min。
（2）180×4=720（m）
1000 —720=280（m） 所以，追上小明时，距离学校还有280（m）。
小亮骑自行车
小亮骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到 A地，两人均匀速前进，2小时后，他们相遇。已知A、B 两地相距72千米，小亮的速度比小明的速度每小时快2千 米，求两人的速度。

56应用一元一次方程——追赶小明

56应用一元一次方程——追赶小明

56应用一元一次方程——追赶小明追赶小明小明是一个活泼好动的孩子，非常喜欢跑步。

有一天，小明在学校里参加了一次1500米的长跑比赛。

比赛开始后不久，小明发现有一个同学比他快了一些。

小明决定加快自己的速度，追赶上那个同学。

小明知道，自己跑完1500米需要的时间是8分钟，而那个同学跑完同样的距离只需要6分钟。

小明想知道，他要想在比赛结束前追赶上那个同学，他需要以多快的速度跑步。

首先，我们设小明的速度为x米/分钟，那个同学的速度为y米/分钟。

根据题意可得以下一元一次方程：1500=8x（1）1500=6y（2）我们可以通过联立方程（1）和方程（2）来求解x和y的值。

通过方程（2）可以得到y=1500/6=250米/分钟。

将y=250代入方程（1），得到1500=8x，解得x=1500/8=187.5米/分钟。

所以，小明的速度为187.5米/分钟，即每分钟小明能跑过187.5米的距离。

为了追赶上那个同学，小明需要以比他快的速度跑。

那个同学的速度为250米/分钟，所以小明的速度需要大于250米/分钟。

假设小明的速度为250+z米/分钟，其中z为任意正数。

那么，小明追赶那个同学所需的时间为：追赶时间=1500/（250+z）假设追赶时间为T分钟，代入上述公式可得：T=1500/（250+z）在这个等式中，只要z>0，T就会小于8分钟。

也就是说，小明只需要以比那个同学快的任何速度跑，就能在比赛结束前追赶上他。

比如说，如果小明的速度为251米/分钟，那么他追赶那个同学所需的时间为：T=1500/（250+1）=1500/251可以看出，不论小明的速度有多快，只要他的速度大于那个同学的速度，他都能在比赛结束前追赶上他。

通过以上的例子，我们可以发现，追赶问题中，解一元一次方程可以帮助我们找到问题的答案。

在这个例子中，方程的解告诉我们小明需要以多快的速度跑步才能追赶上那个同学。

这不仅能帮助我们理解数学中的方程解法，还能让我们更好地应用数学知识解决实际生活中的问题。

应用一元一次方程---追赶小明

10x+5x=400, 解得x= 80 .
3
答：经过 80 秒两人第
3
一次相遇
环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t 秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行： v甲t-v乙t=s. ①同时同地、背向而行： v甲t+v乙t=s.
例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的
6x+4x=100. 解得：x=10. 答：经过10秒后两人相遇.
（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10 米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
题目中已知些什么？用图表示出来.
10米
小红跑的路程 (4x)
小丽跑的路程 (6x)
追及点
等量关系:小丽所跑的路程-小红所跑的路程=10米.
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的
数量关系可用线段图表示.
80×5
80x
180x
据题意，得 80×5＋80x=180x. 化简，得 100x=400. x=4.
答：爸爸追上小明用了4分钟． （2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.
答：追上小明时，距离学校还有280米．
在审题过程中，如果能把文字语言变成图 形语言——线段图，即可使问题更加直观，等 量关系更加清晰.我们只要设出未知数，并用代 数式表示出来，便可以得到方程.
例题讲解
例1 小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑 4米，小
丽每秒跑6米.
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒 之后两人相遇？ （2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10米 处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？

应用一元一次方程--追赶小明

3、小明用4分钟绕学校操场跑了两圈（每圈400米），
那么他的速度为 200 米/分。
小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校 上学．一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明 的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180米/分 的速度去追小明。
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
相遇问题：
A走的路程
相遇处
B走的路程
A
B
A与B之间相隔的路程
等量关系：
A走的路程＋B走的路程＝A与B之间相隔的路程
小 结：
1、这节课你学到了什么知识？ 2、谈谈你的收获？
作业：P192 习题5.10 问题解决1
85×0.4
85x
110x
南京
北京
1170
解：设两车行驶了x小时相遇，
根据题意，得
85×0.4＋85x＋110x＝1170
解得
x≈5.83
答：轿车行驶了约5.83小时两车相遇。
追及问题：
B
A与B之间相隔的路程 A
A后走的路程
B追A追到地方
B所走的路程
等量关系： A与B之间相隔的路程＋A后走的路程＝B所走的路程
根据题意，得 85x＋110x＝1170
化简
195x＝1170
x＝6
答：两车行驶了6小时相遇。
轿车方向
南京到北京的路程为1170公里。客车从南京开出，每小时
行驶85公里，轿车从北京开出，每小时行驶110公里，
（2）客车先开出24分钟，两车相向而行，轿车行驶了多少
小时两车相遇？ (结果精确到0.01）
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
80×5

5-8 6应用一元一次方程——追赶小明


5. (20分)小俪和小明每天早晨坚持跑步，小俪每秒跑4 m， 小明每秒跑6 m. (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几 秒后两人相遇？ (2)如果小明站在百米跑道的起点处，小俪站在他前面30 m处，两人同时同向起跑，那么小明能否在到达终点前超 越小俪？
解：(1)设x s后两人相遇，根据题意，得4x+6x=100.解得 x=10. 答：10 s后两人相遇.
第五章 一元一次方程
C
B
3. (20分)一架飞机飞行于两城市之间，风速为24 km/h， 顺风飞行需要3 h，逆风飞行需要4 h，则两城市间的距离 是多少？若设两城市间的距离为x km，可列方程为( D )
4. (20分)在400 m的环形跑道上,甲每分钟跑320 m,乙每 分钟跑280 m,甲、乙两人同时同地同向出发,t miБайду номын сангаас后首次 相遇,则t=____1_0___.
(2)设经过y s小明追上小俪，根据题意,得6y-4y=30.解得 y=15. 因为6×15=90<100, 所以小明能够在到达终点前超越小俪.
谢谢

《应用一元一次方程——追赶小明》参考课件2


例题 ：小明家距学校1000米，小明以 80米/分钟 的速度上学，5分钟后小明爸爸发现小明没 带语文课本， 以180米/分钟的速度追小明， 并在途中追上小明。 思考(1) 爸爸追上小明用了多少时间？ (2) 追上小明时距离学校还有多远？
设经x分钟后爸爸追上小明；
时 间 小明 小明爸爸 (5+x)分钟
问题5：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？ 解：设联络员在前队出发x小时后第一次追上前队， 由题意列方程得； 4x = 12（x - 1） 解方程得： x = 1.5 答：联络员在前队出发后1.5 小时后第一次追上前队.
课堂小结
行程问题中的基本等量关系为：
路程=速度×时间，பைடு நூலகம்
一般可从下面两个方面寻找追及问题中 的等量关系： （1）从时间考虑： 速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间 （2）从路程考虑： 速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离
例2：甲乙两人相距40千米，甲在后乙在前，两人同 向而行，甲先出发1.5小时后乙再出发，甲的速度为 每小时8千米，乙的速度为每小时6千米，甲出发几小 时后追上乙？
甲 40千米
乙
解：设甲出发后x小时追上乙，由题意列方程得； 8x – 6（x – 1.5）= 40 解方程得：x = 15.5 答：甲出发后15.5小时追上乙。
5.6应用一元一次方程 ——追赶小明
龟兔赛跑
已知兔子的速度为每秒9米，乌龟的速度为每 秒0.05米，兔子跑了10分钟 ，然后睡了一觉， 乌龟追上兔子需要多长时间？ 解：兔子十分钟跑了 9× 600=5400（米）
乌龟跑5400米需要
5400÷ 0.05=108000（秒） 108000秒 = 30小时 因此乌龟追不上兔子。
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《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题
例1 某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了4
1小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程．
例2 某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列出方程．
例3 甲骑自行车从A 地出发，以每小时12千米的速度驶向B 地，经15分钟后乙骑自行车从B 地出发，以每小时14千米的速度驶向A 地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A 、B 两地的距离．
参考答案
例1 分析 该题可以有如下相等关系：
一学生从学校追上队伍走的路程＝队伍走过的路程
如果设当学生追上队伍时，队伍走了x 小时，则队伍走过的路程可以表示
为4x ，学生离开队伍到追上队伍共走了4
1-x 小时，所以学生从学校追上队伍走过的路程可以表示为441)41(5⨯--x ，所以可得方程.444
1)41(5x x =⨯-- 解 设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是x 小时，根据题意，得
x x 444
1)41(5=⨯-- 解这个方程，得 4
12=x ，所以学校到实习基地的路程是： 5.105.14
124=+⨯ 答：学校到实习基地的路程是10.5千米．
说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是x 千米，有兴趣的读者可以自己试一试．
例2 分析 可以进行不同的构思．比如：相遇问题、追及问题等．
解法一 补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？ 解答：设经x 小时两车相遇，根据题意，得 .403545++x x
解法二 补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车距乙地还有多远？
解答：设运货汽车距乙地还有x 千米，依题意得 .45
403540=-x 解法三 补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在距甲地多少千米处相遇？
解答：设两车在距甲地x 千米处相遇，依题意得 .45
40235x x -⨯= 请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程． 说明： 这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解．
例3 分析 （1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系．
1）从行驶时间角度考虑，有下列相等关系：
①乙从出发到相遇所行时间＝甲从出发到相遇所行时间－甲提前经过的时间；
②乙从出发到相遇所行时间＋甲提前经过的时间＝甲从出发到相遇所行时间；
③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程（两地距离）与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间．
2）从行驶路程角度考虑，有下列等量关系：
①甲行驶的路程＝全程一半－1.5千米；
②乙行驶的路程＝全程一半＋1.5千米．
（2）本题也可以通过间接设元法来找到答案．
甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系．根据本题特点，A 、B 两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系，我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题．
解法一 设A 、B 两地距离为2x 千米，依时间关系①，得
60
15125.1145.1--=+x x ， 即4
124322832--=+x x ， 两边乘以4，得16
32732--=+x x ， 去分母，得42)32(7)32(6--=+x x ，
解这个方程，得.812=x
答：A 、B 两地的距离为81千米．
为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程． 解法二 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系②，得
.12
5.16015145.1-=++x x 解法三 设A 、B 两地的距离为2x 千米，依时间关系③.14126015122145.1+⨯-=+x x 解法四 设乙出发x 小时后与甲相遇，则A 、B 两地相距)5.114(2-x 千米，
依路程关系①，得 .5.1145.1601512-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 解这个方程，得.3=x
81)5.1314(2)5.114(2=-⨯⨯=-x ，
答：A 、B 两地相距81千米．
解法五 设甲出发x 小时后与乙相遇，则A 、B 两地相距)5.112(2+x 千米，依路程关系②，得
5.1125.1601514+=-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯x x 解这个方程，得25.3=x ，
.81)5.125.312(2)5.112(2=+⨯=+x
说明： 这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异．。