中考动态几何问题探究

中考数学“动态几何探究”题型解析以三角形、四边形为背景的动态几何问题均以动态几何的形式来考查三角形、四边形的性质，判定，全等三角形、相似三角形的性质及判定，本节将对此类问题归类如下：一、在平面直角坐标系中探究【例题1】已知直线l 经过A（6,0）和B（0,12）两点，且与直线y = x 交于点C. （1）求直线l 的表达式；（2）若点P（x，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y = x 于点D，①求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；②S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值 .【解析】（1）设直线l 的表达式为y = kx + b , 用待定系数法求出k , b 的值即可；（2）①点C 是直线l 与y = x 的交点，从而可求得点C 的坐标 .根据三角形的面积公式及结合平行的性质，可求得S 与x 的函数关系式；②根据二次函数的性质，即可得到S 的最大值 .解：（1）设直线l 的表达式为y = kx + b ,由A（6,0）和B（0,12），得∴直线l 的表达式为y = -2x + 12 .（2）①∴点C 的坐标为（4,4），∴S△COP = 1/2 x ▪4 = 2x .∵PD∥直线l ,∴CD/OC = AP/OA .∵CD/OC = ( 1/2 h ×CD ) / ( 1/2 h ×OC ) = S / S△COP，∴S / S△COP = AP / OA , 即S / 2x = （6 - x）/ 6 ,∴△PCD 的面积S 与x 的函数关系式为S = -1/3 x^2 + 2x .②∵S = -1/3 （x - 3）^2 + 3 ,∴当S 最大时，x = 3 .【例题2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A , C 均在坐标轴上，且OA = 4 ,OC = 3 , 动点M 从点A 出发，以每秒1 个单位长度的速度，沿AO 向终点O 移动；动点N 从点C 出发沿CB 向终点B 以同样的速度移动，当两个动点运动了x 秒（0 < x < 4）时，过点N 作NP⊥BC 交OB 于点P，连接MP .（1）直接写出点B 的坐标，并求出点P 的坐标（用含x 的式子表示）；（2）当x 为何值时，△OMP 的面积最大？并求出最大值 .解：（1）在矩形OABC 中，OA = 4 , OC = 3 ,∴B 点的坐标为（4,3）.如图，延长NP 交OA 于点G，则PG∥AB，OG = CN = x . ∵PG∥AB，∴△OPG∽△OBA .∴PG / BA = OG / OA , 即PG / 3 = x / 4 ,解得PG = 3/4 x .∴点P 的坐标为（x , 3/4 x）.（2）设△OMP 的面积为S .在△OMP 中，OM = 4 - x , OM 边上的高为3/4 x，∴S 与x 之间的函数表达式为配方，得∴当x = 2 时，S 有最大值，最大值为3/2 .二、在几何图形中探究【例题3】如图，在矩形ABCD 中，AB = 3 米，BC = 4 米，动点P 以2 米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P , Q 两点同时移动的时间为t 秒（0 < t < 2.5）.（1）当t 为何值时，PQ∥AB；（2）设四边形ABQP 的面积为y , 当t 为何值时，y 的值最小？并求出这个最小值 .【解析】（1）首先由勾股定理求得AC = 5 米，然后根据AB∥PQ 可得到PC / AC = QC / BC , 从而得到关于t 的方程，从而可解得t 的值；（2）过点P 作PE⊥BC，由PE∥AB 可得到PC / AC = PE / AB ,从而可求得PE = 3 - 6/5 t , 然后根据y = S△ABC - S△PQC 列出t 与y 的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可 .解：（1）在Rt△ABC 中，由题意，得PC = AC - AP = 5 - 2t , QC = t .如图①，∵AB∥PQ , ∴△CPQ∽△CAB .∴PC / AC = QC / BC , 即（5 - 2t）/ 5 = t / 4 , 解得t = 20/13 .（2）如图②，过点P 作PE⊥BC 于点E .由（1）知，PC = 5 - 2t , QC = t ,∵PE∥AB，∴△CPE∽△CAB .∴PC / AC = PE / AB , 即（5 - 2t）/ 5 = PE / 3 . ∴PE = 3 - 6/5 t .∴当t = 5/4 时，y 的值最小，最小值为81/16 .【例题4】如图，在△ABC 中，∠C = 60°，BC = 4，AC = 2√3，点P 在BC 边上运动，PD∥AB，交AC 于D . 设BP 的长为x , △APD 的面积为y .（1）求AD 的长（用含x 的代数式表示）；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并回答当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）是否存在这样的点P，使得△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 ？若存在，请求出BP 的长；若不存在，请说明理由 .解：（1）∵PD∥AB，∴AD / AC = BP / BC .∵BC = 4 , AC = 2√3 , BP = x ,∴AD / 2√3 = x / 4 ,∴AD = √3/2 x .（2）过点P 作PE⊥AC 于E .∵sin∠ACB = PE / PC , ∠C = 60°，∴PE = PC ×sin60°= √3/2（4 - x ）.∴y 与x 之间的函数关系式为∴当x = 2 时，y 的值最大，最大值是3/2 . （3）存在这样的点P .∵△ADP 与△ABP 等高不等底，∴S△ADP / S△ABP = DP / AB .∵△ADP 的面积是△ABP 面积的2/3 , ∴S△ADP / S△ABP = 2/3 ，∴DP / AB = 2/3 .∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB .∴DP / AB = CP / CB ,∴CP / CB = 2/3 .∴（4 - x）/ 4 = 2/3 ,∴x = 4/3 ,∴BP = 4/3 .。

解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀动 中求 静 , 动 静 互化中考动态几何问题解题思路初探◉江苏省苏州市高新区实验初级中学㊀袁㊀媛㊀㊀摘要:在初中平面几何的学习中,要运用运动变化的思路研究图形,让静止的几何图形 动 起来,化抽象为具体,让变化的图形形象直观地揭示出恒定不变的几何规律,把相关的知识点串联起来,这样有助于提高分析问题和解决问题的能力．本文中结合中考试题,对常见的动态几何类题型的解题思路与方法进行了初步探索．关键词: 动 静 转化;动 点 类问题;动 线 类问题;动 图 类问题㊀㊀马克思主义哲学告诉我们,运动是绝对的,静止是相对的．在几何的学习过程中,我们发现 静 只是 动 的瞬间,是运动的一种特殊形式, 动 与 静 是可以相互转化的．如果能让静止的几何图形 动 起来,就可以帮助学生加深对图形概念的准确理解,探索图形的性质．教师可以用动态图形创设富有启发性的教学情境,引发学生对问题的讨论与思考;还可以通过动态图形让学生体验数学实验成功的乐趣．更重要的是,动态的几何图形能够把与几何㊁代数相关的知识联系起来,其中蕴含着动静结合㊁数形结合的思想方法,能够在运动变化中发展学生的空间想象能力,不断提高学生综合分析㊁解决问题的能力．在初中几何教学中,与动态图形有关的问题主要有以下几类．１动点 类问题动点问题是中考数学中最常见的题型,涉及面非常广泛．解决动点类问题的思路是化动为静,以相对静止的瞬间去寻求量与量之间的关系．图１例１㊀(２０２２年江苏省苏州市中考第１６题)如图１,在矩形A B C D中,A B B C ＝２３．动点M 从点A 出发,沿边A D 向点D 匀速运动,动点N从点B 出发,沿边B C 向点C 匀速运动,连接MN ．动点M ,N 同时出发,点M 运动的速度为v １,点N 运动的速度为v ２,且v １＜v ２．当点N 到达点C 时,M ,N 两点同时停止运动．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好与C D 的中点重合,则v １v ２的值为．图２解析:如图２所示,在矩形A B C D中,设A B ＝２a ,B C ＝３a ,运动时间为t ,则C D ＝A B ＝２a ,A D ＝B C ＝３a ,B N ＝v ２t ,AM ＝v １t ．在运动过程中,将四边形M A B N 沿MN 翻折,得到四边形M A ᶄB ᶄN ,所以B ᶄN ＝B N ＝v ２t ,A ᶄM ＝AM ＝v １t ．若在某一时刻,点B 的对应点B ᶄ恰好在C D 的中点重合,则D B ᶄ＝B ᶄC ＝a ．在R t әB ᶄC N 中,øC ＝９０ʎ,B ᶄC ＝a ,B ᶄN ＝v ２t ,C N ＝３a －v ２t ,则v ２t ＝５３a ＝B N ．因为øA ᶄB ᶄN ＝øB ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ．又øC N B ᶄ＋øC B ᶄN ＝９０ʎ,所以øA ᶄB ᶄD ＝øC N B ᶄ,故әE D B ᶄʐәB ᶄC N ．因此,D E D B ᶄ＝B ᶄC C N ＝B ᶄCB C －B N＝a ３a －５３a＝３４,可得D E ＝３４D B ᶄ＝３４a ,则B ᶄE ＝D B ᶄ２＋D E ２＝５４a ,于是A ᶄE ＝A ᶄB ᶄ－B ᶄE ＝３４a ,即D E ＝３４a ＝A ᶄE ．在әA ᶄE M 和әD E B ᶄ中,øA ᶄ＝øD ＝９０ʎ,A ᶄE ＝D E ,øA ᶄE M ＝øD E B ᶄ,ìîíïïï所以әA ᶄE M ɸәD E B ᶄ(A S A ),则A ᶄM ＝B ᶄD ＝a ,即A M ＝v １t ＝a ．所以v １v ２＝v １t v ２t ＝A M B N ＝a ５３a ＝３５．思路与方法:本题考查矩形背景下的动点问题,通过动态图形,将矩形的性质㊁对称性质㊁中点性质㊁三角形相似㊁全等的判定与性质㊁勾股定理及翻折的２７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀运动形式等知识点联系起来．熟练掌握相关性质及三角形全等的判定定理,利用翻折及中点性质,根据三角形全等的性质求出相应线段的长是解题的重要方法．２动线 类问题动线类问题的特点很明显,动线在运动过程中可能会出现多种情况,尽管情况不同,但解题的思路是一致的,那就是 以静制动 ,通过特殊的静止状态去寻找量之间的关系．图３例２㊀(２０２２年江苏省盐城市中考第１４题)如图３,在矩形A B C D 中,A B ＝２B C ＝２,将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,使得点B 落在边C D 上的点B ᶄ处,线段A B 扫过的面积为．解析:由A B ＝２B C ＝２,得B C ＝１,所以A D ＝B C ＝１．因为将线段A B 绕点A 按逆时针方向旋转,所以A B ᶄ＝A B ＝２．因为c o s øD A B ᶄ＝A D A B ᶄ＝１２,所以øD A B ᶄ＝６０ʎ,则øB A B ᶄ＝３０ʎ．故线段A B 扫过的面积为３０ˑπˑ２２３６０＝π３．思路与方法:首先由动线A B 旋转的性质可得A B ᶄ＝A B ＝２,再由锐角三角函数可求出øD A B ᶄ＝６０ʎ,进而求出øB A B ᶄ,最后根据扇形面积公式即可获解．本题考查了旋转的性质㊁矩形的性质㊁扇形的面积公式㊁锐角三角函数等相关知识点．会观察和分析动态图形,灵活运用相关性质是解题的关键．３动图 类问题动图类问题常常结合图形的平移㊁旋转㊁翻折等变换,提出相关问题．解题的思路主要是从寻找图形运动的特殊情况中打开,进而灵活运用相关几何知识(如平行四边形的性质㊁切线的性质㊁圆的有关知识㊁锐角三角函数㊁直角三角形等)解决问题．例３㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第１８题)在әA B C 中,A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,点D 在A C 上,且A D ＝２２,E 是射线A B 上一动点,连接E D 并将E D 绕着点E 旋转６０ʎ得线段E F ,当点F 恰好落在直线A C 上时,可求得A E 的长等于．解析:第一种情况．当E D 顺时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图４,过点E 作E M ʅA C 于点M．因为图４A B ＝B C ＝６,øA B C ＝９０ʎ,所以әA B C 是等腰直角三角形,于是øA ＝４５ʎ．根据旋转的性质,可得øD E F ＝６０ʎ,E F ＝E D ,所以әD E F 是等边三角形,故øD E M ＝３０ʎ．设DM ＝x ,则D E ＝２x ,AM ＝２２＋x ．因为øA ＝４５ʎ,E M ʅA C ,所以әA E M 是等腰直角三角形,故M E ＝AM ＝２２＋x ．在R tәD E M 中,根据勾股定理,可得x ２＋(２２＋x )２＝(２x )２,解得x ＝２＋６,或x ＝２－６(舍)．所以M E ＝AM ＝２２＋x ＝３２＋６．在әA M E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２A M ＝６＋２３．图５第二种情况:当E D 逆时针旋转６０ʎ得到E F 时,如图５,作E M ʅA C 交A C 于点M ．根据第一种情况,同理可设DM ＝x ,则有D E ＝２x ,AM ＝２２－x ．在әD E M 中,由勾股定理可得M E ＝３x ,所以３x ＝２２－x ,解得x ＝６－２．故M E ＝A M ＝３２－６．在әAM E 中,根据勾股定理,可得A E ＝２AM ＝６－２３．综合上述两种情况,A E 的长为６ʃ２３．思路与方法:首先要考虑到图形顺㊁逆两种旋转情况,根据旋转的性质可知әD E F 是等边三角形,过点E 作E M ʅA C ,又可证得әA E M 是等腰直角三角形,再设DM ＝x ,利用勾股定理便可求出x 的值,最后利用勾股定理即可求出A E 的长度．本题考查了图形旋转的性质㊁等边三角形的判定与性质㊁勾股定理等知识点．能够根据题意,按照E D 顺时针旋转与逆时针旋转两种情况,分别画出动态图形进行分类解析是解题的关键．综上所述,解决动态几何问题的基本思路是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在 动 中求 静 ,在 静 中探求 动 的普遍规律．在具体解题过程中,要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,找出其中的等量关系和变量关系,并要特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系．在解答动态几何类题型时,经常要用到数形结合思想㊁分类思想㊁转化思想和方程思想等重要的思想方法．Z３７。

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课 或 试 卷 讲评 课 也 是 常 见 的 重要 课 型 。
１做 好 试 卷 的 统 计 工 作 。 （） 考 试 结 果 的统 ． １
计 — — 最 高 分 、 最 低 分 、 平 均 分 、 及 格 率 、 Ａ等
中考 “ 动态几何”
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六、调整心态 ，树立信心
１在 学 习 方 法 方 面 的 一 些 建 议 。 （ ） 学 生 ． １
完 成 课 外 作 业 时 ， 其 最 先 完 成 的题 其 实 不 必 去
做 ， 只 须 知 道 解 题 思 路 就 行 ，而 做 得 并 不 轻 松 的 题 倒 是 他 们 最 应 该 认 真 思 考 的 。 他 们 根 本 不 会 做 的 题 目 ， 必 须 理 解 题 意 ， 等 教 师 讲 解 。 这
习 也 要 会 休 息 ，只 有 精 力 充 沛 ， 用 脑 的 效 率 才 会 高 ，复 习才 会 取 得 好 效 果 。
２在 做 题 方 面 ， “ ” 字 尤 为 重 要 。 只 有 ． 准
更适 合 于 考 查 不 同 学 生 的数 学 学 习水平 。
２０ ０ ７年 部 分省 、 市动 态 几何 类 问题 分 布 、 赋 分 分析
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惠安科 山中学 曾炳文
“ 态 几何 ” 动 问题 通 过 操作 、 验 、 察 、 测 、 实 观 猜 思
考、 流 、 索 、 现、 证等 一系列数学活动 ， 透数 交 探 发 验 渗 形 结合 、 化 化 归 、 数 方程 、 类讨 论等 数 学 思 想 ， 转 函 分 内 容 丰 富 、 法 灵 活 ， 有 开 放 性 ， 培 养 学 生 的 动 手 能 解 具 对 力 、 间 观 念和 几 何 变 换 思 想 有 较 大 帮助 。 面 以近年 空 下

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。