高二数学北师大选修同步精练：第二章 平摆线和渐开线

2.4 平摆线和渐开线1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点)教材整理1 平摆线及其参数方程1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线.2.设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(－∞<α<＋∞).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.2.设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ是参数).关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号). ①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形；③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同. 【解析】 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.【答案】 ③预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：. 【精彩点拨】 定点，―→滚动圆的半径―→平摆线的参数方程【自主解答】 令r (1－cos α)＝0，可得cos α＝1. ∴α＝2k π(k ∈Z )，∴x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又由题意可知，r 是圆的半径，故r ＞0. ∴应有k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋. ∴所求平摆线的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πα－sin α，y＝12k π－cos α(α为参数，k ∈N ＋).根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r－cos α(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.1.平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π，∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2).故选A. 【答案】 AA ，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离.【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出.【自主解答】 由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数).当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1. 当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋＋2＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数).根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.【导学号：12990031】【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4).【答案】 4 (2π，4)1.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ) A.①③ B.②④ C.②③D.①③④【解析】 结合圆的渐开线的知识可知②③正确. 【答案】 C2.当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ上的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6，－12π)D.(－π，12π)【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程. ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C3.半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12πD.14π【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数).把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z ).故应选C.【答案】 C4.已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________.【解析】 圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.【答案】 35.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程.【导学号：12990032】【解】 令y ＝0， 可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝r (α－sin α)， 得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z ).又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z ). 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πα－sin α，y＝1π－cos α(α为参数).我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。

第二讲 第四节 摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)解析： 当φ＝2π时，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π＋2πsin2π＝6y ＝π－2πcos2π＝－12π，故点(6，－12π)为所求． 答案： C2．已知一个圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝π2对应的点的坐标与点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2) D ．3π23，那么其对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧φφ，＝－，把φ＝π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，代入距离公式，可得距离为⎫3π－＝10.答案： C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析： 本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案： C4. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …中做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6解析： 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出某渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.解析： 本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)进行对照可知，这里的r ＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝π2分别代入x 和y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3，即得对应的点的坐标．答案： 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，36．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析： 根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(6，3，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案： 12 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程．解析： (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)， 它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析： 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 的半径为2，圆周上有一点A ，当圆C 沿直线l 滚动时， (1)求CA 中点的轨迹方程；(2)若在CA 的延长线上取点Q ，使|AQ |＝|CA |，求Q 的轨迹方程．解析： (1)以直线l 为x 轴，点A 落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C 转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A 的轨迹是平摆线，此时A 点坐标为(2θ－2sin θ，2－2cos θ)，设CA 中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12θ＋2θ－2sin θy＝12＋2－2cos θ即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2θ－sin θy ＝2－cos θ，为P 点的轨迹方程．(2)设点Q 的坐标为(x ，y )． ∵|AQ |＝|CA |，∴A 为CQ 的中点，故有⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝2x A －x Cy Q ＝2y A －y C∴⎩⎪⎨⎪⎧x Q ＝4θ－4sin θ－2θ＝2θ－4sin θy Q ＝4－4cos θ－2＝2－4cos θ，为Q 点的轨迹方程．。

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2.4 平摆线和渐开线教学目的：知识目标：了解圆的渐开线的参数方程， 了解摆线的生成过程及它的参数方程；能力目标:学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤。

教学重点: 圆的渐开线的参数方程，摆线的生成过程及它的参数方程。

教学难点: 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.授课类型：新授课教学模式：讲练结合,启发、诱导发现教学．教 具：多媒体、实物投影仪教学过程:一、探究引入:把一支没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧，保持绳子与园相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？［］二、讲解新课:1、以基圆圆心O 为原点，直线ＯA 为x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (ϕ为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中,取定直线为x 轴，定点Ｍ滚动时落在直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）例１求半径为4的圆的渐开线参数方程。