第一章 地基模型

{s} = [ f ]{R}
或：
[ K s ] ⋅ {s} = {R}
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一、柔度矩阵和刚度矩阵的概念（续）
式中：[f]为地基柔度矩阵， [Ks]为地基刚度矩阵， [Ks]＝[f]-1 ，他们反映了不同的地基模型在外力作 用下基础底面土体的位移特征。 柔度矩阵[f]中的柔度系数fij是指在j网格处作用单 位集中力，而在 i网格的中点引起的变形；当 i=j 时，其为单位集中力在本网格中点产生的变形。 地基模型不同， 结点分布位置不同， 则柔度系数fij 的计算方法和结果也不同。地基柔度矩阵[f] 和地基 刚度矩阵[Ks] 反映了不同的地基模型在外力作用下 基础底面土体的位移特征。
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三、弹性半空间地基模型（续）
优点：基底各点的沉降不但可以考虑作用于该点
的作用力的贡献，而且考虑了其余各点上作用力 的作用，具有扩散应力和变形的优点。
缺点：无法考虑地基土非均质和分层对变形的影
响，而且地基压缩层的厚度有限，且模量常随深 度增加，因此其对应力和变形的扩散能力超过实 际情况，计算基础沉降和基础内力偏大。
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缺点：
¾ 忽略了应力路径和剪胀性的影响 ¾通过调整弹性参数来近似考虑塑性变形，当加载 条件较为复杂时，非线性弹性地基模型的计算结 果往往与实际情况不符 ¾ 不适用于高应力水平
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第四节 地基的柔度矩阵和刚度矩阵
一、柔度矩阵和刚度矩阵的概念
把整个地基上的荷载面积 划分为 m 个矩形网格，在 任意网格j的中点作用着集 中荷载 Rj ，整个荷载面积 反力列向量{R}和位移列向 量{s}的关系如下:
模型特点：地基变形只发生在基底范围内，基底范围外
地基变形为零；基底反力分布图形与位移图形相似，相似 系数就是基床系数k。 6
二、文克勒地基模型（续）
基床系数k的确定：根据宽305mm正方形荷载板试验
p~s曲线，由下式计算基床系数kp为
p 2 − p1 kp = s 2 − s1
式中： p2和p1分别为基底处的计算压力和土的自重压力。 注意： 由于基床系数不是一个常数，除了与地基土的性 质有关外，通常与基础底面积的大小与性状、基础埋置深 度、基础刚度以及荷载作用时间等因素有关。由上式计算 的基床系数一般不能直接用 于实 际计算（若B1不小于 707mm，可以直接进行实际计算），需进行基础大小、形 状和埋深修正。
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二、文克勒地基模型（续）
基床系数k的确定：也可由三轴试验、固结试验等测
定，当试验资料缺乏时，可以根据土性由下表优点：模型简单，参数最少，应用方便，具有一
系列可直接使用的解析解。
缺点：忽略了地基中剪应力，无法考虑地基中的
应力扩散，地基变形只能发生在基底范围内与实 际不符；同一压力下基床系数不是常数，而是与 地基土性质、基础形状、大小和埋深等因素有关。
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二、地基模型的选择
1 对于无粘性土，特别是基础刚度较小且又有局部（集 中）荷载时，可考虑采用文可勒模型； 2 对于基础埋深较大且土又比较密实的无粘性土，除可 采用基床系数经深度修正的文克勒模型外，也可采用采 用分层地基模型； 3 当基础刚度较大时，即使是无粘性土也不宜采用文克 勒模型； 4 对于粘性土，一般可采用弹性半空间地基模型或分层 地基模型，特别是有一定刚度、地基应力水平不高、塑 性区开展不大时； 5 对于粘性土，当塑性区开展较大，或是薄压缩层地基 时，也可采用文克勒地基模型； 26
(
)
式中：E0为地基土变形模量（kPa）
μ为地基土泊松比
Fii为积分后得到的系数
2 2 ⎧ ⎡ ⎤⎫ ⎤ a ⎪ ⎛ b ⎞ b ⎡a a⎞ a⎞ ⎪ ⎛ ⎛ Fii = 2 ⎨ln⎜ ⎟ + ln ⎢ + ⎜ ⎟ + 1⎥ + ln ⎢1 + ⎜ ⎟ + 1⎥ ⎬ b ⎪ ⎝ a ⎠ a ⎢b ⎢ ⎥⎪ ⎥ ⎝b⎠ ⎝b⎠ ⎣ ⎦⎭ ⎣ ⎦ ⎩
缺点：侧限条件，仍为弹性模型，无法考虑土的
非线性和过大的地基反力引起地基土的塑性变形。
适用范围：可用于应力水平不高、塑性区开展范
围不大的地基。目前在工程中应用最为广泛。
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第三节 非线性弹性地基模型
与线性弹性模型的根本区别是该模型允许土的弹 性模量和泊松比随应力水平发生变化。 目前应用最为广泛的非线性弹性地基模型是邓肯 －张模型，其假设常规三轴试验条件下土的加载 和卸载应力－应变曲线为双曲线：
当i≠j时有：sij＝0。 写成矩阵有： 式中：柔度系数
1 (i = j ), fij = 0(i ≠ j ) fii = ki ab
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三、弹性半空间地基模型的柔度矩阵
若地基上作用着矩形均布荷载p，把荷载面积划分 成m个矩形网格，若在j网格中点作用集中力Rj，各 个网格面积Fj，则其柔度系数fij为：
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泊松比μ 假设轴向应变与侧向应变遵从双曲线关系：
ε1 =
f + dε 3
ε3
ε 3 → 0,
f =
1
μi
ε 3 →∝, d =
1
ε1
μi─初始切线模量； ε1─偏应力的极限值
同理推导可得切线泊松比μ ：
其中：
邓肯张模型共8个试验常数，可用常规三轴试验获得
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优点：
¾ 在荷载不太大的条件下(即不太接近破坏的条件 下）可以有效地模拟土的非线性应力应变； ¾ 是非线性弹性地基模型，在计算中要采用增量 法，能用于建筑与地基基础共同作用的研究，并获 得与实际比较相符的结果， ¾ 模型是建立在广义虎克定律的弹性理论基础上 的，所用参数物理意义明确，只需常规三轴试验即 可获得，适用土类较广，使用方便，成为最为普及 的土体本构模型之一。
σ1 − σ 3 =
a + bε 1
ε1
ε 1 → 0, a =
1 1 ε 1 →∝, b = Ei (σ 1 − σ 3 )ult
Ei─初始切线模量；
(σ 1 − σ 3 )ult ─偏应力的极限值 ε 1
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切线模量Et 邓肯-张通过对双曲线函数取偏导，结合摩尔库伦强 度准则，得到地基中任一点的切线模量Et公式：
2c cos ϕ + 2σ 3 sin ϕ 1 − sin ϕ
n
⎛σ3 ⎞ Ei = Kpa ⎜ ⎟ ⎜p ⎟ a ⎝ ⎠
⎛ σ3 ⎞ Et = Kpa ⎜ ⎜p ⎟ ⎟ ⎝ a⎠
n
⎡ R f (1 − sin ϕ )(σ 1 − σ 3 ) ⎤ ⎢1 − ⎥ 2 c cos ϕ + 2 σ sin ϕ 3 ⎣ ⎦ 16
适用范围：可用于应力水平不高、塑性区开展范
围不大的相对均匀的粘性土地基，目前实际工程 中已很少直接采用此模型计算沉降。
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四、分层地基模型-分层总和法
基本假定：将地基看成是均质、各向同性的线弹性半无
限体来计算地基中的附加应力，而由分层总和法计算地 基变形，即假设地基最终沉降等于压缩层范围内各计算 分层在完全侧限条件下的压缩量之和：
二、地基模型的分类
文克勒地基模型 线性弹性 地基模型 弹性半空间地基模型 分层地基模型 邓肯－张双曲线模型 非线性弹性 地基模型 K－G模型 沈珠江模型 弹塑性模型（摩尔-库仑模型、DP模型）、粘弹性 模型、粘弹塑性模型
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第二节 线性弹性地基模型
一、概述
基本假定：地基土应力应变为直线关系，可用广
s=∑
i =1
n
σ zi
E si
Hi
式中：Esi为基底下第i分层土对 应p1i~p2i段的的压缩模量(kPa) Hi为的i分层土的厚度。 13
四、分层地基模型（续）
优点： 能较好地反映地基土扩散应力和变形的能
力，能较容易地考虑土层的有限压缩层深度、非 均质性沿深度的变化和土层的分层，比较符合实 际情况。
义虎克定律表示： {σ } ＝ [D e ]{ ε}
式中： {σ }＝{σ x
σ y σ z τ xy τ yz τ zx }T
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 − 2ν ⎥ ⎥ 2 ⎦
{ε }＝{ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx }T
⎡1 − ν ⎢ν (1 − ν ) ⎢ ⎢ν (1 − ν ) ν ⎢ 1 − 2ν ⎢0 E 0 0 [De ] = 2 (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ ⎢ ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 0 ⎢0 ⎣
P 1 −ν 2 s= πE0 r
(
)
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三、弹性半空间地基模型（续）
（2）均布荷载p作用下矩形面积的中点竖向位移
由集中荷载作用下的布西奈斯克公式积分后可得：
s0 = 2 ∫ 2 ∫
a 2 0 b 2 0
P dζ dη 1 − ν 2 ab πE0 ⋅ ζ 2 + η 2
(
)
P 1 −ν 2 = ⋅ Fii πE0 a
由于地基土的复杂性，目前尚不存在对所有土体都适用的地 基模型，现有地基模型均有其局限性，因此根据实际情况合 理选择地基模型及参数是地基基础设计中的一个关键问题。 ¾选择地基模型需考虑建筑物荷载大小、地基性质以及地基 承载力的大小。 ¾ 所选用的地基模型应尽可能准确地反映土体在受到外力 作用时的主要力学性状。 ¾ 所选用的地基模型应便于利用已有的数学方法和计算手 3 段进行分析。
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二、文可勒地基模型的柔度矩阵
若地基上作用着矩形均布荷载p，把荷载面积划分 成m个矩形网格，若在j网格中点作用集中力Rj，则 在j网格，即当i=j时有：
pii = k ii sii
或：
s ii = 1 Ri k i ab
⎡ 1 ⎧s1 ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ k1 ab ⎪ ⎪ ⎢ 1 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪s 2 ⎪ k 2 ab ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪M ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎭ ⎢ ⎩s m ⎪ ⎣ ⎤ ⎥ ⎧ R1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R2 ⎪ ⎥⎪ ⎬ ⎨ ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ O ⎥⎪ M ⎪ 1 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ Rm ⎪ k m ab ⎥ ⎦ 0