5.7哈密顿原理作业

例4-1 图4-1所示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。

已知圆盘质量为m ，槽的半径为R 。

试用哈密顿原理建立系统的运动方程。

解：若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为222])[(21ϕθ A I r R m T 1+-=(a)其中，ϕ为圆盘的角速度，I A = mr 2/2是圆盘对质心的转动惯量。

圆盘作不滑动的滚动时，存在有)(r R r -=θϕ(b)由此，得到θϕrr R -= (c)将式(c)代入式(a)，得到22243θ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r R mr T (d)而系统的位能2)(21)cos 1)((θθr R mg r R mg -≈--=∏ (e)将T 与∏代入变分式0d )(δδ21=∏-=⎰t T I t t中，得到d δ)(d δ)23-δ)(23d δ)(δ23d )(2143δ212121212122222222=----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰t r R mg t r m(R r R m tr R mg r r R mr t r R mg r r R mr t t t t t t t t t t θθθθθθθθθθθθ (f)由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求δθ = 0，所以，式(f)满足时，必有0)()(232=-+-θθr R mg r R m (g)式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。

例4-2 图4-2所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k ，摆的质量为m ，摆长为l解：（1）选择x 及θ 为广义坐标。

（2）动能及势能动能：22])sin [(21])cos ([21θθθθ l m l xm T ++= (a) 势能：)cos 1(212θ-+=mgl kx V (b) （3）广义外力为零本例题中广义外力。

（4）运动方程将式(a)与式(b)代入式(4-21)，得到0sin sin cos 0sin cos 222=+-+=+-+θθθθθθθθθmg x ml ml xml kx ml ml xm(c)这就是摆的运动方程。

第五章习题解答5.1解如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。

杆的自由度为1，由平衡条件：即mg y =0①变换方程y=2rcos sin-= rsin2②故③代回①式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0④又由于cos=故cos2=代回④式得5.2解如题5.2.1图三球受理想约束，球的位置可以由确定，自由度数为1，故。

得由虚功原理故①因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须故②又由得：③由②③可得5.3解如题5.3.1图，在相距2a的两钉处约束反力垂直于虚位移，为理想约束。

去掉绳代之以力T，且视为主动力后采用虚功原理，一确定便可确定ABCD的位置。

因此自由度数为1。

选为广义坐。

由虚功原理：w①又取变分得代入①式得：化简得②设因在约束条件下任意，欲使上式成立，须有：由此得5.4解自由度，质点位置为。

由①由已知得故②约束方程③联立②③可求得或又由于故或5.5解如题5.5.1图按题意仅重力作用，为保守系。

因为已知，故可认为自由度为1.选广义坐标，在球面坐标系中，质点的动能：由于所以又由于故取Ox为零势，体系势能为：故力学体系的拉氏函数为：5.6解如题5.6.1图.平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程①在广义力代入①得：②在极坐标系下：③故将以上各式代入②式得5.7解如题5.7.1图又由于所以①取坐标原点为零势面②拉氏函数③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得5.8解：如图5.8.1图.(1)由于细管以匀角速转动，因此=可以认为质点的自由度为1.(2)取广义坐标.(3)根据极坐标系中的动能取初始水平面为零势能面，势能:拉氏函数①(4)，代入拉氏方程得：(5)先求齐次方程的解.②特解为故①式的通解为③在时：④⑤联立④⑤得将代回式③可得方程的解为：5.9解如题5.9.1图.（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2. （2）选广义坐标，.（3）在柱坐标系中：以面为零势能面，则：拉氏函数-①（4）因为不显含，所以为循环坐标，即常数②对另一广义坐标代入保守系拉氏方程③有得④所以此质点的运动微分方程为（为常数）所以5.10解如题5.10.1图.（1）体系自由度数为2.（2）选广义坐标（3）质点的速度劈的速度故体系动能以面为零势面，体系势能：其中为劈势能.拉氏函数①（4）代入拉格郎日方程得：②代入拉格郎日方程得③联立②，③得5.11 解如题5.11.1图（1）本系统内虽有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有约束的平面平行运动，自由度（2）选取广义坐标（3）根据刚体力学其中绕质心转动惯量选为零势面，体系势能：其中C为常数.拉氏函数(4)代入保守系拉氏方程得：对于物体，有5.12解如题5.12.1图.（1）棒作平面运动，一个约束，故自由度. （2）选广义坐标（3）力学体系的动能根据运动合成又故设为绕质心的回转半径，代入①得动能②（4）由③（其中）则④因为、在约束条件下任意且独立，要使上式成立，必须：⑤（5）代入一般形式的拉氏方程得：⑥又代入一般形式的拉氏方程得：⑦⑥、⑦两式为运动微分方程（6）若摆动角很小，则，代入式得：，代入⑥⑦式得：⑧又故代入⑧式得：（因为角很小，故可略去项）5.13解如题5.13.1图(1)由于曲柄长度固定，自由度.(2)选广义坐标，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：①(3)系统动能②（4）由定义式③（5）代入①得：得5.14.解如题5.14.1图.（1）因体系作平面平行运动，一个约束方程：(2)体系自由度，选广义坐标.虽有摩擦，但不做功，为保守体系（3）体系动能：轮平动动能轮质心转动动能轮质心动能轮绕质心转动动能.①以地面为零势面，体系势能则保守系的拉氏函数②(1)因为不显含，得知为循环坐标.故=常数③开始时：则代入得又时，所以5.15解如题5.15.1图（1）本系统作平面平行运动，干限制在球壳内运动，自由度；选广义坐标，体系摩擦力不做功，为保守力系，故可用保守系拉氏方程证明①（2）体系动能=球壳质心动能+球壳转动动能+杆质心动能+杆绕中心转动动能②其中代入②得以地面为零势面，则势能：（其中为常数）(3)因为是循环坐标，故常熟③而代入①式得④联立③、④可得（先由③式两边求导，再与④式联立）⑤⑤试乘并积分得：又由于当5.16解如题图5.16.1.（1）由已知条件可得系统自由度.（2）取广义坐标.（3）根据刚体力学，体系动能：①又将以上各式代入①式得：设原点为零势能点，所以体系势能体系的拉氏函数②(1)因为体系只有重力势能做工，因而为保守系，故可采用③代入③式得即（5）解方程得5.17解如题5.17.1图（1）由题设知系统动能①取轴为势能零点，系统势能拉氏函数②（2）体系只有重力做功，为保守系，故可采用保守系拉氏方程.代入拉氏方程得：又代入上式得即③同理又代入上式得④令代入③④式得：欲使有非零解，则须有解得周期5.18解如题5.18.1图（1）系统自由度（2）取广义坐标广义速度（3）因为是微震动，体系动能：以为势能零点，体系势能拉氏函数（4）即①同理②同理③设代入①②③式得欲使有非零解，必须解之又故可得周期5.19解如题5.19.1图（1）体系自由度（2）取广义坐标广义速度（3）体系动能体系势能体系的拉氏函数（4）体系中只有弹力做功，体系为保守系，可用①将以上各式代入①式得：②先求齐次方程③设代入③式得要使有非零，必须即又故通解为：其中又存在特解有②③式可得式中及为积分常数。

第5章哈密顿原理如前所述，力学的变分原理的实质是:将真实运动与可能发生的运动加以比较，建立判别准则以区分真实运动和可能的运动.哈密顿原理是通过真实运动与可能的运动在位形空间的位形轨迹加以比较,而哈密顿作用量S 是对不同的位形轨线取不同值的泛函,从而得到对真实运动来讲,哈密顿作用量的变分等于零.将拉格朗日方程引人哈密顿函数，导出哈密顿正则方程；给出了一种对偶的数学体系，开拓了应用前景；由动力学普遍方程对时间积分，导出一个重要的力学变分原理——哈密顿原理，提出了将真实运动与同样条件下的可能运动区分开来的准则；对于有限过程,提供了一种动力学问题的直接近似解法.5。

1 哈密顿正则方程哈密顿正则方程是分析力学中又一个重要的力学方程，它与拉格朗日方程等价，是2n 个一阶常微分方程组。

我们知道，对于一个质点系统,在建立拉格朗日方程后,重要的问题是研究这个微分方程组的积分,但是求解往往是很困难的。

哈密顿正则方程的重要性在于它将n 个二阶微分方程变换为2n 个一阶方程，而且结构对称、简洁，为正则积分理论创造了有利条件。

若是说拉格朗日方程对分析力学起着开拓性作用,则哈密顿正则方程对分析力学中的积分理论起着基础的和推动的作用.哈密顿正则方程的重要性还在于在许多理论的定性研究中,并不需要求解微分方程组，而是将二阶微分方程变换为二个一阶方程并应用几何方法求解。

5.1。

1 正则方程的建立对于主动力均有势的k 个自由度的完整约束系统，其拉格朗日方程为),,2,1(0d d k j q L q L t j j ==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5—1）引入广义动量),,2,1(k j qL p j j =∂∂=(5—2）代入式（5—1）,有),,2,1(k j q Lpjj =∂∂=（5-3)设拉格朗日函数L 满足条件0det 2≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂k j q q L 于是，可由式(5-2）反解出),,2,1(),,,,,,(11k j t p p q q f q k k j j ==(5-4）式（5—3）和式（5—4）就把方程（5-1）由k 个二阶微分方程化为2k 个一阶微分方程，其中方程组（5-4)并非正则形式.引入哈密顿函数),,(1),,(t p q f q j j k j j j j j j j L q p t p q H ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∑(5-5）按照Legendre 变换规则，将j q变换成),,2,1(k j p j =,而q i 和t 仍然保持不变,则有 jj p Hq∂∂= （5-6） ),,2,1(k j q Hq L jj =∂∂-=∂∂(5—7）tHt L ∂∂-=∂∂ （5-8)将式(5-7)代入式(5—3),并与式（5—6)联立,得),,2,1(,k j q H pp H q jj j j =∂∂-=∂∂= （5-9)这就是哈密顿正则方程，是以广义坐标和广义动量为独立变量的2k 个一阶常微分方程。

哈密顿原理的应用解题步骤
分析约束,确定自由度
选好广义坐标
写出系统的
T,V,L
代入
∫
∫
=
+
−
=
=
=
2
1
2
1
)
(
t
t
t
t
dt
q
P
H
s
Ldt
s
α
α
δ
δ
δ
δ
&
或者
x
一半径为r,质量为m的实心圆柱体在一半径为R的大圆柱体内表面作纯滚动,试用哈密顿正原理求其在平衡位置附近作o
4 L
=
2 t
sδ
2
3m
2−
板.设所有接触处均无滑动,今以一水平恒力F
拉板,试用哈密蹲原理求板的加速度.
取如图所示x为广义坐标
T
∫=2
Ldt
s δδ
=
1
t
=
2 t
1
4
3
解:
t δ
mr θδθ
θδθθ&&&&22mr r mr −−
δ
∫= 1[(
t
中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.
0v 自由度数
取如图所示,(θy demonstration
θθ
B
t δ
δ
1
1
S t δ。

哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中一种非常重要的原理，它由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出，被广泛应用于物理学和工程学的各个领域。

哈密顿原理描述了一个系统的运动方程，它可以通过变分原理来推导出系统的运动方程，是经典力学中最重要的原理之一。

在哈密顿原理中，我们首先需要引入拉格朗日函数。

拉格朗日函数是描述系统动力学行为的一个函数，它通常由系统的动能和势能构成。

然后，我们定义哈密顿量，它是系统的总能量函数，可以用拉格朗日函数通过勒让德变换得到。

接下来，我们引入广义坐标和广义动量，它们是描述系统运动状态的变量。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到哈密顿原理的表达式。

哈密顿原理的本质是要使系统的作用量取极值。

作用量是描述系统在一段时间内的积累效应，它是系统运动的一个重要量。

根据变分原理，我们要使系统的作用量对于任意的变分都取极值，从而得到系统的运动方程。

这就是哈密顿原理的核心思想。

哈密顿原理在物理学中有着广泛的应用。

在经典力学中，我们可以用哈密顿原理来推导出系统的运动方程，比如著名的哈密顿正则方程。

在量子力学中，哈密顿原理也有着重要的地位，它可以用来描述量子系统的演化。

此外，在光学、流体力学、电磁学等领域，哈密顿原理也都有着重要的应用。

除了在物理学中的应用，哈密顿原理在工程学中也有着重要的地位。

在控制理论中，我们可以用哈密顿原理来设计系统的最优控制律，从而实现系统的最优控制。

在航天航空领域，哈密顿原理也可以用来分析飞行器的轨迹和姿态控制。

总之，哈密顿原理作为经典力学中的重要原理，不仅在物理学中有着广泛的应用，而且在工程学中也有着重要的地位。

它通过变分原理描述了系统的运动方程，是经典力学中不可或缺的一部分。

通过深入学习和理解哈密顿原理，我们可以更好地理解物理学和工程学中的许多现象，为实际问题的分析和解决提供重要的理论基础。

第18章_哈密顿原理哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它是由物理学家威廉·哈密顿（William Hamilton）于19世纪提出的。

这一原理在动力学、量子力学和泛函分析等领域中都有广泛的应用。

哈密顿原理是一种优美而重要的方法，用于描述力学系统的运动。

它是以最小作用量原理为基础的，即物理系统在可行的轨迹中，其作用量的变分为零。

作用量是指系统在一段时间内受到的力的总和。

因此，哈密顿原理可以用数学的形式表示为：在给定初态和末态下，作用量的变分为零。

具体而言，哈密顿原理可以分为两个步骤：第二步是利用变分法来求解哈密顿原理。

通过对作用量进行变分，我们可以得到运动方程以及相应的边界条件。

具体而言，我们对作用量进行变分，得到一组关于位置和动量的偏导数等于零的方程。

这些方程被称为哈密顿方程，它们描述了系统随时间演化的规律。

哈密顿原理的优势在于，它可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，可以简化动力学问题的求解过程。

此外，哈密顿原理还可以解决具有多个约束条件的力学系统。

在这种情况下，我们可以使用拉格朗日乘子来处理约束条件，从而得到正确的运动方程。

除了力学系统，哈密顿原理还可以应用于其他物理学领域。

例如，在量子力学中，哈密顿原理可以用于导出薛定谔方程，这是描述量子力学系统演化的方程。

在泛函分析中，哈密顿原理还可以用于最优控制问题的求解。

总之，哈密顿原理是力学中的一个重要原理，它提供了一种简洁而优雅的方法来描述和求解力学系统的运动。

它不仅可以应用于力学系统，还可以应用于量子力学和泛函分析等领域。

通过哈密顿原理，可以将系统的动力学问题转化为一个几何问题，简化动力学问题的求解过程。