第一讲、集合子集(包含)含参问题讨论(更正版)

集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。

首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。

这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。

就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。

想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。

有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。

这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。

集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。

简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。

2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。

就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。

不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。

它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。

处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。

2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。

说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。

想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。

可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。

3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。

明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。

3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。

集合的包含关系和运算规则总结一、集合的包含关系1.子集的概念：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

2.真子集的概念：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合就是另一个集合的真子集。

3.集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等。

4.集合的并集：两个集合的并集包含这两个集合的所有元素，但元素不重复。

5.集合的交集：两个集合的交集包含这两个集合共有的元素。

6.集合的补集：一个集合的补集是指在全集范围内不属于该集合的元素组成的集合。

7.集合的幂集：一个集合的幂集是指该集合所有子集组成的集合。

二、集合的运算规则1.并集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的并集可以表示为A∪B，即包含A和B所有元素的集合。

2.交集的运算规则：对于任意集合A和B，它们的交集可以表示为A∩B，即包含A和B共有元素的集合。

3.补集的运算规则：对于任意集合A和全集U，A的补集可以表示为∁UA，即包含全集U中不属于A的元素的集合。

4.幂集的运算规则：对于任意集合A，A的幂集可以表示为P(A)，即包含A所有子集的集合。

5.集合的笛卡尔积：对于任意两个集合A和B，它们的笛卡尔积可以表示为A×B，即包含所有形式为(a,b)的元素，其中a属于A，b属于B。

6.集合的限制：在实际应用中，集合的元素通常具有一定的限制，如自然数集、整数集、实数集等。

三、集合的应用1.集合在数学中的应用：集合是数学中的基本概念，广泛应用于概率论、图论、拓扑学等领域。

2.集合在计算机科学中的应用：集合是计算机科学中的基本数据结构，用于存储无序且不重复的元素。

3.集合在逻辑推理中的应用：集合论是逻辑推理的基础，用于构建数学归纳法、反证法等推理方法。

4.集合在实际生活中的应用：集合概念在日常生活中也具有重要意义，如对事物进行分类、统计等。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合的包含关系和运算规则，了解集合在数学及其它领域中的应用，为深入学习数学和其他学科奠定基础。

第一讲、集合子集（包含）含参问题讨论【例题1】已知集合A = ^xax2+2x+\ =0,x e /?）,且A中只有一个元素，求G的值.【答案】"=1或4 = 0【解析】①当"=0时，z—I,此时② '"la H 0 时，△= 2‘ —4d = 0,贝ij“ = 1,此时A = {—1}综上可得：d = 0或a= 1【变式1】已知ft n* A = {x e R mx2-2x + 3 = 0, m e /?},且A中只有一个元素，求加的值. 【答案】0,13【变式2】已知集合A = {X/+ X_6=0},B= {扌心+1 =0}且BuA,求d的值.【答案】0丄,一］3 2【例题2】已知集合A = {x I -2 < x < 5 } , B = {x I w +1 < x < 2m-\},若BgA,求实数加的取值范围.【答案】{m I m < 3}【解析】••• BgA①当B = 0时，m+l>2m-l,则m < 2；②当B主0时，要使,只需：m +1 < 2m -1<-2<w+l ,解得：2 </?/<3；5 > 2m -1综上可得：m < 3【变式1】集合A = {x\ a - \ < x < 2« +1}, B = {x\-3 <x <1},若AgB,求d的取值范围.【答案】心3【变式2】已矢口非空集合A= {xHdH，+1,XE/?},B = {x\2<x<3a+\,xeR}, a w R ,求使A^B时，"的取值范圉.【答案】l<t/<3【例题3】设A = {xIx2 + 4x = 0}, B= {x\x2 + 2{a+t）x +a2-1 =o},若B G A ,求a 的值.【答案】a < -1或a = 1【解析】>4 = {0,-4}BgA, B = 0或B={0}或B={_4}或B={0,-4}①当B = 0时△= 4@ + 1）2-4（宀1）<0,解得av-l；②当B={0}或B={-4}时△= 4（a +1）= — 4（/ -1）= 0,解得d = -1,此时B={0},成立，③当3= {0,-4}时A>0-/（0）= 0 ‘ 解得“ =1./（-4）=0综上可得：a<-\或a=l【变式1】集合A={xlF - 3x + 2 = 0}, B={xlx2-2x + «-l=0}, = 求a 的取值范围.【答案】心。

新教材高中数学：1.2 子集、全集、补集第1课时子集、真子集学习目标核心素养1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点) 3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点) 通过学习本课时内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养．如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？1．子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A) 图示①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B．2．真子集的概念及性质(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A 真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若A B，B C，则A C．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){2,3}⊆{x|x2－5x＋6＝0}．( )(2)∅⊆{0}．( )(3)∅⊆{∅}．( )[提示](1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因为∅是任何集合的子集，故(2)(3)正确．[答案](1)√(2)√(3)√2．{1，a}⊆{1,2,3}，则a＝．2或3[因为{1，a}⊆{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素且a≠1，故a ＝2或3．]3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是．A B[∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．显然A B．]集合关系的判断【例1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[思路点拨]分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A．(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，∴P＝Q．(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B．(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A B．判断两个集合A，B的关系，应从集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论.由A B可推出A⊆B，但由A⊆B推不出A B.[跟进训练]1．(一题两空)下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是，其中A为S真子集的是．(填序号)(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．(1)(2)(3) (1)(2)[(1)中A⊆S，且A S；(2)中A⊆S且A S；(3)中S⊆A且S A．]有关子集个数的计数问题【例2】(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．(2)若集合{1,2}⊆M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M．[思路点拨]对于确定子集(或个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．[解](1)按子集中包含元素的个数来写：含元素个数子集子集个数0∅ 11{1}，{2}，{3} 32{1,2}，{1,3}，{2,3} 33{1,2,3} 1其中真子集有7个．(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．1．求解有限集合的子集问题，关键有三点(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A 中有n 个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．[跟进训练]2．集合M 满足{4,5}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，则这样的M 共有 个．8 [易知M 中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M 的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．]集合之间的包含关系[探究问题]1．A ⊆B 的意义是什么？若M ＝{x |x ≤2}，N ＝{x |x ≤1}，则N ⊆M 成立吗？[提示] A ⊆B 表示集合A 中所有的元素都在集合B 中．借助数轴表示出M ，N 两集合，易见N ⊆M ．2．若集合M ＝{x |x ≤1}，N ＝{x |x <1}，则M ⊆N 成立吗？ [提示] 不成立，因为1∈M 但1N ，故M ⊆N 错误．3．集合M ＝{x |2a <x <a ＋1}可能是空集吗？此时a 应满足什么条件？ [提示] M 可以是空集，此时只需要2a ≥a ＋1，即a ≥1．【例3】 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 讨论集合B →列关于m 的不等式组→求m 的取值范围 [解] ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2． (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1．(变条件)若将本例中的“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，求实数m 的范围． [解] ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4<m ＋1，2m －1<m ＋1，解得m ∈∅．∴不存在这样的实数m，使得A⊆B．1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅，则A 中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x A．2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n －2个非空真子集．1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值为( )A．0 B．2 C．0或2 D．1C[因为B⊆A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2．]2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6B[根据子集定义，集合A的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个． ]3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )A．{m|m≤3} B．{m|0<m<3}C．{m|0≤m≤3} D．{m|0≤m<3}A [①B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3．②B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2． 综合①②，可知m ≤3．]4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则A ，B 的关系是 ． BA [∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪yx ＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，故B A ．]5．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{x ＋2,1}，是否存在实数x ，使得B 是A 的子集？若存在，求出集合A ，B ；若不存在，请说明理由．[解] 因为B 是A 的子集， 所以B 中元素必是A 中的元素， 若x ＋2＝3，则x ＝1，符合题意． 若x ＋2＝－x 3，则x 3＋x ＋2＝0， 所以(x ＋1)(x 2－x ＋2)＝0．因为x 2－x ＋2≠0，所以x ＋1＝0，所以x ＝－1， 此时x ＋2＝1，集合B 中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x ＝1，使得B 是A 的子集，此时A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}．。

集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助.对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A⊆B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法.（1）分类讨论是指：A⊆B在未指明集合A非空时，应分A=∅和A≠∅两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由A⊆B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论.（2）数形结合是指：对A=∅这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来.（3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值.根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的.下面通过具体例子作进一步分析：例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围.解析：（1）B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况.由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5}因为B⊆A，所以当B=∅时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B⊆A当B≠∅时，则如图所以{m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5，解得2≤m ≤3由得，m ≤3（2）A ⊆B 且A 不是∅，说明A 是B 的子集，注意此时B 不是∅.若A ⊆B ，依题意有{2m −1≥m −6m −6≤−22m −1≥5,解得{m >−5m ≤4m ≥3，故3≤m ≤4（3）A=B 说明两集合元素完全相同.若A=B ，则必有{m −6=−22m −1=5，此方程无解 即不存在使得A=B 的m 值.点评：解决“A ⊆B ”或“A ⫋B 且B ≠∅”的相关问题时，一定要分A=∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A=∅的情况容易被或略，应引起足够的重视.变式练习：1. A={x|2a ≤x ≤a+3}，B={x|x ＜-1或x ＞5}，若A ∩B=，则a 的取值范围为 .解：由A ∩B=∅得若A=∅,则2a ＞a+3，因此a ＞3；若A ≠∅，则如图x所以{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3，解得−12≤a ≤2综上所述，a 的取值范围为{a|−12≤a ≤2或a ＞3}2.已知A={x|x ＜-2或x ＞3}，B={x|a ≤x ≤2a-1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：因为B ⊆A ，所以B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种当B ≠∅时，因为B ⊆A所以{a >3a ≤2a −1或{2a −1<−2a ≤2a −1解得a ＞3当B ＝∅时，由a ＞2a-1，得a ＜1综上可知，实数a 的取值范围是{a|a ＜1或a ＞3}例2：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-ax+a-1=0}，C={x|x 2-mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a 与m 的值或取值范围.解析：由已知条件可得，A={1，2}，B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}因为A ∪B=A ，所以B ⊆A又因为1∈B ，所以B ≠∅，则a-1∈A所以a-1=1或a-1=2解得 a=2或a=3因为A ∩C=C ，所以C ⊆A因此集合C 有以下三种情况当C=∅时，方程x 2-mx+2=0的判别式Δ=m 2-8＜0，解得−2√2<m <2√2 当C 为单元素集合时，Δ=m 2-8=0，解得m=−2√2或m=2√2x 5 a+3 2a -1若m=−2√2，则C={ −√2}，不满足C⊆A；若m=2√C={ √，不满足C⊆A；当C为双元素集合时，C={1，2}即1，2是关于x的方程x2-mx+2=0的两根，所以m=3代回方程检验，m=3符合题意综上所述，a=2或a=3；−2√2<m<2√2或m=3.点评：在集合的关系中，若集合B为双元素集，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分为三类，即A为∅，A为单元素集，A为双元素集.若B为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.变式练习：1.已知A={x|x2-2x-8=0}，B={x|x2+ax+a2-12=0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围.解：若，则B⊆A因为A={x|x2-2x-8=0}={-2，4}所以集合B有以下三种情况：当B=∅时，Δ=a2-4(a2-12)<0，即a2>16所以a<-4或a＞4当B是单元素集合时，Δ=0，即a=-4或a=4若a=-4，则B={2}，不满足B⊆A若a=4，则B={-2}，满足B⊆A当B是双元素集合时，B={-2，4}，即-2，4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两根所以{−a=−2+4a2−12=−2×4，解得a=-2综上，当B∪A=A时，a的取值范围为{a| a<-4或a=-2或a≥4}所以，当B∪A≠A时，a的取值范围是{a|-4≤a＜4，且a≠-2}2.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：A≠B；A∪B=B；∅⫋(A∪B)；若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，请说明理由. 解：由已知条件可得B={2，3}，因为A∪B=B，且A≠B，所以A⫋B又因为A≠∅，所以A={2}或A={3}当A={2}时，将x=2代入A中方程，得a2-2a-15=0，所以a=-3或a=5但此时集合A分别为{2，-5}和{2，3}，与A={2}矛盾，所以a≠-3且a≠5当A={3}时，同上也能导出矛盾综上所述，满足题设要求的实数a不存在.。

高中数学题型分析系列：集合含参问题（一）特别注意：空集为任何集合的子集，因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集（这里的空集存在于含参集合）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或（2）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或（二）、针对集合中各种问题，下面进行图像展示（这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或 ，φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 ，图像如下：（2）φϕφφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠⇒=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下：（3）R B A = ，图像如下：解题步骤：步骤一、处理含参数集合问题，规定首先考虑含参数集合为空集（将不等式两边数字大小互换就好，利用假设法处理是否可以取等号）步骤二、在考虑集合之间的基本关系时，在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上，并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系，并用花括号表示出来（注意不要遗漏），并解出不等式组，得到结果。

注意：①同一个花括号下求交集，不同情况（分类讨论）的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算③若φ=A 取等号，则φ≠A 不能取等号，反之亦然典型例题教学典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或，{}53><=x x x C 或 （1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若B B A = ，求a 的取值范围.（3）若R C A = ,求a 的取值范围解析：因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足，②φ≠A ，但B A 与无共同元素 解：（1）①当φ≠A 时，知道3+>a a ，无解，故φ≠A②当φ≠A 时，用图像可以表示为得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤-≥5331a a a a ，即：12a -≤≤，故a 的取值范围为[]21-,（2）①当φ=A 时，有3+>a a ，知a 无解，故φ≠A②当φ≠A 时，有以下两种情况其图像可以表示为：1）得到：⎩⎨⎧-<++≤133a a a ，解得4-<a2）得到：⎩⎨⎧>+≤53a a a ，解得5>a 综上可知道a 的取值范围为()()+∞-∞-,,54（3） 由图像可得到：⎩⎨⎧>+<533a a ，解得32<<a故可知道a 的取值范围为()32,典例2、已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ； （2）若A B B =，求实数m 的取值范围.解：（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，其图像表示为:故{}|36A B x x =-<≤（2）易知道φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 两种情况讨论：①当φ=B 时，知道312+≥-m m ，即4≥m ，故A B ⊆满足 ②当φ≠A 时，由A B ⊆知其图像可以表示为：解得：⎪⎩⎪⎨⎧≤++<--≥-53312312m m m m ，即21≤≤-m故综上可知道m 的取值范围为[][)+∞-,,421典例3、已知集合{}{}12152-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ,，（1）若A B ≠⊂，则m 的取值范围 （2）若B A ⊆，则m 的取值范围解：（1）①当φ=B 时，121->+m m ，即2<m ，则A B ≠⊂满足 ②当φ≠B 时，有以下两种情况其图像表示如下：可得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-->+⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--≥+5121122151211221m m m m m m m m 或，解得32≤≤m故故综上可知道m 的取值范围为(]3,∞-（2）当B A ⊆时①当φ=B 时，B A ⊆不满足②当φ≠B 时，其图像表示如下：可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+-≤+51212121m m m m ，无解故不存在实数m 使得B A ⊆三、练习题1、已知集合{}{}1273213-<=≤≤=x x B x A x log ,（1）、求()A B B A C R 及（2）已知集合{}a x x C ≤<=1，若A C ⊆,求实数a 的取值范围 参考答案：①(]()(]3-32，，∞==A B B A C R ,，②(]3-，∞。

第一讲 集合1【学习目标】掌握集合的定义，熟练运用集合的性质解题【知识要点】（一）一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

1. 关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：在一个集合中，不考虑它的元素之间的顺序，即集合与其元素的排列顺序无关.2.集合相等：构成两个集合的元素完全一样3.元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A4.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R5．集合的分类：⎪⎩⎪⎨⎧φ记作不含任何元素的集合空集无限集有限集,:（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内。

（3）图示法：为了形象有观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合（三）1．子集：如果集合A 的任意一个元素都是B 的元素，（若a ∈A,则a ∈B ）则称集合Ａ为集合Ｂ的子集，记为A ⊆B 或B A ⊇,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”.注: Φ是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.2.集合相等:如果两个集合所含的元素完全相同(即A 中的元素都是B 中的元素,B 中的元素也都是A 中的元素),则称这两个集合相等,记作A=B,读作“集合A 等于集合B ”.3.真子集：如果B A ⊆,并且A ≠B,这时集合A 称为集合B 的真子集,记作A ≠⊂ B 或B ≠⊃A,读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.4.全集：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合,这时U 可以看做一个全集,全集通常记作U.5.有限集合的子集个数的规律:(1)n 个元素的集合有 个子集; (2) n 个元素的集合有 个真子集;(3)n 个元素的集合有 个非空子集 (4) n 个元素的集合有 个非空真子集【典型例题】例1、下列所指对象能构成集合的是（ ）A.与0接近的数B.我班喜欢唱歌的同学C ．我校参加奥林匹克竞赛的学生 D.我班的高个子学生例2、用符号∈或∉填空（1）0 *N ；Z 2；()*10N -； （2）{}11|32<x x ；{};4|23>x x （3）33{}{}*,1|5;*,1|22N n n x x N n n x x ∈+=∈+=； （4）(){}()(){}22|,1,1;|1,1x y y x x y y =-=-； 例3、已知2x ∈{0，1，x},求实数x 的值例4、用适当的方法表示下列集合（1）偶数集；（2）A={*,2N x x x ∈≤}(3)坐标平面内在第一象限的点组成的集合 (4){(x,y)**,,4N y N x y x ∈∈=+}例5、下面3个集合： {x y=2x +1};2){12+=x y y };3){(x,y)12+=x y }.(1)他们是不是相同的集合(2)他们各自的含义是什么例6、（1）已知集合M={z x Nx ∈+∈16}，求M （2）已知集合C={N x z x∈∈+16}，求C例7、写出满足{a,b}⊆A ≠⊂{a,b,c,d}的所有集合A例8、设集合A={x, x 2,y 2－1｝,B=｛0,|x|,,y ｝且A=B,求x, y 的值例9、设集合A={1x ﹤x ﹤2},B={2-ax x ﹤0},若A ≠⊂B ，求实数a 组成的集合1、下列命题中，正确的是 （ ）（1） 集合N 中最小的正数是1；（2） -a N ∉,则N a ∈（3） 0962=+-x x 的解集是{3，3}（4） {4，3，2}与{3，2，4}是两个不同的集合。

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集 如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集 符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集 精典例题透析。

1.2 子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为-1，2.2．真子集 (1)定义：如果A B ，并且A≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例： {1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C . ③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ”“ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }.其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合评点中.2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A 的子集分为5类，即 (1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m 个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断. 解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集. 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A .(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A . 4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ． 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}． 评点 评点(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A的个数为2n－m.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -1.若{ a1，a2，…，a m } A {a1，a2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A的个数为2n－m -2.要点二补集、全集[重点]1．补集设A S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 S A(读作“A在S中的补集”)，即S A={ x | x∈S，且x A}.C S A可用图1-2-22．全集.(1)定义：如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.(2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U= a，b，c，d，e，f ，A= b，f ，求C U A.该题中显然A U，从U中除去子集A的元素b、f ，乘下的a、c、d、e组成的集合即为 U A= a，c，d，e .求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题 例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1).C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A .在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍.6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}.(1)判断A 、B 的关系；(2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A .若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B .1212评点若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A .要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论.解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)AB .紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系.解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P .解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 20+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P .而1<1+ a 20+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P .10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合B .求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用V enn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助V een 图，如图1-2-7.评点 (2)(1)由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用V een 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B .教材问题探究1.教材第8页“思考”对于集合A 、B ，如果A B ，同时B A ，那么A=B .这是因为由A B 可知，集合A 的元素都是集合B 的元素，又由B A 知，集合B 的元素也都是集合A 的元素，这就是说，集合A 和集合B 的元素是完全相同的，因而说集合A 与集合B 是相等的.当A=B 时，集合A 中的每一个元素都在集合B 中，集合B 中的元素也都在集合A 中，即A B 与B A 同时成立.综上所述，A B 与B A 同时成立的等价条件是A=B . 例 判断下列两个集合的关系： (1)A={x |(x -1)(x +1)= 0}，B={x | x 2=1}；(2)C={x | x =2n ，n ∈Z }，D={x | x =2(n -1)，n ∈Z }. 解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B .(2)易知集合C 为偶数，∵n ∈Z ，n -1∈Z ，∴集合D 也为偶数集，∴C=D .2.教材第9页“思考”在(1)(2)(3)中除有A S ，B S 外，不难看出在S 中属于A 的所有元素均不属于B ，即x i∈S ，x i∈A ，但x iB ，在S 中属于B 的所有元素均不属于A ，即x i∈S ，xi ∈A ，但x iA ，也就是说，A 、B 两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好是集合S 的全部元素.探究学习1．教材第8页“?”集合{a 1，a 2，a 3，a 4}的子集有： ，{a 1}，{a 2}，{a 3}，{a 4}，{a 1，a 2}，{a 2，a 3}，{a 3，a 4}，{a 1，a 4}，{a 1，a 3}，{a 2，a 4}，{a 1，a 2，a 3}，{a 1，a 2，a 4}，{a 2，a 3，a 4}，{a 1，a 3，a 4}，{a 1，a 2，a 3，a 4}.拓展：集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有多少个真子集？有多少个非空真子集？由上可知，集合{a 1，a 2，a 3，a 4}有15个真子集，有14个非空真子集. 一个集合含有n 个元素，则它的所有自己有2n 个，真子集有(2n-1)个(去掉集合本身)，评点非空真子集有(2n -2)个(去掉集合本身及空集).典型例题解析例1 设A={x | ( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0}，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集？要确定集合A 的子集、真子集，首先必须清楚集合A 中的元素，由于集合A 中的元素是方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0的根，所以要先解该方程.解：将方程( x 2-16)( x 2+5x +4) = 0变形，得( x -4)( x +1)( x +4)2=0，则可得方程的根为x =-4 或x =-1或x =4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4， 4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有 ，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，4}写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集— 和自身；其次，依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重复和遗漏现象的发生.-2}，A={| 3a -2 |，4}，C U A={3}，求实数a 的值.∵C U A={3}，∴3∈U ，且3 A ，由补集的定义知A={1,4}. 解：∵C U A={3}，说明3∈U ，且3 A ，∴a 2+4a -2=3，∴a =-5或a =1. ①当a =1时，| 3a -2 |=1≠3，此时A={1，4}，满足题意. ②当a =-5时，| 3a -2 |=17，此时A={17，4} U ，不满足题意. ∴a 的值为1.例3 已知{1，2} M {1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有 8 .根据题目给出的条件可知，集合M 中至少含有元素1、2，至多含有元素1、2、3、4、5，故可按M 中所含元素的个数分类写出集合M ，解析：(1)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2}；(2)当M 中含有三个元素时，M 可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； (3)当M 中含有两个元素时，M 可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； (4)当M 中含有两个元素时，M 为{1，2，3，4，5}；所有满足条件的M 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.评点首先根据子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.例4 已知集合A={x | - 2 ≤ x ≤ 5}，B={x |m +1≤ x ≤ 2m -1}，若B A ，求实数m 的取 值范围.对B 要进行讨论，分B 为空集和非空集合两种情况.解：(1)若B ≠ ，则由B A (如图1-2-5)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤ 2m -1，m +1≥ -2，2m -1≤ 5， 解的2 ≤ m ≤ 3.(2)若B= ，则m +1>2m -1，m <2，此时B A 也成立. 由(1)和(2)，得m ≤ 3，所以实数m 的取值范围是{ m | m ≤ 3}. 求解.例5 已知集合A={x | 1 ≤ a x ≤ 2}，B={x | | x | < 1}，求满足A B 的实数a 的取 值范围.对参数进行讨论，写出集合A 、B ，使其满足，求a 的值. 解：(1)当a = 0时，A= ，满足A B .(2)当a > 0时，{}21A=.B=11,A B xx x x a a ⎧⎫⊂<<-<<=⎨⎬⎩⎭又.∴11 2.21a a a⎧≥-⎪⎪∴∴≥⎨⎪≤⎪⎩ (3)当a < 0时，{}2121A= B=11 2.1 1.ax x x x a a a a⎧≥-⎪⎧⎫⎪<<-<<⊆∴∴≤-⎨⎬⎨⎭⎩⎪≤⎪⎩，，又，A B. 综上所述，a = 0，或a ≥2，或a ≤-2. 根据子集的定义，把形如A B 的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决 问题的过程中，应首先考虑A= 的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题 重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.评点 评点例6 已知全集S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，集合A = {1，| 2 x - 1 | }，如果C S A ={0}，那么这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，所以x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，且| 2 x - 1 | =3，从中求出x 即可.解法一：∵S = { 1，3，x 3 + 3 x2 + 2 x }，A = {1，| 2 x - 1 | }，C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴32320 1.213x x x x x ++=⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解的 ，综上知，实数x 存在，且x =-1.由C S A ={0}可知0∈S ，但0 A ，由0∈S 可求x ，然后结合0 A 来验证是否有A S 及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.解法二：∵C S A ={0}，∴0∈S ，但0 A ，∴ x 3 + 3 x2 + 2 x = 0，即x (x +1)(x +3)=0，∴x =0或x =-1或x =-2.当x =0时，| 2 x - 1 | =1，A 中已有元素1，故不符合互异性，舍去； 当x =-1时，| 2 x - 1 | =3，而3∈S ，符合题意； 当x =-2时，| 2 x - 1 | =5，而5 S ，舍去.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a< x <a + 4 }，若A B ，求实数a 的取值范围.注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5. 本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,方法一 数形结合思想 a评点例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符合B A .解：集合A={3，5}，当a =0时，B= ，满足B A .∴a =0符合题意. 当a ≠0时，B≠ ，1.x a = ∵B A ，∴综上，a 的值为0或13或15.当B A 时，B 中含有参数，而A 是一个确定的非空集合，要特别注意B= 的情况， 考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，命题多为填空题.例1 (2010·重庆高考)设，若，则实数.{}{}{}2 U U=0123.A=U 0A=12x x mx ∈+=，，，，若，，ð }{} U 0A=12 mx =，若，，ð则实数m = -3 .解析：{}{}2 U A=12A=030 30 3.x mx m ∴∴+-∴=-，，，，，是方程的根，ð 例2 (2010·天津高考)设集合{}{}A=1R B=2R A Bx x a x x x b x -<∈->∈⊆，，，，若， }2R A B x >∈⊆，，若，则实数a ，b 满足 3 a b -≥ .解析：{}{}A=11B=22x a x a x x b x b -<<+>+<-，或，由A B ⊆得12a b +-≤或12a b +-≥，即3a b -≥或3a b --≤，即 3.a b -≥ 例3 (2007·北京高考)记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .(1)若a =3，求P ；(2)若Q P ，求整数a 的取值范围.解：{}3(1)0P=13.1x x x x -<-<<+由得 方法二 分类讨论思想 评点{}{}(2)Q=11,02x x x x -≤=≤≤{}0P=1.Q P 2a x x a a >-<<⊆>由，得又，所以， 即a 的取值范围是( 2，+ ∞). 学考相联判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍几种常用的方法，帮助你开拓思想.1.对比集合的元素例1 {}{}*A =N 8B =2N05,x x x x k k k ∈≤=∈<<已知，，，且那么集合A 与B 的关系为( B A ).解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B 中的元素2，4， 6，8都是集合A 中的元素，而集合A 中的元素1，3，5，7不是集合B 中的元素，所以 B A .2.数形结合比较范围例2 已知{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，那么集合A 与B 的关系为( B A ) .解析：对于二次函数{}{}2A=y y=26R B=475x x x x x --∈->，，，，{}4(6)47A=y y 7.4y ⨯---==-∴≥最小，又{}B=3x x >，由图1-2-7知，B A .3.利用传递性判断例3 已知集合11A B B=Z C=Z 4284k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫⊆=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，那么集合A 与C 的关系为( A C ).解析：将B 、C 变形得242B=Z C=Z 88k k x x k x x k ⎧+⎫⎧+⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，可知B C .又A B C ，即A C .例4 已知集合(){}{}22A=4640B=0 6x x m x m -++=，，，若A B ，求实数m 的取值范围.解：{}{}{}{}A B B=0 6 A=A=0A=6A=0 6.⊆∴∅ ，，，或或或， (1)当A= 时，Δ=(4m +6)2-4×4m 2<0，解得m <－ 34.(2)当A={0}时，由根与系数的关系得20+0=46004m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(3)当A={6}时，由根与系数的关系得26+6=46664m m +⎧⎨⎩⨯=，，此方程组无解.(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得20+6=4606=4m m +⎧⎨⎩⨯，，解得m =0.综上知实数m 的取值范围为m <－34或m =0解决子集问题时，往往易溢漏“ ”和它“本身” ，所以杂解决有关子集的问题时，一定要考虑到两个特殊的子集：“ ”和它“本身” ，并注意单独验证它们是否符合题意.。