含参问题专题

专题：方程组和不等式的含参问题【考点1：二元一次方程组的含参问题】 【例题精讲】二元一次方程组的定解问题方法：当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可把解直接带入原方程组，构造出关于字母的方程，进而求得其值。

例题1 （17-18天河）若⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+51ay bx by ax 的解，则b a 3+=_______. 答案：6【举一反三】1．（17-18白云）03x y =⎧⎨=⎩和15x y =⎧⎨=⎩都是方程y kx b =+的解，则（ ）A ．23k b =⎧⎨=⎩B ．23k b =-⎧⎨=⎩C ．23k b =-⎧⎨=-⎩D ．23k b =⎧⎨=-⎩答案：A2．（19-20番禺）已知12x y 是二元一次方程24x ay 的一个解，则a 的值为（ ） A ．2 B ．−2 C ．1 D ．−1答案：C3．（17-18番禺）在等式2y ax bx c =++中，当x =−1时，y =0；当x =2时，y =3，则a +b 的值为________． 答案：14．（18-19荔湾）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是( ) A ．2- B ．2C ．3D ．3-答案：B【例题精讲】二元一次方程组的同解问题方法：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含字母参数的二元一次方程组组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组。

例题1．（17-18越秀）若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-+=+7)12(843y m mx y x 的解也是二元一次方程1132=-y x 的解，则m 的值为 .【举一反三】已知关于x,y 的方程组x 52522y ax by +=⎧⎨+=-⎩与2x-y=1ax-by-8=0⎧⎨⎩有相同的解，则a= ,b= .【例题精讲】二元一次方程组的解满足特定关系式问题方法：方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用含有它的式子表示方程组的解，再根据满足的等式，构造出关于字母的方程。

不等式组专题——含参问题一、【知识回顾】不等式解集的表示方法：（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2，它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明了，容易知道哪些数不是原不等式的解。

（2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式组时，易于找到正确的答案。

在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。

二、【课前热身】1，已知关于x 的不等式()13a x -≥的解集是31x a≤-，则a 的取值范是__________.2，关于x 的不等式组11x ax b -<⎧⎨+>⎩的解集是01x <<，则a b +=___________.3，在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为4，如果一元一次不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集为3x >．则a 的取值范围是( )A .3a >B .a ≥3C .a ≤3D .3a <三、【典例讲解】题型一：含参不等式组有解/无解问题 例1：1，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧><-mx x 0121有解，则m 的取值范围是（ ）A.m>2B.m<2C.m≥2D.m≤22，若不等式组⎩⎨⎧>->+m x x x 148无解，则m 的取值范围 ．3，若不等式组有解，则a 的取值范围是 ．4，若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧>+<-7203m x m x 无解，则m 的取值范围为（ ）A.57≤mB.57>mC.57->mD.57-≤m题型二：含参不等式组整数解问题例2：1，若关于x 的不等式3<x<a 有3个整数解,则a 的取值范围是（ ）A.5≤a<6B.5<a≤6C.6<a≤7D.6≤a<72，若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≥<-11x a x 的整数解有3个，则a 的取值范围是（ ）A.3<a ≤4B.2<a ≤3C.2≤a <3D.3≤a <43，关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a 的取值范围是 。

数学七年级下册含参问题大全摘要：一、含参问题的概念及重要性二、含参问题的一般解题步骤1.分析问题，确定参数范围2.建立数学模型，用参数表示问题中的变量3.求解参数值，讨论参数的取值范围和约束条件4.分析结果，解释实际意义三、含参问题的应用实例四、提高含参问题解题能力的建议1.加强对基本概念的理解2.熟练掌握解题步骤和技巧3.大量练习，总结经验五、总结正文：数学七年级下册含参问题大全含参问题是指在数学问题中，存在一个或多个未知数，这些未知数的取值会影响问题的结果。

它在我们的生活和学习中有着广泛的应用，如物理、化学、经济学等领域。

掌握含参问题的解题方法，对我们解决实际问题具有重要意义。

一、含参问题的概念及重要性含参问题通常包含一个或多个参数，这些参数的取值不同，会导致问题有不同的解。

在解决含参问题时，我们需要分析问题，找到合适的数学模型，并用参数表示问题中的变量。

通过对参数的讨论，我们可以得到问题的一般规律，为实际应用提供理论依据。

二、含参问题的一般解题步骤1.分析问题，确定参数范围。

在解决含参问题时，我们首先要明确问题中涉及到的变量和参数，分析问题的背景和条件，确定参数的取值范围。

2.建立数学模型，用参数表示问题中的变量。

根据问题分析，建立合适的数学模型，将问题中的变量用参数表示，使问题得以数学化。

3.求解参数值，讨论参数的取值范围和约束条件。

利用数学方法求解含参问题，讨论参数的取值范围和约束条件，得到问题的一般解。

4.分析结果，解释实际意义。

得到参数解后，我们需要分析结果，讨论解的合理性，并解释其在实际问题中的意义。

三、含参问题的应用实例在实际问题中，含参问题无处不在。

例如，在物理中，我们可以用含参方程来描述物体在运动过程中的速度、加速度等变量；在化学中，反应速率与反应物浓度有关，可以用含参方程来表示。

四、提高含参问题解题能力的建议1.加强对基本概念的理解。

要解决含参问题，首先要熟练掌握相关的基本概念和数学方法，如函数、方程、不等式等。

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（八）《二次函数的含参问题》专题训练班级 姓名 座号 成绩1. 已知:抛物线）（0142≠+-=k k kx y ，无论k 取何值，都过某定点，则定点坐标为 2. 已知:抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为3. 已知点A (－4，m )，B (1，6)，C (2，m )在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，则该抛物线的解析式为______________．4. 已知：二次函数322+-=x x y 的图像，当m x ≤≤0时，函数有最大值3，最小值2，则m 的取值范围 是5. 已知：抛物线122+-=mx x y ，当1≤x 时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是6. 已知：抛物线32++=bx x y 的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二次方程032=-++t bx x （t 为实数）在41<<-x 的范围内有实数根，则t 的的取值范围是7.如图抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C （0，﹣3）．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且m ＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求△ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h ． ①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当h ＝9时，直接写出△BCP 的面积．8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a )，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．作业思考：1. 如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．7.（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．【分析】（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k即可；（2）易求A（﹣1，0），B（3，0），抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值；（3））①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m；当1＜m≤2时，h＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1；②当h＝9时若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解；若m2﹣2m+1＝9，则m＝4，则P（4，5），△BCP的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k，得k＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4；抛物线顶点为（1，﹣4），当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，S＝＝8；（3）①当0＜m ＜1时，h ＝﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+2m ；当1≤m ≤2时，h ＝﹣3﹣（﹣4）＝1；当m ＞2时，h ＝m 2﹣2m ﹣3﹣（﹣4）＝m 2﹣2m +1；②当h ＝9时若﹣m 2+2m ＝9，此时△＜0，m 无解；若m 2﹣2m +1＝9，则m ＝4，∴P （4，5），∵B （3，0），C （0，﹣3），∴△BCP 的面积＝8×4﹣5×1﹣（4+1）×3＝6；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．8.解：(1)在y ＝ax 2＋bx －1a 中，当x ＝0时，y ＝－1a. ∴A (0，－1a)． ∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ，∴B (2，－1a)； (2)∵点B (2，－1a)在抛物线上， ∴－1a ＝a ×22＋b ×2－1a. ∴b ＝－2a .∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－－2a 2a＝1； (3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a. 若a ＞0，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a. ∵－34a －1a＜－1a ， ∴点P (12，－1a )在抛物线的上方． 当x ＝2时，y ＝－1a. ∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，舍去．若a ＜0，∵－34a －1a ＞－1a ，∴点P (12，－1a )在抛物线的下方． ∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点． 综上，a 的取值范围是a ≤－12.数学思考：1.（2020•河西区二模）如图，抛物线l ：y ＝（x ﹣h ）2﹣2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将抛物线l 在x 轴下方部分沿轴翻折，x 轴上方的图象保持不变，就组成了函数f 的图象．（1）若点A 的坐标为（1，0）．①求抛物线l 的表达式，并直接写出当x 为何值时，函数f 的值y 随x 的增大而增大；②如图2，若过A 点的直线交函数f 的图象于另外两点P ，Q ，且S △ABQ ＝2S △ABP ，求点P 的坐标；（2）当2＜x ＜3时，若函数f 的值随x 的增大而增大，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B 的坐标，根据图象写出函数f 的值y 随x 的增大而增大（即呈上升趋势）的x 的取值；②如图2，作辅助线，构建对称点F 和直角角三角形AQE ，根据S △ABQ ＝2S △ABP ，得QE ＝2PD ，证明△PAD ∽△QAE ，则，得AE ＝2AD ，设AD ＝a ，根据QE ＝2FD 列方程可求得a 的值，并计算P 的坐标；（2）先令y ＝0求抛物线与x 轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h 的取值．【解答】解：（1）①把A （1，0）代入抛物线y ＝（x ﹣h ）2﹣2中得：（x﹣h）2﹣2＝0，解得：h＝3或h＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴h＞0，∴h＝3，∴抛物线l的表达式为：y＝（x﹣3）2﹣2，∴抛物线的对称轴是：直线x＝3，由对称性得：B（5，0），由图象可知：当1＜x＜3或x＞5时，函数f的值y随x的增大而增大；②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于E，则PD∥QE，由对称性得：DF＝PD，∵S△ABQ＝2S△ABP，∴AB•QE＝2×AB•PD，∴QE＝2PD，∵PD∥QE，∴△PAD∽△QAE，∴，∴AE＝2AD，设AD＝a，则OD＝1+a，OE＝1+2a，P（1+a，﹣[（1+a﹣3）2﹣2]），∵点F、Q在抛物线l上，∴PD＝DF＝﹣[（1+a﹣3）2﹣2]，QE＝（1+2a﹣3）2﹣2，∴（1+2a﹣3）2﹣2＝﹣2[（1+a﹣3）2﹣2]，解得：a＝或a＝0（舍），∴P（，）；（2）当y＝0时，（x﹣h）2﹣2＝0，解得：x＝h+2或h﹣2，∵点A在点B的左侧，∴A（h﹣2，0），B（h+2，0），如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，分两种情况：①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，则，∴3≤h≤4，②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，即：h+2≤2，h≤0，综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的增减性问题、三角形相似的性质和判定，与方程相结合，找等量关系，第二问还运用了数形结合的思想解决问题．。

第3讲集合中的含参问题（重难点专题）【考查角度1元素与集合的关系中的含参问题】方法导入已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解步骤第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论；第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合；第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求；反思要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验【例1】已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，求实数a的取值集合．【练1.1】设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．【练1.2】设集合A＝{2，3，a2+2a﹣3}，集合B＝{|a+3|，2}，已知5∈A，且5∉B．求a的值．【练1.3】已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，若点P（2，3）∈A，且P（2，3）∉B，求m、n的取值范围．此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参，常利用根的判方法导入别式求解.第1步，对方程的二次项系数是否为零进行讨论；步骤第2步，当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解；反思要注意两点，一是解集是否可能为空集，二是二次项系数是否为0.【例2】若集合A＝{x|x2+ax+b＝x}中，仅有一个元素a，求a、b的值．【练2.1】设集合A＝{x|ax2+2x+1＝0，a∈R}（1）当A中元素个数为1时，求：a和A；（2）当A中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；（3）求：A中各元素之和．【练2.2】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【练2.3】已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}．（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．方法导入由两个集合间的包含关系求参是一种常见题型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解.步骤第1步确定两个集合中谁是谁的子集;第2步，若集合是有限极或离散型无限极，常依据集合间的包含关系，转化为解方程(组)求解，若集合是连续型无限极，常借助数轴转化为不等式(组)求解;第3步，综合各分类讨论的结果，得到最终参数的取值;反思要注意两点，一是注意对子集是否为空集进行讨论，二是注意集合中元素的互异性及端点值能否取到.【例3】已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．【练3.1】设集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．（1）当a＝0时，求集合A，B；（2）当A⊆B时，求实数a的取值范围．【练3.2】方程x2﹣x﹣m＝0在（﹣1，1）上有解．（1）求满足题意的实数m组成的集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若M⊆N，求a的取值范围．【练3.3】已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（Ⅰ）若4∈A，5∉A，求a的取值范围；（Ⅱ）若A⊆B，求a的取值范围．方法导入这类问题一般通过观察得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组求解.步骤第1步，通过集合运算得到各集合间的关系;第2步利用各集合间的关系列方程组或不等式组求解;第3步综合各分类讨论的结果得到最终参数的取值.反思要注意对求解结果进行检验，防止违背集合中元素有关特性，尤其是互异性.【例4】已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}【练4.1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜5}，C＝{x|x＜m}，全集为R．（1）求A∩（∁R B）；（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．【练4.2】设全集为U＝R，集合A＝{x|（x+3）（x﹣6）≥0}，B＝{x||x﹣6|＜6}．（Ⅰ）求A∩∁R B；（Ⅱ）已知C＝{x|2a＜x＜a+1}，若C∪B＝B，求实数a的取值范围．【练4.3】已知全集U＝R，集合A＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，B＝{x|﹣2﹣x≤0≤5﹣x}．（1）求A∩B，B∪（∁U A）．（2）已知集合C＝{x|a≤x≤2﹣a}，若C∪（∁U B）＝R，求实数a的取值范围．【趁热打铁】1.已知集合M ＝{﹣2，3x 2+3x ﹣4，x 2+x ﹣4}，若2∈M ，求x 的值．2.已知不等式3x +2＞0的解集为M ．（1）试判断元素﹣1，0与集合M 的关系；（2）若a ﹣1是集合M 中的元素，求a 的取值范围．3.已知集合M ＝{x ∈R ，|px 2﹣2x +3＝0，x ∈R }．（1）若M 中只有一个元素，求实数p 的值，并求出相应的集合M ；（2）若M 中最多有一个元素，求实数p 的取值范围．4.已知集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，x ∈R }，a 为实数．（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 是单元素集，求a 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．5.已知命题A ＝{x |x 2﹣2x ﹣8＜0}，B ＝⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫∈<-+-R m m x m x x，03．（1）若A ∩B ＝（2，4），求m 的值；（2）若B ⊆A ，求m 的取值范围．6.已知集合M ＝{x |x 2﹣（a +1）x +a ＜0}，N ＝{x |1＜x ＜3}，且M ⊊N ，求实数a 的取值范围．7.已知集合A ＝{x |a ﹣1＜x ＜a +3}，B ＝{x |﹣2≤x ≤1}（1）当a ＝0时，求A ∪B ；（2）若B ⊆（A ∩B ），求实数a 的取值范围．8.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣3≤x ＜5}，B ＝{x |a +1＜x ≤2a ﹣1}（1）若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围（2）若B ≠∅，（∁U A ）∩（∁U B ）＝∁U A ，求a 的取值范围。

七年级下册数学《第九章不等式与不等式组》专题不等式与不等式组的含参问题【例题1】若不等式（a﹣3）x＞2的解集是x＜2�−3，则a的取值范围是（）A．a≠3B．a＞3C．a＜3D．a≤3【分析】根据不等式的性质可得a﹣3＜0，由此求出a的取值范围．2�−3，【解答】解：∵（a﹣3）x＞2的解集为x＜∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质：在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．本题解不等号时方向改变，所以a﹣3小于0．【变式1-1】关于x的不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞0C．a＜1D．a＞1【分析】直接利用不等式的性质，得出a﹣1＞0，进而得出答案．【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＞b的解集是x＞��−1，∴a﹣1＞0，解得：a＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了不等式的解集，正确得出a﹣1的符号是解题关键．【变式1-2】（2022•南京模拟）如果关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m≥2C．m＜2D．m＞2【分析】利用不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得m﹣2＜0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣2）x＞3解集为�＜3�−2，∴m﹣2＜0，解得：m＜2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键．【变式1-3】（2022春•南山区期末）关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，那么m的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞﹣2D．m＜﹣2【分析】根据不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，知m+2＜0，解之即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m+2）x＞（m+2）的解集为x＜1，∴m+2＜0，解得m＜﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式1-4】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞2�−1，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m≠1D．m≤1【分析】根据不等式的性质得m﹣1＜0，然后解关于m的不等式即可．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞2�−1，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．【变式1-5】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞3【分析】根据已知解集，利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变式1-6】（2023春•新城区校级月考）当m时，不等式（m+3）x≥2的解集是�≤2�+3．【分析】根据不等式的性质3（不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变）得出m+3＜0，求出即可．【解答】解：∵不等式（m+3）x≥2的解集是x≤2�+3，∴m+3＜0，∴m ＜﹣3，故答案为：＜﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向要改变是解题的关键．【例题2】（2022秋•常德期末）关于x 的不等式组�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，则m＝．【分析】根据同大取大，可得出关于m 的方程，求出m 的值即可．【解答】解：由�＞�−1�＞�+2的解集是x ＞﹣1，得∵m +2＞m ﹣1，∴m +2＝﹣1，解得m ＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，利用同大取大是解题关键．【变式2-1】（2023春•北碚区校级月考）关于x 的一元一次不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，则m 的值是．【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：13(��−1)＞2−�13��−13＞2−�，13��＞73−�，mx ＞7﹣3m ，∵不等式13(��−1)＞2−�的解集为x ＜﹣4，∴�＜0，�＜7−3��，∴7−3��=−4，∴7﹣3m ＝﹣4m ，∴m ＝﹣7，故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-2】（2022春•顺德区校级期中）关于x 的一元一次不等式�−2�3≤−2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．2【分析】先用含有m 的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于m 的方程，解之可得m 的值．【解答】解：解不等式�−2�3≤−2得：x ≥�+62，∵不等式的解集为x ≥4，∴�+62=4，解得m ＝2，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-3】如图，是关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集，则a 的值为（）A ．a ＝﹣2B ．a ＝﹣1C ．a ≤﹣2D ．a ≤﹣1【分析】解不等式得出x ≤�−12，结合数轴知x ≤﹣1，据此可得关于a 的方程，解之可得答案．【解答】解：由数轴上表示不等式解集的方法可知，此不等式的解集为x ≤﹣1，解不等式2x ﹣a ≤﹣1得，x ≤�−12，即�−12=−1，解得a ＝﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．【变式2-4】（2022春•西峡县期中）若关于x 的不等式2�+9＞6�+1�−�＜1的解集为x ＜2，则a 取值范围是．【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②，得�＜2�＜�+1．∵不等式组2�+9＞6�+1①�−�＜1②的解集为x＜2，∴a+1≥2，解得a≥1．故答案为：a≥1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．【变式2-5】（2023•永定区一模）不等式组3�−9＞0�＞�的解集为x＞3，则m的取值范围为．【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知条件判断m范围即可．【解答】解：3�−9＞0①�＞�②，解不等式①得：x＞3，又因为不等式组的解集为：x＞3，x＞m，∴m≤3．故答案为：m≤3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•武汉期末）若不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x＜2x+a+1成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥1.5B．a＞1.5C．a＜7D．1.5＜a＜7【分析】解不等式�+16−2�−54≥1得x≤54，解不等式4x＜2x+a+1得x＜�+12，根据题意得到关于a 的不等式，再解关于a 的不等式即可得出答案．【解答】解：解不等式�+16−2�−54≥1得x ≤54，解不等式4x ＜2x +a +1得x ＜�+12，∵不等式�+16−2�−54≥1的解都能使不等式4x ＜2x +a +1成立，∴�+12＞54，∴a ＞1.5，故选：B ．【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．【变式2-7】（2022春•南关区校级期中）关于x 的不等式组3�−6＞0�−�＞−2的解集是2＜x＜5，则a 的值为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于a 的方程，解之即可．【解答】解：由3x ﹣6＞0得：x ＞2，由a ﹣x ＞﹣2得：x ＜a +2，∵不等式组的解集为2＜x ＜5，∴a +2＝5，解得a ＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2-8】（2022秋•西湖区期中）已知关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，则a +b ＝．【分析】先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是3≤x ＜5得出a +1＝3，3+�2=5，求出a 、b ，再求出a +b 即可．【解答】解：�−1≥�①2�−�＜3②，解不等式①，得x ≥a +1，解不等式②，得x ＜3+�2，所以不等式组的解集是a +1≤x ＜3+�2，∵关于x 的不等式组�−1≥�2�−�＜3的解集为3≤x ＜5，∴a +1＝3，3+�2=5，∴a ＝2，b ＝7，∴a +b ＝2+7＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出a +1＝3和3+�2=5是解此题的关键．【变式2-9】若不等式组：�−�＞2�−2�＞0的解集是﹣1＜x ＜1，则（a +b ）2022＝（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2023【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出a 、b 的值，再代入计算即可．【解答】解：由x ﹣a ＞2，得x ＞a +2，由b ﹣2x ＞0，得x ＜�2，∵不等式组的解集为﹣1＜x ＜1，∴a +2＝﹣1，�2=1，解得a ＝﹣3，b ＝2，∴（a +b ）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1，故选：C ．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【例题3】（2022秋•零陵区期末）若关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，则m 的取值范围是（）A ．m ≤4B ．m ＜4C ．m ≥4D ．m ＞4【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出3−12m ＜�4，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−6+�＜0①4�−�＞0②，解不等式①，得x ＜3−12m ，解不等式②，得x ＞�4，∵关于x 的不等式组2�−6+�＜04�−�＞0有解，∴3−12m ＞�4，解得：m ＜4，故选：B ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．【变式3-1】（2022春•漳州期末）若不等式组�−4＜0�≥�有解，则m 的值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组有解得出m ＜4，再逐个判断即可．【解答】解：�−4＜0①�≥�②，解不等式①，得x ＜4，∵不等式组�−4＜0�≥�有解，∴m ＜4，A ．∵3＜4，∴m 能为3，故本选项符合题意；B ．∵4＝4，∴m不能为4，故本选项不符合题意；C．∵5＞4，∴m不能为5，故本选项不符合题意；D．∵6＞4，∴m不能为6，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组有解得出m的取值范围是解此题的关键．【变式3-2】（2023春•中原区校级期中）若关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，则m的取值范围为．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式组有解得出4m≥8，再求出不等式的解集即可．【解答】解：解不等式﹣x+8＜0，得x＞8，∵关于x的不等式组�＜4�−�+8＜0有解，∴4m＞8，解得：m＞2，故答案为：m＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-3】（2023春•莘县期中）已知关于x的不等式组�−�≥05−2�＞1无解，则实数a的取值范围是．【分析】首先解每个等式，然后根据不等式组无解即可确定关于a的不等式，从而求解．【解答】解：�−�≥0⋯①5−2�＞1⋯②，解①得x≥a，解②得x＜2．根据题意得：a≥2．故答案是：a≥2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【变式3-4】（2022春•兖州区期末）若不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m≥2D．无法确定【分析】根据不等式组无解得出不等式2m﹣1≥m+1，再求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式组�＜�+1�＞2�−1无解，∴2m﹣1≥m+1，解得：m≥2，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键．【变式3-5】（2022春•都江堰市校级期中）若关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，则a的取值范围．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2�−�＞0①2�−1+3�2＜1②，解不等式①，得x＞�2，解不等式②，得x＜3，∵关于x的一元一次不等式组2�−�＞02�−1+3�2＜1无解，∴�2≥3，解得：a≥6，故答案为：a≥6．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式�2≥3是解此题的关键．【变式3-6】（2022春•齐河县期末）关于x的方程k﹣2x＝3（k﹣2）的解为非负数，且关于x的不等式组�−2(�−1)≤32�+�3≥�有解，则符合条件的整数k的值的和为（）A．4B．5C．2D．3【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组有解得出k≥﹣1，解方程得出x＝﹣k+3，由方程的解为非负数知﹣k+3≥0，据此得k≤3，从而知﹣1≤k≤3，继而可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2（x﹣1）≤3，得：x≥﹣1，解不等式2�+�3≥x，得：x≤k，∵不等式组有解，∴k ≥﹣1，解方程k ﹣2x ＝3（k ﹣2），得：x ＝﹣k +3，∵方程的解为非负数，∴﹣k +3≥0，解得k ≤3，则﹣1≤k ≤3，∴符合条件的整数k 的值的和为﹣1+0+1+2+3＝5，故选：B ．【点评】本题考查的是解一元一次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和一元一次方程的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式3-7】（2022春•大渡口区校级期中）关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，且关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，则符合条件的整数k 的值的和为（）A ．5B ．2C ．4D ．6【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k 的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可．【解答】解：由方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x ，得x =9−3�2，∵关于x 的方程3（k ﹣2﹣x ）＝3﹣5x 的解为非负数，∴9−3�2≥0，得k ≤3，�−2(�−1)≥3①2�+�3≤�②，由不等式①，得：x ≤﹣1，由不等式②，得：x ≥k ，∵关于x 的不等式组�−2(�−1)≥32�+�3≤�无解，∴k ＞﹣1，由上可得，k 的取值范围是﹣1＜k ≤3，∴k 的整数值为0，1，2，3，∴符合条件的整数k 的值的和为：0+1+2+3＝6，故选：D ．【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k 的取值范围．【变式3-8】（2022秋•北碚区校级期末）若整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，且使关于y 的不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．20B ．21C ．27D ．28【分析】先求出方程的解，根据方程的解为非负数得出7−�2≥0，求出a ≤7，求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组的解集为y ≤﹣2得出﹣2≤2a ，求出a ≥﹣1，得出﹣1≤a ≤7，求出整数a ，再求出和即可．【解答】解：解方程4�+12=4−�−2�2得：x =7−�2，∵整数a 使关于x 的方程4�+12=4−�−2�2的解为非负数，∴7−�2≥0，解得：a ≤7，2�−13＜−1+�3①2�−�4≥0②，解不等式①，得y ＜﹣2，解不等式②，得y ≤2a ，∵不等式组2�−13＜−1+�32�−�4≥0的解集为y ＜−2，∴﹣2≤2a ，∴a ≥﹣1，即﹣1≤a ≤7，∵a 为整数，∴a 为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，和为﹣1+0+1+2+3+4+5+6+7＝27，故选：C ．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，能求出a 的取值范围是解此题的关键．【例题4】（2022秋•余姚市校级期末）已知关于x 的不等式3x ﹣a ≥1只有两个负整数解，则a 的取值范围是（）A ．﹣10＜a ＜﹣7B ．﹣10＜a ≤﹣7C ．﹣10≤a ≤﹣7D ．﹣10≤a ＜﹣7【分析】先解不等式得出�≥�+13，根据不等式只有2个负整数解知其负整数解为﹣1和﹣2，据此得出−3＜�+13≤−2，解之可得答案．【解答】解：∵3x ﹣a ≥1，∴�≥�+13，∵不等式只有2个负整数解，∴不等式的负整数解为﹣1和﹣2，则−3＜�+13≤−2，解得：﹣10＜a ≤﹣7．故选：B ．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．【变式4-2】（2023•大庆一模）若关于x 的不等式3x ﹣2m ＜x ﹣m 只有3个正整数解，则m 的取值范围是．【分析】首先解关于x 的不等式，然后根据x 只有3个正整数解，来确定关于m 的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【解答】解：由3x ﹣2m ＜x ﹣m 得：�＜�2，关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，∴3≤�2＜4，∴6≤m＜8，故答案为：6≤m＜8．【点评】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键．【变式4-3】（2022秋•海曙区期末）若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m＜0B．﹣1＜m≤0C．﹣2≤m＜﹣1D．﹣2＜m≤﹣1【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，根据题意得：3＜2﹣m≤4，解得：﹣2≤m＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．【变式4-4】（2022•贵阳模拟）若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（）A．m≥9B．9＜m＜12C．m＜12D．9≤m＜12【分析】解关于x的不等式求得x≤�3，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：移项，得：3x≤m，系数化为1，得：x≤�3，∵不等式的正整数解为1，2，3，∴3≤�3＜4，解得：9≤m＜12，故选：D．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．【变式4-5】（2023春•涡阳县期中）关于x5)＜3�−8的解集中仅有﹣1和0两个整数解，且10a＝2m+5，则m的取值范围是（）A．﹣2.5＜m≤2.5B．﹣2.5≤m≤2.5C．0＜m≤2.5D．2＜m≤2.5【分析】先根据不等式组的解集中仅有﹣1和0两个整数解，求出a的取值范围，再根据10a＝2m+5，得m的取值范围即可．【解答】解：解不等式组得�＜��＞−2，∵不等式组解集中仅有﹣1和0两个整数解，∴0＜a≤1，∵10a＝2m+5，∴m＝5a﹣2.5，∵﹣2.5＜5a﹣2.5≤2.5，∴m的范围是﹣2.5＜m≤2.5．故选：A ．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【变式4-6】（2022秋•巴南区校级期中）若关于x≥2�4(�+1)有解，且最多有3个整数解，且关于y 的方程3y ﹣2=2�−3(8−�)2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m 的和为（）A ．23B ．26C ．29D ．39【分析】先解一元一次不等式组，根据题意可得2≤3�10＜5，再解一元一次方程，根据题意可得2�−203≥0且2�−20310≤m ＜503且2�−203为整数，然后进行计算即可解答．≥2�①4(�+1)②，解不等式①得：x ≤3�10，解不等式②得：x ≥32，∵不等式组有解且至多有3个整数解，∴2≤3�10＜5，∴203≤m ＜503，3y ﹣2=2�−3(8−�)2，解得：y =2�−203，∵方程的解为非负整数，∴2�−203≥0且2�−203为整数，∴m ≥10且2�−203为整数，综上所述：10≤m ＜503且2�−203为整数，∴m ＝10，13，16，∴满足条件的所有整数m 的和，10+13+16＝39，故选：D ．【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式4-7】（2022春•兴文县期中）已知关于x 的不等式组2�+4＞03�−�＜6．（1）当k 为何值时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2？（2）若该不等式组只有4个正整数解，求k 的取值范围．【分析】（1）解不等式组得到其解集，结合已知的解集明确6+�3=2，即可求出k 的值；（2）根据（1）的结论和不等式组只有四个正整数解，可得关于k 的不等式组，再解不等式组即可．【解答】解：（1）不等式组2�+4＞03�−�＜6，解不等式2x +4＞0得：x ＞﹣2，解不等式3x ﹣k ＜6得：�＜6+�3，∴该不等式组的解集为−2＜�＜6+�3．∵﹣2＜x ＜2，∴6+�3=2，∴k ＝0，即k ＝0时，该不等式组的解集为﹣2＜x ＜2．（2）由（1）知，不等式组2�+4＞03�−�＜6的解集为−2＜�＜6+�3，∵该不等式组只有4个正整数解，∴x ＝1，2，3，4，∴4＜6+�3≤5，∴6＜k ≤9．【点评】本题考查解一元一次不等式组，属于常考题型，第2问有一定难度，根据原不等式组解集的情况得出关于k 的不等式组是解题的关键．【变式4-8】（2022春•淮北月考）已知关于x 的不等式组�＞−1�≤1−�（1）当k ＝﹣2时，求不等式组的解集；（2）若不等式组的解集是﹣1＜x ≤4，求k 的值；（3）若不等式组有三个整数解，则k 的取值范围是．【分析】（1）将k ＝﹣2代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集；（2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围；（3）根据不等式组中x ＞﹣1确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定k 的取值范围．【解答】解：（1）当k ＝﹣2时，1﹣k ＝1﹣（﹣2）＝3，∴原不等式组解得：x＞−1x≤3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3；（2）当不等式组的解集是﹣1＜x≤4时，1﹣k＝4，解得k＝﹣3；（3）由x＞﹣1，当不等式组有三个整数解时，则不等式组的整数解为0、1、2，又∵x≤2且x≤1﹣k，∴2≤1﹣k＜3，1≤﹣k＜2，解得﹣2＜k≤﹣1．故答案为：﹣2＜k≤﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-9】（2022•南京模拟）已知关于x的不等式组5�+1＞3(�−1)12�≤8−32�+2�恰有三个整数解．（1）求a的取值范围．（2）化简|a+3|﹣2|a+2|．【分析】（1）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，再根据不等式组恰好有三个整数解进行求解即可；（2）根据（1）所求可得a+3≥0，a+2＜0，由此化简绝对值即可．【解答】解：（1）5�+1＞3(�−1)①12�≤8−32�+2�②，解不等式①得：x ＞﹣2，解不等式②得：x ≤4+a ，∴不等式组的解集为﹣2＜x ≤4+a ，∵不等式组前有三个整数解，∴1≤4+a ＜2，∴﹣3≤a ＜﹣2；（2）∵﹣3≤a ＜﹣2，∴a +3≥0，a +2＜0，∴|a +3|﹣2|a +2|＝a +3+2（a +2）＝a +3+2a +4＝3a +7．【点评】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，正确求出不等式组的解集是解题的关键．【例题5】（2022秋•西湖区校级期中）关于x 的方程组�−�=�−2�+2�=2�+1的解满足2x +y＞2，则m 的取值范围是．【分析】两方程相加得到2x +y ＝3m ﹣1，结合2x +y ＞2列出关于m 的不等式，解之可得【解答】解：�−�=�−2①�+2�=2�+1②，①+②得：2x +y ＝3m ﹣1，∵2x+y＞2，∴3m﹣1＞2，∴m＞1，故答案为：m＞1．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．【变5-1】（2022春•长泰县期中）已知方程组2�+�=3+��+2�=1−�的解满足x﹣y＜0，则（）A．m＞﹣1B．m＞1C．m＜﹣1D．m＜1【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=1−�②，①﹣②得：x﹣y＝2m+2，代入x﹣y＜0得：2m+2＜0，解得：m＜﹣1．故选：C．【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．【变5-2】（2022春•建邺区校级期末）若方程组2�+�=3+��+2�=−1−�的解满足x＜y，则a 的取值范围是（）A．a＜﹣2B．a＜2C．a＞﹣2D．a＞2【分析】将方程组中两方程相减，表示出x﹣y，代入x﹣y＜0中，即可求出a的范围．【解答】解：2�+�=3+�①�+2�=−1−�②，①﹣②得：x ﹣y ＝4+2a ，∵x ＜y ，∴x ﹣y ＜0，∴4+2a ＜0，∴a ＜﹣2．故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x ﹣y 是解本题的关键．【变5-3】（2022春•偃师市校级期中）已知不等式4−5�2−1＜6的负整数解是方程2x ﹣3＝ax 的解．求关于x 的一元一次不等式组7(�−�)−3�＞−1115�+2＜�的解集及其所有整数解的和．【分析】先求出不等式4−5�2−1＜6的负整数解，再解方程求出a 的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可得答案．【解答】解：∵4−5�2−1＜6，4﹣5x ﹣2＜12，﹣5x ＜10，x ＞﹣2，∴不等式的负整数解是﹣1，把x ＝﹣1代入2x ﹣3＝ax 得：﹣2﹣3＝﹣a ，解得：a ＝5，把a＝5代入不等式组得7(�−5)−3�＞−11 15�+2＜5，解不等式组得：6＜x＜15．∴所有整数解的和7+8+9+10+11+12+13+14＝84．【点评】本题考查了解一元一次不等式及整数解，解一元一次方程，解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．【变5-4】（2022春•雁江区校级期中）已知a是不等式组5�−1＞3(�+1)12�−1＜7−32�的整数解，x，y满足方程组��−2�=8�+2�=0，求（x﹣y）（x2+xy+y2）的值．【分析】先解不等式组确定a的整数值，再将a值代入关于x、y的二元一次方程组中求解，最后求得（x+y）（x2﹣xy+y2）的值．【解答】解：解不等式①得：a＞2，解不等式②得：a＜4，∴不等式组的解集是：2＜a＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为3�−2�=8�+2�=0，解得�=2�=−1，∴（x+y）（x2﹣xy+y2）＝（﹣1+2）（4+2+1）＝7．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了；也考查了解二元一次方程组以及求代数式的值．【变5-5】（2022春•南关区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组5�+2�=5�7�+4�=4�的解满足不等式组2�+�＜5�−�＞−9，求出整数a的所有值．【分析】解方程组5�+2�=5�7�+4�=4�得出�=2��=−52�，代入不等式组2�+�＜5�−�＞−9得到关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：5�+2�=5�①7�+4�=4�②，①×2﹣②，得：3x＝6a，解得：x＝2a，将x＝2a代入①，得：10a+2y＝5a，解得：y=−52a，∴方程组的解为�=2��=−5 2�．将�=2��=−52�代入不等式组组2�+�＜5�−�＞−9，得：4�−52�＜5 2�+52�＞−9，解得：﹣2＜a＜10 3，∴整数a的所有值为﹣1、0、1、2、3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．也考查了解二元一次方程组．�+4�=2+�的解满足﹣1＜x+y≤3．【变5-6】（2023春•河南期中）已知方程组2�−�=1+2�（1）求a的取值范围；（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．【解答】解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，则x+y＝a+1，根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，解得﹣2＜a≤2，即a的取值范围是﹣2＜a≤2；（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，又∵﹣2＜a≤2且a为整数，∴a＝﹣1，0，即a的值是﹣1或0．【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．【变5-7】（2022春•威远县校级期中）已知方程组�+�=−7−��−�=1+3�的解满足x 为非正数，y 为负数．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【分析】（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，根据x 为非正数，y 为负数得�−3≤0①−2�−4＜0②，解之可得答案；（2）由不等式2mx +x ＜2m +1，即（2m +1）x ＜2m +1的解集为x ＞1知2m +1＜0，解之得出m ＜−12，再从﹣2＜m ≤3中找到符合此条件的整数m 的值即可．【解答】解：（1）解方程组得�=�−3�=−2�−4，∵x 为非正数，y 为负数，∴�−3≤0①−2�−4＜0②，解不等式①，得：m ≤3，解不等式②，得：m ＞﹣2，则不等式组的解集为﹣2＜m ≤3；（2）∵不等式2mx +x ＜4m +2，即（2m +1）x ＜4m +2的解集为x ＞2，∴2m +1＜0，解得m ＜−12，在﹣2＜m ≤3中符合m ＜−12的整数为﹣1．【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变5-8】（2022春•定远县校级期末）已知不等式组3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②．（1）求此不等式组的解集，并写出它的整数解；（2）若上述整数解满足不等式ax+6≤x﹣2a，化简|a+1|﹣|a﹣1|．【分析】（1）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再写出它的整数解即可；（2）将（1）中的结果代入不等式ax+6≤x﹣2a，然后求出a的取值范围，再判断a+1和a ﹣1的正负情况，然后将所求式子去掉绝对值，再化简即可．【解答】解：（1）3(2�−1)＜2�+8①2+3(�+1)8＞3−�−14②，由①得：�＜11 4，由②得：�＞7 5，∴不等式组的解集为75＜�＜114，∴不等式组的整数解为x＝2；（2）将x＝2代入不等式ax+6≤x﹣2a，得：2a+6≤2﹣2a，解得a≤﹣1，∴a+1≤0，a﹣1≤﹣2，∴|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣（a+1）﹣（1﹣a）＝﹣a﹣1﹣1+a＝﹣2．【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．【变5-9】（2022春•乐安县期中）若关于x�−13�≤4−�恰有2个整数解，且关于x ，y 的方程组��+�=43�−�=0也有整数解，求出所有符合条件的整数m 的值．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有2个整数解，确定出m 的范围，再由方程组有整数解，确定出符合题意整数m 的值即可．【解答】解：不等式组整理得：�＞−2�≤�+45，∵不等式组恰有2个整数解，∴﹣2＜x ≤�+45，即整数解为﹣1，0，∴0≤�+45＜1，解得：﹣4≤m ＜1，即整数m ＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，方程组��+�=4①3�−�=0②，①+②得：（m +3）x ＝4，解得：x =4�+3，把x =4�+3代入②得：y =12�+3，∵方程组的解为整数，∴m ＝﹣4，﹣2，﹣1．【点评】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．。

专题5.5 含参问题十六大必考点【人教版】【考点1 根据同类项定义求字母的值】 (1)【考点2 根据单项式的次数与系数求字母的值】 (1)【考点3 根据多项式的次数与项数求字母的值】 (2)【考点4 多项式中的不含某项问题中求字母的值】 (2)【考点5 多项式中的与字母取值无关问题中求字母的值】 (2)【考点6 整式加减中不含某项问题中求字母的值】 (3)【考点7 整式加减中的与字母取值无关问题中求字母的值】 (3)【考点8 根据方程的定义求字母的值】 (4)【考点9 根据方程的解求字母的值】 (4)【考点10 根据方程解的情况求字母的值】 (4)【考点11 同解方程中求字母的值】 (5)【考点13 绝对值方程中求字母的值】 (6)【考点14 错解方程中求字母的值】 (6)【考点16 根据方程的特殊解求字母的值】 (7)【考点1 根据同类项定义求字母的值】【例1】（2022·全国·七年级课时练习）若单项式−2ax2y n+1与−3ax m y4的差是ax2y4，则2m+3n=____．【变式11】（2022·全国·七年级专题练习）若−3a2b x与−3a y b是同类项，则x y的值是（）A．1B．2C．3D．4xy|b|是同类项，其中a、b互为倒数，求2(a−2b2)−【变式12】（2022·湖南常德·七年级期末）若2x|2a+1|y与13(3b2−a)的值．【变式13】（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校期中）已知2x3y n与−x3m y2的和是单项式，则式子m−n 的值是___________．【考点2 根据单项式的次数与系数求字母的值】【例2】（2022·四川·眉山市东坡区尚义镇初级中学七年级阶段练习）已知(m−1)a|m+1|b3是关于a、b的五次单项式，则m=_______________．【变式21】（2022·全国·七年级课时练习）若单项式−x2y n+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为___________．【变式22】（2022·黑龙江佳木斯·七年级期末）单项式−18a2b m与−37x3y4是次数相同的单项式，则m的值为_______．【变式23】（2022·广西崇左·七年级期中）如果单项式－12x3y m的次数是5，那么(1−m)2015=_______．【考点3 根据多项式的次数与项数求字母的值】【例3】（2022·湖南常德·七年级期末）若多项式2x2+x m+6x3+nx2−x+3是关于x的五次四项式，则m−n=_________．【变式31】（2022·山东枣庄·七年级期中）若多项式xy m−n+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn=_____．【变式32】（2022·湖南娄底·七年级期末）如果多项式4x2−7x2+6x−5x+2与多项式ax2+bx+c（其中a，b，c是常数）相等，则a=________，b=________，c=________．【变式33】（2022·江西·临川实验学校七年级期末）若多项式(n−2)x m+2−(n−1)x5−m+6是关于x的三次多项式，则多项式n3−2m+3的值为________．【考点4 多项式中的不含某项问题中求字母的值】【例4】（2022·山东济南·七年级期中）当k=_______时，代数式x2−8+5xy−3y2+5kxy中不含xy项．【变式41】（2022·广东·东莞市石碣中学七年级期中）当多项式−5x3−(m−2)x2−2x+6x2+(n−3)x−1不含二次项和一次项时，求m、n的值．【变式42】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）若关于x的多项式x4−m2x3+ x3+2x2−3x+3m+1中不含x3项，则这个多项式的常数项为______．【变式43】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x，y的多项式mx2+4xy−7x−3x2+2nxy−5y合并后不含有二次项．．．，则n2+mn=_______．【考点5 多项式中的与字母取值无关问题中求字母的值】【例5】（2022·江苏省黄桥中学七年级期中）关于x、y的代数式ax+2y−3y+x−2的值与x的取值无关，则a的值为（）A．0B．﹣1C．1D．3【变式51】（2022·河南·洛阳外国语学校七年级期中）若关于x、y的二次多项式－3x2+y3+nx2－4y+3的值与x的取值无关，则n＝_______.【变式52】（2022·全国·七年级课时练习）已知多项式M＝(2x2+3xy+2y)−2(x2+x+yx+1)．(1)当x＝1，y＝2，求M的值；(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．【变式53】（2022·陕西·西北大学附中七年级期中）如果关于x、y的代数式(2x2+ax−y+6)−(2bx2−3x+5y−1)的值与字母x所取的值无关，试化简代数式a3−2b2−2(1a3−3b2)，再求值．4【考点6 整式加减中不含某项问题中求字母的值】【例6】（2022·江苏·扬州市梅岭中学七年级阶段练习）已知关于x的整式A=x2+3ax−3x+2，整式B= 2x2+4ax−2x+2，若a是常数，且3A−B不含x的一次项．求a的值．【变式61】（2022·山东济南·七年级期中）已知多项式3x2−2x−4与多项式A的和为6x−1，且式子A−2(kx−1)的计算结果中不含关于x的一次项．（1）求多项式A；（2）求k的值．【变式62】（2022·广东·惠州市惠阳区新城学校七年级期中）已知：3x2−2x+b与x2+bx−1的和不含关于x的一次项．(1)求b的值，并写出它们的和；(2)请你说明不论x取什么值，这两个多项式的和总是正数的理由．【变式63】（2022·全国·七年级专题练习）已知A=x2−mx+2，B=nx2+2x−1．(1)求2A−B，并将结果整理成关于x的整式；(2)若2A−B的结果不含x和x2项，求m、n的值．【考点7 整式加减中的与字母取值无关问题中求字母的值】【例7】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知A=3a2−2b，B=−4a2+4b，若代数式4A−mB的结果与b 无关，则m=________.【变式71】（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式A＝2x2＋3xy＋2y，B＝x2﹣xy＋x．(1)求A﹣2B；(2)当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；(3)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．【变式72】（2022·浙江·余姚市姚江中学七年级期中）已知：A=2x2+3xy−5x+1，B=−x2+xy+2.(1)当x=−2,y=1时，求A+2B的值．(2)若A+2B的值与x的值无关，求y的值．【变式73】（2022·江苏·启东市百杏中学七年级期中）(1)先化简再求值：7a2b+(4a2b﹣9ab2)﹣2(5a2b﹣3ab2)，其中a ＝2，b ＝﹣1.(2)已知代数式 A ＝x 2+xy ﹣2y ，B ＝2x 2﹣2xy+x ﹣1 ①求 2A ﹣B ．②若 2A ﹣B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值. 【考点8 根据方程的定义求字母的值】【例8】（2022·湖南·七年级单元测试）若 x 3−2a +2a =4是关于x 的一元一次方程，则a = ________． 【变式81】（2022·全国·七年级专题练习）若(m −1)x +1=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值可以是______(写出一个即可)【变式82】（2022·全国·七年级专题练习）若方程（a ﹣4）x |a|﹣3﹣7=0是一个一元一次方程，则a 等于______． 【变式83】（2022·四川·安岳县兴隆初级中学七年级期中）已知方程(m +1)x |m |+1=0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是______． 【考点9 根据方程的解求字母的值】【例9】（2022·福建·莆田擢英中学七年级期中）已知x ＝2是方程3x ﹣5＝2x +m 的解，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣3【变式91】（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知x =−2是方程5x +12=x2−a 的解，则a 2−a −6的值为（ ） A ．0B ．6C ．−6D ．−18【变式92】（2022·湖南·衡阳市华新实验中学七年级阶段练习）关于x 的方程k （x +4）﹣2k ﹣x ＝5的解为x ＝﹣3，则k 的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【变式93】（2022·全国·七年级单元测试）已知x ＝1是方程x−k 3=32x −12的解，则2k +3的值是______________【考点10 根据方程解的情况求字母的值】【例10】（2022·广东·湛江市雷阳实验学校七年级阶段练习）已知：A =2a 2+3ab −2a −1,B =a 2+ab −1， (1)求A −2B(2)若无论a 取任何数值，A −2B 的值都是一个定值，求b 的值(3)若关于x 的方程(a +2)x =3无解，(b −1)x =0有无数解，求B 的值【变式101】（2022·四川·成都嘉祥外国语学校七年级期末）已知关于x 的方程2ax −b =3x −2有无数多个解，则（ ） A ．a =32，b =2B ．a =32，b =−2C．a=−32，b=2D．a，b的值不存在【变式102】（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程2ax−b=−12a+6x无解，则a，b的值分别为（）A．a=0，b=0B．a=3，b=36C．a=36，b=3D．a=3，b=3【变式103】（2022·全国·七年级阶段练习）若(3a+2b)x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，那么x=_______．【考点11 同解方程中求字母的值】【例11】（2022·四川·仁寿县文宫镇古佛九年制学校七年级期中）若方程2x－m＝1和方程3x＝2(x－1)的解相同，则m的值为__________．【变式111】（2022·江苏泰州·七年级期末）若关于x的方程3x−6=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，则a的值为______．【变式112】（2022·四川·成都市青羊实验中学七年级阶段练习）已知关于x的方程x−m2=x+m3与方程4y−15=2y+13−2的解相同，则m的值是________．【变式113】（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知方程4x＋2m =3x＋1和方程3x＋2m=6x＋1的解相同，则代数式(m+2)2021⋅(2m−75)2022的值为__________．【考点12 构造一元一次方程求字母的值】【例12】（2022·全国·七年级专题练习）若关于x的方程3(2x−1)=k+2x的解与关于x的方程8−k=2(x+1)的解互为相反数，则k=______．【变式121】（2022·上海市民办新复兴初级中学期中）已知关于x的方程2x−3(x−2)=3的解比关于x的方程x−a−22=0的解小2，求a的值．【变式122】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期末）已知关于x的方程2x+a=0的解比方程3xa=0的解大5，则a=_______．【变式123】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）已知方程x4=32(x−1)．(1)求方程的解；(2)若上述方程的解比关于x的方程3a+8=3(x+a)133a的解大1，求a的值．【考点13 绝对值方程中求字母的值】【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程|x −k |=12的解是x =2，那么k =______．【变式131】（2022·全国·七年级课时练习）若方程2x+13－2=x －1与方程x +m =3的解的绝对值相等，则m =___________．【变式132】（2022·重庆江津·七年级期末）已知关于x 的方程3+x 2=3+k 的解满足|x |=3，则符合条件的所有k 的值的和为______．【变式133】（2022·浙江·七年级期末）已知关于x 的方程|x +1|=a +2只有一个解，那么19x 2018−3a +15的值为_______．【考点14 错解方程中求字母的值】【例14】（2022·四川·剑阁县公兴初级中学校七年级阶段练习）亮亮在解关于x 的方程ax−12+6=2+x 3时，把6错写成1，解得x=1，并且亮亮的解题过程没有错误，则此方程正确的解为______．【变式141】（2022·吉林省第二实验学校七年级期中）小马虎在解关于x 的方程2a −5x =21时，误将“−5x ”成了“+5x ”，得方程的解为x =3．则原方程的解为_________．【变式142】（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）小李在解方程3x+52−2x−m 3=1去分母时方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x ＝－4，则m 的值为______． 【变式143】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程2x−65+1＝x+a 2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x ＝﹣1． (1)试求a 的值； (2)求原方程的解．【考点15 遮挡问题中求字母的值】【例15】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程32(1−�−x 3)=x −13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x =23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．【变式151】（2022·全国·七年级课时练习）马小哈在解一元一次方程“●x −3=2x +9”时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中未知数x 前的系数看不清了，同桌正确答案的最后一步是“所以原方程的解为x =−2”，马小哈由此就知道了被墨水遮住的数，请你帮马小哈算一算，被墨水遮住的数是________． 【变式152】（2022·四川绵阳·七年级期末）方程2+�3=x ，■处被墨水盖住了，已知方程的解x ＝2，那么■处的数字是（）A．2B．3C．4D．6【变式153】（2022·吉林·长春市汇宣培训学校七年级阶段练习）下面是一个被墨水污染过的方程：2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）A．2B．﹣2C．﹣12D．12【考点16 根据方程的特殊解求字母的值】【例16】（2022·全国·七年级专题练习）关于x的一元一次方程2x+m=6，其中m是正整数．．．．若方程有正．整数解．．．，则m的值为_____________．【变式161】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax−3=3x+3的解是偶数，则符合条件的所有整数a的值有______．【变式162】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程(k−2019)x−2017=6−2019(x+1)的解是整数，则整数k的取值个数是（）A．5B．3C．6D．2【变式163】（2022·北京·首都师范大学附属中学七年级期中）若关于x的方程2kx+a3=1−x−bk6，无论k为何值，它的解总是x=1，则代数式2a+b=_________．。

方程、不等式中的含参问题例1．已知三个非负实数a，b，c满足：3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为__________．同类题型1.1已知x＋2y－3z＝0，2x＋3y＋5z＝0，则x＋y＋zx－y＋z＝________．同类题型1.24x＋3m＝28x－3y＝m的解x，y满足x＞y，则m的取值范围是（）A．m＞910B．m＞109C．m＞1910D．m＞1019例2．关于x的方程x2＋mx－9＝0和x2－3x＋m2＋6m＝0有公共根，则m的值为________．同类题型2.1已知a是一元二次方程x2－2018x＋1＝0的一个根，则代数式a2－2017a＋2018a2＋1的值是___．同类题型2.2已知关于x的方程（k2－1）x2＋（2k－1）x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k的取值范围为_____________．同类题型2.3已知α、β是方程x2－2x－4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为（）A．－1B．2C．22D．30例3．已知方程x＋1x＝a＋1a的两根分别为a，1a，则方程x＋1x－1＝a＋1a－1的根是（）A．a，1a－1B．1a－1，a－1C．1a，a－1D．a，aa－1同类题型3.1若关于x的方程2x－bx－1＝3的解是非负数，则b的取值范围是________．同类题型3.2观察分析下列方程：①x＋2x＝3；②x＋6x＝5；③x＋12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x＋n2＋nx－4＝2n＋5（n为正整数）的根，你的答案是_________________．同类题型3.3已知关于x的方程2x－1－a＋1x＋2＝3a(x－1)(x＋2)只有整数解，则整数a的值为_____________．例4．[x]表示不超过x的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x]＝－[x]；②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n＋1；③当－1＜x＜1时，[1＋x]＋[1－x]的值为1或2；④x＝－2.75是方程4x－2[x]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．同类题型4.1设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x ≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x＋[x]＋3{x}＋4（x）≤14的解为（）A．0.5≤x≤2B．0.5＜x＜1.5或1.5＜x＜2C ．0.5＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2同类题型4.2规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．同类题型4.3如果关于x 的不等式（a ＋b ）x ＋2a －b ＞0的解集是x ＜52，那么关于x 的不等式（b －a ）x ＋a ＋2b ≤0的解集是____________．同类题型4.4若关于x x ＋43＞x2＋1x －a ＜0解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．同类题型4.5按如图的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有___________．参考答案例1．已知三个非负实数a ，b ，c 满足：3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为__________．3a ＋2b ＋c ＝52a ＋b －3c ＝1m ＝3a ＋b －7c ，解得a ＝7﹒(m ＋2)3－3，b ＝7－11﹒(m ＋2)3，c ＝m ＋23，由于a ，b ，c 是三个非负实数，∴a ≥0，b ≥0，c ≥0，∴－111≥m ≥－57．所以m _(最小值)＝－57．故本题答案为：－57．同类题型1.1已知x ＋2y －3z ＝0，2x ＋3y ＋5z ＝0，则x ＋y ＋zx －y ＋z＝________．解：由题意得：x ＋2y －3z ＝0①2x ＋3y ＋5z ＝0②，①×2－②得y ＝11z ，代入①得x ＝－19z ，原式＝x ＋y ＋z x －y ＋z ＝－19z ＋11z ＋z －19z －11z ＋z ＝729．同类题型1.24x ＋3m ＝28x －3y ＝m 的解x ，y 满足x ＞y ，则m 的取值范围是（）A ．m ＞910B ．m ＞109C ．m ＞1910D ．m ＞10194x ＋3m ＝2①8x －3y ＝m ②由①得x ＝2－3m 4，代入②得，8×2－3m 4－3y ＝m ，y ＝4－7m3．∵x ＞y ，即2－3m 4＞4－7m 3，解得m ＞1019．选D ．例2．关于x 的方程x 2＋mx －9＝0和x 2－3x ＋m 2＋6m ＝0有公共根，则m 的值为________．解：设这个公共根为α．则方程x 2＋mx －9＝0的两根为α、－m －α；方程x 2－3x ＋m 2＋6m ＝0的两根为α、3－α，由根与系数的关系有：α（－m －α）＝－9，α（3－α）＝m 2＋6m ，整理得，α2＋mα＝9①，α2－3α＋m 2＋6m ＝0②，②－①得，m 2＋6m －3α－mα＝－9，即（m ＋3）2－α（m ＋3）＝0，（m ＋3）（m ＋3－α）＝0，所以m ＋3＝0或m ＋3－α＝0，解得m ＝－3或α＝m ＋3，把α＝m ＋3代入①得，（m ＋3）2＋m （m ＋3）＝9，m 2＋6m ＋9＋m 2＋3m ＝9，m （2m ＋9）＝0，所以m ＝0或2m ＋9＝0，解得m ＝0或m ＝－4.5，综上所述，m 的值为－3，0，－4.5．同类题型2.1已知a 是一元二次方程x 2－2018x ＋1＝0的一个根，则代数式a 2－2017a ＋2018a 2＋1的值是___．解：由题意，把根a 代入x 2－2018x ＋1＝0，可得：a 2－2018a ＋1＝0，∴a 2－2017a －a ＋1＝0，a 2＋1＝2018a ；∴a 2－2017a ＝a －1，∴a 2－2017a ＋2018a 2＋1＝a －1＋20182018a ＝a ＋1a －1＝a 2＋1a －1＝2018aa －1＝2018－1，＝2017．同类题型2.2已知关于x 的方程（k 2－1）x 2＋（2k －1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围为_____________．解：由题意知，k ≠±1，△＝（2k －1）2－4（k 2－1）＝5－4k ＞0∴k ＜54且k ≠±1．同类题型2.3已知α、β是方程x 2－2x －4＝0的两个实数根，则α3＋8β＋6的值为（）A ．－1B ．2C ．22D ．30解：∵α、β是方程x 2－2x －4＝0的两个实数根，∴α＋β＝2，α2－2α－4＝0，∴α2＝2α＋4∴α3＋8β＋6＝α﹒α2＋8β＋6＝α﹒（2α＋4）＋8β＋6＝2α2＋4α＋8β＋6＝2（2α＋4）＋4α＋8β＋6＝8α＋8β＋14＝8（α＋β）＋14＝30，故选D ．例3．已知方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a ，则方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1的根是（）A ．a ，1a －1B ．1a －1，a －1C ．1a，a －1D ．a ，aa －1解：方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1可以写成x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1的形式，∵方程x ＋1x ＝a ＋1a 的两根分别为a ，1a，∴方程x －1＋1x －1＝a －1＋1a －1的两根的关系式为x －1＝a －1，x －1＝1a －1，即方程的根为x ＝a 或aa －1，∴方程x ＋1x －1＝a ＋1a －1的根是a ，a a －1．选D ．同类题型3.1若关于x 的方程2x －bx －1＝3的解是非负数，则b 的取值范围是________．解：去分母得，2x －b ＝3x －3∴x ＝3－b∵x ≥0∴3－b ≥0解得，b ≤3又∵x －1≠0∴x ≠1即3－b ≠1，b ≠2则b 的取值范围是b ≤3且b ≠2．同类题型3.2观察分析下列方程：①x ＋2x ＝3；②x ＋6x ＝5；③x ＋12x＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程x ＋n 2＋nx －4＝2n ＋5（n 为正整数）的根，你的答案是_________________．解：x ＋1×2x ＝3，解得：x ＝2或x ＝1；x ＋2×3x ＝5，解得：x ＝2或x ＝3；x ＋3×4x＝7，解得：x ＝3或x ＝4，得到规律x ＋mnx ＝m ＋n 的解为：x ＝m 或x ＝n ，所求方程整理得：x －4＋n (n ＋1)x －4＝2n ＋1，根据规律得：x －4＝n 或x －4＝n ＋1，解得：x ＝n ＋4或x ＝n ＋5．同类题型3.3已知关于x 的方程2x －1－a ＋1x ＋2＝3a(x －1)(x ＋2)只有整数解，则整数a 的值为_____________．解：方程两边同乘以（x －1）（x ＋2），得：2（x ＋2）－（a ＋1）（x －1）＝3a ，解得：x ＝2a －51－a＝－2－31－a ，∵方程只有整数解，∴1－a ＝3或1或－3或－1，当1－a ＝3，即a ＝－2时，x ＝－2－1＝－3，检验，将x ＝－3代入（x －1）（x ＋2）＝4≠0，故x ＝－3是原分式方程的解；当1－a ＝1，即a ＝0时，x ＝－2－3＝－5，检验，将x ＝－5代入（x －1）（x ＋2）＝18≠0，故x ＝－7是原分式方程的解；当1－a ＝－3，即a ＝4时，x ＝－2＋1＝－1，检验，将x ＝－1代入（x －1）（x ＋2）＝－2≠0，故x ＝－1是原分式方程的解；当1－a ＝－1，即a ＝2时，x ＝1，检验，将x ＝1代入（x －1）（x ＋2）＝0，故x ＝1不是原分式方程的解；∴整数a 的值为：－2，0或4．例4．[x ]表示不超过x 的最大整数．如，[π]＝3，[2]＝2，[－2.1]＝－3．则下列结论：①[－x ]＝－[x ]；②若[x ]＝n ，则x 的取值范围是n ≤x ＜n ＋1；③当－1＜x ＜1时，[1＋x ]＋[1－x ]的值为1或2；④x ＝－2.75是方程4x －2[x ]＋5＝0的唯一一个解．其中正确的结论有_________（写出所有正确结论的序号）．解：①当x ＝－3.5时，[－3.5]＝－4，－[x ]＝－3，不相等，故原来的说法错误；②若[x ]＝n ，则x 的取值范围是n ≤x ＜n ＋1是正确的；③当－1＜x ＜0时，[1＋x ]＋[1－x ]＝0＋1＝1；当x ＝0时，[1＋x ]＋[1－x ]＝1＋1＝2；当0＜x ＜1时，[1＋x ]＋[1－x ]＝1＋0＝1；故当－1＜x ＜1时，[1＋x ]＋[1－x ]的值为1或2是正确的；④x －[x ]的范围为0～1，4x －2[x ]＋5＝0，－5≤2x ＜－7，即－2.5≤x ＜－3.5，x ＝－2.75或x ＝－3.25都是方程4x －2[x ]＋5＝0，故原来的说法错误．故答案为：②③．同类题型4.1设[x ]表示不大于x 的最大整数，{x }表示不小于x 的最小整数，（x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，（3.4）＝3．则不等式8≤2x ＋[x ]＋3{x }＋4（x ）≤14的解为（）A ．0.5≤x ≤2B ．0.5＜x ＜1.5或1.5＜x ＜2C ．0.5＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜2解：根据题意得：x ＞0，若x ≥2，则2x ≥4，[x ]≥2，3{x }≥6，4（x ）≥8，不等式不成立．故只需分析0＜x ＜2时的情形即可，①0＜x ≤0.5时，不等式可化为：8≤2x ＋0＋3＋0≤14，解得：2.5≤x ≤5.5，不符合不等式；②当0.5＜x ≤1时，不等式可化为：8≤2x ＋0＋3＋4≤14，解得：0.5≤x ≤3，因此0.5＜x ≤1，符合不等式；③当1＜x ＜1.5时，不等式可化为：8≤2x ＋1＋6＋4≤14，解得：－1.5≤x ≤1.5，因此1＜x ＜1.5，符合不等式；④当1.5＜x ＜2时，不等式可化为：8≤2x ＋1＋6＋8≤14，解得：－3.5≤x ≤－0.5，不符合不等式．故原不等式的解集为：0.5＜x ＜1.5．故选C ．同类题型4.2规定：[x ]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x ≠n ＋0.5，n 为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是___________．（写出所有正确说法的序号）①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝6；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝－7；③方程4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11的解为1＜x ＜1.5；④当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有两个交点．解：①当x ＝1.7时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝[1.7]＋（1.7）＋[1.7）＝1＋2＋2＝5，故①错误；②当x ＝－2.1时，[x ]＋（x ）＋[x ）＝[－2.1]＋（－2.1）＋[－2.1）＝（－3）＋（－2）＋（－2）＝－7，故②正确；③4[x ]＋3（x ）＋[x ）＝11，7[x ]＋3＋[x ）＝11，7[x ]＋[x ）＝8，1＜x ＜1.5，故③正确；④∵－1＜x ＜1时，∴当－1＜x ＜－0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当－0.5＜x ＜0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝－1＋0＋x ＝x －1，当x ＝0时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋0＋0＝0，当0＜x ＜0.5时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，当0.5＜x ＜1时，y ＝[x ]＋（x ）＋x ＝0＋1＋x ＝x ＋1，∵y ＝4x ，则x －1＝4x 时，得x ＝－13；x ＋1＝4x 时，得x ＝13；当x ＝0时，y ＝4x ＝0，∴当－1＜x ＜1时，函数y ＝[x ]＋（x ）＋x 的图象与正比例函数y ＝4x 的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．同类题型4.3如果关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜52，那么关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是____________．解：∵关于x的不等式（a＋b）x＋2a－b＞0的解集是x＜52，∴x＜b－2aa＋b，∴b－2aa＋b＝52，且a＋b＜0，即b＝－3a，a＋b＜0，∴a－3a＜0，即a＞0，∴b－a＝－4a＜0，∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥－a－2bb－a，∵－a－2bb－a＝－a＋6a－3a－a＝－54，∴关于x的不等式（b－a）x＋a＋2b≤0的解集是x≥－54．同类题型4.4若关于x x＋43＞x2＋1x－a＜0解集为x＜2，则a的取值范围是___________．解：由x＋43＞x2＋1，得2x＋8＞3x＋6，解得x＜2，由x－a＜0，得x＜a，又因关于x x＋43＞x2＋1x－a＜0解集为x＜2，所以a≥2．同类题型4.5按如图的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有___________．解：∵最后输出的数为656，∴5x＋1＝656，得：x＝131＞0，∴5x＋1＝131，得：x＝26＞0，∴5x＋1＝26，得：x＝5＞0，∴5x＋1＝5，得：x＝0.8＞0；∴5x＋1＝0.8，得：x＝－0.04＜0，不符合题意，故x的值可取131，26，5，0.8共4个．。

不等式组的含参问题不等式组的含参问题一：求解含参不等式组•问题描述：给定一个含有参数的不等式组，求解参数的取值范围，使得不等式组成立。

•解释说明：含参不等式组是指在多个不等式中，含有未知参数。

通过求解参数的取值范围，可以确定满足不等式组的解集。

问题二：参数的影响分析•问题描述：分析参数对不等式组解集的影响，即研究参数的变化如何影响不等式组的解集。

•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值不同会导致解集的改变。

通过参数的影响分析，可以找出参数取值范围与解集的关系。

问题三：参数的极值问题•问题描述：对于含参不等式组，求解参数的极值点，使不等式组取得最值。

•解释说明：在求解参数的极值问题时，需要注意不等式组的约束条件和最值的定义，分析参数取极值时解集的特点。

•问题描述：研究参数在某些特殊取值时，不等式组所满足的特殊性质。

•解释说明：在含参不等式组中，当参数取某些特殊值时，解集可能具有特定的性质，如唯一解、无解、有无穷多解等。

问题五：参数的系统解问题•问题描述：对于复杂的含参不等式组，寻找参数的解集表达式或参数取值集合，使得不等式组的解集满足某些特定要求。

•解释说明：参数的系统解问题是在多个不等式之间存在约束条件的情况下，分析参数取值的限制条件，从而求得满足特定要求的解集。

问题六：参数的图像表示问题•问题描述：通过图像表示参数的取值范围，以直观地展示不等式组的解集。

•解释说明：参数的图像表示问题可以通过绘制不等式组的平面图或三维图，观察参数取值范围对解集形态的影响，从而更直观地理解不等式组。

以上是关于不等式组的含参的一些相关问题，通过解决这些问题，可以深入理解含参不等式组的特点和解集的性质。

•问题描述：分析含参不等式组中参数的取值，寻找满足特定约束条件的解集。

•解释说明：在含参不等式组中，参数的取值可能受到一定的约束条件，如参数的取值范围、参数与其他参数的关系等。

通过分析这些约束条件，可以确定满足特定条件的解集。