解含参集合问题的几个注意点

高中数学易错知识点汇总1.由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=∅时也满足B⊆A。

解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

2.集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

3.命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。

4.对于两个条件A，B，如果A⇒B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A⇔B，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断。

5.命题p∨q真⇔p真或q真，命题p∨q假⇔p假且q假(概括为一真即真)；命题p∧q 真⇔p真且q真，命题p∧q假⇔p假或q假(概括为一假即假)；綈p真⇔p假，綈p假⇔p真(概括为一真一假)。

求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解。

6.在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。

对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

7.判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。

8.如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)>0时，不能否定函数y=f(x)在(a，b)内有零点。

轻松理解集合高中数学集合问题的解题技巧高中数学中的集合问题是一个重要而基础的概念。

学生在学习集合问题时，可能会遇到一些难以理解或解答的挑战。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助学生轻松理解和解决高中数学集合问题。

一、概念解释在深入讲解解题技巧之前，我们先来简要介绍一下集合问题的基本概念。

在数学中，集合是由一些特定对象组成的总体。

这些对象可以是数字、字母、符号或其他特定元素。

对于集合问题，我们需要了解以下几个关键概念：1. 元素：集合中的个体，可以是数字、字母等。

2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

3. 子集：如果一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B，那么集合A是集合B的子集。

4. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起形成的集合，用符号∪表示。

5. 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合，用符号∩表示。

6. 补集：相对于某个全集，不属于某个特定集合的元素所组成的集合，用符号补(A)表示。

二、解题技巧理解了这些基本概念后，我们来探讨一些解题技巧，以帮助学生更好地解决集合问题。

1. 制定清晰的解题策略在解答集合问题之前，制定一个清晰的解题策略非常重要。

首先，仔细阅读问题，理解问题所给的条件和要求。

然后，明确题目中所涉及的集合及其关系。

最后，选择合适的集合运算和方法来解答问题。

2. 利用绘图和图表工具对于一些复杂的集合问题，绘制图表可以帮助学生更好地进行推理和分析。

例如，使用Venn图可以清晰地表示集合之间的关系，帮助学生更好地理解并解答相关问题。

3. 善于利用已知条件解答集合问题时，善于利用已知条件是非常重要的。

通过确定已知条件中的共同元素和关系，可以更准确地判断并推导出其他有用的信息。

4. 注意全集的选择在解题过程中，需要注意选择合适的全集。

全集是指所有可能元素的集合，对于不同的问题，全集的选择可能会有所不同。

确保选择合适的全集非常重要，以避免出现解答错误或不完整的情况。

5. 灵活运用集合运算掌握和灵活运用集合的并、交、补等运算是解答集合问题的关键。

ʏ黄冠品集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点,也是一个易错点㊂其学习要点在于正确判断端点值能否取到,注意考虑空集的情况㊂高考关于集合中含参数问题的考查,往往与集合元素的性质㊁函数㊁解不等式等相结合,考查的题型主要以小题形式出现,有时渗透于解答题之中㊂类型一:元素与集合关系中的含参数问题例1已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2ɪM,求x的值㊂解:当3x2+3x-4=2时,3x2+3x-6=0,即x2+x-2=0,解得x=-2或x= 1,经检验知,x=-2或x=1均不合题意㊂当x2+x-4=2时,x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,经检验知,x=-3或x=2均符合题意㊂故所求的x=-3或x=2㊂感悟:已知某元素属于或不属于集合,求参数的取值范围要注意两点:一是合理确定分类标准,做到不重不漏;二是要将所求得的参数值代入集合进行检验㊂变式1:已知集合A={(x,y)|2x-y+ m>0},B={(x,y)|x+y-nɤ0},若点P(2,3)ɪA,且P(2,3)∉B,求m,n的取值范围㊂提示:将点(2,3)代入集合A中的不等式,可得4-3+m>0,解得m>-1㊂因为点(2,3)不在集合B中,所以将点(2,3)代入B中得到2+3-nɤ0不成立,即2+3-n>0成立,解得n<5㊂故所求的mɪ(-1,+ɕ),nɪ(-ɕ,5)㊂类型二:集合中元素个数的含参数问题例2已知集合A={x|k x2-8x+16= 0},若集合A中只有一个元素,则实数k组成的集合为㊂解:当k=0时,方程k x2-8x+16=0可化为-8x+16=0,解得x=2,此时集合A={2},满足题意;当kʂ0时,要使集合A=x|k x2-8x+16=0{}中只有一个元素,需满足方程k x2-8x+16=0有两个相等的实数根,可得Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意㊂综上所述,k=0或k=1,即实数k组成的集合为{0,1}㊂感悟:解答本题要注意两点:一是解集是否可能为空集;二是二次项系数是否为0㊂变式2:已知集合{x|(x-2)(x2-2x+ a)=0,xɪR}中的所有元素之和为2,则实数a的取值集合为㊂提示:由集合{x|(x-2)(x2-2x+a)= 0,xɪR}中的所有元素之和为2,可知2是其中的一个元素,所以x2-2x+a=0的解为x=0或无解,所以a=0或Δ=4-4a<0㊂由4-4a<0,解得a>1㊂故实数a的取值集合为{a|a=0或a>1}㊂类型三:集合基本关系中的含参数问题例3集合A={x|x<-1或xȡ3}, B={x|a x+1ɤ0},若B⊆A,则实数a的取值范围是()㊂A.-13,1[)B.-13,1[]C.(-ɕ,-1)ɣ[0,+ɕ)D.-13,0[)ɣ(0,1)解:根据B⊆A,分B=⌀和Bʂ⌀两种情况讨论,建立不等关系,求出实数a的取值范围㊂①当B=⌀时,即a x+1ɤ0无解,此时a=0,满足题意㊂②当Bʂ⌀时,即a x+1ɤ0有解,当a>0时,可得xɤ-1a,要使B⊆A,需满足a>0,-1a<-1, {解得0<a<1;当a<3知识结构与拓展高一数学2022年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.0时,可得x ȡ-1a ,要使B ⊆A ,需满足a <0,-1aȡ3,{解得-13ɤa <0㊂综上可知,实数a 的取值范围是-13,1[)㊂应选A ㊂感悟:由两个集合间的包含关系求参数的取值范围,常利用子集将问题转化为方程(组)或不等式(组)求解㊂变式3:若集合A ={x |2a +1ɤx ɤ3a -5},B ={x |5ɤx ɤ16},则能使A ⊆B 成立的所有实数a 组成的集合为( )㊂A .{a |2ɤa ɤ7} B .{a |6ɤa ɤ7}C .{a |ɤ7}D .⌀提示:要使A ⊆B 成立,可分集合A =⌀和A ʂ⌀两种情况讨论求解㊂当A =⌀时,由2a +1>3a -5,可得a <6;当A ʂ⌀时,由2a +1ɤ3a -5,3a -5ɤ16,2a +1ȡ5,ìîíïïï解得6ɤa ɤ7㊂综上所述,a ɤ7㊂应选C ㊂类型四:集合基本运算中的含参数问题例4 已知集合A ,B 满足A ɣB ={x |1<x ɤ3},A ɘB ={x |a ɤx ɤa +1},则实数a 的取值范围为( )㊂A .[1,2]B .(1,2)C .(1,2]D .⌀解:由题意知A ɘB ⊆A ɣB ,所以a >1,a +1ɤ3,{解得a ɪ(1,2]㊂应选C ㊂感悟:集合基本运算中的含参数问题,一般通过观察得到两个集合间元素之间的关系,再列方程或不等式求解㊂变式4:已知集合S ={x ɪN |x ɤ5},T ={x ɪR |x 2=a 2},且S ɘT ={1},则S ɣT =( )㊂A.{1,2}B .{0,1,2}C .{-1,0,1,2}D .{-1,0,1,2,3}提示:集合S ={x ɪN |x ɤ5}={0,1,2}㊂因为S ɘT ={1},所以1ɪT ,所以a 2=1,所以T ={x ɪR |x 2=a 2}={-1,1}㊂由此可得,S ɣT ={-1,0,1,2}㊂应选C ㊂1.已知集合M ={a ,2a -1,2a 2-1},若1ɪM ,则M 中所有元素之和为( )㊂A.3B .1C .-3D .-1提示:若a =1,则2a -1=1,这时与集合中元素的互异性矛盾;若2a -1=1,则a =1,这时与集合中元素的互异性矛盾㊂故2a 2-1=1,解得a =1(舍去)或a =-1,所以M ={-1,-3,1},可得元素之和为-3㊂应选C ㊂2.已知集合A ={x |x 2>2x },B ={x |a <x <a +1},若A ɘB =⌀,则a 的取值范围是( )㊂A.[0,1]B .[-1,0]C .(0,1)D .(-1,1)提示:因为A ={x |x 2>2x }={x |x >2或x <0},B ={x |a <x <a +1},又A ɘB =⌀,所以a ȡ0且a +1ɤ2,解得0ɤa ɤ1㊂应选A ㊂3.已知集合A ={a ,b ,2},B ={2,b2,2a },若A =B ,则a +b =㊂提示:利用A =B 求解㊂由a =b2,b =2a ,{解得a =0,b =0{或a =14,b =12㊂ìîíïïïï当a =b =0时,集合A ,B中的元素均不满足互异性;当a =14,b =12时,A =B =14,12,2{},符合题意,这时a +b =14+12=34㊂同理,由a =2a ,b =b2,{解得a =0,b =0{或a =0,b =1,{所以a =0,b =1{满足题意,这时a +b =1㊂综上所述,a +b =1或a +b =34㊂作者单位:江苏省郑梁梅高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高考数学集合学习需注意的问题作者：佚名集合是近代数学中的一个重要概念，它不仅与高中数学的许多内容有着紧密的联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。

掌握好集合的知识既是数学学习本身的需要，也是全面提高数学素养的一个必不可少的内容。

进入高中，学习数学的第一课，就是集合。

由于集合单元的概念抽象，符号术语多，研究方法跟学习初中数学时有着明显的差异，致使部分同学初学集合时，感到难以适应，常常因为这样那样的原因造成解题失误，形成思维障碍，甚至影响整个高中数学的学习。

为了帮助同学们解决这一问题，本文谈谈在集合学习中值得注意的几个事项，供大家参考。

一、准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题概念抽象、符号术语多是集合单元的一个显着特点，例如交集、并集、补集的概念及其表示方法，集合与元素的关系及其表示方法，集合与集合的关系及其表示方法，子集、真子集和集合相等的定义等等。

这些概念、关系和表示方法，都可以作为求解集合问题的依据、出发点甚至是突破口。

因此，要想学好集合的内容，就必须在准确地把握集合的概念，熟练地运用集合与集合的关系解决具体问题上下功夫。

二、注意弄清集合元素的性质，学会运用元素分析法审视集合的有关问题众所周知，集合可以看成是一些对象的全体，其中的每一个对象叫做这个集合的元素。

集合中的元素具有“三性”：（1）、确定性：集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可。

（2）、互异性：集合中的元素应该是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个。

（3）、无序性：集合中的元素是无次序关系的。

集合的关系、集合的运算等等都是从元素的角度予以定义的。

因此，求解集合问题时，抓住元素的特征进行分析，就相当于牵牛抓住了牛鼻子。

三、体会集合问题中蕴含的数学思想方法，掌握解决集合问题的基本规律布鲁纳说过，掌握数学思想可使得数学更容易理解和记忆，领会数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。

集合单元中，含有丰富的数学思想内容，例如数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、正难则反的思想等等，显得十分活跃。

高中数学必备技巧解集合问题在高中数学中，集合是一个非常重要的概念，涉及到很多问题的解答。

本文将介绍一些高中数学中解集合问题的必备技巧和方法。

一、集合的基本概念在解集合问题之前，我们首先来回顾一下集合的基本概念。

集合是由一些确定的元素组成的整体，元素的概念可以是数字、字母、图形、事物等等。

集合的表示通常用大写字母表示，而具体的元素则用小写字母表示。

例如，集合A={1,2,3,4}，表示A是由1、2、3和4这几个元素组成的集合。

集合间的关系有三种：相等、包含和交集。

当两个集合的元素完全相同时，它们是相等的；当一个集合中的所有元素都属于另一个集合时，前者包含于后者；当两个集合中都有的元素构成的集合称为它们的交集。

这些关系是解集合问题时非常重要的基础。

二、求解集合问题的技巧1. 列举法当我们给出一个集合问题时，一种常见的解法是使用列举法。

其基本思路就是将集合中的元素逐个罗列出来，根据问题的要求进行归类、交集运算等等。

列举法在解决一些简单的集合问题时非常有效。

例如，如果有两个集合A={1,2,3}和B={3,4,5}，要求求出它们的交集和并集，我们可以先将两个集合的元素列举出来，然后进行比较：交集：{3}，即A和B中共有的元素；并集：{1,2,3,4,5}，即A和B中所有的元素。

2. Venn图法Venn图是一种常用的解决集合问题的图形表示方法。

它采用圆形或椭圆形表示集合，通过在图中标注对应的元素来表示集合的关系。

Venn图非常直观，能够清晰地展示出集合的交集、并集等关系。

假设有两个集合A和B，我们可以画出两个圆表示它们，并在对应的区域内标注各自的元素。

如果要求求出两个集合的交集，即A和B共有的元素，我们可以标注在两个圆的交集区域内。

同样地，如果要求求出并集，即A和B所有的元素，我们可以将两个圆都标注上。

3. 区间法在解决一些涉及到数值大小的集合问题时，可以使用区间法。

区间法将数轴划分为几个不同的部分，每个部分都代表一个集合。

学习集合的八项注意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼．本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率．1．注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征．要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用．例1 以方程2560x x -+=和方程220xx --=的解为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性．由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的一个元素．方程2560x x -+=的解为1223x x ==，；方程220x x --=的解为1212x x =-=，，所以{123}M =-，，。

例2 已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac 2}，若A=B ，求实数c 的值．分析：集合A=B ，说明A ，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论．解：（1）若,02222=-+⇒⎩⎨⎧=+=+ac ac a acb a ac b a ∴a=0或c=1 当a=0时，集合B 中三元素都是0，舍去；当c=1时，集合B 中三元素也都相同，舍去．（2）若02222=--⇒⎩⎨⎧=+=+a ac ac acb a ac b a ∵a≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0又∵c≠1，∴c=21-．经检验，符合题意．综上，c=21-．2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的关系数0是元素，{0}是含一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作为元素的集合．要注意它们的区别与联系．例3 下列关系错误的是（ ）A. Φ}0{⊆ B .0∈{0} C. 0∈Φ D. 0∉{Φ 解：A 、B 、D 均正确，C 是错误的．3．注意空集的特殊性空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合．我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用．例4 设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m -1}，若B⊆A ，求实数m 的取值范围． 误解：依题意，B ⊆A ，∴⎩⎨⎧≤--≥+51221m m ∴⎩⎨⎧≤-≥33m m 即33≤≤-m ． 剖析：以上解法忽视了B=Φ的情形，此时m+1>2m-1，∴m<2，也符合B ⊆A ．因此所求实数m 的范围应为m<2或2≤m≤3，即m≤3．例5 已知A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．分析：因为A ∪B=A A B ⊆⇔，可据此求a 的值，但要注意B=Φ的情形． 解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；（2）当a≠0时，B={a 2}，而A={1，2}，∵A ∪B=A A B ⊆⇔ ∴a 2=1或a 2=2 ，∴a=2或a=1．综上，C={0，1，2} ． 4．注意符号“∈”与“⊆”的区别符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；符号“⊆”用在两集合间表示包含关系．特别需要指出的是，“a ，b ∈A”与“{a ，b}A ⊆”之间既有区别又有联系．例6 设M={x ∈R|x≤10}，a=3，则下列关系正确的是（ ）A a ∈MB a ∉MC {a}∈MD {a}⊆M解：a 是元素，{a}与M 是集合，由于310≤，故选D ．例7 （1）若a ，b ∈{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若{a ，b}⊆{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为x=-a b 2 ，故只要研究有多少个不同的a b 的值即可，但要注意两小题的区别．第（1）小题中a ，b ∈{3，4，5}，当a ，b 不同时有6个不同的a b 的值，当a ，b 相同时a b =1，因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a ，b}⊆{3，4，5}，说明a ，b 只能不相等，因此只有6条不同的对称轴．5．注意数集与点集的区别容易出现两方面的错误．一是书写上的错误，如把点集{（2，3）}误写为{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的错误，如把数集{y|y=x 2+1，x ∈R}误为{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}或{x|y=x 2+1，x ∈R}等．例8 （1）已知A={(x ，y)|y=x 2-1，x ∈R}，B={(x ，y)|y=7-x 2，x ∈R}， 则A∩B=______；（2）已知A={y|y=x 2-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=________．分析：解方程组⎩⎨⎧-=-=2271x y x y 得，⎩⎨⎧=-=32y x 或⎩⎨⎧==32y x ，曲线y=x 2-1和y=7-x 2的两交点为（-2，3）和（2，3），第（1）题中A 、B 为点集，A∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）题如果理解为A∩B={3}那就错了，因为A 、B 都表示数集，它们分别表示函数y=x 2-1，x ∈R 和y=7-x 2，x ∈R 的值域，从整体上把握，应该有A={y|y≥-1}，B={y|y≤7}，因此A∩B={y|-1≤y≤7}．6．注意求补集的前提——全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的．例9 全集U 是函数7-=x y 的定义域，A={x|x≥10}，求C U A ．误解：C U A={x|x<10} 剖析：误解将全集默认为实数集R ，显然不对．其实U={x|x≥7}，故C U A={x|7≤x<10}．7．注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法．当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法．对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用．例10 已知集合6|1C x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭Z N ，求集合C ． 解析：对于本题集合C 中元素应是61x +，而不是x ，满足的条件是61x ∈+Z 且x ∈N ．x ∈N ，11x ∴+≥，又61x ∈+Z ，11236x ∴+=，，，．663211x∴=+，，，，即{}6321C =，，，． 8．注意用好容斥原理和Venn 图与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂．若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决．例11 高一（1）班有45人．其中有30人订阅了《起跑线》这种杂志，有25人订阅了《数学专页》这种报纸．问这个班至少有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合A 中元素的个数常记作card(A)．本题中设高一（1）班全体同学组成全集U ，订阅了《起跑线》杂志的人组成集合A ，订阅了《数学专页》的人组成集合B ．这样杂志和报纸都订阅的人就组成了A∩B ．可借助容斥原理和韦恩图来解题．解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，∴card(A∩B)≥30+25-45=10即至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：本题中card(U)=45，∴card(A∪B)≤45．根据容斥原理card(A∪B)=card(A) +card(B)-card(A∩B)和韦恩图可得，至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韦恩图是解决“至多”、“至少”问题的有力工具．。

高中数学题型分析系列：集合含参问题（一）特别注意：空集为任何集合的子集，因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集（这里的空集存在于含参集合）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或（2）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或（二）、针对集合中各种问题，下面进行图像展示（这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始）（1）φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B A B A 或 ，φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 ，图像如下：（2）φϕφφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠⇒=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下：（3）R B A = ，图像如下：解题步骤：步骤一、处理含参数集合问题，规定首先考虑含参数集合为空集（将不等式两边数字大小互换就好，利用假设法处理是否可以取等号）步骤二、在考虑集合之间的基本关系时，在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上，并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系，并用花括号表示出来（注意不要遗漏），并解出不等式组，得到结果。

注意：①同一个花括号下求交集，不同情况（分类讨论）的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算③若φ=A 取等号，则φ≠A 不能取等号，反之亦然典型例题教学典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或，{}53><=x x x C 或 （1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若B B A = ，求a 的取值范围.（3）若R C A = ,求a 的取值范围解析：因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足，②φ≠A ，但B A 与无共同元素 解：（1）①当φ≠A 时，知道3+>a a ，无解，故φ≠A②当φ≠A 时，用图像可以表示为得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤-≥5331a a a a ，即：12a -≤≤，故a 的取值范围为[]21-,（2）①当φ=A 时，有3+>a a ，知a 无解，故φ≠A②当φ≠A 时，有以下两种情况其图像可以表示为：1）得到：⎩⎨⎧-<++≤133a a a ，解得4-<a2）得到：⎩⎨⎧>+≤53a a a ，解得5>a 综上可知道a 的取值范围为()()+∞-∞-,,54（3） 由图像可得到：⎩⎨⎧>+<533a a ，解得32<<a故可知道a 的取值范围为()32,典例2、已知集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+. （1）若3m =，则A B ； （2）若A B B =，求实数m 的取值范围.解：（1）若3m =，则{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，其图像表示为:故{}|36A B x x =-<≤（2）易知道φφ=≠⇒⊆⇒=B B A B B B A 或 两种情况讨论：①当φ=B 时，知道312+≥-m m ，即4≥m ，故A B ⊆满足 ②当φ≠A 时，由A B ⊆知其图像可以表示为：解得：⎪⎩⎪⎨⎧≤++<--≥-53312312m m m m ，即21≤≤-m故综上可知道m 的取值范围为[][)+∞-,,421典例3、已知集合{}{}12152-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ,，（1）若A B ≠⊂，则m 的取值范围 （2）若B A ⊆，则m 的取值范围解：（1）①当φ=B 时，121->+m m ，即2<m ，则A B ≠⊂满足 ②当φ≠B 时，有以下两种情况其图像表示如下：可得到：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-->+⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--≥+5121122151211221m m m m m m m m 或，解得32≤≤m故故综上可知道m 的取值范围为(]3,∞-（2）当B A ⊆时①当φ=B 时，B A ⊆不满足②当φ≠B 时，其图像表示如下：可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+-≤+51212121m m m m ，无解故不存在实数m 使得B A ⊆三、练习题1、已知集合{}{}1273213-<=≤≤=x x B x A x log ,（1）、求()A B B A C R 及（2）已知集合{}a x x C ≤<=1，若A C ⊆,求实数a 的取值范围 参考答案：①(]()(]3-32，，∞==A B B A C R ,，②(]3-，∞。

如何求解含参问题作者：***来源：《新高考·高三数学》2018年第07期含参数的圆问题与椭圆的离心率问题，是高考数学考查的重点与热点，一般是中档题或难题，常处于小题压轴把关位置，研究这类问题的解法很有必要.一、圆的问题首先我们来看含有参数的圆综合问题.这一类问题由于含有了参数，所以图形也就不固定了，也就是通常所说的动起来了.在动的问题中，其本质就是化动为定.与圆有关的动点问题通常转化为与圆心有关的一类问题.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，正因为圆的定义决定了圆具有独特的几何性质，圆中动点问题的处理也有别于椭圆和双曲线，将动点问题转化为定点问题是高中数学中一种常见的处理手段，在圆当中这一方法就显得格外突出.此题就是将问题转化为圆心到直线的距离问题.评析这道题有两道坎，第一就是为什么会想到求M点的轨迹？题目需要使得∠OPM=30°，而O是原点，P在直线上动，唯独不清楚M在哪条曲线上动，所以就不难想到要探寻M的轨迹.第二是发现点P和M分别在直线和圆上运动，这个时候我们一般都把圆上的点先作为动点，而把直线上的点P先看作定点.这样可以先对圆上的动点进行转化，这样第二个难点就也突破了.通过以上例题我们发现直线与圆的动点问题其核心就是转化，这种转化通常将圆上动点的问题转化为与圆心的距离问题，倘若有多个动点在不同曲线上运动，通常先将其中一个作为主元（动点），其余的暂时视为定点，而往往又先将圆上的动点作为主元，因为圆上动点往往可以实现转化.二、椭圆的离心率椭圆离心率问题的本质就是求椭圆方程中a，b，c之间的关系式，求值就是求等量关系，求范围就是寻求不等关系.问题的难点就是这个关系的寻找.分析此题为求椭圆离心率范围，也就是求a，b，c的不等关系.题設条件中△ABC是锐角三角形，画图后我们进一步发现△ABC是一个等腰三角形，所以只需要顶角是锐角即可，接着三角形中角的范围就可以转化为边的不等关系.分析这题求离心率范围，应该寻求a，b，c的不等关系.题目中并没有直白的不等关系，这里面的不等关系只能从构成等腰三角形的条件人手.通过上述题目，我们发现求椭圆离心率值或范围时，核心是寻求a，b，c间的等量与不等量关系，有些关系是题目明确给你的，而有些关系则是隐性的，在寻求隐性关系时，常常要关注构成三角形的条件、椭圆上的点到焦点距离的范围等等.在平时学习中多研究、多归纳、多总结，你会发现原来许多题目并没有像表面上那么困难，当你找到问题的本质时，你会发现解题能获得很多乐趣.。

微专题01 含参数及创新定义的集合问题【方法技巧与总结】一．解决与集合有关的创新题的对策：（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．二．解决与集合有关的参数问题的对策（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值不可以是（ ）A ．0B ．16C ．12D ．2【答案】D【解析】由题意，{}2,6A =，因为A B B =，所以B A ⊆，若0a =，则B =∅，满足题意；若0a ≠，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以12a =或16a =，则12a =或16a =． 综上：0a =或12a =或16a =． 故选：D ． 例2．（2022·全国·高一专题练习）设U ＝{1，2，3，4}，A 与B 是U 的两个子集，若A ∩B ＝{3，4}，则称（A ，B ）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A ，B ）与（B ，A ）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【答案】C【解析】对子集A 分类讨论：当A 是二元集{3，4}时，此时B 可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果； 当A 是三元集{1，3，4}时，此时B 可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是三元集{2，3，4}时，此时B 可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A 是四元集{1，2，3，4}时，此时B 取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C ．例3．（2022·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，设2,3A ，1,2B ，则（ ）A ．当2x 2y 时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()zx y x y =+⨯-有4个式子 C ．A B ⊗中有3个元素D ．A B ⊗中所有元素之和为3 【答案】BCD【解析】()(){},,A B z z x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈，2,3A ，1,2B ， 当2x 2y 0z =；当2x =1y =时，1z =； 当3x =1y =时，2z =；当3x =2y 时，1z =，A 不正确；B 正确；而{}0,1,2A B ⊗=，C ，D 都正确．故选：BCD例4．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）集合{}{}2|10,|320A x ax B x x x =-==-+=，且A B B ⋃=，实数a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．12D ．2【答案】ABC【解析】由题设{1,2}B =，又A B B ⋃=，故A B ⊆，当A =∅时，0a =；当A ≠∅时，1或2为10ax -=的解，则1a =或12a =． 综上，0a =或1a =或12a =． 故选：ABC例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =≥或}5x <-，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ≥【解析】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +≥，解得8a <-或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ≥．故答案为：{|8a a <-或}3a ≥例6．（2022·全国·高三专题练习）对于两个正整数m ，n ，定义某种运算“⊙”如下，当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }中元素的个数是_____．【答案】13【解析】∵当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ⊙n ＝m +n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊙n ＝mn ，∴集合M ＝{（p ，q ）|p ⊙q ＝10，*N p ∈，q ∈*N }＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13个元素，故答案为：13例7．（2022·全国·高一专题练习）给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；①集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；①集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；①若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【答案】①①【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A ，故①正确；①当a ＝﹣4，b ＝﹣2时，a +b ＝﹣4+（﹣2）＝﹣6①A ，故不是闭集合，∴①错误；①由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴①正确；①假设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，3∈A 1，5∈A 2，但是，3+5①A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，∴①错误．正确结论的序号是①①．故答案为：①①．例8．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（文））已知集合{|15}A x x =<≤，集合21{|0}3x B x x -=>-． （1）求A ∩B ；（2）若集合{|243}=-≤≤-C x a x a ，且C A C =，求实数a 的取值范围．【解析】（1）210(21)(3)03x x x x ->⇔-->-12x ⇔<或3x >，1{|2B x x =<或3}x >， 所以{|35}A B x x =<≤；（2）由C A C =得A C ⊆，所以21435a a -≤⎧⎨-≥⎩，解得23a ≤≤． 例9．（2022·全国·高一专题练习）设集合{|}R A x x x ∈+=240＝，R R {|()}B x x a x a a ∈=∈222110＝+＋+-， ． （1）若0a =，试求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】（1）由240x x +=，解得0x =或4x =-，}{,A =-40 ．当0a =时，得x x -+2210＝，解得12x =-x =12-{}1212B =--，； ∴{}041212A B =---，，，． （2）由（1）知，}{,A =-40，B A ⊆，于是可分为以下几种情况．当A B =时，}{,B =-40，此时方程()x a x a =222110+＋+-有两根为0，4-，则()()()a a a a ⎧∆=+⎪=⎨⎪-+=-⎩-->2224141010214-，解得1a =． 当B A ≠时，又可分为两种情况．当B ≠∅时，即{}0B =或{}B -4＝， 当{}0B =时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为0，则22241410(0)()1a a a --⎧∆=+⎨-==⎩，解得1a =-，当{}B -4＝时，此时方程()x a x a =222110+＋+-有且只有一个根为4-，则 ()2222414104()()()8110a a a a ⎧∆=+⎪⎨-=--=-⎪⎩＋+-，此时方程组无解， 当B =∅时，此时方程()x a x a =222110+＋+-无实数根，则2241410()()a a --∆+<=，解得1a <-．综上所述，实数a 的取值为}{a a a ≤-=11或．例10．（2022·全国·高一专题练习）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤．（1）求集合A R ；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围．【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<<故{|3R A x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤ 故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭ （3）由（1）{|3R A x x =≥或2}x{}3{|}3a B x x a x x =≤=≤ 若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥ 例11．（2022·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合{}{}25,|1|21A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-． （1）当{}|25A x Z x =∈-≤≤时，求A 的非空真子集的个数；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【解析】（1）当x ∈Z 时，A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为28－2＝254．（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ①A ，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2，符合；当B ≠∅时，根据题意，可得21112215m m m m -≥+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m ≤3}． （3）当B ＝∅时，由（1）知m <2；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得211212m m m -≥+⎧⎨-<-⎩或21115m m m -≥+⎧⎨+>⎩解得m >4．综上可得，实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}． 例12．（2022·北京·高二期末）设集合A 为非空实数集，集合{},,B xy x y A x y =∈≠且，称集合B 为集合A 的积集．（1）当{}1,2,3,4A =时，写出集合A 的积集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，并说明理由．【解析】（1）因为{}1,2,3,4A =，故集合B 中所有可能的元素有12,13,14,23,24,34⨯⨯⨯⨯⨯⨯，即2,3,4,6,8,12，{}2,3,4,6,8,12B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个， 所以积集B 中元素个数的最小值为7．（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其积集{}2,4,5,8,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；又5,8ad bc ==，其4个正实数的乘积40abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,4,5,8,10,16B =【过关测试】一、单选题1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末（理））()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设{}24A x x =-<<，{}723B x x =-<<，则()Z A B =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为{}7372322B x x x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}24A x x =-<<，所以3|22A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则()1A B -∈，()0A B ∈，()1A B ∈，所以()3Z A B =；故选：C2．（2022·河南焦作·高一期中）两个集合A 与B 之差记作A －B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，已知A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，则A －B 等于（ ）A ．{1，4}B ．{2}C ．{1，2}D ．{1，2，3} 【答案】B【解析】∵A ＝{2，3}，B ＝{1，3，4}，又∵A －B ＝{x |x ∈A 且x ①B }，∴A －B ＝{2}．故选：B ．3．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ） A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】A【解析】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素，设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ，不能满足M ∪N =Q ，A 错误； 若{|2}M x Q x =∈<，{|2}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．4．（2022·全国·高一单元测试）定义集合运算：{}*,,A B zz xy x A B y A B ==∈⋂∈⋃∣．若集合{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，则()*A B A =（ ） A ．{}0 B ．{}0,4 C ．{}0,6 D ．{}0,4,6【答案】D【解析】因为{}{}1,2,3,0,1,2A B ==，所以{}{}1,2,0,1,2,3A B A B ==，所以当,x A B y A B ∈⋂∈⋃时，0,1,2,3,4,6z =，所以{}*0,1,2,3,4,6A B =，所以 ()*A B A ={}0,4,6，故选：D5．（2022·江苏·高一期末）已知全集U =R ，集合{3A x x =<或}7x ≥，{}B x x a =<．若()U A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}3a a >B ．{}3a a ≥C ．{}7a a ≥D ．{}7a a > 【答案】A 【解析】因为集合{3A x x =<或}7x ≥，可得{}37U A x x =≤<， 又因为()U A B ≠∅且{}B x x a =<，所以3a >，即实数a 的取值范围为{}3a a >．故选：A ．6．（2022·江苏·高一单元测试）设集合{}{}|()(3)0,|(4)(1)0M x x a x N x x x =--==--=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．若{}1,3,4MN =，则=M N ∅ B ．若{}1,3,4M N =，则M N ≠∅C ．若M N ⋂=∅，则M N ⋃有4个元素D ．若M N ≠∅，则{}1,3,4M N =【答案】D【解析】（1）当3a =时，{}3M =，,N={134}MN M =∅，，； （2）当1a =时，{}1,3M =，{1},N={134}MN M =，，； （3）当4a =时，{}3,4M =，{4},N={134}M N M =，，；（4）当134a ≠,,时，{}3,M a =，,{134,}M N M N a =∅=，，；综上可知A ，B ，C ，不正确，D 正确故选：D 7．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，全集U 有18个元素，A B ⋂≠∅．设集合()()U U A B ⋂中有x 个元素，则x 的取值范围是（ ）A ．{}38,N x x x ≤≤∈B ．{}28,N x x x ≤≤∈C ．{}812,N x x x ≤≤∈D ．{}1015,N x x x ≤≤∈【答案】A 【解析】集合A 中有10个元素，B 中有6个元素，因为A B ⋂≠∅，A B 至少有1 个元素，至多有6个元素，所以A B 至多有15个元素，至少有10个 元素，集合()()()U U U A B A B ⋂=⋃有x 个元素，则38x ≤≤且x 为正整数．即x 的取值范围是{}38,N x x x ≤≤∈，故选：A ．8．（2022·江西·兴国县将军中学高一期中）已知集合{}53A x x =-<<-，{}232B x a x a =-<<-，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =-C ．1a ≥或1a =-D ．a R ∈【答案】C【解析】由题意，A B B B A =⇔⊆（1）若B =∅，则2321a a a -≥-∴≥，B A ⊆成立； （2）若B ≠∅，则23223523a a a a -<-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，解得1a =-综上，实数a 的取值范围是1a ≥或1a =-故选：C9．（2022·陕西·西安一中高一期中）已知集合{}2,2A =-，{}240B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，则实数a 满足（ ）A ．4a =B ．4a =-C ．{}4,4-D ．{}44a a -≤≤【答案】D【解析】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，当B =∅时，B A ⊆满足，此时2160a ∆=-<，所以44a -<<；当B ≠∅时，此时2160a ∆=-≥，即4a ≤-或4a ≥，若方程240x ax -+=有两个相同的实数根，则2160a ∆=-=，所以4a =±；当4a =-时，{}2B =-，此时B A ⊆满足，当4a =时，{}2B =，此时B A ⊆满足，若240x ax -+=有两个不同的实根，因为()224⋅-≠，所以A B ≠，所以此时无解；综上可知，a 的取值范围为{}44a a -≤≤，故选：D ．10．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}1,3,A m =，{}B m =，B A ⊆，则m =（ ） A ．9B ．0或1C ．0或9D ．0或1或9 【答案】C【解析】由B A ⊆3m =m m =， 3m =时，9m = ，符合题意； m m =时，0m =或1m =，但1m = 时，{}1,1B =不合题意，故m 的值为0或9，故选：C11．（2022·全国·高一单元测试）在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0k =，1，2，3．给出如下四个结论：①[]20151∈；①[]22-∈；①[][][][]0123Z =⋃⋃⋃；①“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”其中正确的结论有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 【答案】D【解析】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误；而242-=+，故[]22-∈，故①正确；由“类”的定义可得[][][][]012Z 3⊆，任意Z c ∈，设c 除以4的余数为}{()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故①正确若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]}{()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故a ，b 除以4 的余数相同，故a ，b 属于同一“类”，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故①正确；故选：12．（2022·北京八中高一期中）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A =R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有11a a a ⨯=⨯=，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A =R ，运算“⊕”为普通减法；①A =R ，运算“⊕”为普通加法；①{}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合，运算“⊕”为求两个集合的交集．（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①【答案】D【解析】①若A R =，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素； ①A =R ，运算“⊕”为普通加法，其单位元素为0；①{|}A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集， 其单位元素为集合M ． 故选：D ． 二、多选题13．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G 是一个非空集合，“· ”是G 上的一个代数运算，即对所有的a 、b ∈G ，有a ·b ∈G ，如果G 的运算还满足：①∀a 、b 、c ∈G ，有（a ·b ）·c =a ·（b ·c ）；①e G ∃∈，使得a G ∀∈，有e a a e a ⋅=⋅=，①a G ∀∈，b G ∃∈，使a ·b =b ·a =e ，则称G 关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）A ．{1,0,1}G =-关于数的乘法构成群B ．G ={x |x =1k，k ∈Z ，k ≠0}∪{x |x =m ，m ∈Z ，m ≠0}关于数的乘法构成群 C ．实数集关于数的加法构成群D ．{2|,Z}G m n m n =∈关于数的加法构成群 【答案】CD【解析】对于A ：若{1,0,1}G =-，对所有的a 、b G ∈，有{1,0,1}a b G ⋅∈-=， 满足乘法结合律，即①成立，满足①的e 为1，但当0a =时，不存在b G ∈，使得··1a b b a e ===，即①不成立， 即选项A 错误；对于B ：因为12a G =∈，且3b G =∈，但13322a b G ⋅=⨯=∉，所以选项B 错误；对于C ：若R G =，对所有的a 、R b ∈，有R a b +∈， 满足加法结合律，即①成立，满足①的e 为0，R a ∀∈，R b a ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立； 即选项C 正确；对于D ：若{2|,Z}G m n m n =∈，所有的112a m n =、222b m n G =∈， 有1212()+2(+)a b m m n n G +=+∈，,,,a b c G ∀∈()()++=++a b c a b c 成立， 即①成立；当0a b 时，20a b =，满足的0e =，即①成立；2a m n G ∀=∈，2b m n G ∃=-∈，使0a b b a +=+=，即①成立；即选项D 正确． 故选：CD ．14．（2022·全国·高一期中）如图，集合U 是全集，,A B 是非空集合，定义集合*A B 为阴影部分表示的集合，则*A B 可表示为（ ）A ．()UB A B ⋂⋃B ．()UA AB ⋂⋂C ．()()()()UUA B B A ⋂⋂D ．()()UA B A B ⋃⋂⋂【答案】CD 【解析】()UB A B ⋂⋃=∅，故A 选项错误；()UA AB ⋂⋂表示的集合韦恩图为如图1，显然B 选项错误；通过画出CD 选项的韦恩图，与题干中的相同，故选项CD 正确． 故选：CD15．（2022·河北·石家庄外国语学校高一期中）当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“偏食”，则实数a 取值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】BD【解析】因为集合{}211,,|1,02A B x ax a ⎧⎫=-==≥⎨⎬⎩⎭，且A 与B 构成“偏食”，所以1B -∈或12B ∈，当1B -∈时，得1a =，此时{}{}211,1B x x ===-，符合题意，当12B ∈时，得4a =，此时{}21141,22B x x ⎧⎫===-⎨⎬⎩⎭，符合题意， 综上，1a =或4a =， 故选：BD16．（2022·全国·高一单元测试）设{}29140A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．12C ．17D ．0【答案】BCD【解析】集合2{|9140}{2A x x x =-+==，7}，{|10}B x ax =-=， 又A B B =， 所以B A ⊆，当0a =时，B =∅，符合题意，当0a ≠时，则1{}B a =，所以12a=或17a =，解得12a =或17a =，综上所述，0a =或12或17， 故选：BCD17．（2022·全国·高一单元测试）已知全集U =R ，集合{}|27A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，则使UA B ⊆成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{}|610m m <≤B ．{}|22m m -<<C ．1|22m m ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{}|58m m <≤【答案】ABC【解析】当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时UR B =，符合题意，当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥， 由{}|121B x m x m =+≤≤-可得{U|1B x x m =<+或}21x m >-，因为UA B ⊆，所以17m +>或212m -<-，可得6m >或12m <-， 因为2m ≥，所以6m >，所以实数m 的取值范围为2m <或6m >， 所以选项ABC 正确，选项D 不正确； 故选：ABC ．18．（2022·浙江·金华市曙光学校高一期中）在R 上定义运算()*1x y x y =-，若关于x 的不等式()*0x a x ->的解集是集合{}|01x x ≤≤的子集，则整数a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】AB【解析】由在R 上定义的运算：()*1x y x y =-得，()*0()(1)0x a x x a x ->⇔-->，即1(0)()x a x --<， 当a =1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为空集∅，而{|01}x x ∅⊆≤≤，则a =1，当a >1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |1<x <a }，显然{x |1<x <a }不是{x |0≤x ≤1}的子集，不满足题意，舍去，当a <1时，不等式1(0)()x a x --<的解集为{x |a <x <1}，当{x |a <x <1}是{x |0≤x ≤1}的子集时， a ≥0，则0≤a <1， 综上所述，a 的取值范围是{a |0≤a ≤1}，又a 为整数，所以a =0或a =1． 故选：AB 三、填空题19．（2022·江西省崇义中学高一期中）若集合{}2120M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且MN N =，则实数m 的值为_____【答案】13-或14或0【解析】由题得{4,3}M =-， 因为MN N =，所以N M ⊆，所以,{4},{3}N =∅-， 当N =∅时，0m =；当{4}N =-时，1(4)10,4m m ⨯-+=∴=； 当{3}N =时，1(3)10,3m m ⨯+=∴=-．故答案为：13-或14或020．（2022·广东·广州誉恩教育咨询有限公司高一期中）设a 是实数，集合{}260,{20}M x x x N y ay =+-==+=∣∣，若N M ⊆，则a 的取值集合是_______．【答案】2{0,,1}3-【解析】由题意，集合{}260{|(2)(3)0}{3,2}M xx x x x x =+-==-+==-∣ 若N M ⊆，且集合N 中至多有一个元素 则当N =∅时，即0a =时，满足题意； 当{3}N =-时，即320a -+=，即23a =时，N M ⊆满足题意； 当{2}N =时，即220a +=，即1a =-时，N M ⊆满足题意；综上，a 的取值集合是2{0,,1}3-故答案为：2{0,,1}3-21．（2022·河南·林州一中高一开学考试）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____．【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，22,B a a ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素21a=-时，解得2a =， 当,A B 22a=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭22．（2022·福建·福州三中高一开学考试）已知集合A ={a ∈R |（x ﹣1）a 2+7ax +x 2+3x ﹣4=0}，{0}⊆A ，则x 的值为___________． 【答案】1或4-． 【解析】因为{0}⊆A ， 所以70x ⨯⨯+x 2+3x ﹣4=0， 所以1x =或4x =-．当1x =时，7a +1+3﹣4=0，所以0a =，集合A ={0}，满足题意；当4x =-时，2528161240,0a a a --+--=∴=或285a =-，集合A =28{0,}5-，满足题意． 故答案为：1或4-．23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）设集合{}2,3,4U =，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；①非空子集的元素越多，其“势”越大；①若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推．若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第6位的子集是_________． 【答案】{}2,4【解析】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：∅，{}2，{}3，{}4，{}2,3，{}2,4，{}3,4，{}2,3,4．故排在第6的子集为{}2,4． 故答案为：{}2,4 四、解答题24．（2022·全国·高一单元测试）已知实数集R 的子集S 满足条件：①1S ∉；①若a S ∈，则11S a∈-．求证：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个元素； （2）集合S 中不可能只有一个元素． 【解析】（1）∵2S ∈，∴1112S =-∈-，同理：()11112S =∈--，12112S =∈-， ∴S 中还有-1，12两个元素．（2）不妨设S 为单元素集，则11a a=-，整理得210a a -+=，解得a ∈∅， ∴S 不可能为单个元素集合．25．（2022·湖南永州·高一期末）已知集合{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤． （1）求A B ；（2）定义{M N x x M -=∈且}x N ∉，求A B -． 【解析】（1）由{}2A x x =≥，{}35B x x =<≤， 则{}2A B x x ⋃=≥．（2）由{M N x x M -=∈且}x N ∉，所以A B -{x x A =∈且}{23x B x x ∉=≤≤或}5x >．26．（2022·全国·高一期中）已知集合{}22221,,Z M x x a a b a b ==+-=∈．（1）证明：若x M ∈，则1x x+是偶数； （2）设m M ∈，且132m <<，求实数m 的值； （3）若n M ∈3+22是否属于集合M ，并说明理由． 【解析】（1）若x M ∈，则2x a b =+2221,,a b a b -=∈Z ． 所以221x a x a b =+++()()2222b b a b a b a =++-22a b a =-+ 因为2221a b -=，所以原式222b a b a a =+-=， 因为a ∈Z ，所以2a 为偶数，即若x M ∈，则1x x+是偶数． （2）因为m M ∈，且132m <<，则1123m <<，所以5156m m<+< 设2m a b =+，2221,,a b a b -=∈Z ． 由（1）可知12m a m +=，即5256a <<； 所以1a =或2a =．当1a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 可得0b =， 此时21m a b =+，满足132m <<，所以1m =成立； 当2a =时，代入2221,,a b a b -=∈Z 解得6b =b ∈Z ，所以不成立； 综上可知1m =．（3）因为n M ∈，所以可设2,n ab 且2221,,a b a b -=∈Z ，2(2)(322)322322(322)(322)n a b a b ()(34322a b b a =-+-因为22(34)2(32)a b b a ---()22229241629124a ab b b ab a =-+--+2221a b =-=，()(),Z,34Z,32Z a b a b b a ∈∴-∈-∈322M +成立．27．（2022·北京·高一期末）已知集合{}23A x x =-<<，{}3B x x a =≤． （1）求集合A R；（2）当1a =时，求A B ；（3）若()R B A ⋃=R ，求a 的取值范围． 【解析】（1）由题意，{}23A x x =-<< 故{|3RA x x =≥或2}x（2）当1a =时，{}131{|}3B x x x x =≤=≤故123A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（3）由（1）{|3RA x x =≥或2}x{}3{|}3aB x x a x x =≤=≤若()R B A ⋃=R ，则33a ≥ 解得9a ≥28．（2022·湖南益阳·高一期末）设集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥，{2}C x x m =>-． （1）求A B ；（2）若_________，求实数m 的取值范围． 请从①A C ⊆，①A C ⋂≠∅，①RC A ⊆这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如多选，则按第一个选择的解答给分）【解析】（1）∵集合{13}A x x =-<<，{}1B x x =≥， ∴{}1{13}{1}A B x x x x x x ⋃=≥⋃-<<=>-． （2）①若A C ⊆，∴21m -≤-，即1m ， ∴实数m 的取值范围是{}1m m ≤． ①若A C ⋂≠∅，∴23m -<，即5m <， ∴实数m 的取值范围是{5}m m <． ①若RC A ⊆，∵R{1A x x =≤-或3}x ≥，∴23m -≥，即5m ≥，∴实数m 的取值范围是{}5m m ≥．29．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合{}2|40=+=A x x x ，{}22|2(1)10=+++-=B x x a x a ． （1）若⊆A B ，求a 的值； （2）若⊆B A ，求a 的值．【解析】（1）由题集合B 最多两个元素，{4,0}=-A ，⊆A B ，则=A B ，所以集合B 中的方程两根为-4，0，224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；（2）由题⊆B A ，B 中最多两个元素，对于方程222(1)10+++-=x a x a 当集合=∅B 时：224(1)4(1)0=+--<a a ，即1<-a 时，方程无解，=∅B ，符合题意；当集合B 中只有一个元素时：224(1)4(1)0=+--=a a ，即1=-a 时，方程的解为0=x ，{0}=B ，符合题意；当B 中有两个元素时：224(1)4(1)0=+-->a a ，即1>-a 时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素，此时则=A B ，所以集合B 中的方程两根为124,0=-=x x ，由根与系数的关系，{242(1)01-=-+=-a a ，解得：1=a ；综上所述：1≤-a 或1=a ．。