高考数学(理)一轮复习文档 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 参数方程 Word版含答案

第2讲 参数方程

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1．参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．

(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程

名 称 普通方程 参数方程

直线 y－y0＝k(x－x0) x＝x0＋tcos αy＝y0＋tsin α

(t为参数)

圆

(x－x0)2＋(y－y0)2

＝R2 x＝x0＋Rcos θy＝y0＋Rsin θ

(θ为参数且0≤θ<2π)

椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) x＝acos ty＝bsin t

(t为参数且0≤t<2π)

抛物线 y2＝2px(p>0)

x＝2pt2y＝2pt(t为参数)

参数方程与普通方程的互化

已知曲线C1：x＝－4＋cos t，y＝3＋sin t(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．

【解】 曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，

曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；

曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

将下列参数方程化为普通方程．

(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2； (2)x＝1－sin 2θ，y＝sin θ＋cosθ.

(1)两式相除，得k＝y2x，

将其代入得x＝3·y2x1＋y2x2，

化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．

(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x＝1－sin 2θ∈，得y2＝2－x.

即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈．

参数方程的应用

(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22ty＝5＋22t(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.

(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)若点P坐标为(3，5)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．

【解】 (1)由x＝3－22ty＝5＋22t得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0.

又由ρ＝25sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，

即x2＋(y－5)2＝5.

(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得

3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.

由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，

所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.

又直线l过点P(3，5)，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，

所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.

(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．

(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：

过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.

①弦长l＝|t1－t2|；

②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；

③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.

已知直线l：x＝1＋12ty＝32t(t为参数)，曲线C1：x＝cos θy＝sin θ(θ为参数)． (1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的32，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

(1)l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.

联立方程y＝3（x－1）x2＋y2＝1，解得l与C1的交点为A(1，0)，B12，－32，则|AB|＝1.

(2)C2的参数方程为x＝12cos θy＝32sin θ(θ为参数)．

故点P的坐标是12cos θ，32sin θ.

从而点P到直线l的距离d＝32cos θ－32sin

θ－32＝342sinθ－π4＋2，当sinθ－π4＝－1时，d取得最小值，且最小值为64(2－1)．

极坐标方程与参数方程的综合问题

(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l的参数方程为x＝－1－32ty＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sinθ－π6的公共点，求3x＋y的取值范围．

【解】 (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－π6，

所以ρ2＝4ρsinθ－π6＝4ρ32sin

θ－12cos θ，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝23y－2x，

即(x＋1)2＋(y－3)2＝4. (2)设z＝3x＋y，

圆C的圆心是(－1，3)，半径是2，

将x＝－1－32ty＝3＋12t代入z＝3x＋y，得z＝－t.

又因为直线l过C(－1，3)，圆C的半径为2，所以－2≤t≤2，

所以－2≤－t≤2，即3x＋y的取值范围是．

涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为x＝m＋tcos αy＝tsin α(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.

(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；

(2)当φ＝π12时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．

(1)证明：依题意|OA|＝4cos φ，

|OB|＝4cos φ＋π4，|OC|＝4cos φ－π4，

则|OB|＋|OC|＝4cosφ＋π4＋4cosφ－π4

＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)

＝42cos φ＝2|OA|.

(2)当φ＝π12时，B、C两点的极坐标分别为2，π3、23，－π6，化为直角坐标为B(1，3)、C(3，－3)，所以经过点B、C的直线方程为y－3＝－3(x－1)，而C2是经过点(m，0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝2π3.

1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1＋12ty＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为x＝cosθ，y＝2sin θ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.

将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得

1＋12t2＋32t24＝1，

即7t2＋16t＝0，

解得t1＝0，t2＝－167.

所以AB＝|t1－t2|＝167.

2．(2017·广东珠海模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin

θ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6，

所以x2＋y2＝4x＋4y－6，

所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0，

即(x－2)2＋(y－2)2＝2为圆C的直角坐标方程．

所以所求的圆C的参数方程为x＝2＋2cos θ，y＝2＋2sin θ(θ为参数)．

(2)由(1)可得x＋y＝4＋2(sin θ＋cos θ) ＝4＋2sinθ＋π4.

当θ＝π4，

即点P的直角坐标为(3，3)时，

x＋y取得最大值，为6.

3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin

θ.

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，

从而有x2＋y2＝23y，

所以x2＋(y－3)2＝3.

(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，

则|PC|＝ 3＋12t2＋32t－32＝t2＋12，

故当t＝0时，|PC|取得最小值，

此时，点P的直角坐标为(3，0)．

4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l：x＝1＋12ty＝3＋32t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－23ρsin

θ＝a(a＞－3)．

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)若曲线C与直线l有唯一公共点，求a的值．

(1)由ρ2－23ρsin θ＝a知其直角坐标方程为

x2＋y2－23y＝a，