2018高考数学(理)一轮复习课件 选修4-4 坐标系与参数方程 第2讲 课件

小初高教案试题导学案集锦

K12资源汇总，活到老学到老 §选修4－4 坐标系与参数方程

考纲展示► 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．

2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．

4．了解参数方程，了解参数的意义．

5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．

考点1 直角坐标方程与极坐标方程的互化

1.极坐标系

(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.

(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．

答案：(1)极径 (2)ρcos θ ρsin θ x2＋y2 yx

2．常用简单曲线的极坐标方程 小初高教案试题导学案集锦

K12资源汇总，活到老学到老 (1)几个特殊位置的直线的极坐标方程

①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

③直线过Mb，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b.

(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程

①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝________；

②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝________；

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年级

高二 学科 数学 版本 通用版

课程标题 选修4-4第二讲参数方程（文）

编稿老师 孙洪成

一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、学习目标

1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。

2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。

3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。

4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。

二、重点、难点

重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。

难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。

三、考点分析

高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。

一、知识网络

第2页 版权所有 不得复制 参数方程抛射体运动方程参数方程的概念与意义直线的参数方程圆的参数方程圆锥曲线的参数方程其他常见曲线的参数方程椭圆抛物线双曲线摆线圆的渐开线“点角式”“点向式”

二、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

说明：

1. 在曲线的参数方程中，如果出现了多个字母，应明确哪个是参数，以及参数的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。

2. 一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以有多个。

3. 某些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。此时参数方程在求动点轨迹中起桥梁作用。某些动点的普通方程可能根本就找不到，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，但它的普通方程没法直接表示，而参数方程则很容易得出。

1

参数方程

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1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义

2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程

3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法

4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义

5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题

一.参数方程的定义

1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()xftygt；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()xftygt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()xftygt叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．

2．关于参数的说明．

参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．

3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()xftygt，就是参数方程．

2

二.圆的参数方程

点P的横坐标x、纵坐标y都是t的函数：cossinxrtyrt(t为参数)．

我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r的圆的参数方程．

圆的圆心为O1(a，b)，半径为r的圆的参数方程为：

cossinxartybrt（t为参数）.

三．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为cossinxayb(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆参数方程．

1 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系练习 理 选修4.4

1.[2016·天津模拟]已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos2θ2－2，则其直角坐标方程为( )

A．x2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋1)2＋y2＝1

C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1

答案 C

解析 由ρ＝4cos2θ2－2得ρ＝2(cosθ＋1)－2＝2cosθ，即x2＋y2＝2x，得(x－1)2＋y2＝1.

2．[2016·抚州质检]在极坐标系中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点4，π6作曲线C的切线，则切线长为( )

A．4 B.7

C．22 D．23

答案 C

解析 ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点4，π6的直角坐标是A(23，2)，圆心到定点的距离、切线长及半径构成直角三角形．由勾股定理得，切线长为23－02＋2－22－22＝22.

3．[2015·合肥模拟]在极坐标系中，直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为( )

A.2，π6 B.2，π3

C.4，π6 D.4，π3

答案 A

解析 直线ρ(3cosθ－sinθ)＝2化为直角坐标方程为3x－y－2＝0，圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，半径等于2的圆．联立 3x－y－2＝0x2＋y－22＝4，解得 x＝3y＝1，故直线和圆的交点坐标为(3，1)，化成极坐标为2，π6.

4．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x2＋y2＝16变换为椭圆x′2＋y′216＝1，此伸缩变换公式是( )

A. x＝14x′y＝y′ B. x＝4x′y＝y′ 2 C. x＝2x′y＝y′ D. x＝4x′y＝8y′