2019版一轮高考数学复习(人教版A版)练习：第十一章 选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含解析

逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。

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一个人的人生幸福，只靠道德方面的努力是不够的，我们必须经常描绘自己将来的幸福形象，并依靠万能的潜意识来帮忙实现。 课时规范练

A组 基础对点练

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的参数方程为 x＝cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

解析：椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.

将直线l的参数方程 x＝1＋12t，y＝32t

代入x2＋y24＝1，得

(1＋12t) 2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，

解得t1＝0，t2＝－167.

所以AB＝|t1－t2|＝167.

2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

解析：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，

从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.

(2)设P3＋12t，32t，又C(0，3)，

则|PC|＝3＋12t2＋32t－32

＝t2＋12， 逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。

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一个人的人生幸福，只靠道德方面的努力是不够的，我们必须经常描绘自己将来的幸福形象，并依靠万能的潜意识来帮忙实现。 故当t＝0时，|PC|取得最小值，

此时，点P的直角坐标为(3,0)．

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈0，π2.

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解析：(1)C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为 x＝1＋cos t，y＝sin t(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝3，t＝π3.

故D的直角坐标为(1＋cosπ3，sinπ3)，即(32，32)．

4．(2018·厦门模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 x＝1＋cos φ，y＝sin φ，(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π3＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解析：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，

又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(2)设P(ρ1，θ1)，则由 ρ＝2cos θ，θ＝π3，

得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q(ρ2，θ2)，

则由 ρsin θ＋3cos θ＝33，θ＝π3，

得ρ2＝3，θ2＝π3，所以PQ＝2. 逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。

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一个人的人生幸福，只靠道德方面的努力是不够的，我们必须经常描绘自己将来的幸福形象，并依靠万能的潜意识来帮忙实现。 B组 能力提升练

1．(2018·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：2ρsinθ－π4＝10，曲线C： x＝2cos α，y＝2＋2sin α，(α为参数)，其中α∈[0,2π)．

(1)试写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

(2)若点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

解析：(1)因为2ρsinθ－π4＝10，

所以ρsin θ－ρcos θ＝10，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋10＝0.

曲线C： x＝2cos α，y＝2＋2sin α(α为参数)，消去参数可得曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.

(2)由(1)可知，x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2.

圆心到直线l的距离为d＝|1×0－1×2＋10|12＋－12＝42，所以点P到直线l距离的最大值为42＋2.

2．(2018·商丘模拟)直线l的参数方程为 x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为(1＋sin2θ)ρ2＝2.

(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点P为(1,0)，求1|PA|2＋1|PB|2的值．

解析：(1)消去参数t得直线l的普通方程为3x－y－3＝0.

曲线C的极坐标方程ρ2＋ρ2sin2 θ＝2化为直角坐标方程为x2＋2y2＝2，即x22＋y2＝1.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C：x2＋2y2＝2，得7t2＋4t－4＝0.

设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－47，t1t2＝－47.

所以1|PA|2＋1|PB|2＝1|t1|2＋1|t2|2＝t21＋t22t1t22＝t1＋t22－2t1t2t1t22＝92，即1|PA|2＋1|PB|2的值为92.

3．(2018·太原模拟)已知直线l的参数方程为 x＝m＋22t，y＝22t(t为参数)，以坐标原点为极逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。

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一个人的人生幸福，只靠道德方面的努力是不够的，我们必须经常描绘自己将来的幸福形象，并依靠万能的潜意识来帮忙实现。 点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．

(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；

(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

解析：(1)曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，左焦点F(－22，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－22，直线AB的参数方程是 x＝－22＋22t，y＝22t(t为参数)代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，所以t1·t2＝－2，所以|FA|·|FB|＝2.

(2)椭圆x212＋y24＝1的参数方程为 x＝23cos θ，y＝2sin θ，根据椭圆和矩形的对称性可设椭圆C的内接矩形的顶点为(23cos θ，2sin θ)，(－23cos θ，2sin θ)，(23cos θ，－2sin θ)，(－23cos

θ，－2sin θ)0<θ<π2，所以椭圆C的内接矩形的周长为83cos θ＋8sin θ＝16sinθ＋π3，

当θ＋π3＝π2时，即θ＝π6时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16.

4．已知圆锥曲线C： x＝2cos α，y＝3sin α(α是参数)和定点A(0，3)，F1，F2分别是曲线C的左、右焦点．

(1)以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求直线AF2的极坐标方程．

(2)若P是曲线C上的动点，求|PF1→|·|PF2→|的取值范围．

解析：(1)曲线C的普通方程为x24＋y23＝1，

所以F2(1,0)，

所以直线AF2的斜率k＝－3，

所以直线AF2的直角坐标方程为y＝－3x＋3.

所以直线AF2的极坐标方程为

ρsin θ＝－3ρcos θ＋3.

(2)P是曲线C：x24＋y23＝1上的动点，

所以1≤|PF2→|≤3.

因为|PF1→|＋|PF2→|＝4， 逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。

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一个人的人生幸福，只靠道德方面的努力是不够的，我们必须经常描绘自己将来的幸福形象，并依靠万能的潜意识来帮忙实现。 所以|PF1→|＝4－|PF2→|，

所以|PF1→|·|PF2→|

＝(4－|PF2→|)×|PF2→|

＝－|PF2→|2＋4|PF2→|

＝－(PF2→－2)2＋4.

所以当|PF2→|＝2时，|PF1→|·|PF2→|取得最大值4，

当|PF2→|＝1或3时，|PF1→|·|PF2→|取得最小值3.

所以|PF1→|·|PF2→|的取值范围是[3,4]．